ALGEBRA LINIARA Licenţă Matematică

Transcript

1 ALGEBRA LINIARA Licenţă Matematică ) Definiti urmatoarele notiuni: spatiu si subspatiu vectorial, baza a unui spatiu vectorial, aplicatie liniara, vectori si valori proprii pentru o aplicatie liniara. ) Matricea de trecere de la o baza la alta baza. Formula modificarii coordonatelor unui vector la schimbarea bazei. 3) Fie f : V W o aplicatie liniara, unde V si W sunt doua spatii vectoriale finit dimensionale peste acelasi corp comutativ K. Sa se arate ca dim Kerf + dim Im f = dim V. K K 4) Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt. K 5) A) Fie E o multime ortogonala dintr-un spatiu euclidian V formata din elemente nenule. Sa se arate ca E este multime liniar independenta. Daca dim K V = n, atunci orice multime ortogonala care contine n elemente nenule este o baza in V. B) Daca V este spatiu euclidian cu dim K V = n si B = { e, e,..., en} este baza n < v, ei > ortogonala in V iar v V, v = x i e i atunci avem ca xi =. Daca B este i= < ei, ei > ortonormata atunci x i =< v, ei >. 6) Fie f : Ñ 3 Ñ 3 o aplicatie liniara definita intr-o baza B a lui Ñ 3 prin matricea A =. Sa se cerceteze daca exista o baza B in Ñ 3 fata de care 0 aceasta matrice sa aiba forma diagonala. 7) a) Sa se determine daca vectorii v = (,,0), v = (,0,), v3 = (3,,5) formeaza o baza in Ñ 3. b) Sa se determine λ Ñ astfel incat vectorul ( 3, λ,) sa apartina subspatiului generat de v si v. c) Daca la punctul a) avem o baza, sa se determine coordonatele vectorului de la b) fata de baza de la a). 8) Folosind procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt sa se gaseasca o baza ortonormata in Ñ 3 pornind de la baza v =,0,), v = (,, 3), v = (,,0 ). ( 3

2 9) Fie V si V doua subspatii vectoriale ale lui Ñ 4 generate respectiv de vectorii v =,,0,), v = (,,, ), v (3,0,,3) si ( 3 = = (,,,), w = (0,,,), w3 = (,,, w 5). Sa se gaseasca o baza a intersectiei subspatiilor V si V. 0) Fie f: Ñ 5 Ñ 4 f(x, x, x 3, x 4, x 5 ) = ( x x x 3 + x 4 + x 5, x + 4 x - x 3 - x 4 + x 5, x x + x 3 + x 4 - x 5, x + x + x 4 ) o aplicatie liniara. Sa se determine nucleul si imaginea acestei aplicatii cat si dimensiunilor lor.

3 Geometrie analitică Licenţa Matematică. Spaţii vectoriale euclidiene: definiţia produsului scalar (exemple de produse scalare), inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz şi consecinţe (norma euclidiană, unghiul dintre doi vectori, distanţa dintre două puncte).. Procedeul de ortogonalizare Gramm-Schmidt. 3. Elipsa. Proprietatea optică a elipsei. 4. Hiperbola. Proprietatea optică a hiperbolei. 5. Definiţia comună a conicelor. 6. Un bec electric atârnă sub centrul unui abajur circular, la 0 cm sub abajur şi la o distanţă de 50 cm de perete. Raza abajurului este de 5 cm. Să se găsească conturul umbrei aruncate de abajur pe perete. 7. Să se demonstreze că dacă prin unul din focarele F al unei elipse se duce o secantă variabilă ce întâlneşte elipsa în punctele M şi N, valoarea absolută a cantităţii este constantă. FM FN 8. Prin focarul F al unei parabole se duce o dreaptă perpendiculară ( ) pe axa parabolei. Fie P proiecţia pe ( ) a unui punct M, mobil pe parabolă, şi N, un punct luat pe MF, astfel încât NM = MP. Să se arate că dreapta PN trece printr-un punct fix. 9. Utilizând procedeul Gramm-Schmidt, să se ortogonalizeze sistemul de vectori:, e e e =,,, e =,0,, e,,0. S = { e }, unde ( ) ( ) ( ), = 0. Să se determine α şi β astfel ca dreapta de ecuaţie fie situată în planul de ecuaţie x y 3z = 0. x α y+ z α = = să β 3

4 . Formula Gauss. Derivata covariantă.. Ecuaţiile Gauss şi Codazzi-Mainardi. Geometrie diferentiala I Licenta Matematică 3. Consecinţe ale reperului Darboux asupra geodezicelor suprafeţelor. 4. Teoremele lui Lancret. 5. Reper Frenet. Relatiile lui Frenet. 6. Interpretarea geometrică a curburii Gauss. 7. Dacă d este distanţa de la origine la planul tangent la suprafaţa în punctul M şi K este curbura Gauss a suprafeţei în M, suprafeţele pentru care K constant 4 d = se numesc suprafeţe Ţiţeica. Arătaţi că suprafaţa având ecuaţia algebrică xyz = este suprafaţă Ţiţeica. 8. Se consideră suprafaţa π π f ( x, x ) ( rcos x cos x, rcos x sin x, rsin x ) a) Să se calculeze coeficienţii primelor două forme fundamentale. b) Să se calculeze curbura Gauss într-un punct oarecare. =, x,, x ( 0,π ) 9. Calculaţi curbura şi torsiunea curbei c:r R 3, c(t) = ( cos t, sin t, 3t). 3 t t t 0. Se consideră curba: c c t = ( e t e t e ) analitice ale triedrului Frenet in punctul t 0 = 0. : R R, ( ) cos, sin,. Calculati elementele.

5 COMPLEMENTE DE MATEMATICA SCOLARA II Licenţă Matematică. Relatii de echivalenta pe o multime: definitie, exemple: echivalenta modulo n pe Z, clase de echivalenta (definitie si proprietati), multime factor, multimea claselor de resturi modulo n, Z. n. Relatii de ordine pe o multime: definitie, exemple. Multime total ordonata: definitie si exemple. 3. Multimi numarabile: definitie, exemple (cu justificare). 4. Teorema impartirii cu rest in Z. Algoritmul lui Euclid. 5. Principiul includerii si excluderii. 6. Fie A si B doua multimi cardinal echivalente. Demonstrati ca P(A) si P(B) sunt cardinal echivalente. (P(A) semnifica multimea partilor lui A). 7. Pe multimea numerelor reale, R, se defineste relatia binara: x y x y Z. Demonstrati ca relatia este de echivalenta si ca multimea factor R / se poate pune in corespondenta bijectiva cu punctele unui cerc. 8. Fie ( X, ) o multime partial ordonata. Sa se arate ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente: (a) Orice submultime nevida a lui X are un element maximal (respectiv minimal). (b) Orice sir crescator (respectiv descrescator) de elemente din X este stationar. 9. Determinati numarul partitiilor cu doua blocuri ale unei multimi finite cu n elemente. 0. Rezolvati ecuatia diofantica 5 x + 4 y = 3.

6 Analiza Licenta 006.Teorema de punct fix a lui Banach (principiul contractiilor).. Siruri convergente, siruri Cauchy in spatii metrice. 3. Functii continue pe multimi compacte. 4. Limita unei functii intr-un punct. Definitii echivalente. 5. Teorema de caracterizare a multimilor compacte in spatii metrice. 6. Fie d : R R [0, ), d(x, y) = arctg x arctg y, x, y R. Sa se arate ca (R, d) este spatiu metric. 7. Daca seria n= a n este convergenta si a n 0, n atunci seria n= an n p este convergenta pentru orice p >. Ce se poate spune daca p =? 8. Daca x = (x,, x n ) R n si p <, definim ( n x p = j= x j p ) /p si x = max j n x j. a) Pentru n = sa se precizeze si sa se deseneze sfera unitate S = {x R ; x p = } pentru p =,,. b) Aratati ca lim p x p = x. 9. Fie functia f : R R, xy, (x, y) (0, 0), x f(x, y) = +y 0, (x, y) = (0, 0). Sa se arate ca: a) functia f este continua si are derivate partiale de ordinul intai pe R ; b) functia f nu este diferentiabila in punctul (0, 0). 0. Sa se determine punctele de extrem ale functiei f : R R, f(x, y) = x 3 + y 3 3x 6y +.

7 Analiza Licenta 006.Teorema de derivare a integralei cu parametru.. Teorema de invarianta a integralei curbilinii in raport cu drumul. 3. Fie f : [a, b] R o functie marginita. Sa se arate ca f este integrabila Darboux daca si numai daca f este integrabila Riemann. 4. Sa se arate ca integrala a xα e x dx, a > 0 este convergenta pentru orice α R. 5. Fie f : [a, b] R, f C [a, b]. a) Daca exista c [a, b] astfel incat f(c) = 0 atunci are loc inegalitatea f(x) b a f (t) dt ( b / b a f (t) dt) ( ). b) Daca b f(t)dt = 0 atunci inegalitate ( ) ramane adevarata. a 6. Sa se calculeze integrala curbilinie de speta a doua xdx + C ex dy, unde C : x = ln( + t), y = + t, t [0, ]. 7. Sa se arate ca functia f : R R, { x y, (x, y) (0, 0), x f(x, y) = +y 0, (x, y) = (0, 0). este continua pe R si sa se calculeze f(x, y)dxdy unde D = {(x, y) D R ; x + y, y 0}. 8. Fie h n (x) = n x. Sa se studieze convergenta simpla si uniforma a +n x sirului de functii (h n ) n pe intervalul [, ]. Este adevarata egalitatea lim n h n (x)dx = 9. Sa se calculeze lim n n k x n 0 x+ 0. Sa se studieze convergenta integralei [ x 0 a lim h n(x)dx? n dx, pentru k = 0 si k =. ] dx. x

8 FUNCTII COMPLEXE Licenta Matematic¼a. Sã se determine constantele a; b astfel încât funcţia urmãtoare sã e întreaga: f : C! C; f(z) =cosx(ch y + ash y) + isinx(ch y + bsh y); unde x =Re z; y = Im z:. Sã se calculeze: a. 4 (0) e z sin z + cos z dz; b. (0) (z ) 3 e z z dz 3. Sã se arate cã dacã D este un domeniu, f : D! C o funcţie olomorfã pe D şi existã a D astfel încât f (n) (a) = 0; (8) n N; atunci f(z) = 0; (8) z D: 4. Fie u; v : D R! C funcţii diferenţiabile şi f = u + iv: Ce se poate spune despre funcţia f dacã existã limitã: a: lim f(z + h) h!0 h f(z) ; b: lim h!0 f(z + h) f(z) Re? h 5. Fie a; b; c C; distincte. Sã se dezvolte funcţia f : C fb; cg! C; f(z) = z b c z b in serie Laurent în jurul punctului z = a: 6. Sã se arate cã pentru orice numãr real > ; ecuaţia ze z = are exact o soluţie în discul jzj < şi aceasta este realã. 7. Relatiile Cauchy - Riemann (in coordonate carteziene si polare). 8. Teorema de legatura intre integrala si primitiva. 9. Teorema reziduurilor. 0. Formulele lui Cauchy pentru disc.

9 ALGEBRA I (structuri algebrice de baza: grup, inel corp) Licenţă Matematică. Definitia notiunii de grup. Asociativitate si comutativitate generala. Reguli de calcul in grup (reguli de calcul cu puteri, simplificare, existenta si unicitatea solutiei pentru ecuatii de tipul ax = b, xa = b).. Definitia subgrupului. Subgrupurile grupului aditiv al numerelor intregi. 3. Echivalente asociate unui subgrup. Teorema lui Lagrange (enunt si demonstratie). 4. Teorema fundamentala de izomorfism pentru grupuri si aplicatii la caracterizarea grupurilor ciclice. 5. Constructia inelului factor. Inelul claselor de resturi modulo n: constructie si elemete speciale in Z n (elemente inversabile, divizori ai lui zero, elemente nilpotente). 6. Demonstrati ca orice grup cu 6 elemente este izomorf cu grupul Z 6 sau cu grupul permutarilor de grad 3, S Determinati elementele inversabile, divizorii lui zero si elementele nilpotente ale inelului de clase de resturi Ζ. Aratati ca multimea elementelor inversabile formeaza grup cu inmultirea izomorf cu grupul lui Klein. 8. Sa se arate ca nu exista nici un subinel unitar al inelului matricelor patratice de ordinul 3, M ( ), izomorf cu corpul numerelor complexe. 3 R 9. Care este cel mai mare ordin al elemetelor inversabile ale inelului Z 40? (Indicatie: Folositi Lema Chineza a Resturilor pentru a deduce izomorfismul de grupuri multiplicative U Z ) U ( Z ) U ( ).) ( 40 8 Z 5 0. Fie grupul permutarilor de grad 9,. 9 S Determinati un element de ordin 0 in 9 S si demonstrati ca nu exista elemnte de ordin 8 in acest grup. (Indicatie: folositi descompunerea unei permutari in produs de cicluri disjuncte.)

10 MATEMATICI DISCRETE Licenţă Matematică ) Definiti notiunile de: a) Drum si lant intr-un graf orientat; b) Subgraful generat de o submultime de varfuri, A X, al unui graf G = (X, U); c) Graful partial al unui graf G = (X, U) generat de o submultime de arce V U ; d) Componente tare conexe si componente conexe ale unui graf. e) Matrice de adiacenta, matricea drumurilor si matricea distantelor directe pentru un graf orientat. ) Descrieti algoritmul Roy Warshall, de determinare a matricei drumurilor intrun graf, definind in prealabil toate notiunile care apar. 3) Descrieti algoritmul Roy Floyd, de determinare a drumurilor si distantelor minime intr-un graf, definind in prealabil toate notiunile care apar. 4) Definiti o retea de transport, enuntati Teorema Ford-Fulkerson, definind toate notiunile care apar in enunt si descrieti algoritmul Ford Fulkerson. 5) Descrieti algoritmii lui Kruskal si Prim, de determinare a arborelui minim pentru un graf conex, definind in prealabil toate notiunile care apar.(descriere fara demonstratie!) 6) Sa se determine matricea drumurilor si componentele tare conexe pentru graful care are matricea de adiacenta: a := ) Pentru ca o persoana ce are locuinta in punctul sa mearga la biblioteca aflata in punctul 9, ea poate folosi mai multe mijloace de transport. Datele cuprinzand punctele intermediare prin care trece precum si timpul mediu calculat pentru a ajunge ditr-un

11 punct in altul sunt date in matricea distantelor directe, data mai jos. Se cere sa se determine toate drumurile care realizeaza timpul minim cat si valoarea acestuia a := ) Sa se determine lungimea maxima si toate drumurile pe care se realizeaza aceasta pentru graful care are matricea distantelor directe: a := ) In portul se gasesc 35 vapoare care trebuie sa se deplaseze in portul 0. Deplasarea lor se face in etape astfel incat in prima etapa sa ajunga cat mai multe dintre ele in portul 0. In drumul lor, vapoarele trebuie sa mai faca cate o escala in alte porturi intermediare, notate,3,...,9. Conditiile de primire, aprovizionare etc. fac sa existe o limitare a rutelor folosite. Capacitatile corespunzatoare sunt date in matricea de mai jos: a :=

12 Pozitiile notate cu infinit indica aici ca nu avem arc intre varfurile respective. Sa se determine un plan optim de transport, astfel incat, in aceasta etapa sa poata pleca cat mai multe vapoare spre portul 0. 0) Sa se determine arborele minim pentru graful care are matricea distantelor directe: a :=

13 Probabilit¼aţi, Statistic¼a Licenta Matematica. Legea Numerelor Mari (forma Cebâşev).. Legea Numerelor Mari (forma Bernoulli). 3. Teorema Limit¼a Central¼a (pentru v.a.i.i.r). 4. Teorema Limit¼a Central¼a (forma Moivre-Laplace). 5. Aplicaţii ale Teoremei Limite Centrale la Modelarea Statistic¼a (Metoda Monte-Carlo). 6. Fie (x ; :::; x n ) X : B i (n; p), adic¼a este dat un eşantion de volum n generat de o variabil¼a aleatoare X binomial repartizat¼a cu parametrii n şi p, n = ; ; :::; si respectiv p (0; ). De exemplu, X poate interpretat¼a ca num¼arul total de steme înregistrate la aruncarea unei monede de n ori. Consider¼am urm¼atoarele ipoteze: a) H : moneda este de aur; b) H : moneda nu este perfect¼a; c) H : moneda este perfect¼a, n ind cunoscut, adic¼a n = n o ; d) H : moneda este perfect¼a, n ind necunoscut. Care din ele sunt ipoteze statistice şi de ce tip? Argumentaţi r¼aspunsurile. 7. Fie (x ; :::; x n ) X : N (m; ), adic¼a este dat un eşantion de volum n generat de o variabil¼a aleatoare X N (m; ). Presupunem c¼a este cunoscut¼a. În acest caz la testarea ipotezelor despre parametrul m este folosit faptul c¼a statistica: x m N (0; ) ; p n pentru orice m R: Demonstraţi acest fapt, folosind metoda funcţiilor caracteristice. 8. Ce tip de erori au fost comise, dac¼a în urma test¼arii ipotezelor:

14 a) ipoteza alternativ¼a a fost respins¼a, ea ind de fapt adev¼arat¼a? b) ipoteza alternativ¼a a fost acceptat¼a, ea ind de fapt fals¼a? 9. Fie (x ; :::; x n ) X : N (m; ), adic¼a este dat un eşantion de volum n generat de o variabil¼a aleatoare X N (m; ). Presupunem c¼a m este cunoscut. În acest caz la testarea ipotezelor despre dispersia este folosit faptul c¼a statistica: n S = P (xi m) (n) ; adic¼a este o variabil¼a aleatoare p¼atrat repartizat¼a cu n grade de libertate. Folosind metoda funcţiilor caracteristice şi de niţia variabilei aleatoare (n), demonstraţi acest fapt. 0. Experienţa anterioar¼a arat¼a c¼a durabilitatea unei anvelope auto poate considerat¼a o variabil¼a aleatoare X s N 30000km; (800km). Se face o schimbare la procesul de producţie. O selecţie de 00 de anvelope are media de selectie x = 9000km. Pe baza acestei selecţii şi la un prag de semni caţie = 0:05 putem noi oare spune c¼a noua metod¼a conduce la sc¼aderea durabilit¼aţii anvelopelor? Nota: Pentru = 0:05 valoarea cuantilei x = :64; adica ( :64) = 0:05: Bibliogra e *M. IOSIFESCU, Gh. MIHOC, si a. Teoria probabilitatilor si Statistica matematica. Edit. didact. si pedagogica,965. * A. LEAHU, Probabilitati, Edit. OVIDIUS University Press, Constanta, 000 *CHARLES M. GRINSTEAD SNELL J. Laurie Introduction to Probability.

15 Ecuatii cu derivate partiale Licenta Matematica. Gasiti o forma normala pentru ecuatia: u yu + xu + yu + xyu = 0, y 0. xy yy x y. Fie ecuatia xuxx xyuxy yuyy 0 ω = ( xy, ) x> 0, y> 0. Determinati o forma normala si precizati transformarea. + + = in { } 3. Determinati solutia analitica a problemei Cauchy: ut = t+ x+ u+ ux, u(0, x ) = Determinati solutia analitica a problemei Cauchy: u t = + u, u(0, x) = x. x 5. Aduceti la forma standard si determinati termenii de ordin 3 ai problemei utt = t+ utx + uxx + vx Cauchy: vt = u+ v+ ux + ut. u(0, x) = ut (0, x) = v(0, x) = 0 6. Ecuatia lui Tricomi yu u = 0, y. Clasificare. xx yy 7. Solutia lui D Alembert pentru coarda vibranta. 8. Principii de maxim pentru ecuatii eliptice. Consecinte. 9. Principiul de maxim pentru ecuatia omogena a caldurii. Consecinte. 0. Enuntati principiul lui Huygens.

16 MECANICĂ Licenţa Matematică. Proprietăţi ale torsorului.. Expresiile vitezei şi acceleraţiei în coordonate polare şi intrinseci. 3. Se dă cubul (cu latura l ) din figură acţionat în E de forţa P EB = 3P şi în B de forţa P BF = P. Se cere reducerea acestor forţe în O şi A. 4. Se dă bara AB = l şi greutatea G aşezată fără frecare într-un cilindru de raza R. Se cere poziţia de echilibru. 5. Se dă bara AB de lungime l şi greutate G rezemată cu frecare pe un perete şi podea cu coeficienţii de frecare µ, µ. Se cer ecuaţiile de echilibru.

17 6. Cablul unui funicular, omogen şi de lungime s este suspendat în două puncte A şi B, care nu se află pe aceeaşi orizontală. Unghiurile dintre tangentele la fir, duse în aceste puncte şi verticală sunt egale cu α şi β. Să se afle diferenţa de înalţime a punctelor A şi B. 7. Manivela OA se roteşte uniform în jurul unui punct fix O cu viteza unghiulara ω constantă şi, prin intermediul bielei AM = b, pune în mişcare culisa M. Să se determine viteza şi acceleraţia culisei şi expresiile aproximative ale vitezei şi acceleraţiei dacă raportul r b este mic. 8. Se cere ecuaţia traiectoriei, viteza şi acceleraţia unui punct ale cărui ecuaţii parametrice în coordonate polare sunt: t r = e α ; θ = bt. 9. Un punct material se mişcă după legea: x = Acos ωt; y = Bsinωt. Se cer traiectoria, viteza şi acceleraţia. 0. Se consideră un fir omogen de lungime L şi greutate p pe unitatea de lungime, suspendat în punctele A şi B, a căror diferenţa de nivel h este necunoscută. Se cunosc unghiurile α şi β dintre orizontalele respective cu tangentele în A şi B la curba funiculară. Să se determine: tensiunile T A, T B şi H; diferenţa de nivel h; diferenţa de nivel dintre punctul A şi punctul A 0 cel mai de jos al curbei funiculare, lungimea de fir l. AA 0

18 ASTRONOMIE Licenţa Matematică. Enunţaţi şi verificaţi legile lui Kepler.. Teorema lui Newton privind atracţia unei sfere omogene goale. 3. Determinaţi ecuaţia diferenţială a mişcării pentru problema celor două corpuri. 4. Soluţia analitică a problemei celor două corpuri. 5. Enunţaţi şi demonstraţi formula cosinusului în trigonometria sferică. 6. Arătaţi că într-un triunghi sferic ABC sunt valabile relaţiile: sin bsin c+ cosbcosccos A= sin Bsin C cos BcosCcos a sin a( + cos Acos Bcos C) = sin A( cos acosbcos c). 7. Dacă D este un punct situat pe latura BC a unui triunghi sferic oarecare ABC, să se demonstreze că: 8. Demonstraţi că relaţia cos ADsin BC = cos ABsin CD+ cos ACsin BD. ( cos b)tg C = ( cos c)tgb. aparţine sau unui triunghi sferic isoscel sau unui triunghi sferic în care A = B + C. 9. Să se arate că în orice triunghi sferic dreptunghic (A = 90 o ) avem relaţia: a b c b c sin = sin cos + cos sin. 0. Să se arate că într-un triunghi sferic ABC echilateral avem: a A cos sin =.

19 ANALIZ ¼A FUNCŢIONAL ¼A LICENŢ ¼A Matematic¼a. Spatii normate si spatii Banach. De nitii. Operatori liniari si continui intre doua spatii normate. Norma unui operator liniar si continuu intre doua spatii normate.. Teorema categoriei a lui Baire. Enunt si demonstratie. 3. Principiul marginirii uniforme. Enunt si demonstratie. 4. Teorema aplicatiei deschise si teorema gra cului inchis. Enunt si demonstratie. 5. Teorema Hahn-Banach, cazul real. Enunt si demonstratie. 6. S¼a se arate c¼a operatorul U : C[0; ]! C[0; ], (Uf)(x) = R e xt f(t)dt, f C [0; ], x [0; ] 0 este corect de nit, este liniar şi continuu şi kuk = e. 7. Determinaţi şirurile de numere reale (x n ) nn R care au proprietatea: un şir (a n ) nn R este convergent c¼atre zero daca si numai seria este convergent¼a. 8. S¼a se arate c¼a mulţimea P a n x n j n=0 P n=0 ja n j < C [0; ] P n= a n x n este de prima categorie Baire în C [0; ], nu este rar¼a şi nici nu este deschis¼a în C [0; ]. 9. Fie p <, a = (a n ) nn un şir de numere reale cu proprietatea 8x = (x n ) nn l p, rezult¼a (a n x n ) nn l p şi M a : l p! l p operatorul de multiplicare,

20 M a ((x n ) nn ) = (a n x n ) nn. S¼a se arate c¼a: i) M a este corect de nit, este liniar si continuu si ca a l : ii) km a k = kak = sup ja n j : nn 0. În spaţiul normat R inzestrat cu norma euclidiana, consider¼am subspaţiul liniar G = f(x; y) R j x y = 0g si funcţionala liniar¼a f : G! R, f(x; y) = x. Ar¼ataţi c¼a exist¼a o unic¼a prelungire a lui f la R cu p¼astrarea normei şi g¼asiţi aceast¼a prelungire.

21 Aritmetică şi teoria numerelor Licentă Matematică. Numere naturale prime (multimea numerelor naturale prime este infinita; divergenţa seriei ). p Pp. Funcţii aritmetice. 3. Congruenţe (proprietăţi, T.Euler, T. Fermat). 4. Simbolul lui Legendre. 5. Ecuaţia lui Pell. 6. Fie şirul (Fn)nєN*, Fn = ^{ⁿ} (numerele lui Fermat). a) Să se arate că Fn - = F0F...Fn-. b) Să se arate că pentru orice m,n є N, m n, are loc: (Fm, Fn)=. c) Să se arate ca mulţimea numerelor naturale prime este infinită. 7. Să se afle exponentul la care apare 6 în descompunerea în factori a lui 53! 8. Să se arate că, dacă a є Z, (a;505)=, atunci a00 (mod 65). 9. Fie (Fn)nєN* şirul numerelor Fermat. Să se arate că dacă Fn= p este număr prim, atunci < 3 > = (Z*p; ). 0. Să se arate că nici un număr natural de forma 8k+7, cu k є N, nu poate fi scris ca sumă de 3 pătrate de numere întrgi.

22 Fundamentele matematicii Licenţa 007 Matematică. Enunţaţi axiomele de continuitate şi arătaţi că oricărui segment i se poate ataşa un număr real pozitiv ce nu depinde de unitatea aleasă.. Teorema Legendre. 3. Definiţi noţiunea de defect al unui triunghi şi arătaţi că dacă există un triunghi dreptunghic cu defectul zero, atunci toate triunghiurile dreptunghice au defectul zero. 4. Consecinţe ale axiomelor de incidenţă. 5. Unghiuri suplementare. Unghiuri drepte. Existenţa dreptelor perpendiculare. 6. Drepte nesecante în planul absolute. 7. În cadrul axiomatic creat de grupele de axiome de incidenţă şi de ordine demonstraţi următorul rezultat: Fie A, B, C, D patru puncte pe o dreapta. Atunci din ordonările ABC si BCD rezultă ordonările ACD şi ABD. 8. În cadrul axiomatic creat de grupele de axiome de incidenţă, de ordine şi de egalitate arătaţi că egalitatea segmentelor este o relaţie de echivalenţă. 9. În cadrul axiomatic creat de grupele de axiome de incidenţă, de ordine şi de egalitate demonstraţi cazul de congruenţă LLL a două tringhiuri. 0. În cadrul geometriei absolute arătaţi că dacă avem un triunghi ABC şi punctele M [ AB] şi N [ AC] atunci D( AMN) D( ABC), unde prin D( ABC) se inţelege defectul triunghiului ABC.

23 Cercetări Operaţionale Licenţa Matematică. Condiţii de optimalitate in programarea neliniară în cazul funcţiilor nediferenţiabile. Soluţia optimă şi punctul şa al lagrangeanului.. Condiţii de optimalitate in programarea neliniară în cazul funcţiilor diferenţiabile (Kuhn-Tucker). 3. Dualitatea in programarea neliniară. Duala în sens Wolfe. 4. Teorema directă de dualitate. 5. Metoda direcţiilor admisibile pentru programarea convexă cu restricţii liniare: testul de optimalitate si îmbunătăţirea soluţiei. 6. Se consideră problema de programare neliniară: Inf (x +x -4x -x +5) cu restricţia: x +0.5x - 0 a. Să se scrie funcţia Lagrange asociată; b. Să se scrie condiţiile de optimalitate Kuhn-Tucker; c. Să se calculeze soluţia optimă. 7. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f: R R, f(x,y)= x 3 +y 3 +3xy. 8. Să se rezolve: Inf (x 3 +x 3 -x -3x ) cu restricţiile: x x + x 0 9. Se consideră jocul de două persoane cu sumă nulă, cu funcţia de câştig dată de matricea: a. Să se verifice dacă jocul are soluţii in strategii pure; b. Să se determine o soluţie optimă in strategii mixte si valoarea jocului. 0. Să se rezolve cu metoda multiplicatorilor Lagrange: Max (-3x +3x x -4x +x x 3 -.5x 3 ) cu restricţiile: x +x -x 3 = x -x +3x 3 = 3

24 Subiecte Geometrie II (Geometrie Riemanniana). Definitia varietatii diferentiabile. Exemple de varietati diferentiabile.. Tensorii de curbura si torsiune pentru o conexiune liniara. Scrierea lor in coordonate. 3. Aplicatia exponentiala. Teorema Whitehead. 4. Conexiunea Levi-Civita. 5. Teorema Hopf-Rinow. 6. Aratati ca multimea M = {( x, y) y = 0} {( x, y) x 0, y = } poate fi organizata ca o varietate diferentiabila neseparata de clasa C si de dimensiune. k 7. Fie M o varietate diferentiabila de clasa C si de dimensiune n. Aratati ca k TM = T M este o varietate diferentiabila de clasa C si de dimensiune. n p M p 8. Se dau: campurile de vectori X = x + x, Y = ( x ) + ( x ), x x x x -forma ω = x dx + x dx si conexiunea : Γ =, Γ =Γ =Γ = x, restul fiind zero. Calculati ω ( Y X ) Fie o conexiune : Γ =, Γ =, restul fiind zero. ( x ) + x 6 ( x ) + 5x + 4 Sa se determine ecuatiile curbelor autoparalele. 0. Fie ( M, g ) un spatiu Riemann de dimensiune patru. Componentele lui g in x raport cu o harta sunt: g =, g = g33 = g44 = e, gij = 0 ( i j). i) Sa se calculeze simbolurile lui Christoffel de speta I si II; ii) Sa se determine ecuatiile parametrice ale geodezicelor spatiului Riemann ( M, g ).

25 Ecuatii diferentiale Licenta 006.Teorema de existenta si unicitate locale a lui Picard.. Sisteme de ecuatii diferentiale liniare de ordinul intai omogene. Structura spatiului solutiilor, matrice fundamentala. 3. Sisteme de ecuatii diferentiale liniare de ordinul intai. Metoda variatiei constantelor. 4. Teorema de caracterizare a solutiilor prelungibile la dreapta. 5. Stabilitatea sistemelor diferentiale liniare. 6. Sa se arate ca orice solutie a ecuatiei diferentiale x + 3x + x = t+ converge la 0 cand t. 7. Sa se determine solutia problemei Cauchy { u + t (et x) u = 0, x u(0, x) = x. 8. Sa se determine solutia generala a ecuatiei diferentiale x x + xe t = e t + e t, stiind ca admite o solutie particulara de forma ϕ(t) = Ae t. 9. Sa se arate ca problema Cauchy { x = e x + ( + x )t, t 0, x(0) = x 0 admite solutie unica definita pe un interval marginit. 0. Folosind Teorema de existenta si unicitate locale a lui Picard sa se stabileasca un interval pe care exista solutia problemei Cauchy: { x = t + x, x(0) = 0 si sa se calculeze primele trei aproximatii succesive ale acesteia.

26 Subiecte pentru licenta 007: Introducere in Geometria algebrica n. Corespondenta Ideale Õ K[X, X n ] ö Varietati algebrice affine in A K. Exemple si proprietati.. Varietati algebrice affine ireductibile. Definitie. Caracterizare. Descompunerea unei varietati afine in reuniune de varietati ireductibile. 3. Ideale omogene. Definitie. Caracterizare. Suma si intersectia unei familii finite de ideale omogene este ideal omogen. 4. Teorema lui Hilbert a zerourilor in cazul proiectiv. Enunt si demonstratie. 5. Inchiderea proiectiva a unei varietati afine. 6. Demonstrati ca sistemele de ecuatii: ( S ) : X + X = 0, X = 0; 3 ( S ) : X X + X + X + X + X X = 0, X X + X + X = 0; definesc aceeasi varietate algebrica afina peste corpul Q Determinati idealul varietatii algebrice afine V ( X Y, XY ) AC Descompuneti in componente ireductibile V = V ( X YZ, XZ X ) A C. 9. Determinati inchiderea proiectiva a curbei C = {( x, x ) A C x x ( x ) = 0}. 0. Demonstrati ca orice doua hiperplane din spatial proiectiv n -dimensional peste corpul K sunt proiectiv echivalente.