Polinomske jednaqine
|
|
- ŌΓώγ Μαρής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim koeficijentima) koji zadovoljavaju neku datu relaciju. Slede i primer ilustruje neke od osnovnih metoda: 1. Odrediti polinome P za koje je 16P (x 2 ) = P (2x) 2. Prvi naqin: određivanje vrednosti u pojedinim taqkama i svođenje na niжi stepen. Ubacivanjem x = 0 u datu relaciju dobijamo 16P (0) = P (0) 2, tj. P (0) = 0 ili 16. (i) Neka je P (0) = 0. Tada je P (x) = xq(x) za neki polinom Q, i vaжi 16x 2 Q(x 2 ) = 4x 2 Q(2x) 2 xto nakon skra ivanja postaje 4Q(x 2 ) = Q(2x) 2. Sada za 4Q(x) = R(x) imamo 16R(x 2 ) = R(2x) 2. Dakle, P (x) = 1 4xR(x), gde R zadovoljava istu relaciju kao P. (ii) Neka je P (0) = 16. Ubacivanjem P (x) = xq(x) + 16 u datu relaciju dobijamo 4xQ(x 2 ) = xq(2x) 2 +16Q(2x) odakle je Q(0) = 0, tj. Q(x) = xq 1 (x) za neki polinom Q 1. Dalje je x 2 Q 1 (x 2 ) = x 2 Q 1 (2x) 2 + 8Q 1 (2x), odakle je Q 1 (0) = 0, tj. i Q 1 je deljivo sa x i Q(x) = x 2 Q 1 (x). Pretpostavimo da je x n najve i stepen x koji deli Q, tj. Q(x) = x n R(x), gde je R(0) 0. Tada R zadovoljava jednaqinu 4x n+1 R(x 2 ) = 2 2n x n+1 R(2x) n+4 R(2x), tj. R(0) = 0 xto je nemogu e. Sledi da je Q 0 i P (x) 16. Zakljuqujemo da je P (x) = 16 ( 1 4 x) n za neko n N0. Drugi naqin: ispitivanje koeficijenata. Dokaжimo prvo slede u (qesto upotrebljavanu) lemu: Lema. Ako je P (x) 2 polinom po x 2, onda je ili P (x) ili P (x)/x takođe polinom po x 2. Dokaz. Neka je P (x) = a n x n + a n 1 x n a 0 sa a n 0. Koeficijent uz x 2n 1 je 2a n a n 1, odakle sledi a n 1 = 0. Sada je koeficijent uz x 2n 3 jednak 2a n a n 3, odakle je i a n 3 = 0, itd. Nastavljaju i ovakvo razmatranje zakljuqujemo da je a n 2k 1 = 0 za k = 0, 1, 2,..., tj. P (x) = a n x n + a n 2 x n 2 + a n 4 x n 4 +. Kako je P (x) 2 = 16P (x 2 /4) polinom po x 2, imamo P (x) = Q(x 2 ) ili P (x) = xq(x 2 ). U prvom sluqaju je 16Q(x 4 ) = Q(4x 2 ) 2, odakle je i 16Q(x 2 ) = Q(4x) 2, a u drugom je (na sliqan naqin) 4Q(x 2 ) = Q(4x) 2 i u oba sluqaja zakljuqujemo da je Q(x) = R(x 2 ) ili Q(x) = xr(x 2 ) za neki polinom R, tj. P (x) = x i R(x 4 ) za neko i {0, 1, 2, 3}. Nastavljaju i na isti naqin dobi emo P (x) = x i S(x 2k ) za svako k N i neko i {0, 1,..., 2 k }. Sada je dovoljno uzeti 2 k > deg P da bi se zakljuqilo da je S konstantno, pa je P (x) = cx i za neko c R. Jednostavna provera daje P (x) = 16 ( 1 4 x) n za n N0. Ve ina zadataka ovog tipa se moжe rexiti jednom od ove dve metode (mada ih ima koji ne mogu). Ispitivanje mogu ih nula traжenog polinoma takođe spada u prvu metodu. 1
2 Zadaci 1. Na i sve polinome P za koje je P (x) 2 + P ( 1 x )2 = P (x 2 )P ( 1 x 2 ). Rexenje. Po lemi iz uvodnog zadatka postoji polinom Q takav da je P (x) = Q(x 2 ) ili P (x) = xq(x 2 ). U prvom sluqaju je Q(x 2 ) 2 + Q( 1 x 2 ) = Q(x 4 )Q( 1 x 4 ), odakle je Q(x) 2 + Q( 1 x ) = Q(x2 )Q( 1 x 2 ) (xto je ona ista relacija koju zadovoljava P ), a u drugom (sliqno) xq(x) x Q( 1 x )2 = Q(x 2 )Q( 1 x 2 ), xto je nemogu e jer leva strana ima neparan stepen, a desna paran. Zakljuqujemo da je P (x) = Q(x 2 ) gde je i Q rexenje date polinomske jednaqine, pa posmatranjem rexenja najmanjeg stepena zakljuqujemo da P mora biti konstantno. 2. Da li postoje nelinearni polinomi P i Q takvi da je P (Q(x)) = (x 1)(x 2) (x 15)? Rexenje. Pretpostavimo da postoje. Tada je deg P deg Q = 15, pa je deg P = k, gde je k {3, 5}. Ako stavimo P (x) = c(x a 1 ) (x a k ), imamo c(q(x) a 1 ) (Q(x) a k ) = (x 1)(x 2) (x 15). Prema tome, koreni polinoma Q(x) a i su razliqiti i qine skup {1, 2,..., 15}. Međutim, ovi polinomi se razlikuju samo u poslednjem koeficijentu. Posmatraju i parnost ostalih koeficijenata zakljuqujemo da svaki od njih (a njih je tri ili pet) ima jednak broj neparnih korenova. Ovo je nemogu e jer neparnih korenova ima ukupno 8, xto nije deljivo ni sa 3 ni sa Odrediti sve polinome P za koje je P (x) 2 2 = 2P (2x 2 1). Rexenje. Oznaqimo P (1) = a. Imamo a 2 2a 2 = 0. Kako je P (x) = (x 1)P 1 (x) + a, ubacivanjem u polaznu jednaqinu i sređivanjem dobijamo (x 1)P 1 (x) 2 +2aP 1 (x) = 4(x+ 1)P 1 (2x 2 1). Za x = 1 imamo 2aP 1 (1) = 8P 1 (1), pa zbog a 4 sledi P 1 (1) = 0, tj. P 1 (x) = (x 1)P 2 (x), tj. P (x) = (x 1) 2 P 2 (x) + a. Pretpostavimo da je P (x) = (x 1) n Q(x) + a, pri qemu je Q(1) 0. Ubacivanjem u polaznu relaciju i sređivanjem dobijamo (x 1) n Q(x) 2 + 2aQ(x) = 2(2x + 2) n Q(2x 2 1), xto opet daje Q(1) = 0, kontradikcija. Zakljuqujemo da je P (x) = a. 4. Odrediti sve polinome P za koje je P (x) 2 1 = 4P (x 2 4x + 1). Rexenje. Pretpostavimo da P nije konstantno. Fiksiraju i deg P = n i upoređuju i polinome leve i desne strane uoqavamo da su (kakvi god bili) koeficijenti polinoma P racionalni. S druge strane, ako podesimo x = a za koje je a = a 2 4a + 1, a to je a = 5± 21 2, dobijamo P (a) = b, gde je b 2 4b 1 = 0, tj. b = 2 ± 5. Ovo je nemogu e, jer P (a) mora biti oblika p + q 21 za neke p, q Q jer su koeficijenti polinoma P racionalni. Sledi da je P (x) konstanta. 5. Za koje realne vrednosti a postoji racionalna funkcija f(x) koja zadovoljava f(x 2 ) = f(x) 2 a? Rexenje. Napiximo f u obliku f = P/Q, gde su P i Q uzajamno prosti polinomi i Q je moniqan. Upoređivanjem vode eg koeficijenta zakljuqujemo da je i P moniqan. Uslov zadatka postaje P (x 2 )/Q(x 2 ) = P (x) 2 /Q(x) 2 a. Kako su i P (x 2 ) i Q(x 2 ) uzajamno prosti (ako oni imaju zajedniqku nulu, imaju je i P i Q), sledi Q(x 2 ) = Q(x) 2. Odavde je Q(x) = x n za neko n N. Sada imamo P (x 2 ) = P (x) 2 ax 2n. Neka je P (x) = a 0 + a 1 x + + a m 1 x m 1 + x m. Upoređivanjem koeficijenata P (x) 2 i P (x 2 ) vidimo da je a n 1 = = a 2m n+1 = 0, a 2m n = a/2, a 1 = = a m 1 = 0 i a 0 = 1. Odavde zakljudhujemo da je ili a = 0, ili a = 2 i 2m n = Na i sve polinome P koji zadovoljavaju P (x 2 + 1) = P (x) za sve x. Rexenje. Na osnovu leme iz uvodnog zadatka postoji polinom Q takav da je P (x) = Q(x 2 + 1) ili P (x) = xq(x 2 + 1). Tada je Q((x 2 + 1) 2 + 1) = Q(x 2 + 1) 2 1, odnosno (x 2 + 1)Q((x 2 + 1) 2 + 1) = x 2 Q(x 2 + 1) Smena x = y daje Q(y 2 + 1) = Q(y) 2 + 1, odnosno yq(y 2 + 1) = (y 1)Q(y)
3 Pretpostavimo da je yq(y 2 +1) = (y 1)Q(y) Ubacivanjem y = 1 dobijamo Q(2) = 1. Primetimo da, ako je Q(a) = 1, onda je aq(a 2 + 1) = (a 1) + 1 pa je i Q(a 2 + 1) = 1. Ovako dobijamo beskonaqan niz (a n ) taqaka u kojima Q uzima vrednost 1, dat sa a 0 = 2 i a n+1 = a 2 n + 1. Zakljuqujemo da je Q 1. Sada lako dolazimo do svih rexenja: to su polinomi oblika T (T ( (T (x)) )), gde je T (x) = x Ako polinom P sa realnim koeficijentima zadovoljava za svako x P (cos x) = P (sin x), dokazati da postoji polinom Q takav da je za svako x, P (x) = Q(x 4 x 2 ). Rexenje. Iz uslova lako sledi da je P ( sin x) = P (sin x), tj. P ( t) = P (t) za beskonaqno mnogo t, pa polinomi P (x) i P ( x) moraju da se poklapaju. Dakle, P (x) = S(x 2 ) za neki polinom S. Sada je S(cos 2 x) = S(sin 2 x) za svako x, tj. S(1 t) = S(t) za beskonaqno mnogo vrednosti t, xto daje S(x) S(1 x). To je ekvivalentno sa R(x 1 2 ) = R( 1 x), tj. R(y) R( y), gde je R polinom takav da je S(x) = R(x 1 2 ). Sada je R(x) = T (x 2 ) za neki polinom T, i najzad P (x) = S(x 2 ) = R(x ) = T (x4 x ) = Q(x 4 x 2 ) za neki polinom Q. 8. Na i sve qetvorke polinoma (P 1, P 2, P 3, P 4 ) takve da, kad god prirodni brojevi x, y, z, t zadovoljavaju xy zt = 1, vaжi P 1 (x)p 2 (y) P 3 (z)p 4 (t) = 1. Rexenje. Oqigledno je da P 1 (x)p 2 (y) = P 2 (x)p 1 (y) za sve prirodne x, y, odakle sledi da P 2 (x)/p 1 (x) ne zavisi od x. Dakle, P 2 = cp 1 za neku konstantu c. Sliqno je P 4 = dp 3 za neku konstantu d. Sada imamo cp 1 (x)p 1 (y) dp 3 (z)p 3 (t) = 1 kad god su x, y, z, t prirodni i xy zt = 1. Takođe vidimo da P 1 (x)p 1 (y) zavisi samo od xy. tj. f(x) = P 1 (x)p 1 (n/x) je isto za sve delioce x broja n. Kako je f racionalna funkcija, a broj delilaca x moжe biti proizvoljno velik, sledi da je f konstantno, tj. polinom po n (u razvoju f se ne pojavljuje x). Lako se proverava da ovo vaжi samo kada je P 1 oblika P 1 (x) = x n za neko n. Sliqno je P 3 (x) = x m za neko m i c(xy) n d(zt) m = 1. Odavde je m = n i c = d = 1, i najzad m = n = 1. Dakle, P 1 (x) = P 2 (x) = P 3 (x) = P 4 (x) = x. 9. Na i sve polinome P (x) sa realnim koeficijentima koji zadovoljavaju jednakost P (a b) + P (b c) + P (c a) = 2P (a + b + c) za sve trojke (a, b, c) realnih brojeva takvih da je ab + bc + ca = 0. (MMO ) Rexenje. Neka je P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n. Za svako x trojka (a, b, c) = (6x, 3x, 2x) zadovoljava uslov ab+bc+ca = 0. Uslov po P nam daje P (3x)+P (5x)+P ( 8x) = 2P (7x) za sve x, odakle upoređivanjem koeficijenata dobijamo K(i) = ( 3 i + 5 i + ( 8) i 2 7 i) = 0 kad god je a i 0. Kako je K(i) negativno za neparno i i pozitivno za i = 0 i i 6, a i = 0 je mogu e samo za i = 2 i i = 4. Prema tome, P (x) = a 2 x 2 + a 4 x 4 za neke realne brojeve a 2, a 4. Lako se proverava da svi ovakvi P (x) zadovoljavaju traжeni uslov. 10. (a) Ako za realan polinom P (x) vaжi P (x) 0 za svako x, dokazati da postoje realni polinomi A(x) i B(x) takvi da je P (x) = A(x) 2 + B(x) 2. (b) Ako za realan polinom P (x) vaжi P (x) 0 za svako x 0, dokazati da postoje realni polinomi A(x) i B(x) takvi da je P (x) = A(x) 2 + xb(x) 2. Rexenje. Polinom P (x) se moжe predstaviti u obliku P (x) = (x a 1 ) α1 (x a k ) αk (x 2 b 1 x + c 1 ) (x 2 b m x + c m ), ( ) pri qemu su a i, b j, c j realni brojevi takvi da su a i razliqiti i polinomi x 2 b i x + c i nemaju realnih nula. Iz uslova P (x) 0 za sve x sledi da su svi α i parni, a iz uslova P (x) 0 za sve x 0 sledi da je ( i) α i parno ili a i < 0. Sada je lako predstaviti svaki 3
4 od qinilaca u ( ) u obliku A 2 + B 2, odnosno A 2 + xb 2, pa je po poznatoj formuli (a 2 + γb 2 )(c 2 + γd 2 ) = (ac + γbd) 2 + γ(ad bc) 2 njihov proizvod P (x) takođe mogu e predstaviti u жeljenom obliku. 11. Ako polinomi P i Q imaju bar po jedan realan koren, i dokazati da je P Q. P (1 + x + Q(x) 2 ) = Q(1 + x + P (x) 2 ), Rexenje. Primetimo da postoji x = a takvo da je P (a) 2 = Q(a) 2. Ovo sledi iz qinjenice da, ako su p i q redom realni korenovi P i Q, onda je P (p) 2 Q(p) 2 0 P (q) 2 Q(q) 2, a P 2 Q 2 je neprekidna funkcija. Sada je P (b) = Q(b) za b = 1 + a + P (a) 2. Ako pretpostavimo da je a najve i realan broj takav da je P (a) = Q(a), odmah dolazimo do kontradikcije. 12. Ako su P i Q moniqni polinomi takvi da je P (P (x)) = Q(Q(x)), dokazati da je P Q. Rexenje. Pretpostavimo da je R = P Q 0 i da je 0 < k n 1 stepen R(x). Tada je P (P (x)) Q(Q(x)) = [Q(P (x)) Q(Q(x))] + R(P (x)). Ako napixemo Q(x) = x n + + a 1 x + a 0, imamo Q(P (x)) Q(Q(x)) = [P (x) n Q(x) n ] + + a 1 [P (x) Q(x)], pri qemu svi sabirci osim prvog imaju stepen najvixe n 2 n, dok je prvi sabirak jednak R(x) (P (x) n 1 + P (x) n 2 Q(x) + + Q(x) n 1) i otuda ima stepen n 2 n + k sa vode im koeficijentom n. Dakle, stepen Q(P (x)) Q(Q(x)) je n 2 n + k. Stepen polinoma R(P (x)) je jednak kn < n 2 n + k, odakle zakljuqujemo da je razlika P (P (x)) Q(Q(x)) stepena n 2 n + k, xto je kontradikcija. Ostaje sluqaj kada je R c konstantno. Tada uslov P (P (x)) = Q(Q(x)) daje Q(Q(x) + c) = Q(Q(x)) c, pa jednakost Q(y +c) = Q(y) c vaжi za beskonaqno mnogo y, odakle je Q(y + c) Q(y) c xto je mogu e samo za c = 0 (dovoljno je uporediti koeficijente). 13. Ako postoje uzajamno prosti polinomi P, Q, R sa kompleksnim koeficijentima takvi da je P a + Q b + R c = 0, gde su a, b, c prirodni brojevi, dokazati da vaжi 1 a + 1 b + 1 c > 1. Rexenje. Prvo dokaжimo slede e pomo no tvrđenje. Lema. Ako su A, B i C uzajamno prosti polinomi sa A + B + C = 0, onda je stepen svakog od polinoma A, B, C manji od broja razliqitih nula polinoma ABC. Dokaz. Neka je A(x) = k (x p i ) ai, B(x) = l m (x q i ) bi, C(x) = (x r i ) ci. Napiximo datu jednakost kao A(x)C(x) 1 + B(x)C(x) 1 = 1 i diferencirajmo je po x. Dobijamo ( k ) ( A(x)C(x) 1 a i m l ) c i = B(x)C(x) 1 b i m c i, x p i x r i x q i x r i iz qega vidimo da se A(x)/B(x) moжe predstaviti kao koliqnik dva polinoma stepena ne ve eg od k+l+m 1. Tvrđenje sledi iz qinjenice da su A i B uzajamno prosti. Primenimo ovo tvrđenje na polinome P a, Q b, R c. Svaki od a deg P, b deg Q, c deg R je manji od deg P +deg Q+deg R, odakle je 1 a > deg P deg P +deg Q+deg R, itd. Sabiranjem dobijamo traжenu nejednakost. Posledica: Velika Fermaova teorema za polinome. 4
5 14. Cilindar je podeljen na mn kvadratnih polja sa m vertikala i n paralela. Dokazati da je mogu e u svako polje dobijene table upisati po jedan realan broj, od kojih bar jedan nije nula, tako da je svaki broj jednak zbiru svih svojih suseda (tj. onih koji s njim dele jednu stranicu), ako i samo ako je za neke cele brojeve k i l cos 2lπ m + cos kπ n + 1 = 1 2. Rexenje. Oznaqimo sa a ij broj u preseku i-te paralele i j-te vertikale. Pridruжimo i-toj paraleli polinom p i (x) = a i1 +a i2 x+ +a im x m 1 i definiximo p 0 (x) = p n+1 (x) = 0. Svojstvo da je svaki broj jednak zbiru svojih suseda moжe se zapisati kao p i (x) = p i 1 (x) + p i+1 (x) + (x m 1 + x)p i (x) po modulu x m 1, tj. p i+1 (x) = (1 x x m 1 )p i (x) p i 1 (x) (mod x m 1). Ovaj niz polinoma je potpuno određen qlanom p 1 (x). Brojeve a ij je mogu e upisati na traжeni naqin ako i samo ako se moжe odabrati p 1 (x) 0 tako da je p n+1 (x) = 0. Ako definixemo niz polinoma r i (x) sa r 0 = 0, r 1 = 1 i r i+1 = (1 x x m 1 )r i r i 1, imamo p n+1 (x) = r n+1 (x)p 1 (x) (mod x m 1). Polinom p 1 0 za koji je p n+1 = 0 postoji ako i samo ako r n+1 (x) i x m 1 nisu uzajamno prosti, tj. ako i samo ako postoji ε takav da je ε m = 1 i r n+1 (ε) = 0. Sada posmatrajmo niz (x i ) određen sa x 0 = 0, x 1 = 1 i x i+1 = (1 ε ε m 1 )x i x i 1. Ako oznaqimo c = 1 ε ε m 1 i ako su u 1, u 2 nule polinoma x 2 cx+1, opxti qlan upravo definisanog rekurentnog niza je x i = ui 1 u i 2 u 1 u 2 ako u 1 u 2 i x i = iu i 1 ako u 1 = u 2. Drugi sluqaj je oqigledno nemogu. U prvom sluqaju (u 1 u 2 ) uslov x n+1 = 0 je ekvivalentan sa u n+1 1 = u n+1 2, tj. sa ω n+1 = 1, gde je u 1 = u 2 ω, xto vaжi ako i samo ako je ( u 2 ) u 2 2ω = 1 i u 2 (1 + ω) = c, dakle (1 + ω) 2 = c 2 ω, tj. 2 + ω + ω = (1 ε ε) 2. Ako je sada ω = cos 2kπ n+1 traжenu. + i sin 2kπ n+1 i ε = cos 2lπ m 2lπ + i sin, gornja jednakost se svodi na 15. Ako je dat prost broj p > 2, na i sve prirodne brojeve n za koje postoje polinomi P i Q sa racionalnim koeficijentima takvi da je P (x) 2 + nq(x) 2 = 1 + x + x x p 1. m c Duxan uki, Beograd 2006 (na osnovu materijala iz 2001/02) 5
POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti
POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSeminar Druxtva matematiqara Srbije, Beograd, Polinomi u nastavi matematike u osnovnoj i sredƭoj xkoli
Seminar Druxtva matematiqara Srbije, Beograd, 12.02.2017. Polinomi u nastavi matematike u osnovnoj i sredƭoj xkoli dr Vladimir Balti, Matematiqka gimnazija, baltic@matf.bg.ac.yu Polinomi su izuzetno bitna
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0
ALGEBRA 1 Grupe Konaqno generisane Abelove grupe Zoran Petrovi 11 i 18 decembar 2012 Podsetimo se diedarske grupe: Njena abelizacija zadata je sa: D n = σ, ρ σ 2 = ε, ρ n = ε, σρ = ρ n 1 σ D Ab n = σ, ρ,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataka
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnolokog razvoja Drutvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Reenja zadataka Prvi razred A kategorija a) Poto je n deljiv sa tri, sledi
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataka
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnolokog razvoja Drutvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Reenja zadataka Prvi razred A kategorija. Od poqetnog broja mogu e je
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραDvostruko prebrojavanje prva-4 verzija:
Dvostruko prebrojavanje prva- verzija: 0 Duxan uki Pod dvostrukim prebrojavanjem podrazumevamo prebrojavanje neke veliqine na dva naqina u cilju dobijanja neke relacije (ili kontradikcije) Evo jednog banalnog
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije. 21. maj Prvi dan
Ministastvo posvete, nauke i tehnoloxkog azvoja Duxtvo matematiqaa Sbije IZBORNO TAKMIQENjE ZA UQEX E NA ME UNARODNOJ MATEMATIQKOJ OLIMPIJADI 1. maj 017. Pvi dan 1. Dat je ABC. Taqka D je sedixte stanice
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότεραElementarna matematika - predavanja -
Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA ALGORITAMA, JEZIKA I AUTOMATA. Zbirka zadataka
Irena Spasi Predrag Janiqi TEORIJA ALGORITAMA, JEZIKA I AUTOMATA Zbirka zadataka MATEMATIQKI FAKULTET Beograd, 2000 Autori: mr Irena Spasi, asistent Ekonomskog fakulteta u Beogradu mr Predrag Janiqi, asistent
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραZANIMLJIVI ZADACI O BROJU 2014 (I)
Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Matematika i informatika () (014), 9-4 ZANIMLJIVI ZADACI O BROJU 014 (I) Dušan J. Simjanović Prirodno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.
Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραREXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
. REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA,.0.009. Prvi razred, A kategorija Kako je A sredite duжi MN, sledi da je XA = XM + XN. Analogno je XB = XR + XS. XP + XQ i XC
Διαβάστε περισσότεραVEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013.
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013. 1. Novqi se baca tri puta. (a) Zapisati skup svih mogu ih ishoda. (b) Oznaqimo sa A k događaj da je u k-tom bacanju palo pismo, k {1, 2, 3}. Koriste
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότερα