Sveučilište u Zagrebu. Građevinski fakultet. Zavod za Geotehniku PODZEMNE GRAĐEVINE. 6. Predavanje. Analitičke metode u podzemnoj gradnji
|
|
|
- Ἀριστόβουλος Δημαράς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sveučilište u Zagebu Gađevinski fakultet Zavod za Geotehniku PODZEMNE GRAĐEVINE 6. Pedavanje Analitičke metode u podzemnoj gadnji
2 GLAVNE METODOLOGIJE PROJEKTIRANJA I MODELIRANJA OPAŽAČKI PRISTUP EMPIRIJSKE METODE ANALITIČKE METODE/MODELI NUMERIČKE METODE/MODELI
3 Analitičke metode koje će se pikazati u ovom pedavanju, a koje su povezane s izvedbom podzemnih gađevina su:. Analitičke metode za odeđivanje sekundanih napezanja u stijenskoj masi. Analitičke metode za odeđivanje inteakcije stijenske mase i podgade
4 ANALITIČKE METODE ZA ODREĐIVANJE SEKUNDARNIH NAPREZANJA U STIJENSKOJ MASI SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
5 Slika 6.. Tok napezanja oko tunelskog otvoa Pi analizi napezanja oko tunelskog otvoa, azmatati će se: ELASTIČNO RJEŠENJE oko kužnog otvoa ELASTO PLASTIČNO RJEŠENJE oko kužnog otvoa
6 Sekundano stanje napezanja - elastično ješenje -
7 Za čitav niz azmatanja pojava oko pofila podzemnih postoija kao osnova mogu poslužiti zatvoena analitička ješenja pema teoiji elastičnosti, iako stijenska masa nema uvijek izazito elastična svojstva. Pod zatvoenim analitičkim ješenjima podazumijevaju se ješenja koja neki model ponašanja opisuju jednostavnim analitičkim jednadžbama za koje postoji jedinstveno ješenje. Veći boj tih analitičkih ješenja petpostavlja elastičan, homogen i izotopan medij, dok ostala ješenja mogu dati ezultate i za elasto-plastičan, elasto-ototopni, lineanoviskoelastični i uslojeni anizotopni mateijal.
8 Kod odeđivanja stanja napezanja i pomaka oko podzemnog otvoa vlo se često pimjenjuje polani koodinatni sustav, koji je osobito povoljan za pomatanje pojava uz kužni otvo oko odeđenog medija, a peko jednostavnog peslikavanja i za eliptični otvo. Koodinatni sustav 0-, kakav je pikazan na donjoj slici, ima koodinate točke definiane s adijus-vektoom i kutem. Za zadatke vezane uz pofile podzemnih postoija zgodnije je ačunati s kutem, koji se uzima pozitivno u smjeu kazaljke na satu. KIRSCHOV MODEL ZA SLJUČAJ DJELOVANJA SAMO VERTIKALNOG NAPREZANJA
9 Definicije osnovnih komponenata tenzoa napezanja: - adijalno nomalno napezanje, tj. nomalno na plohu koja je okomita na adijus - tangencijalno nomalno napezanje, tj. napezanje na plohi koja je paalelna s adijus-vektoom, a vekto napezanja usmjeen je okomito na adijusvekto - posmično napezanje Napezanja u stijeni, zbog pimanih hoizontalnih i vetikalnih napezanja, mogu se dobiti množenjem osnovnih jednadžbi katezijskog koodinatnog sustava maticom tansfomacije: cos sin z y z sin y cos y z sin
10 Uslijed iskopa u stijenskoj masi stanje dolazi do fomianja sekundanog stanja napezanja. Za samo vetikalno napezanje, kako je to pokazano na pethodnoj slici, mogu se pema Kisch-ovu (898.) ješenju naći napezanja: 4 a 4a 3a cos 4 4 a 3a cos 4 4 a 3a sin 4 Pomjena napezanja u odnosu pema pimanim napezanjima u ovim se izazima vlo bzo gubi. Razlika između pimanih i sekundanih napezanja postaje, već na udaljenosti od cca. = 3.5a, manja od 5%, pa se iz toga vidi da otvaanje pofila podzemne postoije ima neposedan utjecaj samo u okolini otvoa
11 Raspodjela adijalnih napezanja 'σ ', koja će na nešto većoj udaljenosti od centa postati, u hoizontalnom pesjeku, jednaka nuli, a u vetikalnom pesjeku pimanom tlaku 'σ '. Slika 6.a. Peaspodjela adijalnih i tangencijalnih napezanja pema Kich-ovom ješenju za slučaj djelovanja samo vetikalnog napezanja
12 Dijagam tangencijalnih napezanja 'σ Θ ' po obodu otvoa, iz čega se vidi da je vlačna zona u kaloti oganičena sednjih 60, dok je ostali dio oboda u stanju povećanih tlačnih napezanja. Slika 6.b. Peaspodjela adijalnih i tangencijalnih napezanja pema Kich-ovom ješenju za slučaj djelovanja samo vetikalnog napezanja
13 Tangencijalna napezanja 'σ Θ ' u hoizontalnom pesjeku dostižu uz ub otvoa najveću koncentaciju i ta su napezanja ti puta veća od osnovnoga pimanog napezanja. Istodobno u vetikalnom pesjeku koz os simetije na gonjem ubu u kaloti postoje vlačna napezanja koja su istog intenziteta, kao i pimano tlačno vetikalno napezanje. Slika 6.c. Peaspodjela adijalnih i tangencijalnih napezanja pema Kich-ovom ješenju za slučaj djelovanja samo vetikalnog napezanja
14 Kischovo ješenje može se supepozicijom pošiiti i na slučaj istovemenog djelovanja vetikalnog i hoizontalnog napezanja. cos a a a cos a a cos a a KIRSCHOV MODEL ZA SLUČAJ DJELOVANJA VERTIKALNOG I HORIZONTALNOG NAPREZANJA
15 Posebno je zanimljivo stanje napezanja u kojem je vetikalno napezanje jednako hoizontalnom napezanju. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Takvo stanje pimanih napezanja se naziva kvazihidostatsko, a ješenje je otacijski simetično, što znači da napezanja ne ovise o oijentaciji adijus - vektoa. a 0 a 0 0 KIRSCHOV MODEL ZA SLUČAJ DJELOVANJA JEDNAKOG VERTIKALNOG I HORIZONTALNOG NAPREZANJA
16 Dijagam adijalne 'σ ' i tangencijalne 'σ Θ ' komponente tenzoa napezanja pikazan je na donjoj slici, iz koje se vidi da je najveće tangencijalno napezanje 'σ Θ ' samo dva puta veće od pimanog napezanja: Slika 6.3. Peaspodjela adijalnih i tangencijalnih napezanja pema Kich-ovom ješenju za σ =σ 3 (jednako vetikalno i hoizontalno napezanje)
17 Sekundano stanje napezanja - elasto - plastično ješenje -
18 Do fomianja plastificiane zone u obliku pstena oko podzemnog otvoa doći će ako napezanja pemaše čvstoću stijenske mase. Pojavu plastifikacije najjednostavnije je pomatati za hidostatsko stanje napezanja (σ =σ 3 =σ 0 ). Oko kužnog otvoa stanje napezanja će biti otaciono-simetično, bez posmičnih napezanja, a adijalna i tangencijalna napezanja su ujedno i glavna napezanja. OSNOVNI MODEL ELASTO - PLASTIČNOG RJEŠENJA
19 gdje su: i adijus otvoa p adijus ganice plastične i elastične zone adijus unuta plastične zone p i podgadni pitisak σ adijalno napezanje σ Θ tangencijalno napezanje σ c kitični unutanji pitisak σ 0 pimano napezanje Ako je p i < σ c u modelu se pomataju dvije zasebne zone:. elastična zona, p. plastična zona, p Ako je p i σ c model se pomata kao elastičan.
20 RJEŠENJE ZA ELASTIČNU ZONU RJEŠENJE ZA PLASTIČNU ZONU PREMA MOHR-COULOMB-u Kitično napezanje: Radijalno napezanje: Tangencijalno napezanje: 0 0 p c 0 0 p c 0 0 K K K c c K K c K p c c K K K c K p c c
21 Radijus ganice plastične i elastične zone: gdje su: p i K pi c c K c K sin sin K SVEUČILIŠTE U ZAGREBU c c K K φ koeficijent ovisan o kutu tenja σ c jednoosna tlačna čvstoća φ kut tenja c kohezija
22 RJEŠENJE ZA PLASTIČNU ZONU PREMA HOEK-BROWN-u Kitično napezanje: Radijalno napezanje: Tangencijalno napezanje: Radijus ganice plastične i elastične zone: gdje su: σ ci jednoosna tlačna čvstoća intaktne stijene m b HB paameta stijenske mase s HB paameta stijenske mase b ci b b ci b ci c m s m s m m ln b p b b ci c b ci m s m s m m s m ci b ci b b ci b b ci c m s m p m s m i p e
23 ANALITIČKE METODE ZA ODREĐIVANJE INTERAKCIJE STIJENSKE MASE I PODGRADE
24 Pojektianje tunela pedstavlja veliki izazov za pojektanta je kive pocjene pi pojektianju podgadnog sustava mogu uzokovati neželjene posljedice, a time i visoke dodatne toškove. Da bi se azumjela poblematika povezana s pojektianjem podgadnog sustava, važno je azumjeti neke osnovne koncepte o tome kako se stijenska masa oko tunelskog otvoa defomia i kako podgadni sustav djeluje u cilju kontolianja defomacija. U cilju sačuvanja čvstoće stijenske mase pilikom izvođenja tunela ili bilo koje duge podzemne gađevine u stijeni, potebno je minimaliziati defomacije stijenske mase pavovemenom ugadnjom podgadnog sustava.
25 Pema osnovnim postavkama NATM-a pimana podgada koja se sastoji od sidaa, mlaznog betona, čeličnih meža i čeličnih lukova teba peuzeti ukupno peaspodijeljeno opteećenje stijenske mase. Potebno je azlikovati dva pojma kada je iječ o djelovanju podgade: A. Ojačanje pimani zadatak je mobiliziati i očuvati čvstoću stijenske mase tako da postane samonosiva B. Stabilizacija pimani zadatak je pidžavanje pojedinih blokova koji su izoliani skupovima diskontinuiteta od ostatka stijenske mase ili zone azahljene stijenske mase Slika 6.4. Ojačanje i stabilizacija pema NATM-u
26 Za vijeme izvedbe tunela, dolazi do defomacija stijenske mase, koje se nazivaju konvegencijom tunela. Mjeenjem konvegencije tunela tijekom i nakon izvedbe moguće je odediti kivulju konvegencije tunela. Konvegencija tunela se odvija bzo kako iskop tunela napeduje, a pibližavanjem avnoteži se bzina konvegencije smanjuje. Kivulja konvegencije, slika 6.5., i kivulja stijenske mase, slika 6.6., su povezane je pedstavljaju azličite manifestacije istog fenomena. Slika 6.5. Kivulja konvegencije Slika 6.6. Kivulja stijenske mase
27 Vijednost adijalnih pomaka stijenske mase nakon iskopa, ali pije podgađivanja se može vidjeti na slici 6.7. (a) (b) Slika 6.7. Vektoi adijalnih pomaka pilikom iskopa tunela (a), vijednosti adijalnih pomaka (b)
28 Nakon iskopa slijedi ugadnja podgade. Jednom kad je podgada ugađena i u potpunosti u kontaktu sa stijenskom masom, ona se počinje defomiati elastično. Najveći elastični pomak podgadnog sustava se označava s usm, dok psm označava čvstoću podgadnog sustava. Ravnoteža se postiže kad kivulja podgade pesiječe kivulju stijenske mase. KRIVULJA STIJENSKE MASE KRIVULJA PODGRADE Slika 6.8. Kaakteistična kivulja stijenske mase i podgade s označenom vijednosti avnotežne točke
29 Stoga, kaakteistična kivulja stijenske mase i podgade pedstavlja odnos između podgadnog pitiska (pi) potebnog da se uspostavi avnoteža na ubu podzemnog otvoa pi danom adijalnom pomaku uba otvoa, a pema tom adijalnom pomaku (ui). REAKCIJA PODGRADE (pi) Nosivost podgade Tlak poteban da oganiči defomaciju pi=po po po u pi po po pi napezanje kojim podgada djeluje na stijensku masu (napezanje koje podgada peuzima na sebe) p0 piodno napezanje u stijenskoj masi na mjestu podzemnog otvoa pije iskopa pomak (u)
30 Petpostavke koje se uvažavaju pilikom analize kivulje stijenske mase i podgade: ) Analizia se kužni otvo polumjea (a). ) Piodno stanje napezanja oko otvoa je hidostatsko (p0hoizontalno = p0vetikalno). 3) Stijenska masa u zoni iskopa je homogena i izotopna. U nepoemećenom stanju se ponaša idealno elastično, te su joj svojstva opisana modulom elastičnosti E i Poisson-ovim koeficijentom. Nakon pekoačenja čvstoće stijenska masa se ponaša idealno plastično. 4) Podgadni pitisak pi je jednolik po cijelom unutašnjem ubu otvoa.
31 U sljedećem pimjeu će se pikazati fomianje kivulje stijenske mase i podgade po kaakteističnim fazama. Tunel se izvodi konvencionalnim metodama, te se nakon svakog ciklusa bušenja i minianja ugađuju čelični lukovi. FAZA U ovoj fazi se izvođenjem još uvijek nije došlo do pesjeka X-X, te je unutanji pitisak po obodu budućeg otvoa jednak napezanjima u stijenskoj masi po=pi.
32 FAZA Napedovanjem iskopa se čelo tunela nalazi iza pesjeka X-X i pitisak stijenske mase unuta tunela ne postoji. S obziom na vemenski odmak između tenutka iskopa i tenutka ugadnje podgade, došlo je do azvijanja dijela defomacija, odnosno do konvegencije tunela.
33 Sada se mogu fomiati dvije kivulje stijenske mase koje pedstavljaju omje adijalnog pitiska podgade potebnog za oganičavanje pomaka kalote (kivulja ) i pomaka zida tunela (kivulja ) na odeđenu vijednost. Dakle, pilikom iskopa tunela i uklanjanjem unutašnjeg pitiska, kalota tunela će imati pomak duž linije AB, a zid tunela duž linije AC. Defomacija kalote slijedi dugačiju kivulju adi dodatnog opteećenja od sila gavitacije koje djeluju na azahljenu stijenu u kaloti.
34 FAZA 3 U ovoj fazi se čelični lukovi ugađuju kao podgadna mjea. U tenutku ugadnje, čelični lukovi ne nose opteećenje, ali od tenutka ugadnje, svaka daljnja defomacija kalote ili zidova tunela će ezultiati s opteećivanjem čeličnih lukova.
35 FAZA 4 Daljnjim iskopom se čelo tunela nalazi na.5 pomjea iza pesjeka X-X, te dolazi do azvijanja daljnjih defomacija. Na dijagamu je pikazan slučaj daljnjeg azvoja defomacija u slučaju da nisu ugađeni čelični lukovi. Radijalni pomak za zid bi došao u avnotežu u točki G, međutim adijalni pomak kalote bi astao sve dok ne bi došlo do kolapsa, odnosno uušavanja.
36 Međutim, čelični su lukovi ugađeni te će daljnja konvegencija tunela opteećivati lukove. Plava linija označava tzv. kivulju eakcije podgade, dok ostale dvije kivulje se nazivaju kivuljama ponašanja (odgovoa) stijenske mase. Ravnoteža između stijene i čeličnih lukova se postiže u točki u kojoj se kivulje sijeku. Važno je istaknuti činjenicu da se većina peaspodjeljenog napezanja zbog iskopa penosi stijenskom masom a ne čeličnim lukovima.
37 Kivulja tunelske podgade koisti se za analizu podgade potebne za stabilizaciju podzemnog otvoa, tj. da bi smo znali odediti pavo vijeme ugadnje i doziati stijenski pitisak. Učinkovitost podgade odeđena je: )Početkom postavljanja podgade )Kutošću sustava podgade 3) Nosivošću sustava podgade
38 Slika 6.9.Ovisnost početka postavljanja podgade o kvaliteti stijenske mase
39 Kod analize međudjelovanja stijenske mase i podgade, potebno je iješiti dva važna pitanja; pitanje odeđivanja početnog pomaka pi kojem se postavlja podgada (u0), te pomaka pi kojem se postiže avnoteža u tom međudjelovanju. Početni pomak stijenske mase pi kojem se podgada počinje postavljati ovisi o:. udaljenosti od čela iskopa na kojoj se podgada počinje postavljati,. vemenu koje je poteklo od tenutka iskopa do početka postavljanja podgade, 3. vemenu potebnom da se postigne čvstoća postavljene podgade. Kod odabia dopuštenih pomaka pi kojem se podzemni otvo stabilizia uobičajeno se pihvatljivom smata veličina kod koje neće doći do većih lomova u podgadi, a to se vijednosti od oko 0.5% do.0% pomjea podzemnog otvoa.
40 Efekt iskopa (pomaci, fomianje sekundanog stanja napezanja) i odabana stabilizacijska stategija ne bi tebali slijepo pokušati očuvati početno stanje. Kako se pomaci azvijaju, tako je inženjeska pocjena odediti hoće li se pomacima dopustiti da se u potpunosti azviju ili će ih se kontoliati naknadno. Odabi napezanja pi kojem će se postići avnoteža, odnosno stabiliziati podzemni otvo, ovisi o inženjeskoj posudbi! Glavni je moto NATM-a: Not too stiff, No too flexible Not too ealy, No too late. ( Ne pekuto, niti pefleksibilno, ne peano, niti pekasno. )
41 Slika 6.0. Različite kivulje podgade u ovisnosti o vemenu ugadnje i kutosti
42 PRIKAZ TRI PODGRADE RAZLIČITE DEFORMABLNOSTI: Kivulja kute podgade siječe kivulju stijenske mase peano i mobiliziani pitisak je visok Kivulja popustljive podgade siječe kivulju stijenske mase kada je već dosegnuta všna čvstoća podgade Slika 6.. Različite kivulje podgade u ovisnosti o čvstoći i kutosti (vijeme ugadnje uvijek isto) Kivulja mekane podgade ne siječe kivulju stijenske mase ili je siječe pekasno pa su ostvaeni pomaci peveliki
43 ANALITIČKI IZRAZI ZA LINEARNO ELASTIČNO PONAŠANJE ST.MASE I PODGRADE Uz petpostavku lineano elastičnog ponašanja stijenske mase, adijalni pomak uba otvoa odeđen je izazom: u i a( ) ( p E 0 i Uz petpostavku lineano elastičnog ponašanja podgade, osnovni oblik kaakteistične kivulje podgade može se opisati izazom: gdje su: u i u io pi a K ; p i p pmax ) p max u io - nosivost podgadnog sustava K kutost podgadnog sustava - početni pomak uba otvoa do tenutka postavljanja podgade
44 Za podgadu od mlaznog betona: gdje su: t debljina podgade od mlaznog betona a polumje iskopa tunela - jednoosna tlačna čvstoća mlaznog betona ) ( ) ( ) ( ) ( t a a t a a E K max ) ( a t a p
Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
σ (otvorena cijev). (34)
DBLOSTJN POSUD CIJVI - UNUTARNJI ILI VANJSKI TLAK 8 "Dobo je htjeti, ali teba i znati." Z. VNUČC, 9. NAPRZANJA I POMACI DBLOSTJN POSUD ILI CIJVI NASTAVAK. Debelostjena osa oteećena ntanjim tlaom Debelostjena
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
VEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku.
VEKTOR OENT SILE Z TČKU Vekto momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za poizvoljno izabanu tačku pedstavlja meu obtnog dejstva sile u odnosu na tu poizvoljno izabanu tačku. Ovde je tačka momentna
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.
RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,
ILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Elektrostatika. Električni potencijal Električni napon. Osnove elektrotehnike I: Elektrostatika
TEHNIČKI FKULTET SVEUČILI ILIŠT U RIJECI Zavod za elektoenegetiku Studij: Peddiplomski stučni studij elektotehnike Kolegij: Osnove elektotehnike I Pedavač: v. ped. m.sc. anka Dobaš Elektostatika Elektični
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
p d R r E 1, ν 1 Slika 15. Stezni spoj glavčina-osovina (vratilo); puna osovina (slika a), šuplja osovina (slika b)
BLOSTJN POSU JV - STZN SPOJ STZN SPOJ zazi za naezanja i omake ko sastavljenih cijevi mogu se abiti ko oačuna steznog soja gje elementi soja mogu biti o istog ili o azličitih mateijala.. SPOJ OSOVN GLAVČN
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
dr. sc. Tomislav Hrestak, dipl. ing. rud. VIADUKT d.d. Zagreb
2D I 3D MODELIRANJE METODOM KONAČNIH ELEMENATA NA PRIMJERIMA NEDAVNO IZVEDENIH TUNELA U HRVATSKOJ dr. sc. Tomislav Hrestak, dipl. ing. rud. VIADUKT d.d. Zagreb 1 Sadržaj 1. Uvod 2. Analitička rješenja
ELEKTROMAGNETSKE POJAVE
ELEKTROMAGETSKE POJAVE ELEKTROMAGETSKA IDUKCIJA IDUKCIJA SJEČEJEM MAGETSKIH SILICA Pojava da se u vodiču pobuđuje ii inducia eektomotona sia ako ga siječemo magnetskim sinicama, zove se eektomagnetska
Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
SLOŽENO KRETANJE TAČKE
SLOŽENO KRETANJE TAČKE DEFINISANJE SLOŽENOG KRETANJA TAČKE BRZINA TAČKE PRI SLOŽENOM KRETANJU a) Relativna bzina b) Penosna bzina c) Apsolutna bzina d) Odeđivanje zavisnosti apsolutne od elativne i penosne
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak: