3. Teórie napätosti. 3.1 Druhy napätosti. 3.2 Priamková napätosť

Transcript

1 . Teórie apätosti. Druh apätosti Daé vokajšie zaťažeie telesa vvoláva v určitom bode telesa daý stav apätosti. Doteraz sme všetrovali ajjedoduchší stav apätosti vvolaý čistým ťahom resp. tlakom. V tomto prípade pôsobilo apätie le a jedu roviu kolmú a vokajšie zaťažeie. Často sa však vsktujú prípad keď a steách elemetu (apr. tvaru kock), vbratého vo všetrovaom bode telesa pôsobia súčase apätia a dvoch resp. troch a seba kolmých roviách. V tomto prípade hovoríme o zložeej apätosti (obr..). a.) Obr.. b.) Vo všeobecosti pôsobia v rezej rovie zaťažeého telesa ormálové aj šmkové apätia (obr..a). Rovi, v ktorých epôsobia šmkové apätia sa azývajú hlavé rovi Normálové apätia, ktoré pôsobia v týchto roviách sa azývajú hlavé apätia (obr..b). Tieto apätia sú súčase etrémmi hodotami ormálových apätí v príslušej rovie. V každom bode zaťažeého telesa je možé vbrať elemet tvaru kock, ktorého ste sú hlavými roviami. Podľa toho, koľko hlavých roví má eulové hlavé apätie rozlišujeme tri druh apätosti:. Priamková (lieára - jedoosová) apätosť, keď eistuje iba jeda hlavá rovia s eulovým hlavým apätím. Jedá sa o prípad ťahu resp. tlaku v jedom smere.. Roviá (dvojosová) apätosť, keď eistujú dve hlavé rovi s eulovým hlavým apätím. Jedá sa o prípad ťahu resp. tlaku v dvoch smeroch.. Priestorová (trojosová) apätosť, keď všetk tri hlavé rovi majú eulové hlavé apätie. Jedá sa o prípad ťahu resp. tlaku v troch avzájom kolmých smeroch.. Priamková apätosť V kapitole sme všetrovali apätie a reze kolmom k osi prúta zaťažeého ťahom resp. tlakom. Pre všeobecé posúdeie pevosti je potrebá zalosť apätia a ľubovoľe akloeom reze k osi prúta.

2 Obr.. Uvažujme prút zaťažeý vokajšími silami F podľa obr... Všetríme apätie a reze vedeom roviou ρ, ktorej ormála je totožá s osou a má vzhľadom k osi prúta sklo α. Kladú orietáciu uhla α volíme proti pohbu hodiových ručičiek. Fiktíve odstráime horú časť prúta. Vútorá sila, ktorá a reze pôsobí je rová vokajšej sile F. Rozložíme ju a zložku N v smere ormál a zložku T v smere rovi ρ : N F cosα T F siα Ak má rez v smere kolmom k osi prúta plochu S, je plocha akloeého rezu: S S α cosα Normálové a šmkové apätie bude mať veľkosť: N F cos α cos α S S α T S α F S siα cosα siα (.) Ide začí, že ide o ormálové apätie a rovie, ktorej ormála je rovobežá s osou. Podľa orietácie roví vzhľadom ku kartézskm osiam prichádzajú do úvah pre ormálové apätia smbol:,, z. Pre šmkové apätie sa používajú dva ide. Prvý ide začí smer ormál rovi, a ktorej apätie pôsobí, druhý ide začí smer apätia. Pre šmkové apätia možo použiť všeobece šesť smbolov:,, z, z, z, z. Normálové apätie je maimále pre α a α π ( ma ), teda a rezoch kolmých k osi. Šmkové apätie je maimále pre α π/4 a α π/4 (siα ±), potom: ma ± (.) U prútov z mäkkej ocele amáhaých ťahom sa toto maimále šmkové apätie výraze prejaví pri dosiahutí medze sklzu. Na vlešteom povrchu skúšobej tče sa objavia husté čiar (tzv. Čerovove resp. Lüdersove čiar), skloeé pod uhlom 45, ktoré odpovedajú sklzu jedotlivých roví atómov krštalickej mriežk. Teto sklo čiar odpovedá 4

3 smeru ajväčších šmkových apätí. Potvrdzuje to hpotézu, že mäkký (húževatý) kov povoľuje skôr šmkovému apätiu ako ormálovému apriek tomu, že maimále šmkové apätie má hodotu rovú polovici maimáleho ormálového apätia. Všetríme ďalej apätia, v rovie košt. Ak bude mať ormála rovi košt. vzhľadom k smeru hlavého apätia sklo α, bude mať ormála rovi košt. sklo απ/. Príslušé apätia vpočítame zo vzťahov (.) ak ahradíme uhol α uhlom απ/ a budeme uvažovať, že cos(απ/) -siα a si(απ/) si(απ) -siα : si α siα ( cos α ) (.) Zo vzťahu (.) vplýva dôležitá rovica: (.4) Súčet ormálových apätí a dvoch avzájom kolmých rezoch je koštatý a rový hlavému apätiu. Obr.. Pre zamieka šmkových apätí budeme uvažovať asledujúcu dohodu. Na steách elemetu, a ktorých je orietácia ormálového apätia totožá s kladou orietáciou súradicovej osi, bude kladé aj šmkové apätie, ak bude jeho orietácia totožá s kladou orietáciou príslušej súradicovej osi. Ak bude aopak orietácia ormálového apätia opačá ako kladá orietácia súradicovej osi, bude šmkové apätie kladé, ak bude jeho orietácia tiež opačá, ako orietácia príslušej súradicovej osi. Z obr.. je v súlade s touto dohodou vidieť, že ak šmkové apätia budú vtvárať kladú dvojicu síl (t.j. budú pôsobiť proti smeru pohbu hodiových ručičiek), budú apätia vtvárať záporú dvojicu síl. Ak apíšeme mometovú podmieku statickej rovováh elemetu a obr.. k osi z dostaeme: ( d dz) d ( d dz) d (.5) 5

4 Tieto apätia sa azývajú združeé šmkové apätia. Výsledok platí všeobece a uvádza sa ako veta o združeých šmkových apätiach: Na dvoch avzájom kolmých rezoch pôsobia rovako veľké šmkové apätia, ktoré smerujú k spoločej hrae (alebo od ej).. Roviá apätosť Príklad roviej apätosti - tekosteá rúrka Ako príklad roviej apätosti všetríme apätia, ktoré vzikajú pri amáhaí tekosteej valcovej ádob. Takou ádobou môže bť valcová časť kotla alebo tekosteá rúrka (obr..4), v ktorej je tekutia (pl, para, kvapalia) s pretlakom p. Obr..4 Z rúrk vberieme elemetár prsteec. Obvodová časť prsteca bude amáhaá obvodovým apätím, ktorého veľkosť sme vpočítali v kapitole.7a (viď.vzťah.): r p (.6) h Okrem toho je elemet ádob amáhaý v aiálom smere. Celková sila v aiálom smere v dôsledku vútorého pretlaku je F a π.r.p. Táto sila vvolá a ploche medzikružia priečeho rezu S a.π.r.h apätie: F a r p (.7) S h a lemet vbratý zo ste rúrk podľa obr..4 ja ťahaý v dvoch avzájom kolmých smeroch. Pretože v obvodovom ai v aiálom smere epôsobia šmkové apätia, sú tieto rez hlavými rezmi (roviami) a príslušé obvodové a aiále apätia, sú hlavé apätia. Rozbor apätí pri roviej apätosti Všetríme apätia a elemete, a ktorý pôsobia hlavé apätia > v rovie, ktorá ie je totožá s hlavou roviou. lemetom vedieme rez roviou ρ (obr..5), ktorej ormála zviera s osou o hlavého apätia uhol α. 6

5 Obr..5 S osou o zviera ormála uhol β απ/. Normálu rezej rovi ρ stotožíme s osou. V realizovaom reze bude pôsobiť apätie ormálové a apätie šmkové. Veľkosť apätí určíme podľa pricípu superpozície tak, že oddelee všetríme účiok hlavého apätia, a výsledok sčítame. Hlavé apätie vzhľadom k ormálovému apätiu podľa (.) prispieva hodotou.cos α a hlavé apätie hodotou.cos β. Celkové apätie: π cos α cos β cos α cos α cos α si α (.8) siα siβ siα si( α π) siα Pri roviej apätosti má ormálové apätie maimálu hodotu a miimálu hodotu. Tieto etréme hodot adobúdajú apätia, a dvoch avzájom kolmých roviách. Zároveň a týchto roviách šmkové apätia adobúdajú ulovú hodotu. Je to daé tým, že, sú hlavé apätia. Maimále šmkové apätie pôsobí v roviách, ktorých ormála zviera so smerom hlavých apätí uhol α ± 45 a adobúda hodotu: ma (.9) Všetrime ďalej apätie v roviách košt. Podobe ako v prípade priamkovej apätosti dostaeme príslušé apätia zo vzťahov (.8) ak dosadíme za uhol α uhol απ/: π π cos α si α si α cos α (.) π si α si α Zo vzťahov (.8) a (.) platí: košt. (.) 7

6 Súčet ormálových apätí a dvoch avzájom kolmých plochách je koštatý a rový súčtu hlavých apätí. Šmkové apätia sú v súlade s vetou o združeých šmkových apätiach. Určovaie hlavých apätí použitím Mohrovej kružice Vzťah (.8) a (.) môžeme jedoducho zázoriť grafick (obr..6). Ak sa bude meiť uhol α, bude bod X opisovať kružicu, pretože vzdialeosť SX( - )/ je koštata (má výzam polomeru kružice). To že ide o kružicu môžeme tiež dokázať aaltick z rovice kružice so stredom o súradiciach (m,): ( m) r cos α Po dosadeí: siα r, m Popisovaá kružica sa azýva Mohrova kružica alebo kružica apätí. Z obr..6 vplýva, že apätia a dvoch avzájom kolmých rezoch (απ/) odpovedajú dvom kocovým bodom X, Y toho istého priemeru kružice (.α π). Obr..6 8

7 Zvlášta poloha Mohrovej kružice astáva v prípade kde, keď sa Mohrova kružica dotýka začiatku. V tomto prípade ide o zázoreie priamkovej apätosti popísaej vzťahmi (.) až (.). Použitím Mohrovej kružice je možé jedoducho riešiť úloh roviej apätosti. Najdôležitejšou úlohou je ájdeie veľkosti, smeru a orietácie hlavých apätí, pre daé apätia,,,. Daé hodot apätí určujú bod X, Y. Spojica týchto bodov pretía os v bode S, ktorý je stredom Mohrovej kružice. Ďalší postup riešeia úloh je zrejmý z obr..6. Ak prete Mohrova kružica os apätí vľavo od začiatku, bude príslušé apätie prípade aj záporé (tlakové). Veľkosť hlavých apätí a ich smer je možé jedoducho určiť aj aaltick. Z Mohrovej kružice a obr..6 vplýva: OS SX OS SX X X OS SX OS SX X X tgα X SX X.4 Priestorová apätosť Priestorová apätosť v určitom bode telesa je celkovo určeá, ak sú záme apätia a troch avzájom kolmých roviách prechádzajúcich všetrovaým bodom telesa. Tieto apätia si môžeme zázoriť a steách elemetáreho hraola (d, d, dz), vbraého z okolia všetrovaého bodu telesa (obr..7). Obr..7 9

8 Deväť zložiek tezora celkového apätia c si môžeme vjadriť vo forme charakteristickej matice: c z (.) z z z z Podľa vet o združeých šmkových apätiach platí: (.) z z z Matica (.) je teda smetrická. Priestorový stav apätosti je preto celkovo určeý iba šiestimi zložkami apätí:,, z,, z, z. Podobe ako v prípade priamkovej a roviej apätosti eistujú rovi, a ktorých sú všetk šmkové apätia ulové. V prípade priestorovej apätosti sú to tri a seba kolmé rovi - hlavé rovi. Príslušé apätia sú hlavé apätia > >. Charakteristická matica (.) má v tomto prípade ajjedoduchší tvar: c z (.4) Prevedeie matice (.) a tvar (.4), t.j. ájdeie hlavých apätí je úloha áročejšia ako pri roviej apätosti. Túto úlohu je možé riešiť aaltick aj grafick. Riešeím b sme sa dopracovali ku kubickej rovici, ktorej riešeím b sme dostali hľadaé hlavé apätia,,. Táto rovica má tvar: I I (.5) I kde : I I I z z z z z z z z z z z V mohých prípadoch však môžeme určiť hlavé apätia priamo z charakteru amáhaia telesa. Napr. elemet rúrk z obr..4 je okrem hlavých apätí, zaťažeý ešte tretím hlavým apätím -p, kde p je vútorý pretlak. Toto apätie je kolmé a os rúrk. Pretože podľa predpokladu je r >> h je > >> ako vidíme zo vzťahov (.6) a (.7). Preto sme toto apätie vôbec euvažovali a hovorili sme le o roviej apätosti. Dá sa dokázať, že maimále šmkové apätie pri priestorovej apätosti má v prípade > > veľkosť: ma (.6) Vplýva to aj z grafického zobrazeia priestorovej apätosti pomocou Mohrových kružíc (obr..8). Bod, ktoré sú a vrcholoch kružíc odpovedajú diagoálm plochám akloeým pod uhlom 45 o k odpovedajúcim hlavým apätiam. Šmkové apätia a týchto plochách sa rovajú polomerom Mohrových kružíc. 4

9 Obr..8 Napätie a ľubovoľe akloeej ploche Ako východzí stav budeme uvažovať kváder, a ktorý pôsobia hlavé apätia a metódou rezu hľadáme apätia, a ploche s ormálou N, ktorej poloha je určeá uhlami α, α, α k smerom I, II, III - smer hlavých apätí (obr..9). Ak bude plocha S, budú ploch: S cos α, S cos α, S cos α. Rovováha v smere ormál N dáva: S S cosα S cosα S cosα Odtiaľ: cos α cos α cos α (.7) Pretože epozáme smer, ájdeme ajprv celkové apätie p : z dôvodu rovováh tvorí vektor p uhlopriečku kvádra, ktorého hra sú S, S, S, t.j.: p S S S S ( ) ( ) ( ) ( ) Odtiaľ: p cos α cos α cos α (.8) Potom: (.9) p Obr..9 4

10 4.5 Hookov záko a poteciála eergia pri zložeej apätosti Uvažujme kocku, a ktorú pôsobia hlavé apätia,, (obr..). Chceme ájsť pomeré predĺžeie v smere. Použijeme pricíp superpozície. Najprv echáme a kocku pôsobiť iba, predĺžeie v smere bude: Potom echáme pôsobiť iba. Predĺžeie v smere od bude: Nakoiec predĺžeie v smere pri pôsobeí : Obr.. Výsledé pomeré predĺžeie v smere ( ) potom bude: Aalogick: (.)

11 4 Ak použijeme opäť pricíp superpozície, bude merá poteciála eergia (eergia v jedotke objemu) pri priestorovom stave apätosti (obr..) rová práci vokajších síl: ( ) u ak dosadíme do tohoto vzťahu z (.), potom: ( ) [ ] u (.) Výraz (.) popisuje celkovú merú eergiu apätosti vzikutú pri deformácii telesa. Pri deformácii telesa sa súčase meí: - objem telesa - tvar telesa Môžeme preto celkovú eergiu apätosti rozdeliť a dve časti:. ergiu u v súvisiacu so zmeou objemu telesa bez zme jeho tvaru.. ergiu u t súvisiacu so zmeou tvaru telesa bez zme jeho objemu (u t u - u v ). Pričom: ( ) v 6 u (.) Potom: ( ) ( ) ( ) [ ] t 6 u (.)