Matematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016.
|
|
- Αλκιππη Κουταλιανός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar Na jeziku L = { }, gde je binarni relacijski simbol, posmatrajmo teoriju T koju qine sledee dve aksiome teorije skupova: x y (y x); i xy (x = y z (z x z y)). (Prva aksioma kae da postoji skup bez elemenata, a druga kae da su dva skupa jednaka akko imaju iste elemente.) U prirodnoj dedukciji dokazati da postoji jedinstven skup bez elemenata, tj. dokazati: 2. Odrediti Skolemove forme sledeih formula: T x ( y (y x) z ( y (y z) z = x)). (a) x y p(x, y) x y q(x, y); (b) x y p(x, y) x y q(x, y); (v) x y p(x, y) x y q(x, y). 3. Dati primer konaqne teorije T takve da je fs(t ) = {n n 1}. Rexe e. I primer. Posmatrajmo jezik L = {a, b, E, F, G}, gde su a, b konstantni simboli, E, G binarni relacijski simboli i F ternarni relacijski simbol. Neka je T teorija na jeziku L koja kae: a i b su razliqiti; E je relacija ekvivalencije; a je samo sa sobom u relaciji E; F (u,, ) je bijekcija izmeu b-ove i u-ove klase (u a), gde F (u, x, y) znaqi da bijekcija F (u,, ) slika element b-ove klase x u element u-ove klase y; preciznije: { uxy(f (u, x, y) E(b, x) E(u, y)); { ux(u a E(b, x) 1 yf (u, x, y)); { uy(u a E(u, y) 1 xf (u, x, y)); G(, ) je bijekcija izmeu b-ove klase i skupa svih ne-a-ovih klasa, gde G(x, y) znaqi da element b-ove klase x bira predstavnika y neke druge klase, ali tako da bira samo jednog, da razliqiti elementi b-ove klase biraju predstavnike raliqitih klasa, i predstavnik iz svake klase je izabran; preciznije: { xy(g(x, y) E(b, x) y a); { x 1 x 2 y 1 y 2 (x 1 x 2 G(x 1, y 1 ) G(x 2, y 2 ) E(y 1, y 2 )); { x(e(b, x) 1 yg(x, y)); { y (y a xy(e(y, y) G(x, y))). Ako je M model ove teorije, onda imamo u emu interpretirano a qija klasa ne sadri druge elemente. Ako je n kardinalnost b-ove klase, kako je ona u bijekciji sa svim ne-a-ovim klasama, to su sve ne-a-ove klase n-toqlane. Takoe kako svaki element b-ove klase na razliqite naqine bira predstavnike svih ne-a-ovih klasa, to imamo n ne-a-ovih klasa. Prema tome M ima n klasa sa po n elemenata i jox interpretaciju od a, tj. n elemenata. Sa druge strane, lako je da naemo model za T kardinalnosti n Npr. moemo uzeti na skupu A = {(0, 0)} {(i, j) 1 i, j, n} relacije: a = (0, 0), b = (1, 1); E((i, j), (k, l)) akko i = k; F ((i, j), (k, l), (s, t)) akko k = 1, i = s i l = t; G((i, j), (k, l)) akko i = 1, j = k i l = 1. II primer. Neka je T 0 teorija,,delimiqne aritmetike" na jeziku L 0 = {1, c, <, S, Z, P } koju smo konstruisali na vebama. Neka je L = L 0 {b}, gde je b konstantni simbol i T teorija T 0 proxirena sa S(b, c) i x P (x, x, b). Ako je M model teorije T kardinalnosti N, tada c,,kodira" N, a b koji je egov prethodnik,,kodira" N 1, i po drugoj aksiomi b je kvadrat, tj. N 1 = n 2, pa je kardinalnost N = n Sa druge strane moemo u kanonskom modelu M n 2 +1 sa vebi da interpretiramo b kao n 2, da bismo dobili model teorije T. 1
2 Komentar. Prethodno rexe e ne bi trebalo da je jasno qitaocu. Da bi postalo jasno, nacrtajte sliku. Neka je A = {(m, n) m, n N, m n}, E relacija ekvivalencije na A data sa: (m 1, n 1 ) E (m 2, n 2 ) akko n 1 = n 2, i P n = {(m, n) m N, m n}, za sve n N. Neka su A = (A, E) i B = (A, E, P n ) n N. 4. (a) Odrediti dcl A ( ), dcl A (a) i dcl A (a, b), gde su a, b A proizvo ni. (b) Dokazati da su sve E-klase -definabilne u modelu A. (v) Neka je S = {(0, n) n N}. Da li je skup S definabilan (sa parametrima) u modelu A? Rexe e. Primetimo da su E-klase zapravo skupovi P n, pri qemu je P n jedinstvena klasa sa n + 1 elementom. (b) Formula: x 0... x n 0 i<j n E(x i, x j ) 0 i<j n x i x j 0 i n x = x i y E(x, y) kae da je x u n + 1-toqlanoj klasi, pa ona definixe P n, tj. P n je -definabilna. 0 i n y = x i Opiximo sada kako izgledaju automorfizmi modela A. Svaki automorfizam mora da fiksira skupove P n (jer su -definabilni), prema tome restrikcija f n automorfizma f na skup P n je egova permutacija. Obratno, jasno je da je automorfizam odreen nizom permutacija skupova P n. (a) dcl( ) = {(0, 0)}. Jasno je da nijedan drugi element ne pripada dcl( ) jer je egova klasa bar dvoqlana, pa postoji automorfizam koji taj element,,pomeri". Formula koja definixe P 0 iz dela (b), definixe samo (0, 0), pa (0, 0) dcl( ). dcl(a) zavisi od elementa a. Ako je a = (0, 0), tada je dcl(a) = {(0, 0)}. Ako je a = (0, 1) ili a = (1, 1), tada je dcl(a) = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)} jer moemo formulom da definixemo element koji pripada dvoqlanoj klasi, a razliqit je od a. U ostalim sluqajevima, dcl(a) = {(0, 0), a}. Deta e ostav amo qitaocu. dcl(a, b) zavisi od elemenata a i b. Moemo pretpostaviti da je a b (u suprotnom, problem se svodi na dcl(a)). Dajemo rexe e, a deta e ostav amo qitaocu: P 0 P 1 {a, b} ako a P 1 ili b P 1 ; dcl(a, b) = P 0 P 2 ako a, b P 2 ; P 0 {a, b} inaqe. (v) Pretpostavimo da je S definabilan sa parametrima ā = a 1... a n (formula koja definixe S,,koristi" samo konaqno mnogo parametara). Svi parametri se nalaze u nekih,,prvih" m klasa. Primetimo da imamo automorfizam koji fiksira,,prvih" m klasa taqka-po-taqka, a ostale klase proizvo no permutuje (svaku posebno proizvo no permutuje). Taj automorfizam fiksira sve parametre, ali ne fiksira skup S. Kontradikcija. 5. Dokazati da postoji model teorije Th(A) koji ima beskonaqnu E-klasu. Rexe e. Posmatrajmo jezik L = {E} {c i i N} i L-teoriju: T = Th(A) {c i c j i, j N, i j} {E(c i, c j ) i, j N}. Ako je M = T, tada je redukt modela M na jezik {E} model za Th(A) u kome interpretacije simbola c i pripadaju nekoj beskonaqnoj klasi; dakle postoji beskonaqna klasa. Prema tome ostaje da dokaemo da T ima model. Po teoremi komaktnosti dovo no je da dokaemo da svaka konaqna podteorija od T ima model. Neka je T 0 T konaqna i neka je T 0 = Th(A) T 0 ; dovo no je da dokaemo da T 0 ima model. T 0,,pomi e" samo konaqno mnogo c-ova, npr. n ih. Tada moemo definisati ekspanziju modela A na jezik L tako xto te c-ove interpretiramo kao razliqite elemente n-toqlane klase u A, dok ostale c-ove moemo da interpretiramo proizvo no. Dobijena ekspanzija je model za T 0. 2
3 6. Dokazati da teorija Th(B) ima eliminaciju kvantifikatora. Rexe e. Dokaimo najpre jednu lemu. Lema. Neka je L neki jezik i M model jezika L. Neka je φ(x) formula jezika L takva da φ(m) = n. Neka je I konaqan skup indeksa i φ ((y i ) i I ) formula koja kae:,,meu (y i ) i I ima n razliqitih elemenata skupa φ(m)." Formula φ ((y i ) i I ) se, do na φ(x), moe zapisati bez korixe a kvantifikatora. Preciznije, ako je I < n, tada je φ ((y i ) i I ) =, a ako je I n, tada je: φ ((y i ) i I ) = I 0 I I 0 =n φ(y i ) i I 0 i,j I 0 i j y i y j. Dokaz leme. Treba da dokaemo da data formula zaista opisuje e enu osobinu. Ako je I < n, tada meu izabranim elementima (y i ) i I ne moe biti n razliqitih, jer ih ukupno ima ma e od n. Dakle, zaista e eno svojstvo opisuje formula. Pretpostavimo sada da je I n i pretpostavimo da neka valuacija bira elemente (y i ) i I. Tvrdimo da meu ima ima nekih n razliqitih akko je data formula φ ((y i ) i I ) taqna u toj valuaciji. Ako je φ ((y i ) i I ) taqna, to znaqi da je bar jedan en disjunkt taqan, tj. postoji n-toqlani podskup I 0 I takav da je: φ(y i ) y i y j i I 0 i,j I 0 i j taqna. Tada je jasno da je y i, i I 0, n razliqitih elemenata iz skupa φ(m). Obratno, neka meu (y i ) i I ima n-razliqitih elemenata skupa φ(m). Ako su to y i1,..., y in i ako oznaqimo I 0 = {i 1,..., i n }, tada je I 0 jedan n-toqlani podskup od I qiji je odgovarajui disjunkt u formuli φ ((y i ) i I ) taqan, pa je i cela disjunkcija taqna. Komentar. Formula φ ((y i ) i I ) kae da meu (y i ) i I nema n razliqitih elemenata skupa φ(m), i ona je takoe, do na φ, zapisana bez kvantifikatora. Vratimo se na rexava e zadatka. Poznato nam je da je dovo no da eliminxemo kvantifikator u formuli x φ(x, ȳ), gde je φ(x, ȳ) formula: x y i E(x, y i ) P i (x) i I x = y i Postupak izvodimo u nekoliko koraka. E(x, y i ) i L 1. korak. Ako je I i k I, tada je x φ(x, ȳ) oqigledno ekvivalentna sa beskvantornom formulom φ(y k, ȳ). Dakle, moemo pretpostaviti da je I =, tj. formula φ(x, ȳ) je jednaka: x y i E(x, y i ) P i (x) E(x, y i ) i L 2. korak. Ako je M 2, kako su P -ovi meusobno disjunktni, x φ(x, ȳ) je oqigledno ekvivalentna sa. Dakle, moemo pretpostaviti da je M korak. Ako je M N, ponovo je x φ(x, ȳ) ekvivalentna sa jer se u oj jav a ko unkcija P k (x) P k (x), za neko k. Dakle, moemo pretpostaviti i da je M N =. 4. korak. Posmatrajmo sluqaj K = M =, tj. formula φ(x, ȳ) je oblika: E(x, y i ) x y i i L Tada je x φ(x, ȳ) ekvivalentna sa. Zaista, za proizvo ne ȳ uvek moemo izabrati x koje je razliqito od nekoliko ih, nije u klasi sa nekoliko ih i koje nije u nekoliko zadatih klasa, jer je taj skup konaqan, a model beskonaqan. i M 5. korak. Posmatrajmo sluqaj M = {m}, tj. formula φ(x, ȳ) je: i M 3
4 x y i E(x, y i ) i L Primetimo da je φ(x, ȳ) ekvivalentna sa φ (x, ȳ): x y i E(x, y i ) i L E(x, y i ) P m (x) E(x, y i ) P m (x). Jasno φ(x, ȳ) povlaqi φ (x, ȳ). Ali kako m / N, to P m (x) povlaqi P i(x), pa i φ (x, ȳ) povlaqi φ(x, ȳ). Dakle, dovo no je da eliminixemo kvantifikator u x φ (x, ȳ). Primetimo da e da je φ (x, ȳ) ekvivalentna sa φ (x, ȳ): x y i P m (y i ) P m (x). P m (y i ) i L Zaista, ako je φ (x, ȳ) taqna, tad je P m (B) klasa elementa x, pa kako y i, i K, jesu u relaciji sa x, to oni pripadaju skupu P m (B), a kako y i, i L, nisu u relaciji sa x, to oni ne pripadaju skupu P m (B). Iz istog razloga φ (x, ȳ) povlaqi φ (x, ȳ). Sada smo sveli problem na eliminaciju kvantifikatora u formuli x φ (x, ȳ), gde je φ (x, ȳ) formula: x y i P m (x). Tvrdimo da je x φ (x, ȳ) ekvivalentna sa P m((y i ) ), koja prema gor oj lemi kae da meu (y i ) nema m + 1 razliqitih elemenata skupa P m (B). Zaista, ako je x φ (x, ȳ) taqna, tada je x element skupa P m (B) koji je razliqiti od svih y i, i J. Kako je P m (B) m + 1-toqlan, to meu y i, i J, ne moe biti m + 1 razliqitih elemenata skupa P m (B), jer bi tada neki od ih morao biti jednak sa x. Obratno, ako je P m((y i ) ) taqna, tada meu (y i ) nema m + 1 razliqitih elmenata skupa P m (B), pa kako je on m + 1-toqlan, moemo izabrati x u emu koji je razliqit od svih y i, i J, tj. x φ (x, ȳ) je taqna. Dakle, x φ (x, ȳ) je ekvivalentna sa P m((y i ) ) koja je beskvantorna, i ovaj sluqaj smo zavrxili. 6. korak. Ostao nam je sluqaj K i M =. Ako k K, tada je formula φ(x, ȳ) jednaka: x y i E(x, y k ) E(x, y i ) E(x, y i ) i L i k Zbog qi enice da je E ekvivalencija i da su joj P -ovi klase, lako vidimo da je φ(x, ȳ) ekvivalentna sa formulom φ (x, ȳ): x y i E(x, y k ) E(y k, y i ) E(y k, y i ) P i (y k ), i L i k pa smo sveli problem na eliminaciju kvantifikatora u formuli x φ (x, ȳ), gde je φ (x, ȳ): x y i E(x, y k ). Neka je J = n. Tvrdimo da je x φ (x, ȳ) ekvivalentna sa beskvantornom formulom: n 1 ( P l (y k ) Pl ((y i) ) ) l=0 n 1 l=0 P l (y k ). Pretpostavimo da je x φ (x, ȳ) taqna. Ako y k ne pripada nijednoj klasi P l (B), 0 l < n, tada je posled i disjunkt u datoj formuli taqan. Pretpostavimo da y k pripada P l (B), za neko 0 l < n. Element x tada pripada istoj klasi P l (B), koja ima l + 1 element, i razliqit je od svih y i, i J. Zato meu y i, i J, nema j + 1 razliqitih elemenata skupa P l (B), jer bi u suprotnom x bio jednak nekom od ih. Dakle, disjunkt P l (y k ) P l ((y i) ) je taqan. Pretpostavimo sada da je data beskvantorna formula taqna. Ako je taqan posled i disjunkt, koji kae da y k ne pripada klasama P l (B), 0 l < n, tada y k pripada klasi P t (B), za neko t n, koja ima t+1 n+1 elemenata. Kako y i, i J, ukupno ima J = n, to sigurno u P t (B) moemo izabrati x koje je razliqito od svih ih. Prema tome, x φ (x, ȳ) je taqna. 4
5 Pretpostavimo sada da je taqan disjunkt P l (y k ) P l ((y i) ), za neko 0 l < n. Tada y k pripada skupu P l (B) koji ima l + 1 element, ali takoe meu (y i ) nema l + 1 razliqitih elemenata skupa P l (B). Prema tome, opet moemo izabrati x u P l (B) koji je razliqit od svih y i, i J, tj. opet je formula x φ (x, ȳ) taqna. 5
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραMatematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραUVOD U TEORIJU MODELA
UVOD U TEORIJU MODELA Predrag Tanovi April 5, 2017 1 Strukture prvog reda 2 1.1 Strukture...................................... 2 1.2 Formule, zadovoljivost.............................. 5 1.3 Parametri......................................
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραDejstvo grupe na skup
1 Dejstvo grupe na skup 1.1 Teorijski uvod Definicija Neka je G grupa i S skup. Dejstvo grupe G na skup S je preslikava e : G S S, koje zadovo ava dve aksiome: 1. e x = x, za sve x S, 2. (gh) x = g (h
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Analize za d(x, y) 0 (ako je d(x, y) = 0 onda je x = y pa oqigledno vai nejednakost
1 Zadaci iz Analize Kako vreme prolazi to u i nasumiqno rexavati ove zadatke. Do tada, savetujem da sami uradite xto vixe moete. Sve vas pozdrav a vax asistent Milan Lazarevi. 1. Neka je (X, d) metriqki
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα8 Predikatski račun kao deduktivni sistem
26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka
Διαβάστε περισσότερα1. REALNI BROJEVI OSNOVNI POJMOVI
1. REALNI BROJEVI OSNOVNI POJMOVI 1.1. Pristup. Polazimo od toga da je qitaocu sasvim jasno, xta su to prirodni, celi i racionalni brojevi. Oznake koje emo koristiti su sledee: N {1, 2, 3,... } N 0 N {0}
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότεραBinarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.
Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότερα1 Algebarske operacije i algebraske strukture
1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0
ALGEBRA 1 Grupe Konaqno generisane Abelove grupe Zoran Petrovi 11 i 18 decembar 2012 Podsetimo se diedarske grupe: Njena abelizacija zadata je sa: D n = σ, ρ σ 2 = ε, ρ n = ε, σρ = ρ n 1 σ D Ab n = σ, ρ,
Διαβάστε περισσότεραSintaksa i semantika u logici
Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F
ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date
Διαβάστε περισσότερα1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo
1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Topologije A
Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότερα