R A D N I M A T E R I J A L I

Transcript

1 Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7.

2 IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE FUNKCIJE NEKI POJMOVI VEZANI UZ FUNKCIJE INVERZNA FUNKCIJA 4.6. KOMPOZICIJA FUNKCIJA 4.7. ELEMENTARNE FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST NEPREKIDNOST 46

3 4.. POTREBNO PREDZNANJE - Svojstv skup relnih brojev - Koordintni sustv u rvnini - Sustvi jedndži - Nejedndžbe 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE Uočvnje međuzvisnosti dviju veličin veom je znčjno u svim područjim. Deinicij Nek su A i B dv neprzn skup. Postupk ( prvilo, zkon) koje svkom elementu iz skup A pridružuje točno jedn element iz skup B nzivmo unkcijom s skup A u skup B. Sdržj prethodne deinicije simbolički oznčvmo s : A B. Skup A zove se područje deinicije unkcije ili domen, oznk D( ) ili D. Skup svih B zove se područje vrijednosti ili kodomen, oznk K( ) ili K. Pri tome je nezvisn vrijbl (rgument), zvisn vrijbl. Istknimo d deinicij unkcije uključuje tri objekt: () područje deinicije D, () područje vrijednosti K i () postupk prem kojem se svkom elementu D pridružen jedinstveni element ( ). K Ako je područje deinicije unkcije podskup skup relnih brojev R i ko vrijednosti unkcije pripdju skupu R, ond kžemo d je unkcij reln unkcij relne vrijble. U okviru ovog dijel kolegij bvit ćemo se relnim unkcijm jedne relne vrijble, dkle unkcijm koje brojevim pridružuje brojeve. Skup unkcijskih vrijednosti R { ( ) : } D Funkcije i su jednke ko je :. D ( ) D( ). K ( ) K( ). ) ( ) z svko D ) D( ). ( ( Zdvnje relnih unkcij jedne vrijble Anlitički nčin zdvnj unkcije Često se unkcijom nziv ormul, tj. izrz koji sdrži rgument i ukzuje n opercije koje treb izvšiti d bi se zdni nšo njemu pridruženi ().

4 , Zbog čeg se tkve ormule nzivju unkcijm i nije li to u suprotnosti s zdnom deinicijom (budući d tu nisu zdni ni područje deinicije, ni područje vrijednosti)? Vezu s deinicijom unkcije dje sljedeći dogovor. Ako je reln unkcij zdn ormulom, podrzumijev se d je:. područje vrijednosti skup relnih brojev R i. područje deinicije (domen) D onj mksimlni poskup skup R z koji nlitički izrz (ormul) im smisl. Drugim rječim, možemo reći d je domen relne unkcije skup svih relnih brojev z koje je i () reln broj. Tkvo područje deinicije zovemo prirodno područje deinicije. Ako ne kžemo drugčije, podrzumijevt ćemo d se z rzmtrnu unkciju koristimo prirodnim područjem deinicije. Nekd se unkcij zdje s nekoliko rzličitih ormul koje se primjenjuju u rzličitim dijelovim područj deinicije. ( ) 4 z z z [,] (,4] ( 4,6] Ako je unkcij zdn pomoću jedne ili više ormul kžemo d je zdn nlitički. Rčunnje vrijednosti unkcije zdne nlitički (ormulom) ( ) ( ) ( ) 6 (.4).4. Gr relne unkcije relne vrijble : X R je skup točk rvnine : G {(, ) : ( ) X }, Krivulj predstvlj gr unkcije ko proizvoljn prvc, prleln s -osi siječe krivulju njviše u jednoj točki. Jednke unkcije imju jednke grove. 4

5 gr unkcije nije gr unkcije gr unkcije Tbelrno zdvnje unkcij Tbelrno unkciju zdjemo tko d z sve promtrne vrijednosti nezvisne vrijble zdjemo pripdnu vrijednost zvisne vrijble i to u obliku tblice. U prksi su vrijednosti zvisne vrijble uglvnom dobivene ko rezultt nekog mjerenj i mogu se izmjeriti smo u nekim točkm. Područje deinicije, područje vrijednosti ko i vrijednosti unkcije zdne tbelom «očitvmo» iz tblice. Dni u svibnju 4. Tempertur u sti Svkom dnu pridružen je smo jedn vrijednost temperture. D R { 7,8,9,,,,,4 } { 9,,,,4,5 } T tempertur (dtum) Vrijednost unkcije zdne tbelrno očitvmo direktno iz tblice.. Kolik je tempertur 8.5 u sti? T ( 8). Kojeg je dn bil njviš tempertur? Iz tblice vidimo d je njveć vrijednost temperture 5 i d je to bilo

6 Gr unkcije zdne tbelrno. tempertur dtum Pogledjte sliku i objsnite zšto to nije gr unkcije Z. 5 immo dvije rzličite vrijednosti. 5 i. 6

7 4.. INTERPOLACIJA Z rgumente koji nisu zdni u tblici vrijednost unkcije određuje se interpolcijom ili ekstrpolcijom. Njjednostvnij je linern interpolcij koj se sstoji u sljedećem: Nek su ib dvije susjedne vrijednosti vrijble te () i (b) njihove pripdne unkcijske vrijednosti zdne u tblicm. Kroz točke A (, ( ) ) i B ( b, ( b) ) kojim prolzi gr unkcije povučemo prvc ( b) ( ) p ( ) b ( ) ( ) Z svki (, b) umjesto () uzme se vrijednost p (). Time smo vrijednost () proksimirli s p() i pišemo ( ) p( ). Zmjen vrijednosti () s p() zove se interpolcij. Ako je vn intervl (, b) zmjen vrijednosti () s p() zove se ekstrpolcij. Npomen: kod ekstrpolcije mormo biti oprezni, jer je primjen utoliko nesigurnij što je točk dlje od rubov intervl. A(, ()) (, ()) B(b, (b)) (, p()) p b Grički nčin zdvnj unkcije Pri gričkom zdvnju unkcije zdn je smo njen gr. Vrijednosti unkcije z zdni rgument neposredno se očitv iz tog gr. U mnogim situcijm grove crtju utomtski prti (osciloskop) Osob se vozi u utomobilu od ured do kuće 6 minut. N slici je zdn brzin v (km/ min) u ovisnosti o vremenu t (min). v - brzin t - vrijeme 7

8 . Odredite brzinu utomobil u trenutku t. S slike očitvmo v ( ) 4.. U kojem je trenutku utomobil postigo njveću brzinu? Njveć brzin postignut je z t 5 i iznosi v 7. U kojem je vremenskom intervlu utomobil stjo? ( t) t 5,7 v z [ ] 4. U kojim se vremenskim interv utomobil kreto konstntnom brzinom? v ( t) 4 z t [,4] ; v ( t) z t [ 5,7] ; ( t) 6 t 8, v z [ ] 8

9 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE FUNKCIJE I NJIHOVI GRAFOVI Od unkcij koje su zdne nlitički posebnu ulogu imju tzv. osnovne elementrne unkcije. Z sd ćemo nvesti neke od njih, odrediti njihovo područje deinicije i skicirti njihove grove. Npomen : Grove možemo skicirti tko d izrčunmo unkcijske vrijednosti u određenom broju točk i tko dobijemo točke gr (, ( ) ). Konstnt je unkcij zdn ormulom ( ) R. Tu unkciju krkterizir činjenic d se svki D preslikv u jedn jedini element R( ). Gr konstntne unkcije je prvc prleln s osi pscis, koji siječe os ordint u točki (, ). ( ) (-, ) (, ) (, ) (, ) - ( ) - (, -) (, -) (, -) - Potencij Funkciju zdnu ormulom smo slučj kd je r Q. r ( ) R r nzivmo potencijom. Promtrt ćemo U zvisnosti od eksponent r mijenj se i područje deinicije. Pogledjmo neke slučjeve.. r N r r prn broj neprn broj k ( ), N ( ) k, N k R D, (R) [, ) k D R, ( R) R 9

10 Skicirjte gr unkcije ( ) i ( ) ( ) (-, 4) (-, ) (, ) (, 4) (, ) - - (, ) ( ) (, 8) (, ) - (, ) (-,-8). r n, n N R n n ( ) D \{ }

11 ( ) 4 (, 4) (, ) - - (, ) (, ) 4. m r m, n N n ( ) m n n m mogu nstupiti rzni slučjevi ovisno o tome kkvi su brojevi m i n ( ) D [, ) (4, ) (, ) 4 (, ) 4. m r m, n N n ( ) m n m n n m ( ) (, ) 4 (, ) (, ) (4, ) 4 D (, )

12 Eksponencijln unkcij Eksponencijln unkcij deinir se ormulom ( ) z > i D R ( R) R Specijlno ( ) e. 7 e... Npomen: Z rcionlne eksponente vrijednost te unkcije deinir se nlogno ko z potencije koristeći korijene, z ircionlne ćemo vidjeti ksnije (kd upoznmo pojm grnične vrijednosti niz brojev). ( ) ( ) > < () > () ( ) < < - - Trigonometrijske unkcije U rvnini je dn Krtezijev prvokutni koordintni sustv i kružnic jediničnog rdijus s središtem u ishodištu. U točki A(, ) postvimo brojevni prvc prlelno s -osi u točki A. π T(cos,sin) B(-, ) - sin cos A(, ) - «Nmtnjem» prvc n kružnicu i to dijel s pozitivnim brojevim suprotno, dijel s negtivnim brojevim u smjeru gibnj kzljke n stu, pridružimo svkom relnom broju jednu točku T n kružnici. N primjer broju pridružen je točk A (, ), broju π pridružen je točk B (, ).Tkvu kružnicu nzivmo brojevnom ili trigonometrijskom kružnicom.

13 Dkle, relnom broju pridružili smo točku T n kružnici. Ordintu točket oznčimo s sin, pscisu s cos. N tj nčin svkom relnom broju pridružili smo reln broj sin i tko deinirli unkciju sinus uz oznku sin : R R. Z unkciju sinus vrijedi: ( ) sin D R R [, ] sin( kπ) sin z svki R i svki k Z. (, sin) sin -π -π -π - π π π π Funkcij kosinus uz oznku cos : R R svkom relnom broju pridružuje pscisu pripdne mu točke T n trigonometrijskoj kružnici. Z unkciju kosinus vrijedi: ( ) cos D R R [,] cos( kπ) cos z svki R i svki k Z. -π - π -π π π π π - cos Dlje se deinirju unkcije: sin tg cos ( čitj tnges od ) cos ctg sin ( čitj kotnges ) Funkcije sin, cos, tg i ctg zovu se trigonometrijske unkcije.

14 ( ) tg sin cos D π R \ (k ) : k Z R R tg - π -π π π cos ( ) ctg sin R \ kπ : k Z D R R { } - π -π π π ctg 4

15 4.4. NEKI POJMOVI VEZANI UZ FUNKCIJE Nul-točk unkcije : X R je vrijednost nezvisne vrijble D z koju je ( ). Funkcij zdn tbelrno. ( ) ) ) (. ) (. k n n. ) ) k ( k n ( n Pregledmo tbelu i uočimo z koju je vrijednost nezvisne vrijble vrijednost unkcije jednk. n ( n Vidimo: (.8). ( 4.). Ov unkcij im dvije nul-točke. 8 i 4.. Funkcij zdn grom (, ) (, ) (, ) (, ) im jednu nul -točku nem nul -točk im nul -točke Nul točk unkcije je pscis točke u kojoj gr Γ unkcije sijeće -os. Ako je unkcij zdn grom, ili ko immo gr unkcije zdne ormulom možemo jednostvno odrediti je li t unkcij im nul-točke. Pogledmo je li postoje točke u kojim gr unkcije sijeće - os. Ako tkve točke postoje, njihove pscise su nul-točke zdne unkcije. Funkcij zdn nlitički Problem određivnj nul-točk unkcije svodi se n problem rješvnj jedndžbe ( ). 5

16 Odredite nul-točke unkcij:. ( ) 5 5 unkcij im jednu nul-točku 5. ( ) unkcij im dvije nul-točke. ( ) z svki, ± R unkcij nem nul-točk 4. ( ) sin sin ± kπ k,,... unkcij im beskončno mnogo nul-točk Loklni ekstrem Funkcij im loklni minimum (loklni mksimum) u točki tko d vrijedi ( ) ( ) < ( ( ) ( ) ) > z svki iz te okoline. D ko postoji okolin točke Zjedničkim imenom loklni mksimum i loklni minimum zovu se loklni ekstremi. (, M) (, m) (, M) (, m) šiljk (, m) (, m) lom 6

17 Omeđen (ogrničen, ogrđen) unkcij Funkcij je omeđen odozdo ko postoji broj m R tko d je m (), z svki D. Gr unkcije se nlzi «iznd» prvc m. Funkcij je omeđen odozgo ko postoji broj M R tko d je ( ) M, z svki D. Gr unkcije se nlzi «ispod» prvc M. Funkcij je omeđen ko je omeđen odozdo i odozgo. Gr omeđene unkcije nlzi se između prvc m i M. M M m m omeđen odozdo omeđen odozgo omeđen Prn unkcij Funkcij je prn ko vrijedi ( ) ( ) z svki D. Kod prne unkcije područje deinicije mor biti simetrično s obzirom n ishodište. Gr prne unkcije simetričn je sobzirom n os ordint ( -os) Pokžite d je ( ) ( ) ( ) ( ) prn unkcij. - - Vrijedi ( ) ( ), p je unkcij ( ) prn. 7

18 Neprn unkcij Funkcij je neprn ko vrijedi ( ) ( ) z svki D. Kod neprne unkcije područje deinicije mor biti simetrično s obzirom n ishodište. Gr neprne unkcije centrlno je simetričn je s obzirom n ishodište koordintnog sustv. Pokžite d je ( ) ( ) ( ) neprn unkcij. (,) - ( ) ( ), p je unkcij ( ) neprn. Monotone unkcije Funkcij : X R je strogo rstuć (rstuć) n intervlu I, I D, ko z svki pr, I z koje je < vrijedi: ( ) ( ) <, ( ) ( )). ( ( ) < ( ) ( ) < ( ) strogo rstuć rstu ć Funkcij : X R je strogo pdjuć ( pdjuć) n intervlu I, I D, ko z svki pr, I z koje je < vrijedi: ( ) ( ) >, ( ) ( )). ( ( ) > ( ) Strogo monotone (monotone) unkcije su strogo rstuće (rstuće) ili strogo pdjuće (pdjuće) unkcije. 8

19 Funkcij je po dijelovim monoton ko se područje deinicije D unkcije može rstviti n končno mnogo podintervl tkvih d je n svkom od njih unkcij monoton. N slici je dn gr unkcije Γ. Odredite intervle monotonosti. b c (, ) unkcij je strogo rstuć (, b) unkcij je strogo pdjuć ( b, c) unkcij je strogo rstuć ( c, ) unkcij je strogo pdjuć Periodičn unkcij Funkcij je periodičn, ko postoji reln broj T, tko d z svki D vrijedi:. D T D i T D. ( T ) ( ) Njmnji pozitivn broj T s nvedenim svojstvim zove se osnovni period ili period unkcije. T () () - - Rčunske opercije među unkcijm Nek su dne unkcije X u R. : X R i g : X R i nek je r R. Td se deinirju nove unkcije iz Sum unkcij i g, g, deinir se ormulom ( g)( ) ( ) g( ). Rzlik unkcij i g, g, deinir se ormulm ( g)( ) ( ) g( ) Produkt unkcij i g, g, deinir se ormulom ( g)( ) ( ) g( ). 9

20 Kvocijent unkcij i g, (ko je g( ) z svki X g ), deinir se ormulom g ( ) ( ) g( ) Produkt r R i, r, deinir se ormulom ( r )( ) r ( ). Z unkcije ( g )() ( g )() g () ( ) 5 i g ( ) izvršite nznčene rčunske opercije ( ) g( ) 5 ( ) g( ) 5 5 ( ) 5 g( ) Npomen: Ako unkcije i g imju rzličit područj deinicije prethodno deinirne unkcije imju smisl smo z zjedničke elemente njihov područj deinicije. Tko je D D D g g Z unkcije ( ), D R i g ( ), D (, ) odredite područje deinicije unkcije g h ( ) ( ) g( ) h ( ) ( ) g( ) Dh D Dg R (, ) (, )

21 4.5. INVERZNA FUNKCIJA Zdn je unkcij : X Y, td z svki element R Y postoji br jedn element D tkv d je ( ). Nek je unkcij tkv d z svki R postoji smo jedn X tkv d je (). To nm omogućv d deinirmo novu unkciju koj elementim iz R pridružuje elemente iz X. : X Y ( ) : R X ( ) Ovko deinirn unkcij zove se inverzn unkcij polzne unkcije. () - Teorem Strogo monoton unkcij im inverznu unkciju. Gr unkcije i gr njoj inverzne unkcije osno su simetrični s obzirom n prvc. -

22 4.6. KOMPOZICIJA FUNKCIJA Nek su zdne dvije unkcije elementu X se g o. pridružuje element [ ] Z : X Y i g : Y Z ( vrijedi Y Y ). Funkcij koj svkom g ( ) zove se kompozicij unkcij i g I oznčv R R R g z g() g () () X Y Z Iz prethodnog ko i iz deinicije inverzne unkcije slijedi d je: ( ( ) ) ( ( ) ) z R. z svki X i Logritmske unkcije Eksponencijln unkcij je zdn ormulom, > i, D R i smo d je strogo monoton. Prem tome postoji njen inverzn unkcij logritmsk unkcij bze i oznčv se ormulom log. : R R R i vidjeli R koj se zove log > Budući je log inverzn unkcij eksponencijlne unkcije bze vrijedi : log z svki R log z svki R Z logritmsku unkciju vrijede sljedeće ormule z, R i r R. log log log r log r log log log log Z > logritmsk unkcij log je strogo rstuć, z < < strogo pdjuć unkcij.

23 Ko posebn slučj promtrju se dvije logritmske unkcije:. Logritmsk unkcij koj odgovr bzi. Oznčvmo je ormulom log. U tom slučju immo dekdske (Briggsove) logritme.. Logritmsk unkcij koj odgovr bzi e Oznčvmo je ormulom ln. Logritmi s bzom e zovu se prirodni logritmi. Ako su zdne dvije logritmske unkcije rzličitih bz log i log b vez između njih zdn je ormulom: log b logb Specijlno z i b e vrijedi ln ln log log log e odnosno log ln ln Arkus unkcije Funkcij sin : R R nem inveznu unkciju, jer nije strogo monoton. Zbog tog se promtr π unkcij Sin sin z, π π π. Immo dkle Sin : R, koj je strogo monoton unkcij p postoji inverzn unkcij π Sin : [, ], π. Z ovkve unkcije upotrebljv se zpis Sin rcsin. Funkcij, pridružuje luk (rc) čiji je sinus jednk. rcsin svkom broju [ ] π rcsin - π

24 Anlogno se deinir unkcij Cos : [, π ] R i Cos : [,] [,π ] Cos rccos.. Ovdje se koristi zpis π rccos π - π π Tg : R,, Tg π rctg,, π rctg : R π rctg π (, π) R Ctg :, Ctg rcctg, rcctg : R (, π ) π π rcctg 4

25 4.7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Polinomi To su unkcije zdne ormulom n n P( ) n n......,,..., n, n relni brojevi koje zovemo koeicijenti polinom. Polinom možemo pisti u skrćenom obliku P( ) n i i Ako je broj n N se zove stupnj polinom. n i Kko je zbrjnje i množenje izvodljivo z dv proizvoljn reln broj, polinom je deinirn z svki reln broj, tj. D P R. Polinom prvog stupnj P( ) ( linern unkcij). Gr linerne unkcije je prvc. Ako se prisjetimo jedndžbe prvc u obliku k l očito d je koeicijent smjer ( ngib prvc), odrezk n -osi. Polinom drugog stupnj P ( ) ( kvdrtn unkcij). Gr polinom drugog stupnj je kvdrtn prbol. Rcionlne unkcije To su unkcije prikzne ormulom ( ) P ( ) Q n m ( ) gdje su P n () i Q m () polinomi stupnj n odnosno m. Dijeljenje s nulom nije moguće, to znči d je rcionln unkcij deinirn z sve relne vrijednosti osim onih z koje je Q m ( ). Rcionln unkcij z koju je n > m zove se neprv, z n m prv rcionln unkcij. Vrijedi tvrdnj: svk se neprv rcionln unkcij može prikzti ko sum polinom i prve rcionlne unkcije. To se postiže dijeljenjem brojnik s nzivnikom. Rstvi n prcijlne rzlomke:.slučj Q ) ( )( )...( )... R n ( m U ovom slučju prvu rcionlnu unkciju rstvljmo u sumu jednostvnih rcionlnih unkcij s konstntnim brojnicim i linernim nzivnicim, tj. n tkozvne prcijlne rzlomke. Pn A A Am... Q m m m 5

26 A, A,... A n su konstntni koeicijenti koje treb odredit. Odvde immo nziv metod neodređenih koeicijent. Množeći gornju jednkost s (), ztim izjednčenjem koeicijent uz potencije Q m istog stupnj vrijble n obje strne dobivene jednkosti dobiv se sustv od n jedndžbi s n nepoznnic A, A,... An. Rješvnjem tog sustv dobijemo vrijednosti koeicijent. Ovko dobiveni sustv jedndžbi uvijek im jednoznčno rješenje.. slučj k Qn ( ) ( ) ( )...( mk ) Pn A A Ak B k Q m. slučj mk ( ) ( ) mk Q n ( ) ( p q) ( )...( m ) P A B n A Am... Q p q m 4. slučj m Qn ( ) ( p q) ( 5 )...( m4 ) P A B n C D A5.... Qm p q p q 5 ( ) m4 A B m4 Hiperbolne unkcije deinirju se pomoću eksponencijlnih unkcij n sljedeći nčin Funkcij sinus hiperbolni deinir se ormulom e e sh (sinus hiperbolni od ) D sh R sh - 6

27 e e ch (kosinus hiperbolni od ) D ch R Ch th sh ch D th R e e e e (tnges hiperbolni od ) - th Funkcij kotngeshiperbolni deinir se ormulom cth ch sh D th R \{ } e e e e (kotnges hiperbolni od ) cth - 7

28 Zšto crtmo gr unkcije?. Sve što ns interesir o nekoj unkciji možemo «očitti» s njenog gr D R [ ) (, ), (,4 ] Možemo dti odgovor n pitnj: - je li unkcij omeđen? - im li nultočk? - z koje D je ( ) odnosno ( ) ( )? ( ) 4,? - je li unkcij prn? - je li unkcij neprn? - je li unkcij periodičn? - je li monoton? - z koje D unkcij rste (strogo rste), odnosno pd (strogo pd) - z koje D je < ( ) <. Iz gr unkcije možemo odrediti intervle (, b) D z koje je ( ), odnosno ( ). T inormcij nm može koristiti pri rješvnju nejedndžbi. Rješvnje nejedndžbi ( ) ( ( ) <, ( ), ( ) > ) () > () > () < b 8

29 Pzi! ( ) z [, b ] ( ) < z (, b) ( ) Rješvnje nejedndžbi g( ) ( ) ( ) ( ) >,, < g( ) g( ) g( ). g ( ). ( ) i g ( ) > ili ( ) i g ( ) < Riješite nejedndžbu > Ncrtmo prvce i. S gr «očitmo» z koje D je > i > ili < i < < i - < > i - > > i - < (, ) (, ) Rješvnje nejedndžbi ( ) g( ) ( ( ) > g( ), ( ) g( ), ( ) < g( ), ) > c () > g() S g() () c g ( ) g( ) z c 9

30 Odrediti približnu vrijednost korijen jedndžbe Korijen jedndžbe ( ) je pscis točke u kojoj gr unkcije siječe -os. Skicirmo gr unkcije () i s slike «očitmo» što mnji intervl u kojem se nlzi sjecište gr s -osi. - - U nvedenom primjeru možemo zključiti d unkcij im dvije nul-točke tj. d jedndžb im dv korijen (ili rješenj), oznčimo ih i. [, ] ili < <, z približnu vrijednost uobičjeno je uzeti. 5. [,] ili < <, z približnu vrijednost uobičjeno je uzeti. 5. Korijen jedndžbe h ( ) ko je Γ h»složen» z ncrtti. h ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) g S (c, (c) g(c) ) c Korijen jedndžbe h ( ) je pscis sjecišt grov unkcij Γ i Γ g. Kko je ( c) g( c) slijedi ( c) g( c) tj. h ( c) ( c) g( c) Riješite jedndžbu ln ln S c ln -

31 Određivnje područj deinicije kompozicije unkcij h ( ) o g( ) ( g ( ) ) h ( ) g( ) D h { D : g( ) } g g() > g b Složene nejedndžbe h ( ) ( h( ), h( ) < h( ) > ) Prikžemo h ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) što smo već pokzli. sin sin sin in < - c sin > π π sin <

32 PROVJERA ZNANJA (osnovni pojmovi unkcije ). Skicirjte gr proizvoljne neprne unkcije.. Im li svk monoton unkcij inverznu unkciju? DA NE. Skicirjte gr unkcij ( ) sin i ( ) cos. 4. Odredite područje deinicije unkcije ( ) rcsin. 5. Skicirjte gr proizvoljne prne unkcije. 6. Ako je ( ) ln, g ( ) h ln td je h o g DA NE 7. Im li unkcij ( ) e inverznu unkciju? DA NE 8. Skicirjte grove unkcij ( ) e i g ( ) i ztim riješite nejedndžbu ( ) > g( ). 9. Je li ( ) e prn unkcij? DA NE. Nul točke unkcije su sve vrijednost D z koje je :. Jesu li unkcije ( ) i g ( ) jednke? DA NE. Npišite rstv n prcijlne rzlomke unkcije ( ) (smo postviti). ( ). Npišite rstv n prcijlne rzlomke unkcije 4. Predstvlj li krivulj n slici gr unkcije? ( ). ( ) DA NE 5. Rcionln unkcij Pn ( ) ( ) je neprv rcionln unkcij kd je: P ( ) m n > m n m n < m 6. Ncrtjte gr proizvoljne periodične unkcije temeljnog period T

33 7. Nvedite osnovnu krkteristiku gr prne unkcije. 8. Npišite rstv n prcijlne rzlomke unkcije ( ) (smo postviti). ( ) ( ) 9. Predstvlj li krivulj n slici gr prne unkcije? DA NE. Rcionln unkcij Pn ( ) ( ) je prv rcionln unkcij kd je: P ( ) m n > m n m n < m. Zdn je unkcij (,] (, ) ( ). Izrčunjte (), (), () i (4). Skicirjte gr unkcije koj nem nul-točk.. Funkcij ( ) tg je omeđen. DA NE 4. Funkcij log 5. ( ) je strogo rstuć unkcij. DA NE 6. Funkcij ( ) ln je inverzn unkcij unkcije: 7.Izrčunjte ( g o )() ko su ( ) i g( ) sin. 8. N slici su zdni grovi unkcij ( ), g( ) i h ( ) ) b) c) - N slici ) je gr unkcije.

34 b) je gr unkcije.. c) je gr unkcije 9. Nvedite koj od trigonometrijskih unkcij im sv ov svojstv: neprekidn, prn, omeđen i periodičn. Skicirjte njen gr.. Skicirjte gr eksponencijlne unkcije ovisno o bzi.. N slici je dn gr unkcije Γ skicirjte gr unkcije..rstvite n prcijlne rzlomke unkciju ( ).. Funkcij ( ) rcsin im nul-točku.. 4. Funkcij 5. Funkcij ( ) e je strogo rstuć. DA NE ( ) je pdjuć unkcij. DA NE 6. Funkcij ( ) ln je omeđen unkcij. DA NE 7. Funkcij () je neprn i vrijedi ( 4) 5, ( 4)? 8. N slici je dn gr unkcije Γ. Odredite područje deinicije i nul-točke unkcije g ( ) ln ( ). 4

35 ODGOVORI (osnovni pojmovi unkcije).. NE sin cos. π -π -π π π π π 4., DA 7. DA e 8. g 9. NE ( ) > g( ) z (, ). ( ) 5

36 . NE. A B C ( ). A B 4. DA 5 kd je n > m ili n m Simetričn je s obzirom n os. 8. A B C 9. NE. n < m. ( ), ( ), ( ) i ( 4) 6.. NE 4. NE e 7. sin 8. ) je gr unkcije ( ), b) je gr unkcije h ( ), c) je gr unkcije g( ) 6

37 9. ( ) cos. ( ) > < < DA 5. NE 6. NE 7. ( 4)

38 RIJEŠENI ZADACI (osnovni pojmovi o unkcijm) - Zdtk: N slici je zdn gr unkcije Γ. Pomoću gr odredite (), (), () ( ) ( ) 4 ( ) - Zdtk: Postotk kupc p (t ) koji koriste internet z kupnju novih utomobil (podci od 997) zdn je sljedećom unkcijom: t 5 p ( t) 5t z z t < t 4 t predstvlj vrijeme u godinm t predstvlj 997. godinu p ( ) 5 tj. 997 godine 5% kupc koristilo je internet z kupnju utomobil. t.5 u prvoj polovini 998 p (.5).5 koristimo prvu ormulu z p (t ) jer je.5 < p ( ) 5 koristimo drugu ormulu z p (t ) p ( ) 5 4 koristimo drugu ormulu z p (t ) jer je 4 p (5) nije deinirno 8

39 - Zdtk: g ( ) 5 g ( ) 5 g ( ) 5 g ( ) 5 ( ) g ( ) 5 ( ) 5 g Zdtk: Funkcijom n (A) je zdn broj litr boje potrebne z bojnje površine od Objsnite izrz:. ( A ). ( A).. ( A ) dje broj litr boje z bojnje ( A ) m površine.. ( A) dje broj litr boje potrebne z bojnje Am površine uvečne z litr. A m. ( ) - Zdtk: Zdne su unkcije ( ) i g ( ). Objsnite zšto je ( ) g( ). D R { }, D g R D Dg ( ) g( ). - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcij: ) ( ) e b) ( ) sh c) ) ( ) e e e ln D R \ ln { } e ( ) b) c) ( ) sh R \ { } e ( ) D D R \ { } 9

40 - Zdtk: Funkcij je zdn s tblicom () Koristeći postupk linerne interpolcije izrčunjte (.6) <.6 <, b () () (.6) (.6) () (.6 ) Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije ( ). Kko je unkcij deinirn z svki R, slijedi d je D R. - Zdtk: Zdne su unkcije g o. ( ) e i ( ) g. Odredite njihove kompozicije o g i o g( ) ( g ( )) ( ) e g o ( ) g( ( )) g( e ) e - Zdtk: Pokžite d je unkcij ( ) sin omeđen. D R i z sve D vrijedi: sin, p je unkcij ( ) sin omeđen. 4

41 - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcij :. ( ) ln,. ( ) ln,. ( ) ln, 4. ( ) ln, 5. ( ) rcsin ( ). ( ) ln ln ln. ( ) ln ln ln e D [ e, ) e [ e, ) D. ( ) ln V > > D (, ) 4. ( ) ln > D (, ) (, ) - 5. ( ) rcsin ( ) 4 i D [, ] [, ] Zdtk: Prikžite volumen V stošc, kojem je površin bze 75 jedinic površine, ko unkciju visine h stošc. V ( površin bze) ( visin ) 75 h V 5h P 75 h 4

42 - Zdtk: Utezi mse m vješju se n oprugu, koj se rsteže. Rezultti su dni u tbeli. ms Rst.opr Rsteznje opruge (mse) Ako stvimo uteg mse m 5. 5 grm procijenite koliko se oprug rstegl. 5.5 [ 5,6 ] (6) (5)..4 (5.5) ( 5) (5) (5.5 5) rvnotežni položj detlj (5.5).7 - Zdtk: Skicirjte grove unkcij: ) b) g ( ), g (, ) D ; c) ( ), (, ) D ; h ( ), h (, ) D. ) b) c) - - 4

43 ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD (unkcije - osnovni pojmovi ). Ispitjte jesu li su unkcije ( ) i g( ) jednke.. ( ) sin, g ( ), o g( )?. ( ) ln, ( )?, ( )?, ( e)? 4. Rstvite n prcijlne rzlomke unkciju ( ) Rstvite n prcijlne rzlomke unkciju ( ). ( ) 6. Zdne su unkcije ( g o ) ( ). ( ) i g ( ). Odredite područje deinicije unkcije e e 7. Rstvite n prcijlne rzlomke (smo postviti). ( ) 8. Z neke vrijednosti nezvisne vrijble D, dne su vrijednosti unkcije () : - - () 4 Koristeći linernu interpolciju izrčunjte približnu vrijednost unkcije z Odredite područje deinicije unkcij: ) ( ) sin, b) ln ( ) ln c) ( ), d) ( ), e) ( ) ln ln ( ) ln,. Odredite područje deinicije i nul-točke unkcije (ko ih im) : ) ( ) ln, b) ( ) ln, c) ( ) e e) ( ) e, ) ( ) e d), ( ), 4

44 . Zdne su unkcije: ( ), g ( ) tg i h( ) cos. Koj je od unkcij: ) prn i omeđen, b) neprn i omeđen?. Rcionlnu unkciju zdtk) ( ) ( 6 ) rstvite n prcijlne rzlomke (dovoljno je postviti. Zdn je unkcij, i 4. ( ) 5 <. Nđite vrijednosti unkcije 44

45 RJEŠENJA (unkcije - osnovni pojmovi). DA. sin. () nije deinirno, ( ), ( e) (, ] (, ) 7. A B C 8. (.5) ) D R \{ } d) [, ), b) D (,) (, ), c) D (,) (, ), D, e) D (, ). ) (, e ] D, e ; b) D R \{ } d) D (,), nem nul-točke; e) R ) R, nul točk je. ) cos D \{ }, b) nijedn, i D \{ } ; c) [, ), nem nul točke; D, ; A. B C D E ( ) (ko netko želi riješiti zdtk do krj) A, B, C, D, E ). ( ) 5, ( ) 5 i ( 4) 5. 45

46 .8. GRANIČNA VRIJEDNOST (LIMES)FUNKCIJE NEPREKIDNOST FUNKCIJE U velikom broju situcij vžno je znti kojom se brzinom nek pojv mijenj u zvisnosti o promjeni veličine o kojoj ovisi. Isto tko, d bi se o nekoj pojvi moglo lkše donositi zključke, poželjno je grički predočiti zvisnost te pojve o nezvisnoj vrijbli (ncrtti gr promtrne unkcije). Ovdje ćemo rzviti mtemtički prt koji će nm u opisnim, li i u mnogim drugim situcijm biti od koristi. Riječ je o dierencijlnom rčunu. D bismo mogli prvilno shvtiti dierencijlni rčun, mormo uvesti pojm grnične vrijednosti (es unkcije). Zdn je unkcij ( ) 5. Rzmotrimo što se dogđ s vrijednostim te unkcije kd se s vrijednostim nezvisne vrijble približvmo broju polzeći od broj () Dkle, kd se približvmo po osi pscis broju s lijeve strne (tj. preko brojev koji su mnji od što pišemo ), ond unkcijske vrijednosti teže prem broju 4 preko brojev koji su mnji od 4. Znči kd td ( 5 ) 4 ili simbolički (5 ) 4 Anlogno vrijedi i ko se približvmo po osi pscis broju s desne strne (to jest preko brojev koji su veći od, što pišemo ), ko što je vidljivo iz slijedeće tblice () Znči kd td ( 5 ) 4 ili simbolički (5 ) 4 Gornje rzmtrnje možd još zornije možemo predočiti sljedećom tblicom ( 5 ) 4 ( 5 ) Prem tome, bez obzir težimo li (približvmo li se) broju s lijev ili s desn po osi pscis, odgovrjuće vrijednosti unkcije teže po osi ordint broju 4. To znči d ukoliko smo n osi pscis dovoljno blizu broju, uočvmo d su vrijednosti unkcije n osi ordint po volji blizu broju 4. To možemo zpisti : kd td ( 5 ) 4 ili simbolički (5 ) 4 U ovom slučju vrijedi : ( ) 4 i (5 ) 4 uočeno svojstvo vrijedi z svku točku područj deinicije.. Odbir točke je bio slučjn, uprvo 46

47 Prikžimo gornj rzmtrnj grički: 5-4 S slike je očito d u točki gr unkcije nem «lom» ni «rupe» i cijeli gr unkcije možemo ncrtti jednim potezom bez podiznj olovke s ppir. Z ovu unkciju z svko R vrijedi: Promotrimo sd unkciju z ( () ( ) ( ) 4 g ( ), D g (,) (, ). Iko unkcij nije deinirn g ) možemo se pitti kko se ponš g() kd je vrlo blizu broju, li nije jednk. Kd teži broju, brojnik 4 teži prem, li i nzivnik tkođer teži. Pitnje je što se dogđ s kvocijentom. Mogli bi konstruirti tblicu vrijednosti unkcije g () z (ko u prethodnom primjeru). Dobili bi. 4 g( ) 4 kd i z i kd Dkle, i 4 4 ( ) ( ) Umjesto tog možemo pojednostvniti unkciju g( ) z 4.Uočimo gr unkcije g ( ) jednk je gru unkcije h ( ) osim što gr unkcije g u točki (,4) im ' rupu'. Pogledjmo sliku. 47

48 4 - - < < g () 4 g () 4 U slučju ovog primjer možemo zključiti : unkcij g( ) nije deinirn u točki i 4 4 vrijedi 4, što znči d unkcij im grničnu vrijednost u točki. Ponovimo cijeli postupk n primjeru unkcije l ( ), D (,) (, ) l Očito je d z unkcij l() poprim sve veće vrijednosti l ( ). Simbolički Anlogno unkcij l() poprim sve veće vrijednosti l ( ). Simbolički Sd možemo uvesti pojm grnične vrijednosti unkcije. 48

49 Grničn vrijednost (es) unkcije kd Nek je unkcij deinirn n intervlu I R, osim možd u točki I. Od interes je ispitti ponšnje unkcije oko te točke (još kžemo u okolini točke ). Deinicij: Kžemo d je broj L R es (grničn vrijednost) unkcije : X R kd teži broju, ko je () po volji blizu broju L čim je dovoljno blizu, li ne jednk, broju. U tom slučju pišemo ( ) L Uočimo: Funkcij ne mor biti deinirn u točki u kojoj tržimo njenu grničnu vrijednost. Dovoljno je d je on deinirn u točkm koje su po volji blizu točki. ( ) (čitmo: es unkcije () s desn u ) je broj L kojem teži () kd teži broju preko vrijednosti većih od. ( ) (čitmo: es unkcije () s lijev u ) je broj L kojem teži () kd teži broju preko vrijednosti mnjih od. L Γ L () L Γ () L - Ako je ( ) ( ) L td postoji es unkcije () u. Vrijedi ( ) L. Γ Γ Γ () D D D 49

50 c c z svki R c c D z svki () c Ako postoji ( ) td je : k ( ) k ( ) Ako postoje ( ) i g( ) td je : Ako postoje ( ) Ako postoje ( ) > ( ( ) ± g( ) ) ( ) ± g( ) ( ( ) g( ) ) ( ) g( ), ( ) i g( ) i g( ) td je : td je: ( ) ( ) g( ) g( ) g ( ) g ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] Gore nveden svojstv vrijede i z es s lijev i es s desn unkcije u točki. 5

51 Izrčunjte nvedene ese:.. ( ) {, } 5. e. cos e cos e cos e cos. [ ] [ ] ln ln ln [ ( ) ] [] ln Grničn vrijednost unkcije kd (Limes u beskončnosti) Ako je područje deinicije unkcije D neogrničeno s jedne ili s obje strne, ( tj. (, ) D, ( b, ) D ili D R ) znim ns d li postoji li grničn vrijednost (es) unkcije kd nezvisn vrijbl teži k ili. Ako () teži L kd postje po volji velik, td pišemo: L ( ) L. Γ 5

52 Vrijednost L je grničn vrijednost (es) unkcije ( grničn vrijednost u desnom krju) Slično, vrijednost L je grničn vrijednost unkcije kd krju) ( ) L. (grničn vrijednost u lijevom L Γ Npomen: Svojstv grnične vrijednosti z c c, c c Često koristimo sljedeće ese: sin vrijede i z grnične vrijednosti u beskončnosti. e ( ) e Mnoge grnične vrijednosti rčunmo pomoću gore nvedenih rezultt. 5

53 Beskončn grničn vrijednost Kžemo d unkcij teži prem Pišemo: kd, ko () postje po volji velik kd. ( ) Γ Anlogno ( ) Γ Grničn vrijednost može biti beskončn i u slučju desne i lijeve grnične vrijednosti. ( ) ( ) 5

54 ( ) ( ) Ako promtrmo grnične vrijednosti kd, mogu nstupiti slučjevi: ( ) Γ ( ) Γ 54

55 ( ) Γ ( ) Γ i Ilustrirjmo neke slučjeve: ( ) A A B 55

56 56 A ) ( A ) ( B ) ( B ) ( ) ( B Npomen: Ako prilikom trženj grnične vrijednosti unkcije zdne ormulom pri ormlnoj zmjeni nezvisne vrijble s brojem prem kojem teži dobijemo izrze oblik,,,,,, njih zovemo neodređenim oblicim. U tim slučjevim ne možemo ocijeniti je li t grničn vrijednost postoji ili ne. Uz metode koje su do sd zdne z rčunnje es unkcije postoje i metode s kojim ćemo se upoznti nkon uvođenj pojm derivcije.

57 Neprekidnost unkcije Funkcij je neprekidn u točki ko postoji ( ) i ko je ( ) ( ). D Z unkciju koj u točki nije neprekidn kžemo d je prekidn, točk zove se točk prekid. Funkcij je neprekidn n intervlu I D ko je neprekidn u svkoj točki tog intervl. Funkcij je neprekidn n intervlu ko gr unkcije nd tim intervlom možemo ncrtti ne dižući olovku s ppir. Funkcij je neprekidn ko je neprekidn u svkoj točki područj deinicije D. Opisno govoreći unkcij je neprekidn ko se njen gr n bilo kojem intervlu u njenom području deinicije može ncrtti bez podiznj olovke s ppir. Iz prethodne deinicije je očito d je pojm neprekidnosti određen pojmom es unkcije. Uočimo d je rčunnje es z neprekidnu unkcijeu veom jednostvno. Nime,ko je unkcij neprekidn u točki ond ( ) postoji i vrijedi ( ) ( ). Iz tog slijedi d se zdtk određivnj es neprekidne unkcije u točki svodi n rčunnje vrijednosti unkcije u toj točki. Iz deinicije slijedi d unkcij može biti neprekidn smo u točkm u kojim je deinirn. Obrt ne vrijedi tj. unkcij može biti deinirn u nekoj točki li d u toj točki nije neprekidn. ( ) < > () D R ( ) ( ) ( ) je točk prekid unkcije. To se lijepo može vidjeti s gr unkcije. 57

58 Funkcij je deinirn n segmentu [ b] iz intervl ( b),. Ako je, jsno d z tkve točke vrijedi prethodn deinicij neprekidnosti unkcije. Pitnje je što je s grničnim točkm tog segment. Z te točke neprekidnost ispitujemo jednostrno. Funkcij je neprekidn u točki ko je Funkcij je neprekidn u točki b ko je ( ) ( ). b ( ) ( b) Ako su i g neprekidne unkcije n istom intervlu I i obje su neprekidne u točki I, td su u točki neprekidne i unkcije g, g, g, ( uz uvjet g ( ) ). g Može se pokzti d su slijedeće elementrne unkcije neprekidne: konstnt, polinom, eksponencijln unkcij, logritmsk unkcij, sinus, kosinus i rkus unkcije. Funkcije ( ) e i g ) ( su neprekidne unkcije, p je neprekidn i unkcij h( ) e Kompozicij neprekidnih unkcij Ako je unkcij td je unkcij h : X Y neprekidn u točki i unkcij g : Y Z neprekidn u točki b () X Z h( ) g o ( neprekidn u točki. :, ( ) ) Z g(b) g( () ) neprekidn u h g o g neprekidn u b () b () X neprekidn u Y Z grničnu vrijednost kompozicije neprekidnih unkcij vrijedi: g( ( )) g ( ( ) ) sin sin 58

59 Svojstv neprekidnih unkcij Teorem: Funkcij neprekidn n segmentu [ b],, koj n krjevim tog segment poprim vrijednosti suprotnog predznk, im u br jednoj točki tog segment vrijednost nul. To možemo iskzti i ovko: ko je unkcij neprekidn n segmentu [, b] i ko je sgn ( ) sgn ( b) ( ili ( ) ( b) < ) td postoji brem jedn, b tkv d je ( c). c [ ] (b) > [ c b ] [ b c c c ] () < () < Vžno svojstvo neprekidnih unkcij kojeg ćemo koristiti kod jedne metode određivnj približnog rješenj nelinerne lgebrske jedndžbe. ( ) > i ( b) < i unkcij nije neprekidn nem nul-točke u[, b ] (b) > [ c b ] () < Funkcij je neprekidn i z svki segment [ b ], vrijedi ( ) > i ( b) >, unkcij im nultočku ( - ) 59

60 PROVJERA ZNANJA (grničn vrijednost, neprekidnost). Z unkciju vrijedi ( ) i ( ). Im li unkcij grničnu vrijednost u točki?. Ako postoji grničn vrijednost unkcije u točki D znči li d je unkcij neprekidn u točki? DA DA NE NE. < Je li unkcij ( ) neprekidn u točki? DA NE 4. < Je li unkcij ( ) neprekidn u točki? DA NE 5. cos DA NE 6. sin DA NE Postoji?,? DA NE DA NE 9. e?, e?, e? DA NE. ln?, ln? DA NE. e sin DA NE 6

61 ODGOVORI (grničn vrijednost, neprekidnost). NE. NE. NE 4. DA 5. NE 6. DA 7., 8. NE 9.,,.,. DA 6

62 RIJEŠENI ZADACI (grničn vrijednost, neprekidnost) - Zdtk: Ispitjte grnične vrijednosti unkcije ( ) n rubovim područj deinicije. R: Funkcij nije deinirn z vrijednosti nezvisne vrijble z koju je tj. z. Možemo zključiti D (,) (, ) Zdtk: Izrčunj: ), b) ), b) : ( ) : 6

63 - Zdtk: Ispitjte grnične vrijednosti unkcije R: ) ( ) n rubovim područj deinicije. ( Funkcij nije deinirn z vrijednosti nezvisne vrijble z koju je. ( ) i D (, ) (,) (, ) Zdtk: Izrčunjte ( ). Koristimo poznti es ( ) e. ( ) ( ) ( ) e : : 6

64 - Zdtk: Zdn je unkcij ( ). Izrčunjte ( ), ( ), te ispitjte ln ponšnje unkcije u okolini točke. ( ) ln Funkcij nije deinirn z vrijednost nezvisne vrijble z koju je ln. Kko je deinirn z >. Znmo d je to ln deinirno z > ( (, ) ) možemo zključiti unkcij ( ) je ln i. D (,) (, ) ili D (, ) \ { }. U dljnjem rčunu pomoći će nm gr unkcije ln. ln ln ln ' ln ln cos sin - Zdtk: Izrčunjte. sin Koristimo poznti es cos sin sin sin cos cos 64

65 - Zdtk: Ispitjte ponšnje unkcije i > ( ) n rubovim područj deinicije. < - > < - D (,) - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije ( ). Izrčunjte ' ( ), ( ), ( ), ( ). ( ) Funkcij je deinirn z vrijednosti nezvisne vrijble z koje vrijedi i - 65

66 D (, ] (, ) ili R \ (,] D : : Anlogno Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije ( ) ln. Pokžite d nem d nul točk. Ispitjte ponšnje unkcije n rubovim područj deinicije. ( ) ln Funkcij ln je deinirn z pozitivne vrijednosti rgument, p mor vrijediti > i. - D (,) (, ) ln kontrdikcij Zključk: Zdn unkcij nem nul-točk. : ln ln ln : 66

67 67 Anlogno : : ln ln ln ln ln ln - Zdtk: Izrčunjte. ) ( ) ( ) )( ( - Zdtk: Postoji li 4? 4 4 ( ) 4 ) ( 4 8 Očito d ne postoji ov grničn vrijednost. - Zdtk: 6 6 e - Zdtk: Odredite R tko d je unkcij > ) ( z z neprekidn. Funkcij je neprekidn ko je neprekidn z svki D. Z < i z > unkcij je polinom p je neprekidn. Dkle treb postviti uvjet neprekidnosti unkcije u točki. ) ( () ) ( ) ( ( ) 6 ( ) 4 ) ( 4 6

68 - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije z ( ). z > Ispitjte ponšnje unkcije n rubovim područj deinicije. Pokžite d je unkcij neprekidn u točki. Z unkcij poprim vrijednosti zdne ormulom. Kko je tj izrz deinirn z svko možemo zključiti d je unkcij deinirn n intervlu (, ]. Z > unkcij poprim vrijednosti zdne ormulom. Tj izrz nije deinirn z vrijednosti i. Kko promtrmo smo pozitivne vrijednosti rgument možemo zključiti d je unkcij deinirn z (,) (, ). Funkcij je deinirn z, (,) (, ). Nkon sređivnj končno dobijemo ( ] D (, ) (, ) Vrijedi ( ), i. Možemo zključiti () tj. unkcij je neprekidn u točki. 68

69 ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD (grnične vrijednosti, neprekidnost). N slici je zdn gr unkcije. Odredite područje deinicije unkcije i dole nvedene grnične vrijednosti (ukoliko ih im smisl rčunti) Odredite (ko postoje): ) * ( ), ) ( ), ) ( ), 4) ( ) *, 5) ( ) 6) * ( ), 7) ( ), 8) ( ), 9) ( ) *, ) ( ). 4. Ako postoje izrčunjte sljedeće grnične vrijednosti: ) ) ( ), ), 4) *, 5. Izrčunjte nvedene ese: ) 5, ) ( ), ) ( 5), 5 4) ( 5), 5), 6) 4 e, e, 7), 8), 9), ) 4. Izrčunjte nvedene ese: ), ), ) ln ( ) 4), 5), 6) 7) 69

70 5. N slici je zdn gr unkcije: - Odredite područje deinicije, nul-točke i intervle monotonosti. Je li unkcij neprekidn u točki? 6. Ispitjte neprekidnost unkcije () u točki, 7. Je li moguće odrediti R tko d je unkcij u točki? sin < ( ). e < ( ) neprekidn 8. Je li unkcij ln < e ( ) neprekidn u točki e? e e 7

71 RJEŠENJA (grničn vrijednost, neprekidnost). područje deinicije je D (, ] ) * ( ), ) ( ) nem smisl, ) ( ), 4) ( ) *, 5) ( ), 6) * ( ) 5, 7) ( ), 8) ( ) nem grničnu vrijednost, 9) * ( ) nem smisl, ) ( ) 4.. ) ne postoji, ) postoji i, ), 4) *. ), ), ), 4) 5, 5), 6), 7), 8), 9), ), ) 4 4..),.),.), 4.), 5.) 6.), 7.) 5. [, ) D, nul-točk, ( ) ( ) () 6. Funkcij je neprekidn u točki 7. D,. 8. Ne. 7