γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2

Transcript

1 Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom, proizlzi:, = +, = + 4 γ = Primjen kosinusovog poučk [ = + os γ] povlči: ( + 4) = + ( + ) ( + ) os => = ( + ) = = /: 6 = Iz Vièteovih formulslijedi: =, = (nem smisl) Duljine strni trokut su: =, = 5, = 7 p je opseg: O = + + = = 5 inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom, proizlzi:,, + - γ = + Primjen kosinusovog poučk [ = + os γ] povlči: ( + ) = ( ) + ( ) os => = ( ) = = /: 5 = ( ) 5 = = (nem smisl), 5 = = 5 Duljine strni trokut su: = 5 =, = 5, + = 5 + = 7 p je opseg: O = + + = = 5 Vjež Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Kolik je duljin njdulje strnie? Rezultt: 7

2 Zdtk (Hrvoje, tehničk škol) U prvokutni trokut upisn je kružni Dirlište te kružnie dijeli hipotenuzu n dijelove kojim su duljine 5 m i m Kolik je duljin mnje ktete? Rješenje r r r 5 Oznčeni četverokut je kvdrt Trokut je podijeljen n tri geometrijsk lik: dv deltoid i jedn kvdrt Deltoid im dv pr sukldnih strni Proizlzi d z strnie trokut vrijedi = r + 5, = + r, = 5 + = 7 = 5 + r = + 7 = + r Iskoristimo prvokutni trokut: + = = = ( ) ± = /: + 7 =, = = 7 ± ± = = = 8 m Vjež U prvokutni trokut upisn je kružni Dirlište te kružnie dijeli hipotenuzu n dijelove kojim su duljine 5 m i m Kolik je duljin veće ktete? Rezultt: 5 m Zdtk (nstzij, gimnzij) ko su strnie u trokutu zdne s = x + x +, = x + x, = x +, x >, koliko iznosi kut α? Rješenje Uporom kosinusovog poučk doije se: ( x + x) + ( x + ) ( x + x + ) ( ) ( ) + osα = = = x + x x + = ( + ) = + +, ( + + ) = = x 4 + 4x + 4x + 4x + 4x + x 4 x x x x = = x x + x + ( ) ( ) ( x 5x ) x + 5x + x x + + x + 4x + x + = = = = x ( x + ) ( x + ) x ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) α α ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) x x x x x = = = os = = 6 Vjež ko su strnie u trokutu zdne s = 7, = 8, = 5, koliko iznosi kut α? Rezultt: 6

3 Zdtk 4 (Ivn, hotelijersk škol) ko je zdn jediničn dužin konstruirj dužine duljine:,, 5, 6, 7, 8,,,,, 4 i 5 Rješenje 4 Ponovimo Pitgorin poučk: Trokut je prvokutn ko i smo ko je kvdrt duljine hipotenuze jednk zroju kvdrt duljin ktet = + Nrtmo prvokutn trokut čije oje ktete imju duljinu Iz Pitgorinog poučk slijedi d je duljin hipotenuze jednk Ponovno uporom Pitgorinog poučk u prvokutnom trokuti čije ktete imju duljine i, doivmo d hipotenuz im duljinu Opet koristeći Pitgorin poučk u prvokutnom trokutu čije ktete imju duljine konstrukije, doivmo sljedeću sliku: i, doivmo d hipotenuz im duljinu Nstvljjući te Vjež 4 ko je zdn jediničn dužin konstruirj dužinu duljine Rezultt: Zdtk 5 (, hotelijersk škol) ko je DE = 6, = 6 i D =, koliko je x =? x 6 E 6 D

4 Rješenje 5 udući d su trokuti i DE slični (imju sv tri kut jednk), odgovrjuće strnie su im proporionlne Vrijedi rzmjer: D 6 = = x = 6 6 /: x = 6 = 48 DE x 6 Vjež 5 ko je DE =, = i D = 4, koliko je x =? x 4 E D Rezultt: 96 Zdtk 6 (, hotelijersk škol) Površine dvju sličnih trokut su 4 m i 6 m Opseg mnjeg trokut je 8 m Koliki je opseg većeg trokut? Rješenje 6 Z dv sličn trokut i vrijedi d su im odgovrjuće (homologne) strnie proporionlne (rzmjerne): = = = k, k je koefiijent sličnosti O Z njihove opsege vrijedi: k, O = z površine: P = k Iz uvjet zdtk slijedi: P P = 4, P = 6, O = 8, O =? Opseg većeg trokut je: P 4 k k k 4 k P = = 6 = = O O k O 76 O = 8 = = Vjež 6 Površine dvju sličnih trokut su 8 m i 5 m Opseg mnjeg trokut je 8 m Koliki je opseg većeg trokut? Rezultt: 76 m 4

5 Zdtk 7 (Le, gimnzij) rod je privezn z olu ztegnutim konopem duljine 5 m Jedn krj konop učvršćen je n oli n visini 4 m iznd rzine mor, drugi krj n prmu rod 9 m iznd rzine mor ko konop potegnemo te se on skrti z 8 m, z koliko se rod priliži oli? Rješenje 7 M M N M = N = 4 m, N = 9 m, = 5 m, = N N = 9 m 4 m = 5 m Udljenost rod od ole iznosi (Pitgorin poučk z trokut ): = = 5 5 = 4 = m ko konop potegnemo te se on skrti z 8 m = 8 m, iz sličnosti trokut i ED doit ćemo trženi rezultt D M E N D = 8 m, = m, = 5 m, D = D = 5 m 8 m = 7 m D D 7 m m = E = D E = = = 6 m E 5 m rod se priližio oli z: E = E = m 6 m = 64 m = 64 m Vjež 7 rod je privezn z olu ztegnutim konopem duljine 5 m Jedn krj konop učvršćen je n oli n visini 4 m iznd rzine mor, drugi krj n prmu rod 9 m iznd rzine mor ko konop potegnemo te se on skrti z m, z koliko se rod priliži oli? Rezultt: 8 m Zdtk 8 (nstzij, gimnzij) Dvije strnie trokut odnose se ko :, odgovrjući kutovi ko : ko je površin tog trokut, Rješenje 8 Nek je: koliki je opseg? Iz sinusovog poučk doije se: : = : =, α : β = : α = β 5

6 = sin β = sinα sin β = sin β /: sin β = sin β sinα sin β sin x sin x 4 sin x sin β sin β 4 sin β 4 sin = = β sin β = sin β 4 sin β = [ x y = x = ili y = ] sin β =, 4 sin β = Iz sin β = slijedi β = (nem smisl) Iz sin (nem smisl) β = 4 sin β = 4 sin β = sin β = / 4 sin β = β = Ostli kutovi trokut su: α = β = = 9, γ = 8 α + β = = 6 ( ) ( ) Trokut je prvokutn udući d je kut α prvi kut, slijedi strni je hipotenuz Iz površine trokut doije se duljin strnie : P = sinγ P = sinγ P = sinγ = sin 6 = /: = = = [ = ] Duljinu strnie izrčunmo pomoću Pitgorinog poučk (strni je hipotenuz): Opseg trokut iznosi: = = = = 9 = ( ) ( ) O = + + = + + = + Vjež 8 Dvije strnie trokut odnose se ko :, odgovrjući kutovi ko : ko je površin tog trokut, Rezultt: kolik je duljin visine n strniu? v = 5 m Zdtk 9 (Snel, ekonomsk škol) Kružni im polumjer duljine Koliki je šiljsti oodni kut tetive koj je od središt kružnie udljen? Rješenje 9 inči D S SD =, S = S =, D = S + SD = + = Iz prvokutnog trokut SD nđe se duljin D : D = S SD D = = D = Trokut je jednkokrčn p vrijedi: D = D = α 6

7 Iz prvokutnog trokut D slijedi: α D α tg = = = α = 6 D inči D S SD =, S = S = Uočimo jednkokrčn trokut S Trokut SD je prvokutn trokut p vrijedi: Duljin strnie je: D = S SD D = = D = = D = U trokutu S uporimo kosinusov poučk i izrčunmo kut β: ( ) S + S β = S = = = = β = S S 8 udući d je β središnji kut nd tetivom, td je pripdni oodni kut dvostruko mnji: α = β = = 6 Vjež 9 Kružni im polumjer duljine Koliki je središnji kut tetive koj je od središt kružnie udljen? Rezultt: º Zdtk (Roert, tehničk škol) Opseg jednkokrčnog prvokutnog trokut je m Odredite duljine strni tog trokut Rješenje Jednkokrčn prvokutn trokut im ktete jednkih duljin: = Iz formule z opseg jednkokrčnog prvokutnog trokut O = + doije se duljin ktete: + = [ izlučimo ] ( + ) = = = [ rionlizij nzivnik ] = + Hipotenuz iznosi: ( ) ( ) = = = = 5 ( ) m + 4 ( ) ( ) [ izluč ] ( ) ( ) = = 5 = 5 = imo = 5 = m 7

8 Vjež Opseg jednkokrčnog prvokutnog trokut je + m Odredite duljine strni tog trokut Rezultt: = m, = m Zdtk (Roert, tehničk škol) Opseg prvokutnog trokut, kojem je jedn kut 6º, iznosi m Odredite duljinu hipotenuze tog trokut Rješenje udući d je opseg trokut O = + +, slijedi: Uporit ćemo trigonometrijske funkije sinus i kosinus: sin 6 = = sin 6 = = os6 = = os6 = = + + = + + = / + + = 4 + = 4 [ izlučimo ] ( ) ( + ) = 4 = = [ rionlizij nzivnik] = = = ( ) 4 = = 4 ( ) m 6 Vjež Opseg prvokutnog trokut, kojem je jedn kut º, iznosi m Odredite duljinu hipotenuze tog trokut Rezultt: ( ) 4 m Zdtk (4, hotelijersk škol) U koordintnom sustvu zdne su točke (, ) i (4, ) Koliki je zroj površin svih prvokutnih trokut kojim je hipotenuz, vrh prvog kut leži n prvu y = x +? Rješenje 6 y T -4-4 x - y = x Njprije odredimo treći vrh T trokut T udući d točk T pripd prvu y = x +, njezine koordinte su T(x, x+) Prem uvjetu zdtk trokut T mor iti prvokutn s hipotenuzom p vrijedi: T + T = Ponovimo formulu z udljenost dviju točk (x, y ) i (x, y ): = ( x x ) + ( y y ) = ( x x ) + ( y y ) 8

9 Zto je: (, ), ( 4, ) T ( x, x + ) ( x + ) + ( x + ) + ( x 4) + ( x + ) = ( 4 + ) + ( ) T + T = x + + x + + x 4 + x + = 5 Odredimo y: ( ) ( ) ( ) ( ) x + x + + x + 4x x 8x x + 4x = x = 4x + x = x ( 4x + ) = x =, x = 4x + = Postoje dv prvokutn trokut: T i T (, ) x = y = + = T x = y T, = + = y T T y y -4-4 x y = x Zroj njihovih površin je: y y P + P = + = + = 5 + = T T 4 4 Vjež U koordintnom sustvu zdne su točke (, ) i (4, ) Kolik je površin većeg prvokutnog trokut ko je hipotenuz, vrh prvog kut leži n prvu y = x +? Rezultt: 5 Zdtk (Ivn, hotelijersk škol) ko su, i duljine strni, v, v i v duljine odgovrjućih visin trokut, dokžite ekvivleniju: v = v + v = ( + ) Rješenje Z površinu trokut vrijedi: Zto je: Iz jednkosti v = v izrčunmo v : v v v P = = = v v v = = / v = v = v 9

10 v v v / v = = () Iz jednkosti v = v izrčunmo v : v v v / v = = () Uvrstimo () i () u reliju koj povezuje duljine visin: v = v + v v v v = + / v = + = ( + ) Vjež ko su, i duljine strni, v, v i v duljine odgovrjućih visin trokut, dokžite ekvivleniju: v = v v = ( ) Rezultt: nlogno ko u zdtku Zdtk 4 (Ivn, hotelijersk škol) U prvokutnom trokutu simetrl šiljstog kut dijeli nsuprotnu ktetu n dijelove 8 m i m Odredi površinu tog trokut Rješenje 4 inči β 8 udući d simetrl kut dijeli nsuprotnu strniu u omjeru preostle dvije strnie, pišemo: 5 : = : 8 8 = = = 8 4 Duljin ktete iznosi = 8 m Pomoću Pitgorin poučk izrčunmo duljinu ktete : = / = + = = = 576 / = 4 m Površin trokut iznosi: inči 4 m 8 m P = = = 6 m β 8 β β 8 tg = β 8 6 tg 8 8 tg β = 8 β = = 64 8 tg β = tg = = = 8 ( 64) = 6 /: ( ) 9 64 = = = 576 = 576 / = 4 m 4 m 8 m Površin trokut iznosi: P = = = 6 m Vjež 4 U prvokutnom trokutu simetrl šiljstog kut dijeli nsuprotnu ktetu n dijelove 8 m i m Odredi opseg tog trokut Rezultt: 7 m

11 Zdtk 5 (Felix, gimnzij) Kolik je površin trokut što g grf funkije f(x) = x ztvr s prvem y = x +? 6 4 D 5 E Rješenje 5 4 y f(x) = s(x - ) (4, ) (, ) O(, ) (, ) D(4, ) x - y = x Izrčunmo sljedeće veličine: =? ( ), = ( x x ) + ( y y ) = ( ) + ( ) = + = (, ) =? ( ) -4, = ( x x ) + ( y y ) = ( 4 ) + ( ) = = 8 = ( 4, ) =? ( ), = ( x x ) + ( y y ) = ( 4 ) + ( ) = = = 5 ( 4, ) inči Dokžimo d je trokut prvokutn Uporit ćemo Pitgorin poučk: = + 5 = + = + 8 = Trokut je prvokutn p njegov površin iznosi: ( ) ( ) ( ) ( ) P = = = = = inči Površinu trokut možemo izrčunti d od površine trpez OD oduzmemo površine trokut O i D: D + O O O D D P = P P P = OD = OD O D = D =, O =, OD = 4, O =, O =, D =, D = = = 4 = 4 = = =

12 inči U koordintnoj rvnini zdmo vrhove trokut : (x, y ), (x, y ), (x, y ) Površin trokut dn je formulom: Zto je: Vjež 5 (, ) = (, ) (, ) ( 4, ) (, ) = (, ) ( ) ( ) ( ) P = x y y + x y y + x y y x y x y = P = x ( y y ) + x ( y y ) + x ( y y ) = x y = ( ) + 4 ( ) + ( ) = = 6 = Koliki je opseg trokut što g grf funkije f(x) = x ztvr s prvem Rezultt: O = y = x +? Zdtk 6 (Mx, gimnzij) U prvokutnom trokutu s ktetm 6 i 8 povučen je simetrl n hipotenuzu, koj siječe strnie trokut u točkm D i E Kolik je udljenost tih točk? Rješenje 6 6 β Hipotenuz prvokutnog trokut iznosi: = = = = udući d simetrl n hipotenuzu rspolvlj hipotenuzu, vrijedi: D = D = 5 E 8 Iz sličnosti trokut i DE (imju jednke kutove) slijedi omjer duljin strni: ED : D = : D = 5, = 6, = 8 ED : 5 = 6 : 8 8 ED = /:8 ED = = 75 8 Vjež 6 U prvokutnom trokutu s ktetm i 6 povučen je simetrl n hipotenuzu, koj siječe strnie trokut u točkm D i E Kolik je udljenost tih točk? Rezultt: 75 Zdtk 7 (Mrio, gimnzij) Dvije strnie trokut imju duljine 5 m i 6 m, te ztvrju kut 5º Kolik je duljin težišnie treće strnie trokut? Rješenje β 5 D 6 t 5 5 Uporit ćemo kosinusov poučk: α 5 6 t t 5 5 t 6 t 9 ( t ) os5 t os5 = + = + = 5

13 = t = 556 t = 76 m Vjež 7 Dvije strnie trokut imju duljine 5 m i 6 m, te ztvrju kut 6º Kolik je duljin težišnie treće strnie trokut? Rezultt: 598 m Zdtk 8 (Iv, gimnzij) N slii je prikzn prvokutnik EF i trokut Kutovi F i E su jednki Uz to je F = 6, E = Kolik je površin trokut? Rješenje 8 F F = 6, E =, = FE = F + E = 6 + = 8, E = F = v Trokuti E i F slični su (imju jednke kutove) p vrijedi rzmjer: E : F = E : F v : 6 = : v v = v = = Površin trokut iznosi: v 8 P = = = 8 Vjež 8 N slii je prikzn prvokutnik EF i trokut Kutovi F i E su jednki Uz to je F = 6, E = Kolik je površin trokut E? Rezultt: Zdtk 9 (Iv, gimnzij) Nek su i duljine ktet prvokutnog trokut upisnog u kružniu dijmetr (promjer) D Promjer kružnie upisne u trokut oznčimo s d Koliko je d + D? Rješenje 9 Z prvokutn trokut vrijede relije: + r =, R =, gdje je r polumjer upisne kružnie, R polumjer opisne kružnie trokutu Iz uvjet zdtk slijedi: + d = r, r = r = + d = + R = D = D = R, R = d = + D d + D = + Vjež 9 Nek su 6 i 8 duljine ktet prvokutnog trokut upisnog u kružniu dijmetr (promjer) D Promjer kružnie upisne u trokut oznčimo s d Koliko je d + D? Rezultt: 4 Zdtk 4 (Mrin, gimnzij) Dokži d težišnie trokut dijele trokut n šest dijelov jednkih površin Rješenje 4 r R E F v P = P DEF v D E

14 S slike vidi se: =, =, = P P T P P + P = P + P P = P P + P = P + P P = P P P P P = P = P Vjež 4 Dokži d težišni trokut dijeli trokut n dv dijel jednkih površin Rezultt: Slično ko u zdtku 4