8.3. Estimarea parametrilor
|
|
- ῾Ερμιόνη Πρωτονοτάριος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 8.3. Estmarea parametrlor Modelarea uu feome aleatoru real, precum trafcul ofert de o sursă formaţoală, ue reţele de comucaţ, îseamă detfcarea uu model probablstc, M, varablă aleatore sau proces aleatoru, de la caz la caz, care, d puct de vedere statstc, geerează rezultate smlare. Idetfcarea presupue atât alegerea tpulu (de exemplu: varablă aleatore gaussaă, cât ş fxarea setulu θ, de valor ale parametrlor caracterstc (meda ş varaţa, î exemplul cosderat. Stablrea valorlor petru parametr asocaţ modelulu avut î vedere, pe scurt: estmarea parametrlor, se face utlzâd o aumtă metodă de calcul, care, î cele ma multe cazur, se bazează pe potrvrea mometelor (momet matchg sau pe estmarea verosmltăţ maxme a datelor (maxmum lkelhood estmato. Î prmul caz, petru u model cu parametr, se rezolvă u sstem de ecuaţ, obţute pr egalarea formulelor de calcul al prmelor momete teoretce (pe asamblu, dervate d trasformata specfcă (fucţa caracterstcă, trasformata Laplace sau fucţa geeratoare de probabltăţ, cu mometele pe eşato, corespuzătoare. Î plus, exstă ş costrâgerle (legăturle propr modelulu (de exemplu, cazul dstrbuţe multomale, ude spaţul de eşatoare este partţoat îtr-u umăr de evemete, E,,E, cu probabltăţ legate pr relaţa p k = k = ceea ce face ca, î fal, metoda să fe, câteodată, mpractcablă. Aplcaţa 8.3. Realzaţ u program î MatLab care să geereze u eşato de date, coform ue dstrbuţ cu spaţul de eşatoare clus î mulţmea umerelor aturale. Programul va f parametrzat, utlzatorul avâd posbltatea să preczeze dmesuea eşatoulu, vectorul realzărlor posble ş vectorul probabltăţlor asocate (de exemplu:, [2 5 9] ş [..3.6], ar rezultatele se vor salva î format ASCII, îtr-u fşer cu extesa txt. Idcaţe: vez aplcaţa , ar petru screrea îtr-u fşer, se apelează, de exemplu, la fucţa fprtf. Aplcaţa Folosd programul obţut î urma îdeplr teme ateroare, geeraţ u eşato de de rezultate, cu valor î mulţmea {,4,7,9 } ş cu frecveţele relatve de aparţe:{ /,2/,4 /,3 /}, după care stablţ valorle parametrlor ce caracterzează modelul teoretc, corespuzător, aplcâd metoda potrvr mometelor. Idcaţ: Se mplemetează, î MatLab u program care prea rezultatele dtr-u fşer text (vez, de exemplu, fucţa load ş calculează valorle prmelor tre momete pe eşato, corespuzătoare, cu ajutorul relaţe:
2 2 ESTIMAREA PARAMETRILOR m k k y = = (8.3. ude: = dmesuea eşatoulu, k = ordul mometulu, y = rezultatul d eşatoul de date y = ( y,..., y. Pr egalarea acestor valor cu expresle aaltce ale prmelor 3 momete pe asamblu, se obţ 3 ecuaţ. La acestea se adaugă relaţa de ormare, ceea ce coduce la u sstem de 4 ecuaţ care, î fal, se rezolvă umerc Verosmltatea maxmă a datelor A doua categore de metode de estmare a parametrlor stableşte setul θ, de valor corespuzătoare, căutâd să maxmzeze probabltatea ca respectvul asamblu de valor să fe cel care coduce la rezultatele îregstrate î eşatoul de date, y, sau, ceea ce este echvalet, coform celor ce urmează a f prezetate î cotuare, [Bald], să estmeze verosmltatea (fucţa de verosmltate maxmă a datelor. Plecâd de la defţa probabltăţlor codţoate ş de la faptul că parametr modelulu, pr faptul că sut ecuoscute, costtue u vector de varable aleator, otat, î cele ce urmează, cu Θ, se poate scre egaltate: P θ y P y = P y Θ= θ P θ (8.3.2 Θ ( ( ( Θ( Semfcaţa termelor d egaltatea (8.3.2 este următoarea: P Θ ( θ = probabltatea a pror ca parametr modelulu M, adcă varabla aleatore vectorală Θ, să a valorle preczate î asamblul θ (fără a ţe cot de vreu rezultat expermetal, Θ ( P θ y = probabltatea a posteror ca parametr modelulu M să a valorle preczate î asamblul θ, î codţle î care, expermetal, s-a obţut eşatoul y ; este char probabltatea care, coform celor spuse ma sus, se doreşte a f maxmă, P y = probabltatea a pror de aparţe a rezultatelor d eşatoul ( y (adcă, dferet de valorle varable aleator vectorale Θ, P ( y Θ= θ = probabltatea a posteror de aparţe a rezultatelor d eşatoul y dacă parametr modelulu au valorle preczate î θ, adcă verosmltatea (fucţa de verosmltate a datelor (data lkelhood. Drept cosecţă, probabltatea a posteror, P Θ ( θ y este dată de relaţa: P Θ ( θ y P = ( y Θ= θ PΘ ( θ P ( y (8.3.3
3 ar estmarea, propru-zsă, a parametrlor este, cocret, o problemă de optmzare ce poartă deumrea de estmarea probabltăţ a posteror maxme MAP (Maxmum A Posteror estmato. Aplcaţa Presupuâd că sosrea celulelor îtr-uul d porturle de trare ale ue reţele de comutaţe poate f modelată pr termedul ue secveţe de varable aleator..d. după o dstrbuţe Beroull, stablţ care este şasa ca valoarea 4, atrbută parametrulu q, asocat repartţe alese, să fe cea care coduce la stetzarea (geerarea artfcală a următorulu eşato real, de rezultate (prelevate pr măsurător: y =,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ( Idcaţ: Parametrul dstrbuţe Beroull poate lua valor î tervalul (,. Î cosecţă, acest parametru este o varablă aleatore cotuă, otată î cele ce urmează Q, care, dat fd faptul că u sut preczăr suplmetare, se cosderă a f uform dstrbută pe spaţul e de eşatoare. Faptul că varabla Q este cotuă mpue ca demersul ce urmează să stablească valoarea ue destăţ de probabltate î locul ue probabltăţ, relaţa (8.3.2 deved, î acest caz: fq( q y P( y = P( y Q = q fq( q î care, desgur, asamblul de valor θ s-a îlocut cu uca valoare q ş: fq ( q = destatea a pror de probabltate ca parametrul dstrbuţe Beroull să a valorare q, ar f q y = destatea a posteror de probabltate ca parametrul Q ( dstrbuţe Beroull să a valorare q, î codţle î care, expermetal, s-a obţut eşatoul y, Pr urmare, dat fd faptul că s-a cosderat u model caracterzat pr depedeţa realzărlor, îseamă că: ( y = = ( = P Q q P y Q q = care, pr logartmare, coduce la: logp( y Q = q = logp( Q = q + logp( Q = q ude: y y este rezultatul d eşatoul y, este dmesuea eşatoulu egală, î cazul de faţă, cu 2, este umărul rezultatelor d eşato egale cu, este umărul rezultatelor d eşato egale cu. Î prvţa probabltăţ P( y, aceasta este dată, î mod asemăător, de relaţa: log P( y = log P( + log P( 3
4 4 ESTIMAREA PARAMETRILOR ude probabltatea P ( ş, î acelaş mod, P (, se calculează pr medere pe tot asamblul de valor ale varable Q, adcă: P( = ( q f ( qdq = * * * Î geeral, valorle probabltăţlor sut mult subutare, motv petru care, pr logartmare s, apo, pr schmbare de sem, petru a lucra cu umere poztve, relaţa (8.3.3, ce costtue fucţa obectv a probleme de optmzare ma sus amttă, deve: AP( θ = logp θ y = logp y θ log P( θ + log P( y (8.3.4 Q ( ( Î relaţa (8.3.4 ş î cotuare se utlzează o otaţe smplfcată, care cosderă mplct varabla aleatore vectorală Θ, echvaleţa cu otaţa folostă ateror fd următoarea : P ot ot ( θ y = P Θ ( θ y, P( = P( = y θ y Θ θ ş ot = P Θ P( θ ( θ Ma mult de atât, logartmarea trasformă produsul î sumă de terme ce deseor, coţâd doar câte ua d varable, pot f optmzaţ separat. Schmbarea de sem face ca problema de maxmzare a estmăr a posteror să devă o problemă de mmzare a fucţe d relaţa ( Î cadrul aceste fucţ, cel de-al trelea terme u depde de θ (vez Aplcaţa Pr urmare, acest terme este costat ş u terve î stablrea soluţe, adcă a setulu de valor, θ *, corespuzător mmulu, ceea ce face ca fucţa obectv să devă: AP( θ = logp( y θ log P( θ (8.3.5 Ma mult, î cazul frecvet îtâlt, cosderat ş î Aplcaţa 8.3.3, î care dstrbuţa a pror a asamblurlor de valor, θ, este uformă pe spaţul de eşatoare a parametrlor, adcă P ( θ = ct., atuc fucţa obectv deve: L( θ = logp ( y θ (8.3.6 fd vorba, î această stuaţe, de o problemă de estmare a verosmltăţ logartmate maxme a datelor, ML (Maxmum data log-lkelhood estmato. Aplcaţa Stablţ dstrbuţa care caracterzează lugmea pachetelor IP dacă, î urma prelucrăr datelor prmare (raw data, colectate cu ajutorul utltarulu TCPdump, dtr-u segmet Etheret, de legătură a ue reţele locale (LA la Iteret, s-au obţut rezultatele îscrse î tabelul Prma le d tabel preczează, î octeţ, cele ma reprezetatve lugm, corespuzătoare uu procet de 8% d totalul trafculu observat, ar a doua le este rezervată umărulu respectv de aparţ. Tabelul 8.3.: Lugm tpce de pachete IP ş frecveţe absolute de aparţe
5 lugme (octeţ umăr aparţ Rezolvare: Se alege, ca model probablstc, M, dstrbuţa multomală cu asamblul de parametr π = ( π, π2, π3 ce repreztă probabltăţle de aparţe a pachetelor de lugme, cu =, 3. Î cosecţă, dat fd faptul că modelul presupue că aparţle sut depedete, îseamă că: P ( y π 3 = π ude: y = eşatoul de date, care coţe lugmle fecăru pachet îregstrat, cosderat reprezetatv, ar = este umărul de aparţ observate (coţute î y ale pachetelor de lugme, cu =, 3. Î aceste codţ, problema ML, de estmare a verosmltăţ maxme a datelor, este: m L( π = logπ cu codţa π = π Rezolvarea aceste probleme se face plecâd de la următorul lagragea asocat: L = logπ µ π Pr dervăr parţale ş egalăr cu zero, adcă: L = µ= π π se ajuge, î fal, la rezultatul: π = =... = µ Valoarea multplcatorulu Lagrage, µ, s-a obţut aplcâd relaţa de ormare, valoarea reprezetâd umărul total de pachete luate î cosderare (dmesuea eşatoulu y Algortmul EM Complextatea ue probleme ML împedcă, î geeral, stablrea soluţe î maeră aaltcă. Drept urmare, î astfel de stuaţ, se recurge la mjloace emprce, precum algortmul pr medere ş maxmzare (EM Expectato Maxmzato. Algortmul EM [Demp], [Reder], ecestă fxarea uu puct de plecare care, de obce, costă îtr-u asamblu de valor θ, atrbute, î mod arbtrar, parametrlor cosderaţ de modelul ales. Urmează, apo, succesuea repetată a = 5
6 6 ESTIMAREA PARAMETRILOR do paş: pasul E: destat estmăr probabltăţlor a posteror, luâd î cosderare asamblul valorlor cosderate la îceputul teraţe; pasul M: dedcat rezolvăr probleme de optmzare î urma cărea se obţe u ou asamblu de valor. Asamblul ou, de valor, este folost, ca puct de plecare, de următoarea teraţe sau se cosderă soluţe dacă dfereţa dtre cele două verosmltăţ, de la îceputul ş de la sfârştul teraţe curete este sub u aumt prag (de exemplu: % Stud de caz Modul cocret de formulare ş aplcare a algortmulu EM urmează a f prezetat î cele ce urmează, pr termedul câtorva exemple cu largă aplcabltate practcă î actvtatea de modelare a surselor de trafc. Este vorba de: modele de amestec (mxture model laţur Markov ascuse (hdde Markov cha dstrbuţ cu faze (phase-type dstrbuto procese Markov de sosr (Markov arrval process procese Markov de sosr poderate (Batch Markov arrval porcess Model de amestec U exemplu de problemă complexă, care ecestă utlzarea algortmulu EM, este cea care rezultă atuc câd cosderăm că feomeul aalzat poate f descrs aaltc cu ajutorul uu model probablstc de amestec (mxture model. U astfel de model se obţe pr combarea lară a ma multor modele probablstce, de complextate feroară, avâd, î cosecţă, o dstrbuţe, F, dată de relaţa: k Fk (8.3.7 k= F = λ î care: F k, cu k =,, sut dstrbuţle modelelor cluse, λ k, cu k =,, sut coefceţ de amestec (adcă şasa modelulu M k, legaţ ître e pr relaţa λ k =. k Aplcaţa Reprezetaţ grafc o realzare posblă, pe parcursul a paş, geerată de u amestec probablstc de două dstrbuţ cu spaţle de eşatoare S = {,} ş S 2 = {,2}. * * * Odată asumat u model de amestec, M, posbltatea realzăr ue aumte valor, y, se poate scre, plecâd de la teorema probabltăţ totale:
7 ( = ( = ( k ( k = λk ( k (8.3.8 P y P y M P y M P M P y M k= k= ude M k, cu k =,, sut modelele costtutve, cosderate avâd toate spaţul de eşatoare dscret. Îseamă că, plecâd de la verosmltatea eşatoulu y, care coţe rezultate, adcă de la: P( y M = P( y M (8.3.9 = se ajuge, î fal, la următoarea problemă de optmzare: m log λk P( y Mk cu codţa λ k = (8.3. = k= k Rezolvarea probleme (8.3. se face, desgur, cosderâd lagrageaul corespuzător: L = logλk P( y Mk µ λk (8.3. = k= k care, pr dervare ş egalarea cu zero, geerează următoarele ecuaţ: L P( y Mk = µ= (8.3.2 λk = P( y Pr amplfcarea fecăre ecuaţ cu coefcetul de amestec, λ k, corespuzător, ş îsumarea tuturor ecuaţlor se obţe (de verfcat! petru multplcatorul Lagrage valoarea µ =. Ma mult, ştd că: P( y Mk P( Mk y = (8.3.3 P( y P( Mk se face substtuţa î ecuaţa (8.3.2 ş, arăş amplfcâd cu λ k, se obţ următoarele relaţ de estmare a coefceţlor de amestec: k P Mk P Mk y = ( ( λ = = cu k =, (8.3.4 Aceste relaţ evdeţază faptul că estmatorul fecăru coefcet de amestec repreztă meda pe eşato a probabltăţ ca modelul î cauză să fe cel care a codus la geerarea rezultatelor d eşatoul y. Pe lâgă coefceţ de amestec, ma trebue estmate ş valorle parametrlor corespuzător modelele costtutve, petru ca modelul de amestec să fe complet specfcat. Astfel, cosderâd că fecare model, M k, are u asamblu propru de parametr, cu valor preczate î vectorul θ k, îseamă că: 7
8 8 ESTIMAREA PARAMETRILOR L θ λ P y k = P y θ ( ( Mk kj, = kj,, cu k =, (8.3.5 ude θ kj, este valoarea atrbută parametrulu j, al modelulu M k. Folosd aceeaş substtuţe (vez relaţa î relaţa (8.3.5 ş egalâd cu zero, se obţe următorul set de ecuaţ cu ajutorul cărora se determă valorle parametrlor asocaţ fecăru model: P( Mk y P( y Mk =, cu k =, (8.3.6 = P( y Mk θkj, Ecuaţle (8.3.6 pot f aduse la forma: = ( Mk logp y P( Mk y =, cu k =, (8.3.7 θ kj, care evdeţază faptul că ecuaţle de estmare a parametrlor (8.3.7 repreztă o mede poderată a ecuaţlor de estmare care au î cosderare u sgur rezultat, adcă: logp( y Mk =, cu k =, (8.3.8 θkj, Î geeral, sstemul de ecuaţ (8.3.7 este dfcl sau mposbl de rezolvat, motv petru care, petru probleme de acest ge se poate recurge, aşa cum s-a ma meţoat, la algortmul EM. Astfel, Î cazul de faţă, al uu model cu amestec de dstrbuţ, paş d fecare teraţe a algortmulu EM se ocupă cu: pasul E: calculează probabltăţle ( k P M y luâd î cosderare valorle parametrlor, stablte arbtrar, dacă e vorba de prma teraţe, sau î urma calculelor efectuate î teraţa precedetă; pasul M: rezolvă problema de optmzare (8.3. stabld coefceţ de amestec (8.3.4 ş parametr modelelor costtutve ( Aplcaţa Estmaţ, folosd algortmul EM, testatea mede a trafculu pe o le de trare îtr-u comutator de celule dacă se are î vedere îregstrarea următoare: y = (,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Valorle bare repreztă exsteţa (, respectv exsteţa (, ue celule î tervalul de tmp corespuzător, ar ca model se cosderă u amestec de două dstrbuţ Beroull de parametr q ş q 2. Rezolvare: Algortmul EM are, î acest caz, următoarea evoluţe: Iţalzăr: q =,3 ; q 2 =,5 ; λ =,4 ; λ 2 =,6
9 adcă: Iteraţa Pasul E: D relaţa (8.3.8: P( = P( M =λ P( M +λ2 P( M2 =λ ( q +λ ( q =,4,7 +,6,5 =,58 ( 2 2 P( = P M = =,42 D relaţa (8.3.3: P M =λ P M P( = =,483 ( ( ( 2,57 ; ( P M = = ; PM ( 2 = =,74 Pasul M: D relaţa (8.3.4: ( P( M λ = 2 3 P M + 7 =,44 D ecuaţle (8.3.7: log( q logq 3 P( M + 7 P( M = q q P M = =,286 ş λ 2 = =,586 6, , = ş, î mod asemăător: 6,72 + 5, =. q q q2 q2 Pr urmare, la sfârştul teraţe avem următoarele rezultate: q =,24 ; q 2 =, 43 ; λ =,44 ; λ 2 =,586 A rămas de verfcat dacă exstă dfereţe ma mar decât pragul ales, de decze (de exemplu: %, prvd cele două verosmltăţ, de la îceputul ş de la sfârştul teraţe curete, î caz afrmatv trecâdu-se la teraţa următoare. Aplcaţa Realzaţ u program care să geereze ş să salveze îtr-u fşer ASCII u eşato de date coform uu model de amestec a 4 dstrbuţ expoeţale cu med dferte, bomale, cu umăr detc de repetăr, dar cu şase dferte de succes. Programul se realzează parametrzat, utlzatorul putâd fxa parametr dstrbuţlor, coefceţ de amestec ş dmesuea eşatoulu. Aplcaţa Verfcaţ corecttudea programulu realzat ateror mplemetâd u program care să estmeze parametr modelulu de amestec cosderat î Aplcaţa precedetă. Idcaţ: Se va avea î vedere modul de rezolvare adoptat î cadrul teme cu observaţa că, î cazul modelelor costtutve cu spaţul realzărlor cotuu, probabltăţle de geul Py ( M ş Py ( se îlocueşte cu destăţle k 9
10 ESTIMAREA PARAMETRILOR de probabltate corespuzătoare: f( y M ş f( y Laţur Markov ascuse U alt exemplu de problemă complexă, ce poate f rezolvată utlzâd algortmul EM, îl costtue estmarea parametrlor asocaţ uu model cu laţ Markov ascus, HMM (Hdde Markov Model. U astfel de model presupue că, petru geerarea eşatoulu de rezultate y = ( y,..., y,..., y, ude repreztă mometul (pasul î care apare rezultatul y, se utlzează dstrbuţ dstcte { D, D2,..., D }, dtre care doar ua coduce la aparţa fecăru rezultat. Alegerea dstrbuţe se face pe baza dclor acestora, preczaţ de stărle î care se găseşte u laţ Markov cu, desgur, stăr, î mometele de aparţe a rezultatelor. Aplcaţa Alcătuţ u posbl eşato de rezultate geerate de modelul markova ascus, specfcat î fgura 8.3..,5, Coform celor preczate ma sus, îseamă că u model Markov ascus este reprezetat de următorul asamblu de varable: { Y,..., Y,..., Y; S,..., S,..., S } (8.3.9 î care: Y = Y,..., Y,..., Y este u vector de varable aleator cotue ş/sau { } dscrete, care geerează eşatoul "vzbl" de rezultate = { y,..., y,..., y } y, fecare dtre ele urmâd ua d cele dstrbuţ asocate stărlor; S este u vector de varable aleator dscrete, care au valor de la la ş care geerează succesuea "ascusă" de stăr s = s,..., s,..., s pr care trece laţul Markov ascus. Ma mult: = { S,..., S,..., S} { } k (, 2,..., ( P S S S S = P S S pr faptul că este vorba de u laţ Markov ş: PY ( S, Y, S, Y..., S+, Y+, SS Y,..., SY, = PY ( S (8.3.2 adcă toate varablele d vectorul Y sut mutual depedete, depzâd doar de stare laţulu Markov d mometul î cauză, (coform mecasmulu de Stare Dstrbuţe ormală (5, 2 Bomală (/2, 3 Geometrcă (5/ 4 Expoeţală (/5 Fgura 8.3.: Exemplu de model Markov ascus
11 geerare specfcat ateror. Î aceste codţ, u model cu laţ Markov ascus este complet deft de Θ = ABp,, (, ude: asamblul de parametr { } o A este matrcea stocastcă de trazţ ître stăr (î poteza că laţul este omoge î tmp: A = { a, }, cu a ( j j, P S j S = = = ş, j =, ( o p ( este vectorul probabltăţlor ţale de stare: p ( = { p k (}, cu pk ( = P( S = k ş k =, ( o B este setul de dstrbuţ asocate stărlor ( k =, : ( fy ( y S = k PY = y S = k î cazul dscret B = { b k ( }, cu bk( y = ( î cazul cotuu Î vederea estmăr parametrlor sus meţoaţ, se are î vedere faptul că, pe lâgă verosmltatea logartmată a datelor observate ş complete (complete data log-lkelhood, adcă logp ( y θ, exstă ş verosmltatea logartmată a datelor complete (complete data log-lkelhood, adcă log P ( ysθ,, ude θ este u asamblu de valor atrbute parametrlor. Dat fd faptul că datele S sut ascuse, dec ecuoscute, ele pot f cosderate varable aleator, ceea ce îseamă că ş verosmltatea logartmată a datelor complete este, la râdul e, o varablă aleatore. Î cosecţă, î acest caz, al formaţlor complete, algortmul EM stableşte, î prmul pas, expresa de calcul a mărm logp ( y θ, pr mederea varable log P ( ysθ,, î codţle cuoaşter datelor, y, ş a valorlor atrbute parametrlor, θ. Stablrea exprese determste, de calcul a mărm logp ( y θ, ce urmează a f maxmzată fucţe de θ, î al dolea pas al algortmulu, a î cosderare următoarea fucţe. [Blmes] : ( P( ( ( Q θθ, = E log,, ysθ y θ ( ( î care θ este estmatorul curet al parametrlor. Relaţa ( repreztă o mede codţoată care se determă luâd î cosderare dstrbuţa margal codţoată a datelor eobservate, f S ( (, syθ, caz î care relaţa respectvă deve: ( ( ( = ( S ( Q θθ, log P ysθ, f syθ, ds s S ( cu S spaţul realzărlor varable S. Dacă e cazul, fs (, ( syθ se poate îlocu
12 2 ( ( ( î relaţa ( cu fys, (, = fs(, fy( ESTIMAREA PARAMETRILOR ysθ syθ y θ, îtrucât ambele dstrbuţ u depd de mărmea θ, ce terve î următorul pas al algortmulu. ( Odată stabltă expresa determstă a fucţe Q( θθ,, algortmul trece la pasul al dolea. Î cadrul acestu pas se caută oul set de valor ale parametrlor, dat de relaţa: ( θ = arg max Q( θ, θ ( θ Modul de acţue al algortmulu EM asgură creşterea verosmltăţ de la o teraţe la alta, fără îsă a precza dacă puctul staţoar "ats" este maxm local, global sau puct şa. Î cosecţă, se recomadă ca algortmul EM să fe repetat de ma multe or, luâd î cosderare pucte de plecare dferte. Prezetarea de ma sus se lmtează, desgur, la vel de prcpu, mplemetarea propru-zsă a algortmulu fd puterc depedetă de stuaţle avute î vedere. Astfel, î cazul estmăr parametrlor uu model cu laţ Markov ascus, petru care varabla ascusă, S, este dscretă, se pleacă de la fucţa: ( θθ, = log ( ysθ, ( ysθ, Q P P s S ( ( î care, petru smplfcarea otaţe, θ îl îlocueşte pe θ, ar S este spaţul tuturor secveţelor de lugme. Luâd î cosderare u aumt set de rezultate observate, = y,..., y,..., y s = s,..., s,..., s, avem că: y { } ş o aumtă secveţă, { } s s s, s s = 2 ( = P ysθ, p ( b ( y a b ( y ( sau, cosderâd ş starea S, datea geerăr rezultatelor: ( =, P ysθ, p ( a b ( y (8.3.3 s s s s = Desgur, d acest momet, o secveţă posblă de stăr coţe + îregstrăr, adcă s = { s, s,..., s,..., s}, ar umărul varablelor asocate laţulu creşte cu uu, vectorul î cauză deved: S = { S, S,..., S,..., S}. Relaţa (8.3.3 permte screrea fucţe Q sub forma: Q( θθ, = ( log ps ( P( ysθ, + log a ( s,, s P ysθ (8.3.3 s S s S = log bs ( y s S = P( ysθ, + î care cele tre subasamblur de parametr, adcă vectorul probabltăţlor
13 ţale de stare, matrcea de trazţ ş dstrbuţle asocate stărlor, sut doar câte uul î terme sume, fd astfel permsă optmzarea lor separată. Prmul terme d (8.3.3 se poate scre sub forma: ( log ps ( P( ysθ, = ( log pk( P( y, s = k θ s S k = 3 ( deoarece s pate f,2,...,, ar P( y, s = k θ = P( ys, = ( s = k, s =,..., s = θ ( ca dstrbuţe margală, ce a î cosderare doar pasul. Pr urmare, ţâd cot că p ( =, îseamă că ecuaţle optmzăr sut: k= k ( k ( log p ( P y, s = k θ µ p ( = cu =, ( Dervâd, amplfcâd cu p ( ş sumâd după rezultă: (, k ( P y s = k θ p = cu k =, ( P ( y θ Al dolea terme d egaltatea (8.3.3 deve: log as ( ( (,, log,,, s P ysθ = a j P y s s j = = θ ( S j k p ( k= k= s = = = = îtrucât s, respectv P y, s =, s = j θ este probabltatea margală codţoată, ce a î cosderare 2 paş: ş. Î cosecţă, cosderâd termeul drept al egaltăţ (8.3.36, căutare soluţe se face asemăător cazulu precedet, de această dată cu legătur de tpul a j = j, s, pot f egal cu,2,...,, ar ( =, ceea ce coduce la următorul rezultat: a j, = = ( y, =, = θ P s s j = ( y, = θ P s ( Ultmul subasamblu de parametr se obţe asemăător, ţâd cot, de exemplu, î cazul câd varablele asocate stărlor sut dscrete, cu umăr ft de realzăr, L, cu k =,, de următorul asamblu de costrâger L k = k k b ( x =, î fal, rezultatul corespuzător fd:
14 4 ESTIMAREA PARAMETRILOR b ( x k ( y, θ P s = k δ y, x = = cu δ y, x = ( y, = θ P s k dacă y = î rest = x ( Calcularea, î mod sstematc, a probabltăţlor d relaţle (8.3.35, ( ş ( se face apelâd la următoarele două procedur recursve, [Rab]: Procedura îate (forward procedure: a î cosderare probabltatea observăr ue secveţe parţale, de geul: y, y2,..., y, cu ultma valoare geerată î starea, cu =,, adcă: α ( = P( Y = y,..., Y = y, S = θ ( ş preczează următoarele relaţ de calcul recursv: α ( = PY ( = y, S = θ = p( b( y (8.3.4 α j( + = P( Y = y,..., Y = y, Y+ = y+, S+ = j θ = (8.3.4 = α( a, j bj( y+ = ( ( P Y = y θ = P y, S = k θ = α ( ( k= k= Procedura îapo (backward procedure: a î cosderare probabltatea observăr ue secveţe parţale, de geul: y+, y+ 2,..., y, î codţle î care, la pasul, procesul se află î starea, cu =,, adcă: β ( = P Y = y,..., Y = y S =, θ ( ( + + ş preczează următoarele relaţ de calcul recursv: β ( = ş β ( = a, j bj( y+ β j( + ( j = ( = βk k k P y θ ( p ( b ( y ( k = Ma mult, petru ceea ce e teresează î cotuare, sut de remarcat următoarele două egaltăţ: P y, S = θ = α ( β ( ( ( ( P y, S =, S = j θ =α ( a b ( y β ( + ( , j j + j k
15 Pr termedul lor, se pot troduce următoarele două mărm auxlare: P( y, S = k θ αk( βk( γ k( = P( S = k y, θ = = P ( y θ αj( βj( j, j = ( y, =, + = θ P ( y θ ( = y, θ ( +,...,, + = =, θ P( y+,..., y S =, θ P S S j ε ( = P S P y y S j S = 5 ( ( γ( a, j bj( y+ β j( + = β ( Cu ajutorul mărmlor defte î relaţle ( ş ( ş cosderâd că laţul Mrkov se află î regm staţoar, se obţ, î fal, următoarele relaţ sstematce (efcete de calcul al parametrlor căutaţ: p ( = p ( =γ ( (8.3.5 k k k εj, ( = aj, = γ ( = δy, x γ k = k x = γk ( = (8.3.5 ( b ( ( Aplcaţa 8.3. Realzaţ u program î MatLab care să geereze u eşato de rezultate coform uu model cu laţ Markov ascus, î care procesul evoluează coform dagrame de trazţ preczată î fgura 8.3.2, ar stărlor l se asocază dstrbuţ Beroull de parametr q, respectv q 2. Programul se realzează parametrc, atrburea valorlor petru mărmle caracterstce (, αβ,, q, q2 lăsâdu-se la lattudea utlzatorulu. α α 2 β Fgura 8.3.2: Dagrama de trazţ a laţulu Markov d Aplcaţa 8.3. β
16 6 ESTIMAREA PARAMETRILOR Idcaţ: se foloseşte fucţa MatLab hmmgeerate(, coform formaţlor d fereastra de comadă, î urma comez help hmmgeerate, sau î paga de referţă d strumetarul statstc (Statstcs Toolbox, accesată î urma comez doc hmmgeerate. Aplcaţa 8.3. Cosderâd modelul d aplcaţa precedetă ş eşatoul geerat î urma rezolvăr acestea, realzaţ u program î MatLab care, petru estmarea parametrlor, mplemetează algortmul EM corespuzător. Idcaţe: desgur, verfcarea corecttud de mplemetare presupue ca valorle obţute î urma aplcăr algortmulu să fe apropate de cele foloste î Aplcaţa precedetă, petru geerarea eşatoulu cosderat, de rezultate Dstrbuţ matrceal expoeţale O dstrbuţe cu faze, de geul celor prezetate î cadrul captolulu Metoda fazelor, repreztă, la modul geeral, dstrbuţa tmpulu de absorbţe, τ, ce caracterzează u laţ Markov, St (, cu u umăr de stăr (faze traztor (cu trazţ de trare ş de eşre ş o stare absorbată (doar cu trazţ de trare. Petru u astfel de laţ, î care starea se cosderă starea absorbată, matrcea geeratoare ftezmală poate f pusă sub forma:, Q = ( γ, Γ, ude blocurle partţe repreztă: γ - vectorul eşrlor (ext vector ale căru elemete, γ, sut ratele de trazţe d starea, cu =,, î starea, Γ - matrcea geeratoare de faze ale căre elemete, Γ j,, sut ratele de trazţ ître stăr traztor, cu, j =, ş j, ar Γ,, cu =,, sut ratele de eşre d stărle traztor, cu sem schmbat. Luâd î cosderare cele două mărm, γ ş Γ, matrcea probabltăţlor de trazţe de-a lugul uu terval, y, adcă: y P( y = exp( Q y = Q ( =! poate f adusă la forma: P( y = ( exp( Γ y exp( Γ y t î care s-a ţut cot că γ = Γ, cu = (,,...,, deoarece toate lle d Q au suma ulă. Pr urmare, ţâd cot ş de vectorul probabltăţlor ţale ale stărlor traztor, p (, se ajuge la următoarele caracterstc aaltce ale
17 7 tmpulu de absorbţe, adcă ale ue dstrbuţ cu faze: fucţa de dstrbuţe: Fτ ( y = p( exp( Γ y ( destatea de probabltate: fτ ( y = p( exp( Γ y γ ( trasformata Laplace: τˆ ( s = p( ( s I Γ γ ( mometul de ordul : E[ τ ] = (! p( Γ ( Relaţle ( ( arată că o dstrbuţe cu faze, deumtă ş dstrbuţe matrceal expoeţală (matrx expoetal dstrbuto, urmare a faptulu că o matrce este argumet al expoeţale, este complet specfcată de mărmle p ( ş Γ, umărul parametrlor caracterstc fd, î prcpu, egal cu + (. Cocret, îsă, î cazurle practce, majortatea elemetelor d p ( ş Γ, sut ule, precum î exemplele de dstrbuţ cu 4 faze, d tabelul Semfcaţle otaţlor îtâlte î tabelul sut: µ - rata de eşre d starea, α ş β - probabltăţle de selecţe a uea d cele două trazţ de eşre d starea. Tabelul 8.3.2: Coţutul lu p ( ş Γ î cazul uor dstrbuţ partculare cu faze p ( Γ
18 8 ESTIMAREA PARAMETRILOR Hpoexpoeţală (m Erlag (,,, Cox ( α =,,, Hperexpoeţală ( α, α2, α3, α 4 µ µ µ 2 µ 2 µ 3 µ 3 µ 4 α ( 2 +β 2 µ αµ 2 α ( 3 +β 3 µ 2 αµ 3 2 ( α 4 +β 4 µ 3 α 4µ 3 µ 4 µ µ 2 µ 3 µ Î prvţa mede tmpulu de absorbţe, a mometulu de ordul, t t aceasta se obţe calculâd, ma îtâ, vectorul Τ = ( τ, τ2,, τ = Γ care coţe medle tmplor de absorbţe, τ, câd procesul pleacă d starea. Urmează, apo, îmulţrea cu vectorul probabltăţlor ţale de stare, p (, adcă aplcarea teoreme probabltăţlor totale, rezultatul fal fd meda tmpulu de absorbţe, τ, dferet de starea de plecare. Aplcaţa Preczaţ coţutul vectorulu de eşre ş reprezetaţ grafc dagrama de trazţ petru fecare dstrbuţe cu faze d tabelul Aplcaţa Se cosderă reţeaua de faze d fgura Determaţ fucţa de destate de probabltate, meda ş varaţa varable aleatore corespuzătoare, ştd că µ =µ 2 = 4sec. Ce valor au compoetele vectorulu T? Idcaţe: Calculul medlor tmpulu de absorbţe, codţoate de starea de 4 / 3 µ 3/4 2/3 / 4 4/5 µ 2 / 5 eşre Fgura 8.3.3: Exemplu de reţea î două faze
19 plecare, se determă rezolvâd sstemul Γ Τ =. Ţâd cot de datele probleme, coţutul matrce Γ, este dat de produsul: Γ = M ( I Π î care M = dag( µ, µ 2,, µ este matrcea ratelor de eşre d faze, ar P = { p j, }, cu p, = ş, j =,, este matrcea de rutare î reţeaua de faze. Î urma substtur ş pr rearajare de terme, se ajuge la următorul sstem: t t T = M + P T care motvează faptul că meda tmpulu de absorbţe (de traversare a reţele, îcepâd d faza, este egală suma dtre meda faze ş medle tmplor de absorbţe îcepâd d stărle la care se ajuge î urma trazţe, poderate cu probabltăţle corespuzătoare, de rutare. Cocret, î cazul reţele aalzate, ua d ecuaţle oulu sstem este: τ = + τ2 µ 4 * * * Estmarea parametrlor ue dstrbuţ cu faze, folosd algortmul EM, pleacă, precum î exemplul ateror, al modelulu cu laţ Markov ascus, de la a cosdera că datele observate sut complete îtrucât rezultatele obţute u preczează decât cât tmp -a trebut procesulu, de la o realzare la alta, să ajugă î starea absorbată, restul formaţlor prvd starea de plecare, secveţa stărlor vztate ş durata de staţoare î acestea fd ecuoscute. Pr urmare, aflarea asamblulu complet de date presupue observarea modulu î care evoluează laţul Markov cotuu, cosderat, ceea ce este echvalet cu îregstrarea secveţe de stăr: S, S,, SM, S M ( =, urmată de laţul Markov dscret asocat, ş succesu de tmp de staţoare î respectvele stăr: T, T,, TM, T M ( =, cu M umărul de saltur (trazţ pâă î starea absorbată. Avâd î vedere cele spuse ma sus, îseamă că, î spatele uu rezultat partcular observabl, y, se "ascude" următorul rezultat partcular eobservat complet: x = ( s, s,..., sm, t, t,..., tm, cu codţa: t + t tm = y. Desgur, ambele rezultate dferă de la o realzare la alta a procesulu, ceea ce coduce la cosderarea următoarelor varable aleator: Y - rezultatul observabl, = S S SM T T TM X (,,...,,,,..., - rezultatul eobservat complet Destatea de probabltate a rezultatulu eobservat, X, corespuzător uu rezultat observat, Y, se determă ţâd cot că probabltăţle de trazţe cu u pas ale laţulu Markov asocat sut date de relaţa: t 9
20 2 ESTIMAREA PARAMETRILOR Γ k, Γ petru, k =, ş k pk, = P( S+ = k S= = γ k Γ petru =, ş k = (8.3.6 ude Γ = Γ, = γ + Γ, j este rata de eşre d starea. Pr urmare: j = j ( xp(, Γ ( exp( exp( = ps ( exp( Γs t Γs, s exp( Γs tm γs f = p Γ Γ t p Γ Γ t p s s s s, s s s m s, m m m m m (8.3.6 Relaţa ateroară este valablă î cazul uu sgur rezultat observat. Atuc câd, îsă, se are î vedere u eşato de rezultate partculare observate: y = ( y, y2,..., y, tră î dscuţe următorul eşato de rezultate partculare eobservate ş complete, adcă: { [] [] [] [] [ ] [ ] [ ] [ s ],..., s, t } [],..., t,..., s [],..., s, [ t ],..., t [ ] x = ( [ ] [ ] m ude t t [ ] = y, cu =,. m m m m Fără a ţe cot de datele observate, destatea de probabltate a eşatoulu X, de rezultate eobservate ş complete, este dată, coform teore geerale a famle de dstrbuţ expoeţale [Taer] de relaţa:,, j = = = j= j B, j ( (, = ( exp( Γ Γ f xp Γ p Z ( î care se regăsesc următoarele statstc sufcete: B = I [ ] este umărul de realzăr care poresc d starea, cu =, { S = } = [ ] m [ ] Z = I [ ] { S = } T k este tmpul total petrecut î starea, cu =, = k= [ ] m j I [ ] [ ] { Sk =, Sk+ = j} = k= k = este umărul total de saltur d starea î starea j, petru j, =,, j =, Mărmea I {Ev} este fucţa dcator, egală cu dacă evemetul argumet, Ev, se verfcă ş î caz cotrar. O statstcă este o fucţe determstă care are ca argumet u eşato de rezultate X, X2,..., X. O statstcă ale căre valor partculare sut, de cele ma multe or, î aproperea uu parametru pe asamblu (de exemplu: meda
21 este u estmator al acestua (petru exemplu ateror: meda pe eşato. O statstcă este sufcetă petru u aumt model probablstc caracterzat de u uc parametru dacă permte estmarea parametrulu î cauză. De exemplu, meda pe eşato este o statstcă sufcetă î cazul dstrbuţe expoeţale, dar u este sufcetă î cazul dstrbuţe uforme pe tervalul [, θ ], petru care statstca sufcetă este: T = max{ X, X2,..., X }. Desgur, î mod atural, petru u model probablstc cu ma mulţ parametr, precum dstrbuţa Gauss, caracterzarea sa completă se poate face pr termedul uu set de statstc sufcete, care, î cazul exemplulu cosderat, sut: estmatorul mede ş estmatorul varaţe, Luâd î cosderare relaţa (8.3.63, algortmul EM caută, î pasul E, să determe meda fucţe de verosmltate logartmată a datelor complete, câd s-a observat eşatoul y ş se cosderă asamblul curet de valor ale parametrlor p ( ş Γ. Expresa aceste med este: L = E B log p( + Z Γ, + j log Γ, j y, p(, Γ = = = = j= j = log p ( E B yp, (, Γ + Γ E Z yp, (, Γ, = = + logγj, E j,, (, yp Γ = j= j 2 ( Î urma meder, se obţe o exprese determstă, care are ca argumete parametr procesulu. Această exprese este folostă de pasul M al algortmulu petru stablrea valorlor petru care verosmltatea este maxmă. Dat fd structura verosmltăţ î dscuţe, problema de optmzare se poate separa î două compoete: ua care se ocupă de maxmzarea sume care coţe elemetele vectorulu p ( ş alta care are î vedere sumele ce coţ elemetele matrce Γ. Implemetarea celor preczate ma sus coduce la următorul coţut al algortmulu EM: pasul E: calcularea medlor statstclor sufcete, corespuzătoare eşatoulu de rezultate observate, y, codţoate de valorle curete ale estmărlor prvd setul de parametr p ( ş Γ, stablte arbtrar, dacă este prma teraţe, sau obţute î urma efectuăr pasulu M, î teraţa precedetă. Dat fd faptul că toate statstcle sut sume pe eşato, îseamă că mederea codţoată se poate face separat, petru fecare rezultat, y, î parte. Pr
22 22 ESTIMAREA PARAMETRILOR [ ] [ ] [ ] urmare, cosderâd B, Z ş j, cotrbuţle la statstc, corespuzătoare realzăr a procesulu, îseamă că medle căutate sut date de relaţle: [ ] E B yp, (, Γ = E B y, p(, Γ petru =, ( = [ ] E Z, (, = E Z y, (, yp Γ p Γ petru =, ( = [ ] j, j, = E, (, = E y, (, yp Γ p Γ petru =,, j =,, j ( Pasul M: calculează ole valor estmate urmare a optmzăr fucţe de verosmltate, rezultatele fale fd: E B, (, p ( yp Γ = petru =, ( E j,, (, yp Γ Γ j, = E Z yp, (, Γ E, yp, (, Γ γ = E Z yp, (, Γ petru, j =,, j ( petru =, (8.3.7 Γ, = γ + Γ, j petru, j =, (8.3.7 j = j Medle codţoate, d relaţle de calcul ale pasulu E, se calculează, la râdul lor, cu ajutorul relaţlor [Asm]: [ ] p( b( y Γ E B y, (, p Γ = petru =, ( p( b( y Γ [ ] c( y, p(, Γ E Z y, p(, Γ = petru =, ( p( b( y Γ [ ] Γj cj ( y, p(, Γ E j, y, p(, Γ = petru, j =,, j ( p( b( y Γ [ ] γ a( y p(, Γ E, y, p(, Γ = petru =, ( p( b( y Γ
23 ude a( y p(, Γ, b( y Γ ş c( y, p(, Γ, cu =,, sut vector de fucţ, cu următoarele expres: a( y p(, Γ = p( exp( Γ y ( b( y Γ = exp( Γ y γ ( y ( c( y, p(, Γ = p( exp( Γ u exp Γ ( y u γ du, =, ( cu = (,,...,,,,..., vector cu ucul elemet eul, egal cu, pe pozţa. Ca exemplfcare, meda d relaţa ( se deduce astfel: [ ] [ ] ( =, < + d [ ] P( y < Y y + dy PS y Y y y [ ] E B y, (, p Γ = = [ ] [ ] [ ] ( = ( < + d = PS Py Y y y S = = P y Y y y [ ] ( < + d [ ] ( p( f y S = cf.(*.56 p ( exp( Γ y γ = = f( y p( exp( Γ y γ 23 ( Î acest caz, vectorul este traspus ş repreztă vectorul probabltăţlor [ ] ţale, p (, corespuzătoare realzăr, apărute î codţle î care S =. Fucţle d relaţle ( (8.3.78, ca urmare a expreslor ce le caracterzează, permt screrea următorulu sstem de ecuaţ dfereţale: a ( y p(, Γ = a( y p(, Γ Γ (8.3.8 b ( y Γ = Γ b( y Γ (8.3.8 c ( y, p(, Γ = Γ c( y, p(, Γ + a( y p(, Γ γ, =, ( Acest sstem se rezolvă, î geeral, umerc, utlzâd o metodă stadard, de exemplu Ruge-utta, ş ţâd cot de următoarele codţ ţale: a( p(, Γ = p (, b( Γ = γ ş c(, p(, Γ =, cu =, ( Aplcaţa Cosderâd următorul eşato de rezultate: y = (,., să se estmeze, folosd algortmul EM, cu u prag de decze de %, parametr corespuzător cazulu î care se are î vedere, ca model, o dstrbuţe hperexpoeţală cu doar două stăr.
24 24 ESTIMAREA PARAMETRILOR Rezolvare: dagrama de trazţ a procesulu Markov corespuzător, împreuă cu matrcea de trazţe ître stărle traztor ş vectorul eşrlor, sut prezetate î fgura Eşatoul complet de date este: { s [] [] [2] [2] [3] [3], t, s, t, s, t } x = ( p ( = q p 2 ( = q 2 µ µ 2 Γ µ µ = µ γ= µ 2 2 ar destatea de probabltate corespuzătoare, luâd î cosderare probabltăţle ţale de stare: p ( = q ş p 2 ( = q, precum ş matrcea trazţlor, Γ, este (coform : B 2 ( (, B B B = ( 2 exp( µ exp( µ µ µ f xp Γ q q Z Z ( deoarece, î acest caz:, = B ş 2, = B2. Pr urmare, meda fucţe de verosmltate logartmată, codţoată de rezultatele observate, y, precum ş de parametr p ( ş Γ, este: Elog f (, (, xyp Γ = = = E B yp, (, Γ (lq+ l µ E Z yp, (, Γ µ ( E B2 yp, (, Γ { l( q + lµ 2} E Z2 yp, (, Γ µ 2 Petru calcularea medlor d relaţa (8.3.86, trebue rezolvat următorul sstem de ecuaţ dfereţale: µ ( a, a 2 = ( a, a2 µ 2 b µ b = b µ 2 2 b 2 c µ c µ = + a, cu =, 2 c µ 2 2 c2 µ 2 Prmele două ecuaţ sut: Fgura 8.3.4: Dstrbuţe hper-expoeţală cu două faze
25 25 a +µ a = ş a 2 + µ 2a2 = ( petru care, ţâd cot de codţle ţale, se găsesc următoarele soluţ: a( y = p(exp( µ y ş a2( y = p2(exp( µ 2y ( Ecuaţle avâd ca ecuoscute fucţle b ( y ş b 2 ( y sut: b +µ b = ş b 2 + µ 2b2 = ( ar soluţle corespuzătoare, dat fd codţle ţale, sut: b( y =µ exp( µ y ş b2( y = µ 2exp( µ 2y (8.3.9 Ultmele perech de ecuaţ sut: c, +µ c, µ p(exp( µ y = cu =, 2 (8.3.9 c 2, +µ 2 c2, µ 2 p(exp( µ y = Fd vorba de ecuaţ dfereţale, î care termeul lber este fucţe de argumetul y, îseamă că soluţa este, î cazul prme perech, de forma: c, ( y = C, ( yexp( µ y ( Stablrea termeulu C, ( y se face substtud expresa ( î ecuaţa corespuzătoare d (8.3.9, ceea ce coduce la o ouă ecuaţe dfereţală, de forma: C, ( y µ p( = ( Soluţa ecuaţe ( este: C, ( y = C, µ p( y ( ea trebud să satsfacă ş ecuaţa corespuzătoare d (8.3.9, î fal obţâdu-se: c, ( y = p( µ y exp( µ y, cu =, 2 ( ş, pr aaloge: c ( y = p ( µ y exp( µ y, cu =, 2 ( , 2 Odată stablte mărmle de ma sus, se trece la calcularea medlor d relaţa ( Astfel: 3 p( µ exp( µ y E B yp, (, Γ =, cu =, 2 ( = p ( µ exp( µ y k k k k = 3 p( µ exp( µ y y 2 = pk µ k µ ky k = E Z yp, (, Γ =, cu =, 2 ( ( exp(
26 26 ESTIMAREA PARAMETRILOR E j,, (, yp Γ =, cu, j =,2 ş j ( µ p( exp( µ y E, yp, (, Γ =, cu =,2 ( = p ( µ exp( µ y k k k k = Cum era de aşteptat, î acest caz partcular, umărul medu de eşr (trazţ î starea absorbată, dtr-o stare traztore este egal cu umărul medu de trăr î starea respectvă. Calculele î vederea estmăr parametrlor, care mplcă ş pasul M, î care se fac atrburle coform relaţlor ( (8.3.7, ecestă, char ş î cazul de faţă, realzarea uu program. Acesta trebue ca, la sfârştul fecăre teraţ, să determe oua valoare a verosmltăţ logartmate, î vederea comparăr cu cea ateroară, execuţa îchedu-se câd dfereţa dtre cele două este sub pragul mpus (%. Aplcaţa Reluaţ Aplcaţa precedetă î cazul î care eşatoul de rezultate este: y = (5,25,, ar ca dstrbuţe cu faze se cosderă modelul hpo-expoeţal cu două stăr (2-Erlag. Aplcaţa Deduceţ formulele de calcul ce urmează a f mplemetate îtr-u program care aplcă algortmul EM petru estmarea parametrlor ce caracterzează o dstrbuţe cu faze, a căru laţ Markov urmează dagrama de trazţ d fgura ş preczaţ ce valoare capătă verosmltatea logartmată, luâd î cosderare rezultatele obţute î cadrul prme teraţ ş cuoscâd că eşatoul de rezultate este y = (2,2,8. p ( p 2 ( µ 2 µ 2 Fgura 8.3.5: Dagrama de trazţ cosderată î Aplcaţa Aplcaţa Rezolvaţ Aplcaţa cosderâd modelul probablstc de amestec, ca strumet de calcul. Aplcaţa Rezolvaţ problemele euţate ma sus folosd metoda potrvr mometelor. Idcaţe: Expresa de calcul al mometelor este preczată î relaţa ( Valorle estmate ale respectvelor momete, luâd î cosderare eşatoul de rezultate, y, se calculează, petru cazul geeral, tot î MatLab, cu formula (8.3..
27 Aplcaţa Realzaţ u program care să îregstreze î format ASCII eşatoae de rezultate coform orcăru tp partcular de dstrbuţ cu 4 faze. Aplcaţa Realzaţ u program care prea datele dtr-u fşer txt ş aplcă algortmul EM î cazul orcăru tp partcular de dstrbuţe cu 4 faze. Idcaţe: Rezolvarea sstemulu de ecuaţ dfereţale se face umerc, folosd strumetele puse la dspozţe de MatLab. Verfcarea corecttud cu care programul a fost realzat se face prelucrâd, pr termedul său, u fşer geerat cu programul alcătut cu ocaza rezolvăr teme precedete ş comparâd valorle fxate cu cele estmate petru parametr corespuzător. 27
Procese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =
Xt () Procese stocastce (2) Fe u proces stocastc de parametru cotuu s avad spatul starlor dscret. Cu spatul starlor S = {,,, N} sau S = {,, } Defta : Procesul X() t este u proces Markov daca: PXt { ( )
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)
Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραElemente de teoria probabilitatilor
Elemete de teora probabltatlor CONCEPTE DE BAZA VARIABILE ALEATOARE DISCRETE DISTRIBUTII DISCRETE VARIABILE ALEATOARE CONTINUE DISTRIBUTII CONTINUE ALTE VARIABILE ALEATOARE Spatul esatoaelor, pucte esato,
Διαβάστε περισσότεραPentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:
etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic
Ssteme cu asteptare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc Dscpla cadrul cozlor de asteptate M / M / Modelul ( server, pozt de asteptare ) Aplcat modelarea trafculu de date la vel de pachete M / M
Διαβάστε περισσότεραSondajul statistic- II
08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere
Διαβάστε περισσότερα2. Metoda celor mai mici pătrate
Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo
Διαβάστε περισσότεραEvaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.
Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA PROAILITĂŢILOR Câmp de evemete U feome îtâmplător se poate observa, de regulă, de ma multe or Faptul că este îtâmplător se mafestă pr aceea că u ştm date care este rezultatul
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Spaţii vectoriale
Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:
Διαβάστε περισσότερα9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL
9. CRCE ELECRCE N REGM NESNSODAL 9.. DESCOMPNEREA ARMONCA Ateror am studat regmul perodc susodal al retelelor electrce, adca regmul permaet stablt retele lare sub actuea uor t.e.m. susodale s de aceeas
Διαβάστε περισσότεραCURS 10. Regresia liniară - aproximarea unei functii tabelate cu o functie analitica de gradul 1, prin metoda celor mai mici patrate
Y CURS 0 Regresa lară - aproxmarea ue fuct tabelate cu o fucte aaltca de gradul, pr metoda celor ma mc patrate 30 300 90 80 70 60 50 40 30 0 y = -78.545x + 33.4 R² = 0.983 0 0. 0.4 0.6 0.8. X Fe o fucţe:
Διαβάστε περισσότεραCu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,
Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp:
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ECUATII NELINIARE PE R. INTRODUCERE e D R D R : s sstemul: ( x x x ) ( x x x ) D () Daca se cosdera aplcata : D R astel ca: ( x x
Διαβάστε περισσότεραStatistica matematica
Statstca matematca probleme de dfcultate redusa ) Dtr-o popula e ormal repartzat cu dspersa ecuoscut se face o selec e de volum. Itervalul de îcredere petru meda m a popula e cu dspersa ecuoscut s s este
Διαβάστε περισσότεραSub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca:
Metoda gradetulu proectat (metoda Rose) Î cazul problemelor de optmzare covee ale căror restrcţ sut lare se poate folos metoda gradetulu proectat. Î prcpu, această metodă poate f folostă ş petru cazul
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni de verificare a ipotezelor statistice
Noţu de verfcare a potezelor statstce Verfcarea potezelor statstce este legată de compararea dfertelor poteze asupra ue populaţ statstce (ş u asupra uu eşato) cu datele obţute pr îcercăr expermetale Dacă
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Biostatistica: trecere in revista a metodelor statistice clasice
Curs 3. Bostatstca: trecere revsta a metodelor statstce clasce Bblo: W.Ewes, G.R. Grat Statstcal methods boformatcs, Sprger, 005 Cap. -3, cap.5 Structura Teste de asocere (depedeță) Teste de cocordață
Διαβάστε περισσότεραLUCRARE DE LABORATOR NR. 1 MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA
LUCRARE DE LABORATOR NR. MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA. OBIECTIVELE LUCRARII Isusrea uor otu refertoare la: - eror
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de ecuaţii neliniare
Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA
ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA Cursul CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA STATISTICA DESCRIPTIVA Populate, Caracterstca dscreta, cotua
Διαβάστε περισσότεραTeoria aşteptării- laborator
Teora aşteptăr- laborator Model de aşteptare cu u sgur server. Î tmpul zle la u ATM (automat bacar care permte retragerea de umerar s alte trazacţ bacare electroce) avem î mede 4 de cleţ pe oră, adcă.4
Διαβάστε περισσότεραProductia (buc) Nr. Salariaţi Total 30
Î vederea aalze productvtăţ obţute î cadrul ue colectvtăţ de salaraţ formată d 50 de persoae, s-a extras u eşato format d de salaraţ. Datele refertoare la producţa zle precedete sut prezetate î tabelul
Διαβάστε περισσότεραStatistica descriptivă. Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu
Statstca descrptvă Şef de Lucrăr Dr. Mădăla Văleau mvaleau@umfcluj.ro MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medaa, Modul, Meda geometrca, Meda armoca, Valoarea cetrala MĂSURI DE DE DISPERSIE Mm, Maxm,
Διαβάστε περισσότεραDin această definiţie a probabilităţilor rezultă următoarele proprietăţi ale acestora:
FIABILIAE Î proectarea ş costrucţa dfertelor ecpamete este ecesară asgurarea sguraţe î fucţoare a acestora; această codţe a codus la utlzarea î proectare a aumtor coefceţ de sguraţă. Noţule de fabltate
Διαβάστε περισσότεραCURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NELINIARE. 0 Norma unui vector şi norma unei matrici. n n cu elemente scalare (reale, complexe).
CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NEINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor Extremele funcţiilor de mai multe variabile Serii de numere cu termeni oarecare Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă
Uverstatea Spru Haret Facultatea de Stte Jurdce, Ecoome s Admstratve, Craova Programul de lceta: Cotabltate ş Iformatcă de Gestue Dscpla Matematc Ecoomce Ttular dscplă Cof uv dr Laura Ugureau SUBIECTE
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE ESTIMARE A PARAMETRILOR UNEI REPARTIŢII. METODA VEROSIMILITĂŢII MAXIME. METODA MOMENTELOR.
Curs 6 OI ETOE E ETIARE A ARAETRILOR UNEI REARTIŢII. ETOA VEROIILITĂŢII AIE. ETOA OENTELOR.. Noţu troductve Î legătură cu evaluarea ş optzarea proceselor oraţoale apar ueroase problee de estare cu sut:
Διαβάστε περισσότεραCURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE
CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue
Διαβάστε περισσότεραProf. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Prof. univ. dr. Gabriela-Victoria ANGHELACHE Lector univ. dr. Florin Paul Costel LILEA
Metode ş procedee de ajustare a datelor pe baza serlor croologce utlzate î aalza tedţe dezvoltăr dfertelor dome de actvtate socal-ecoomcă Prof. uv. dr. Costat ANGHELACHE Uverstatea Artfex/ASE - Bucureșt
Διαβάστε περισσότεραAnaliza univariata a datelor
Aalza uvarata a datelor Chestu orgazatorce Nota: Exame fal (mart, 13 ma): 70% Proect semar: 30% Suport curs: Cătou I. (coord.), Băla C., Dăeţu T., Orza Gh., Popescu I., Vegheş C., Vrâceau D. "Cercetăr
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE
METODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A 0. LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE Asura feomeelor de masă studate de statstcă acţoează u umăr de factor rcal ş secudar, eseţal ş eeseţal, sstematc ş îtâmlător, obectv ş subectv,
Διαβάστε περισσότερα1. Modelul de regresie
. Modelul de regrese.. Câteva cosderete de ord geeral La fel ca ş î multe alte dome, î domeul ecoomc ş î partcular î cel al afacerlor se îtâlesc deseor stuaţ care presupu luarea uor decz, care ecestă progoze
Διαβάστε περισσότεραTEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE
TEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE Obectve Cuoaşterea metodelor umerce de descrere a datelor statstce Aalza rcalelor metode umerce etru descrerea datelor cattatve egruate Aalza
Διαβάστε περισσότεραNumere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.
Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea
Διαβάστε περισσότεραProbabilități și Statistică 1.1. Metoda Monte-Carlo
Matematcă ș Iformatcă.. Metoda Mote-Carlo.. Metoda Mote Carlo. Aplcaţ. Precza metode. Termeul,,Metoda Mote Carlo este som cu termeul,,metoda epermetelor statstce. Aparţa aceste metode se raportează de
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραaşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe
Cuprs Prefaţă... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ... 7 Matrc... 8 Matrc partculare... 9 Iversa ue matrc... Ssteme de ecuaţ lare... 5 Problema compatbltăţ sstemelor... 7 Problema determăr sstemelor... 8
Διαβάστε περισσότερα3. INDICATORII STATISTICI
3. INDICATORII STATISTICI 3.. Necestatea folosr dcatorlor statstc. Idcator statstc prmar. Idcator statstc dervaţ Am văzut că obectul de studu al statstc îl costtue feomeele ş procesele de masă. Acestea
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραCURS 6 TERMODINAMICĂ ŞI FIZICĂ STATISTICĂ (continuare)
CURS 6 ERODIAICĂ ŞI FIZICĂ SAISICĂ (cotuare) 6.1 Prcpul II al termodamc Să e reamtm că prmul prcpu al termodamc a arătat posbltatea trasformăr lucrulu mecac, L, î căldură, Q, ş vers, fără a specfca î ce
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραSTATISTICĂ MARINELLA - SABINA TURDEAN LIGIA PRODAN
MARINELLA - SABINA TURDEAN LIGIA PRODAN STATISTICĂ STATISTICĂ CUPRINS Captolul NOŢIUNI INTRODUCTIVE... 5. Momete ale evoluţe statstc... 5. Obectul ş metoda statstc... 5.3 Noţu fudametale utlzate î statstcă...
Διαβάστε περισσότεραStatistica descriptivă (continuare) Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu
Statstca descrptvă (contnuare) Şef de Lucrăr Dr. Mădălna Văleanu mvaleanu@umfcluj.ro VARIABILE CANTITATIVE MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medana, Modul, Meda geometrca, Meda armonca, Valoarea
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea din București, Facultatea de Chimie, Specializarea: Chimie Medicală/Farmaceutică
Uverstatea d Bucureșt, Facultatea de Chme, Specalzarea: Chme Medcală/Farmaceutcă Statstcă & Iformatcă TEME ș aplcaț Laborator (M. Vlada, 07 Laborator Tema. Calcule statstce, fucț matematce ș statstce facltăț
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor
CAPITOLUL I. PRELIMINARII.. Elemete de teora mulţmlor. Mulţm Pr mulţme vom îţelege o colecţe (set, asamblu) de obecte (elemetele mulţm), be determate ş cosderate ca o ettate. Se subâţelege fatul că elemetele
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότερα2. Algoritmi genetici şi strategii evolutive
2. Algortm genetc ş strateg evolutve 2. Algortm genetc Structura unu algortm genetc standard:. Se nţalzează aleator populaţa de cromozom. 2. Se evaluează fecare cromozom dn populaţe. 3. Se creează o nouă
Διαβάστε περισσότεραSondajul statistic -III
STATISTICA Sodajul statstc -III tema 9 sapt.3-7 aprle 1 al.sac-mau www.amau.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studet/de.asp?tem=fsere&id=88 Dstrbuta ormala Dstrbuta ormala Cea ma mportata dstrbute cotua: umeroase
Διαβάστε περισσότεραElemente de teorie a informaţiei. 1. Câte ceva despre informaţie la modul subiectiv
Elemete de teore a formaţe. Câte ceva desre formaţe la modul subectv Î cele ce urmează vom face câteva cosderaţ legate de formaţe ş măsurare a e. Duă cum se cuoaşte formaţa se măsoară î bţ. De asemeea
Διαβάστε περισσότεραANALIZA STATISTICĂ A VARIABILITĂŢII (ÎMPRĂŞTIERII) VALORILOR INDIVIDUALE
4. ANALIZA STATISTICĂ A VARIABILITĂŢII (ÎMPRĂŞTIERII) VALORILOR INDIVIDUALE Feomeele de masă studate de statstcă se mafestă pr utăţle dvduale ale colectvtăţ cercetate care preztă o varabltate (împrăştere)
Διαβάστε περισσότεραPRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE
Lucrarea r. PRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE. GENERALITATI I electrotehcă ş electrocă terv umeroase mărm fzce ca: tesue, curet, rezsteţă, eerge, etc., care se caracterzează pr mărme ş pr aumte
Διαβάστε περισσότεραLaboraratorul 3. Aplicatii ale testelor Massey si
Laboraratorul 3. Aplcat ale testelor Massey s Bblografe: 1. G. Cucu, V. Crau, A. Stefanescu. Statstca matematca s cercetar operatonale, ed. Ddactca s pedagogca, Bucurest, 1974.. I. Văduva. Modele de smulare,
Διαβάστε περισσότεραClasificarea. Selectarea atributelor
Clascarea Algortm de clascare sut utlzaț la împărțrea ue populaț î p clase de dvz. Fecare dvd este caracterzat prtr-u asamblu de m varable cattatve ş/sau caltatve ş o varablă caltatvă detcâd clasa d care
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE OPTIMIZARE. Lucrarea 8 1. SCOPUL LUCRĂRII 2. PREZENTAREA TEORETICĂ 2.1. METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE 2.2. COEFICIENTUL DE CORELAŢIE
Lucrarea 8 METODE DE OPTIMIZARE. SCOPUL LUCRĂRII Prezetarea uor algort de optzare, pleetarea acestora îtr-u lbaj de vel îalt î partcular, C ş folosrea lor î rezolvarea uor problee de electrocă.. PREZENTAREA
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 Amplificatoare elementare
Captolul 4 mplfcatoare elementare 4.. Etaje de amplfcare cu un tranzstor 4... Etajul sursa comuna L g m ( GS GS L // r ds ) m ( r ) g // L ds // r o L ds 4... Etajul drena comuna g g s m s m s m o g //
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 CERCETAREA STATISTICĂ PRIN SONDAJ
CAPITOLUL 4 CERCETAREA STATISTICĂ PRIN SONDAJ Coderaţ prelmare Î captolele precedete am dcutat depre pobltăţle de culegere a datelor pe baza metodelor de obervare totală au parţală, ca ş depre modaltăţle
Διαβάστε περισσότεραFUNDAMENTE DE MATEMATICĂ
Proect cofaţat d Fodul Socal Europea pr Programul Operaţoal Sectoral Dezvoltarea Resurselor Umae 7-3 Ivesteşte î oame! Formarea profesoală a cadrelor ddactce d îvăţămâtul preuverstar petru o oportutăţ
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 1 Capitolul 2 Capitolul 3 Capitolul 4 Capitolul 5 Capitolul 6 Capitolul 7 Capitolul 8 Capitolul 9 Capitolul 10 Capitolul 11
Captolul Captolul Captolul Captolul 4 Captolul 5 Captolul 6 Captolul 7 Captolul 8 Captolul 9 Captolul Captolul I. ELEMENTE DE ALGEBRA BOOLEANA I teora crcutelor umerce s electroca dgtala geeral, semalele
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότερα5.1 Realizarea filtrelor cu răspuns finit la impuls (RFI) Filtrul caracterizat prin: 5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE. 5.1.
5. STRUCTURI D FILTR UMRIC 5. Realzarea ltrelor cu răspuns nt la mpuls (RFI) Fltrul caracterzat prn: ( z ) = - a z = 5.. Forma drectă - - yn= axn ( ) = Un ltru cu o asemenea structură este uneor numt ltru
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραCercetarea prin sondajul II Note de curs prelegere master data 24 oct.2013
Cercetarea pr sodajul II ote de curs prelegere master data 4 oct.13 al.sac-mau www.amau.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studet/de.asp?tem=fsere&id=88.oct.13 1 Dstrbuta ormala.oct.13 Dstrbuta ormala Cea ma
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα4 FUNCŢII BINARE. 4.1 Algebra booleană
4 FUNCŢII BINARE 4. Algebra booleaă Î secolul al I-lea, matematcaul eglez George Boole (85-864) formalzează logca arstotelcă, bazată pe dhotoma adevărat-fals, sub forma ue algebre cuoscută sub umele de
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραVII. STATISTICĂ 7.1. INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE Mărimile medii Media aritmetică
VII STATISTICĂ 7 INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE 7 Mărmle med Meda velurlor dvduale ale ue varable (caracterstc) statstce este epresa stetzăr îtr-u sgur vel reprezetatv a tot ceea ce este eseţal, tpc ş
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραLegea vitezei se scrie în acest caz: v t v gt
MIŞCĂRI ÎN CÂMP GRAVITAŢIONAL A. Aruncarea pe vertcală, de jos în sus Aruncarea pe vertcală în sus reprezntă un caz partcular de mşcare rectlne unform varată. Mşcarea se realzează pe o snură axă Oy. Pentru
Διαβάστε περισσότεραTema 2. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE
Tea. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE. Eror de ăsură A ăsura o ăre X îseaă a copara acea ăre cu alta de aceeaş atură, [X], aleasă pr coveţe ca utate de ăsură. I ura aceste coparaţ se poate scre X=x[X]
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE OPTICĂ BN B
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE OPTICĂ BN - B DIFRACŢIA LUMINII DETERMINAREA LUNGIMII DE UNDĂ A RADIAŢIEI LUMINOASE UTILIZÂND REŢEAUA DE DIFRACŢIE 004-005
Διαβάστε περισσότεραAparate Electronice de Măsurare şi Control PRELEGEREA 9
Aparate Electroce de Măsurare ş Cotrol PRELEGEREA 9 Prelegerea r. 9 Amplfcatoare zolaţe Î aplcaţle de zolaţe cu cuplaj optc se utlzează optocuploare tegrate de costrucţe specală. Acestea coţ o dodă electrolumescetă,
Διαβάστε περισσότεραNICOLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI
NICLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI N R' T R T M [P] [S] R N R VLUMUL I STATICA Refereţ ştţfc: Prof. uv. dr. doc. g. RADU P. VINEA Preşedtele Academe Româe de Ştţe Tehce
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραBILANT DE MATERIALE legii conservarii masei Gin = Gout consum specific Randamentul de produse finite pierderi de materiale Gin = Gout + Gp
BILANT DE MATERIALE Este o exrese a leg coservar mase sstemele chmce: greutatea G a materalelor care tra roces trebue sa e egala cu greutatea G a materalelor care es d roces: G = G Este ecesar etru a determa:
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραMETODA REFRACTOMETRICĂ DE ANALIZĂ
METODA REFRACTOMETRICĂ DE ANALIZĂ Refractometra este o metodă de testare fzcă a propretățlor ue substațe pr măsurarea dcelu de refracțe. Idcele de refracțe este măsurat cu ajutorul refractometrelor. Idcele
Διαβάστε περισσότεραSEMNALE ALEATOARE Definirea semnalului aleator, a variabilei aleatoare, a funcţiei şi a densităţii de repartiţie
CAPIOLUL SEMNALE ALEAOARE Un proces sau semnal aleator, numt ş stochastc, este un proces care se desfăşoară în tmp ş este guvernat, cel puţn în parte, de leg probablstce. Importanţa teoretcă ş practcă
Διαβάστε περισσότερα6. VARIABILE ALEATOARE
6. VARIABILE ALEATOARE 6.. Vrble letore. Reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe O vrblă letore este o cttte măsurtă î legătură cu u expermet letor, de exemplu, umărul de produse cu defecţu î producţ zlcă
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE Obiective curs Conţinut curs
ETODE NUERICE Obectve curs Crearea, aalza ş mplemetarea de algortm petru rezolvarea problemelor d matematca cotuă Aalza complextăţ, aalza ş propagarea erorlor, codţoarea problemelor ş stabltatea umercă
Διαβάστε περισσότεραB( t B 11. NOŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEOREMELE GENERALE ALE DINAMICII Lucrul mecanic. y O j
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam. NŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEREMELE GENERALE ALE DINAMIII Reolvarea problemelor de damă se fae u ajutorul uor teoreme, umte teoreme geerale, deduse pr aplarea
Διαβάστε περισσότεραPrelucrarea numerica a semnalelor. Filtre numerice. Filtru numeric h(n); H(z)
xt Dgtor ADC x y Fltru umerc h; H DAC yt Fltru umerc: sstem dgtal care are drept scop modfcarea spectrulu semalulu de trare. Aplcat: Extragerea d semal a uu aumt domeu de frecveta Elmarea d spectru a uor
Διαβάστε περισσότεραIII. TERMODINAMICA. 1. Sisteme termodinamice
- 80 - III. ERMODINMI. steme termodamce.. tăr ş procese termodamce. rcpul geeral ermodamca studază procesele zce care au loc î ssteme cu u umăr oarte mare de partcule, î care terv ş eomee termce. sstem
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE
Uverstatea OVIDIUS Costaţa Departametul ID-IFR Facultatea Matematca-Iformatca ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE Caet de Studu Idvdual Specalzarea IEDM Aul de stud I Semestrul I Ttular
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότερα2. Conducţia electrică în solide. Purtători de sarcină
Catolul Coducta electrca solde.purtător de sarcă. Coducţa electrcă î solde. Purtător de sarcă.1 Itroducere Soldele sut substaţele care au volum costat ş formă rore. Soldele au o structură crstală formată
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα