Polinomijalna aproksimacija

Transcript

1 1 Polinomijln proksimcij 1.1 Problem njbolje proksimcije Rzmotrimo ponovo problem u kojem je zdn tblic brojev x x 0 x 1 x x 3 x 4 x n y y 0 y 1 y y 3 y 4 y n (1.1) z koju treb nći funkciju f koju t tblic predstvlj. Preciznije, želimo nći gltku funkciju y = f(x) koju ov tblic njbolje proksimir. Njjednostvniji pristup ovom problemu je interpolcij koj se sstoji u tome d se iz unprijed odbrnog skup funkcij (npr. polinom) n de funkcij p koj zdovoljv p(x i ) = y i, z i = 0, 1,..., n. Tj postupk im dv nedosttk: Interpolcijski postupk ne mor nužno konvergirti. Drugim riječim, povećnjem broj točk u tbeli interpolcijski polinom ne mor konvergirti prem funkciji koju proksimir. To smo vidjeli u Rungeovom primjeru (Primjer??). Vrijednosti y i dobivene su ili mjerenjem ili rčunnjem tko d u sebi redovito sdrže odre denu grešku koj u nekim primjenm ne mor biti ml. Postupkom interpolcije t se grešk ugr duje u interpolnd. U slučjevim kd je t grešk znčjn bolje je vrijednosti y i proksimirti. D bismo ilustrirli drugi problem pogledjmo sljedeći primjer. Primjer 1.1 Uzmimo sljedeći niz podtk. x y Kroz ove ćemo podtke provući Lgrngeov interpolcijski polinom stupnj 4. S druge strne proksimirt ćemo iste podtke n intervlu (0, 10) finom funkcijom. Rezultt je dn n sljedećoj slici. Vidimo d je grešk interpolcijskog polinom n krjevim intervl (1, 8) postje velik, dok fin funkcij ssvim dobro proksimir podtke n čitvom intervlu (0, 10). 1

2 Polinomijln proksimcij proksimcij podci interpolcij Ako su podci iz prethodnog primjer mjerenj točk n prvcu, učinjen s nekom greškom, ond polinomijln interpolcij neće dti niti približno točno rješenje. U tom slučju trebmo problem proksimcije formulirti n sljedeći nčin: { nći A, B R tkve d je z njih izrz Time dobivmo zdću mx y i (Ax i + B) i=0,1,...,n minimln. min A,B R mx y i (Ax i + B) (1.) i=0,1,...,n To je problem uniformne proksimcije ili minimx problem. Norm u kojoj mjerimo udljenost točke od prvc može biti i nek drug. Tko, npr. možemo postviti problem min A,B R ( i=0 proksimcij u smislu njmnjih kvdrt, ili min A,B R y i (Ax i + B) )1, (1.3) y i (Ax i + B) (1.4) i=0 proksimcij u smislu L 1 norme. U svim slučjevim dobivmo jednostvn problem minimizcije funkcije dviju vrijbli bez ogrničenj. Aproksimcij u smislu njmnjih kvdrt im svojstvo d je funkcij čiji minimum tržimo derivbiln. Jsno je d je problem (1.3) ekvivlentn problemu min f(a, B), f(a, B) = y i (Ax i + B). A,B R i=0 Rdn verzij

3 1.1 Problem njbolje proksimcije 3 Kko je svki loklni minimum ujedno stcionrn točk dobivmo d u točki minimum vrijedi: A f(a, B) = (y i (Ax i + B))x i = 0 i=0 B f(a, B) = (y i (Ax i + B)) = 0 i=0 To je sustv linernih lgebrskih jedndžbi z prmetre A i B. Uz oznke U = x i, V = y i, W = x i y i, Z = i=0 i=0 dobivmo [ ][ ] Z U A = U n + 1 B Ovj sustv se nziv normln jedndžb. Rješenje mu je A = i=0 (n + 1)W UV ZV UW, B = (n + 1)Z U (n + 1)Z U. i=0 x i [ ] W. (1.5) V Lko je uočiti d rješenje uvijek postoji uz uvjet d su točke x i me dusobno rzličite. Problem njbolje proksimcije iz prethodnog primjer je linern u smislu d se svodi n rješvnje linernog sustv lgebrskih jedndžbi. Većin relnih problem njbolje proksimcije su nsuprot tomu nelinerni. Jednostvn primjer nelinernog problem dobivmo ko zdnu tblicu funkcijskih vrijednosti želimo proksimirti funkcijom oblik be x, gdje su i b prmetri koje treb odrediti. Td problem proksimcije u smislu njmnjih kvdrt glsi min,b (y i be x i ), (1.6) i=0 što vodi n sljedeći sustv jedndžbi: (y i be x i )e x i = 0, i=0 (y i be x i )bx i e x i = 0. To je nelinern sustv jedndžbi z i b koji se može rješvti npr. Newtonovom metodom. Uočimo još d problem (1.6) možemo linerizirti tko što ćemo jedndžbu y = be x zpisti u obliku ln y = ln b+x, što vodi n problem njmnjih kvdrt M. Jurk 9. svibnj 007. min,b i=0 (lny i ln b x i ), (1.7) i=0

4 4 Polinomijln proksimcij no problemi (1.6) i (1.7) nisu ekvivlentni i rješenj im se mogu zntno rzlikovti. Definirjmo sd diskretn problem njbolje proksimcije. Uzmimo d je zdn tblic vrijednosti x x 1 x x 3 x 4 x n y y 1 y y 3 y 4 y n i uvedimo sljedeće oznke: x = (x 1, x,..., x n ), y = (y 1, y,...,y n ); z relnu funkciju ϕ i točku x = (x 1, x,..., x n ) R n pišemo ϕ(x) = (ϕ(x 1 ), ϕ(x ),...,ϕ(x n )). Potrebno je još definirti skup funkcij Π unutr kojeg ćemo tržiti njbolju proksimciju i normu u prostoru R n. Td problem njbolje proksimcije glsi: { nći p Π s svojstvom p(x) y = min φ(x) y. φ Π U dv prethodn primjer smo imli Π = {φ(x) = x + b:, b R} i Π = {φ(x) = be x :, b R}. Njčešće korištene norme su x = mx 1 i n x i, x = ( )1 ω i x i, x = ω i x i, (1.8) gdje su ω i > 0 težinski koeficijenti. Ukoliko je skup Π linern prostor, ond govorimo o linernom problemu njbolje proksimcije. Td možemo odbrti bzu φ 1, φ,...,φ k, k = dim(π), u prostoru Π i proizvoljnu funkciju φ Π rspisti u bzi: φ = d 1 φ 1 + d φ + + d k φ k. Problem njbolje proksimcije svodi se td n problem nći d 0 R k s svojstvom k d 0 jφ j (x) y = min d R k k d j φ j (x) y = min d R k Ad y, (1.9) gdje je j-ti stupc mtrice A vektor φ j (x). Zbog linerne nezvisnosti vektor bze slijedi d je mtric A R n k punog rng. Posve nlogno definir se i kontinuirni problem njbolje proksimcije. Umjesto tbele zdnih vrijednosti ovdje nm je zdn funkcij f iz nekog funkcijskog prostor V. Z definiciju problem potrebno je odrediti: skup funkcij Π V unutr kojeg ćemo tržiti njbolju proksimciju i Rdn verzij

5 1. Uniformn polinomijln proksimcij 5 normu u prostoru V. Td problem njbolje proksimcije glsi: { nći p Π s svojstvom p f = min φ Π φ f. Prilikom odre divnj skup Π treb uzeti u obzir sve poznte informcije o funkciji f. Izbore norme će ztim u njvećoj mjeri odrediti krkter proksimcije. Norme koje se njćešće koriste n prostorim funkcij su sljedeće: f = mx x [,b] f(x), z f C([, b]), f 1 = b f(x) dx z ( b f = f(x) dx ) 1 f L 1 (, b), z f L (, b), gdje smo s L 1 (, b) oznčili prostor svih psolutno integrbilnih funkcij n intervlu (, b), dok je L (, b) prostor svih kvdrtno integrbilnih funkcij n (, b). Z rzliku od prostor (C([, b]), ) i (L 1 (, b), 1 ), prostor (L (, b), ) je unitrn, tj. njegov norm dolzi od sklrnog produkt (f, g) = b f(x)g(x) dx. Struktur unitrnog prostor zntno pojednostvljuje problem proksimcije. Aproksimcij u smislu norme nziv se proksimcij u smislu njmnjih kvdrt. 1. Uniformn polinomijln proksimcij U ovoj točki promtrmo kontinuirni problem njbolje proksimcije u mxnormi. Njbolju proksimciju ćemo tržiti u prostoru polinom stupnj mnjeg ili jednkog n. Nek je f C([, b]) funkcij koju želimo proksimirti. Prostor polinom stupnj mnjeg ili jednkog n ko i rnije oznčimo s P n ; mx-norm je dn formulom f = mx f(x). x [,b] Promtrmo problem: nći polinom p P n z koji vrijedi p f = min q P n f q. (1.10) Ovj se problem često nziv minimks proksimcij ili Čebiševljev proksimcij. M. Jurk 9. svibnj 007.

6 6 Polinomijln proksimcij Teorem 1.1 (Krkterizcij minimks proksimcije) Nek su zdne funkcije f C([, b]), p 0 P n te nek je e 0 = f p 0. Uvedimo skup M = {x [, b]: e 0 (x) = e 0 }. Polinom p 0 je njbolj proksimcij funkcije f ko i smo ko ne postoji polinom q P n s svojstvom x M, e 0 (x)q(x) > 0. (1.11) Npomen. Ukoliko je p 0 njbolj proksimcij, ond je e 0 grešk proksimcije. Tvrdnj teorem kže d ne može postojti polinom stupnj mnjeg i jednkog n koji bi imo isti predznk ko i grešk proksimcije n skupu n kojem grešk postiže svoj psolutni mksimum. Td bi, ko što ćemo pokzti u dokzu teorem, pribrjnjem tog polinom dobili bolju proksimciju. Dokz Teorem 1.1 Pretpostvimo d polinom p 0 nije optimln i n dimo polinom q P n koji im svojstvo (1.11). Iz uvjet d p 0 nije optimln znmo d postoji polinom p P n tkv d je x M, f(x) p (x) < f(x) p 0 (x). Definirjmo q = p p 0 P n. Td je očito x M (f(x) p 0 (x)) q(x) < f(x) p 0 (x) p evidentno e 0 = f p 0 i q imju isti predznk n M, tj. e 0 (x)q(x) > 0 z svko x M. Obrtno, pretpostvimo d postoji polinom q P n z koji vrijedi (1.11). Pokzt ćemo d u tom slučju p 0 nije optimln. Sklirnjem polinom q možemo postići q = 1. Ndlje, uvedimo skupove L = {x [, b]: (f(x) p 0 (x))q(x) 0}, U = {x [, b]: (f(x) p 0 (x))q(x) > 0}. Zbog neprekidnosti funkcij f(x), p 0 (x) i q(x) skup L je ztvoren dok je U otvoren. 1 Ndlje, [, b] = L U, L U = φ i M U. Uvedimo brojeve ε 0 = mx x [,b] e 0(x), ε 1 = mx x L e 0(x). Mksimum ε 0 postiže se u svkoj točki skup M, dok se mksimum ε 1 postiže se u nekoj točki skup L. Kko su ob skup ztvoren i neprznog presjek, te su točke me dusobno rzličite. Odtle slijedi 1 Reltivno otvoren u [, b]. ε 1 < ε 0. Rdn verzij

7 1. Uniformn polinomijln proksimcij 7 y ε 0 = e 0 e 0 (x) q(x) M M U U U M x L L e 0 Slik 1.1: Primjer greške e 0 i polinom q. (Ukoliko je skup L przn stvimo ε 1 = 0.) Nek je t = (ε 0 ε 1 )/ > 0 i p (x) = p 0 (x) + tq(x). Želimo pokzti d p (x) predstvlj bolju proksimciju. U tu svrhu mormo promtrti dv slučj. 1. Z x L zbog rzličitog predznk f p 0 i q f(x) p (x) = (f(x) p 0 (x)) tq(x) = f(x) p 0 (x) + t q(x) ε 1 + t < ε 0.. Z točke x U, gdje f p 0 i q imju isti predznk immo f(x) p (x) = (f(x) p 0 (x)) tq(x) = f(x) p 0 (x) t q(x) < ε 0, jer je q(x) 0 n U. Prem tome zključijemo d je z sve x [, b], f(x) p (x) < ε 0 p je stog f p < ε 0 i p 0 nije optimln. Q.E.D. N osnovu prethodnog rezultt dde se nslutiti: grešk njbolje proksimcije mor mijenjti predznk više puto no što može polinom n-tog stupnj, dkle brem n + 1 put. To je sdržj sljedećeg teorem. M. Jurk 9. svibnj 007.

8 8 Polinomijln proksimcij y ε 0 = e 0 e 0 (x) q(x) y 1 y 3 y 0 z 1 z y z 3 z 4 x e 0 Slik 1.: Konstrukcij polinom q iz Teorem 1.. Teorem 1. Nek vrijede oznke Teorem 1.1. Polinom p 0 P n je njbolj uniformn proksimcij funkcije f n segmentu [, b] ko i smo ko postoje n + točke (y i ) n+1 i=0, y 0 < y 1 < y <... < y n+1 b, tkve d je e 0 (y i ) = e 0 i = 0, 1,,..., n + 1, (1.1) e 0 (y i+1 ) = e 0 (y i ) i = 0, 1,,..., n + 1. (1.13) Dokz. Nek su uvjeti (1.1) i (1.13) zdovoljeni i pretpostvimo d p 0 nije optimln. Td prem Teoremu 1.1 postoji polinom q P n, tkv d q(y i ) i e 0 (y i ) imju isti predznk z i = 0, 1,..., n + 1. Prem (1.13) to znči d predznk polinom q lternir n + 1 put. Td q nužno im n + 1 nultočk što je kontrdikcij s q P n. Dkle tkv polinom q ne postoji i p 0 je optimln. Obrt. Nek je p 0 optimln. Td možemo konstruirti točke y i n sljedeći nčin: nek je y 0 [, b] je prv točk (slijev n desno) s svojstvom e 0 (y 0 ) = e 0 ; ndlje y 0 < y 1 b je prv točk s svojstvom e 0 (y 1 ) = e 0 i e 0 (y 0 )e 0 (y 1 ) < 0; y 1 < y b je prv točk s svojstvom e 0 (y ) = e 0 i e 0 (y 1 )e 0 (y ) < 0 itd. Pretpostvimo d opisni postupk zvršv s indeksom k < n + 1, odn. d smo u stnju konstruirti y 0 < y 1 < < y k, 0 k < n + 1. Budući d e 0 (y i ) i e 0 (y i+1 ) imju suprotn predznk postoji točk z i+1 (y i, y i+1 ) tkv d je e 0 (z i+1 ) = 0. Uzmimo k tome d smo s z i+1 oznčili njveću tkvu Rdn verzij

9 1. Uniformn polinomijln proksimcij 9 nultočku i konstruirjmo polinom q(x) = sgn(e 0 (y 0 ))() k (x z 1 )(x z ) (x z k ). (Ukoliko je k = 0 z q možemo uzti konstntu sgn(e 0 (y 0 )).) Sd je lko uočiti d q i e 0 imju isti predznk n skupu M = {x [, b]: e 0 (x) = e 0 }. Budući d je deg(q) = k < n + 1 immo d je q P n i prem Teoremu 1.1 p 0 nije optimln. To je kontrdikcij p dobivmo k = n + 1. Q.E.D. Primjer 1. Čebiševljev polinom T n+1 (x) = 1 cos((n + 1)rc cosx), x [, 1], n im oscilirjuće svojstvo u n + točke x k = cos( kπ n+1 ), k = 0, 1,..., n + 1 n [, 1]. Zbog nčin koji je T n+1 normirn, njegov koeficijent uz njvišu potenciju je jednk jedn i stog je q n (x) = x n+1 T n+1 (x) P n. Prem Teoremu 1. zključujemo d polinom q n (x) predstvlj njbolju uniformnu proksimciju u P n funkcije x n+1, n segmentu [, 1]. 1 x 5 x 5 - T 5 (x) Koristeći prethodni teorem lko je pokzti d je njbolj uniformn proksimcij jedinstven. Teorem 1.3 Nek je f C([, b]). Njbolj uniformn proksimcij u P n je jedinstven. Dokz. Nek su p, q P n dvije njbolje uniformne proksimcije. Nek je ε = p f = q f. Td je i 1 (p + q) njbolj proksimcij. Zist, 1 (p + q) f = 1 (p f) + 1 (q f) 1 p f + 1 q f = ε. M. Jurk 9. svibnj 007.

10 10 Polinomijln proksimcij Budući d je 1 (p + q) P n i d su p i q njbolje proksimcije zključujemo d je 1 (p + q) f = ε. Prem Teoremu 1. postoje me dusobno rzličite točke y 0, y 1,..., y n+1 [, b] tkve d je z sve i 1 (p(y i) + q(y i )) f(y i ) = ε, e 0 (y i+1 ) = e 0 (y i ). Stog možemo pisti 1 (p(y i) + q(y i )) f(y i ) = ε() i ili eventulno ε() i+1 no rzlik u predznku nije bitn. Stog immo 1 (p(y i) f(y i )) + 1 (q(y i) f(y i )) = ε() i. Zbog p(y i ) f(y i ) ε i q(y i ) f(y i ) ε ov jednkost može vrijediti smo ko je p(y i ) f(y i ) = q(y i ) f(y i ) = ε() i i = 0, 1,..., n + 1. Odtle izlzi d je p(y i ) = q(y i ) z i = 0, 1,,..., n+1 što zbog stupnj polinom povlči d je p q. Q.E.D. Do sd smo krkterizirli njbolju priksimciju li još uvijek nismo dokzli d on postoji. Egzistencij se pk može dokzti u vrlo općenitoj situciji. Immo sljedeći rezultt: Teorem 1.4 Nek je V zdni normirni vektorski prostor i P V končnodimenzionlni potprostor. Td z svko u V postoji br jedn element u P tkv d je u u = min{ u v : v P }. Dokz. Jsno je d postoji infimum ω = inf{ u v : v P } 0. Stog (iz definicije infimum) možemo nći minimizirjući niz (v n ) element iz P, tj. niz z koji vrijedi lim n u v n = ω. Niz (v n ) je ogrničen jer po nejednkosti trokut vrijedi v n u + u v n, niz u v n je konvergentn p je stog ogrničen. Koristeći činjenicu d svki ogrničen niz u končnodimenzionlnom prostoru im konvergentn podniz zključujemo d postoji podniz (v nk ) i element u P tkvi d je lim k v n k u = 0. Td i u v nk u u p je (neprekidnost norme) u u = ω. Q.E.D. Rdn verzij

11 1. Uniformn polinomijln proksimcij 11 Primjer 1.3 U općenitom slučju element u P nije jedinstven. To se već može vidjeti n primjeru V = R i P = {(x, x): x R} (prvc kroz ishodište pod kutem od 45 o ). Nek je u = (0, 1). Ukoliko uzmemo d je prostor V opskrbljen euklidskom normom (x 1, x ) = x 1 + x, ond je u = ( 1, 1 ) jedinstveno odre den. Ukoliko z normu uzmemo (x 1, x ) = x 1 + x, ond je svk točk (x, x) z x [0, 1] jednko udljen od točke u. Teorem 1.4 možemo upotrijebiti u nšem slučju uz V = C([, b]), P = P n i =. Time dobivmo egzistenciju njbolje uniformne proksimcije. Sd se još postvlj pitnje konvergencije proksimcijskog postupk. Preciznije, ko s p n oznčimo njbolju uniformnu proksimciju funkcije f C([, b]) u prostoru P n, d li je ond lim p n f = 0? n Odgovor n to pitnje dje Stone-Weierstrssov teorem ([?]) koji tvrdi: Nek je [, b] ogrničen segment. Td je skup svih polinom gust u C([, b]). Drugim riječim, z svko f C([, b]) i svko ε > 0 postoji polinom p n N P n tkv d je p f < ε. Odvde lko sljedi konvergencij proksimcijskog postupk. Z odbrni ε > 0 polinom p(x) iz Stone-Weierstrssovog teorem pripd nekom prostoru polinom P n, z neko n N. Kko je p n P n njbolj proksimcij, immo p n f p f < ε. Štoviše, z svko m n vrijedi inkluzij P n P m p dobivmo što vodi do zključk p m f p n f < ε ε > 0 n 0 N n n 0 p n f < ε. To je uprvo konvergencij niz njboljih uniformnih proksimcij (p n ) prem funkciji f. Weierstrssov teorem može se dokzti konstruktivno pomoću Bernsteinovih polinom. Uzmimo rdi jednostvnosti d je [, b] = [0, 1]. Bernsteinov polinom stupnj n funkcije f C([0, 1]) je polinom B n (x; f) = f( k ( ) n n ) x k (1 x) k (1.14) k k=0 Tj polinom konvergir uniformno prem funkciji f n segmentu [0, 1] kd n. Doduše, konvergencij je vrlo spor i grešk se ponš ko O(1/ n) kd n. Minimum po mnjem skupu je uvijek veći ili jednk od minimum po većem skupu. M. Jurk 9. svibnj 007.

12 1 Polinomijln proksimcij Do Bernsteinovih polinom možemo doći n sljedeći nčin. Promtrjmo slučjni pokus bcnj novčić n put. Vjerojtnosni prostor pridružen tom pokusu je Ω = {0, 1} n (vidi [?]). Nek je vjerojtnost d pri jednom bcnju novčić iz de 1 jednk t [0, 1], vjerojtnost d iz de 0 jednk 1 t ( nesimetričn novčić ). Td je vjerojtnost n skupu Ω definirn s P(ω) = t k (1 t) n k gdje je ω = (ω 1,..., ω n ), ω i {0, 1} i k je broj jedinic u ω. Definirjmo slučjnu vrijblu X(ω) = 1 ω i. n Td je funkcij gustoće vrijble X dn izrzom f X ( k n ) = P(X = k ( ) n n ) = t k (1 t) n k k (binomn slučjn vrijbl). Mtemtičko očekivnje vrijble X je dno s EX = ω Ω X(ω)P(ω) = k=0 ( ) k k t k (1 t) n k. n n N osnovu binomne formule lko se pokzuje d je EX = t. Osnovn idej je sd sljedeć: ko smo vrijblu t uspjeli prikzti ko mtemtičko očekivnje neke slučjne vrijble X, ond uniformno neprekidnu funkciju f(t) možemo proksimirti mtemtičkim očekivnjem slučjne vrijble f(x). Dkle, f(t) Ef(X) = ω Ω f(x(ω))p(ω) = f( k ( ) k n ) t k (1 t) n k. n Time smo došli do Bernsteinovih polinom. Oprvdnje ovkvog postupk i ocjen greške proksimcije mogući su n osnovi zkon velikih brojev. Nrvno, moguće je uniformnu konvergenciju Bernsteinovih polinom B n (x; f) prem funkciji f dokzti i bez pozivnj n teoriju vjerojtnosti. 1.3 Remezov lgoritm Itertivni lgoritm z nlženje njbolje uniformne proksimcije bzir se n krkterizciji iz Teorem 1.. Idej se sstoji u tome d pokušmo konstruirti polinom p(x) čij će grešk proksimcije e(x) = f(x) p(x) zdovoljvti (brem približno) uvjete Teorem 1.. Nek je f C([, b]) funkcij koju proksimirmo. Algoritm se sstoji u sljedećem: k=0 Rdn verzij

13 1.3 Remezov lgoritm 13 Inicijlizcij. Odberimo skup od n + točke x 0 0 < x 0 1 < x 0 < < x 0 n < x 0 n+1 b koje ćemo ndlje zvti referentni skup. k-ti kork lgoritm. Poznt nm je referentn skup x k 0 < x k 1 < < x k n+1. Njemu pridružujemo polinom p k P n koji zdovoljv f(x k i ) p k (x k i ) = (f(x k i) p k (x k i)) z i = 1,,..., n + 1. (1.15) Uočimo d je to uprvo oscilirjuće svojstvo koje im grešk njbolje uniformne proksimcije, jedino što grešk ne postiže nužno svoj mksimum u točkm referentnog skup. U slučju d je f(x k i ) p k(x k i ) = f p k ond je p k njbolj uniformn proksimcij; ko nije, ond lgoritm modificir referentni skup tko d smnji grešku f p k. Nek je p k (x) = x+ x + + n x n. Jedndžbe (1.15) možemo zpisti u obliku f(x k i ) p k (x k i ) = () i c k z i = 0, 1,,..., n + 1. To je sustv od n + jedndžbe z nepoznnice 0, 1,..., n, c k koji možemo zpisti mtričnoj formi ko 1 x k 0 (x k 0)... (x k 0) n 1 0 f(x k 0) 1 x k 1 (x k 1 )... (x k 1 )n 1 f(x k 1 x k (x k )... (x k 1 )n 1 ) f(x k = ). (1.16) x k n (x k n)... (x k n) n () n n f(x k n) 1 x k n+1 (x k n+1 )... (x k n+1 )n () n+1 f(x k n+1 ) Mtric sustv je Vndermodeovog tip i stog je regulrn p su polinom p k i konstnt c k ovime jedinstveno odre deni. Oznčimo s y k točku u kojoj grešk postiže svoj psolutni mksimum: c k p k f = p k (y k ) f(y k ). Ukoliko njbolj proksimcij nije pron den immo p k (y k ) f(y k ) > p k (x k i ) f(x k i ) z svku točku x k i referentnog skup. Algoritm sd izbcuje jednu točku iz referentnog skup i n njeno mjesto ubcuje točku y k. N tj nčin dolzimo do novog referentnog skup x k+1 0 < x k+1 1 < < x k+1 n+1. Pri tome mormo sčuvti osciltorno svojstvo referentnog skup. Time je k-ti kork lgoritm zvršen. Prilikom korekcije referentnog skup možemo imti više rzličitih slučjev. Ako je y k (x k i, xk i+1 ) z neki i {0, 1,..., n} ond se točk xk i zmijeni s y k ukoliko je e 0 (y k )e 0 (x k i ) > 0, dok se u suprotnom x k i+1 zmijeni s y k. Ako je y k [, x k 0) i e 0 (y k )e 0 (x k 0) > 0 ond x k 0 zmijenimo s y k. U suprotnom se referentni skup pomiče u lijevo i posljednj točk se odbcuje: M. Jurk 9. svibnj 007. x k+1 0 = y k, x k+1 1 = x k 0, x k+1 = x k 1,...,x k+1 n+1 = x k n.

14 14 Polinomijln proksimcij Ako je y k (x k n+1, b] i e 0(y k )e 0 (x k n+1 ) > 0 ond xk n+1 zmijenimo s yk. U suprotnom se referentni skup pomiče u desno i prv točk se odbcuje: x k+1 n+1 = yk, x k+1 n = x k n+1, xk+1 n = xk n,...,xk+1 0 = x k 1. Kriterij zustvljnj lgoritm je sljedeći: z neku zdnu tolernciju ε > 0 lgoritm zustvljmo kd je e(y k ) < c k + ε. Algorithm 1 Remezov lgoritm Ulz: Segment [, b], Funkcij f(x), n = stupnj polinom, ε = tolerncij N = mksimlni broj itercij Inicijlni referentni skup x 0 < x 1 <... < x n+1 for i = 1,...,N do 1. Rješvnjem sustv (1.16) dobiti 0, 1,..., n, c;. Formirti polinom p(x) = x + + n x n i funkciju greške e(x) = f(x) p(x); 3. Nći y [, b] tkv d je e(y) = mx{ e(x) : x [, b]}; if e(y) > c + ε then Korigirti referentni skup (Algoritm ); else Izlz iz petlje; end if end for Izlz: Koeficijenti polinom 0, 1,..., n. Korekcij referentnog skup vrši se u Algoritmu. Z relizciju Algoritm 1 potrebn su tri potprogrm: potprogrm z rješvnje sustv (1.16), potprogrm z trženje mksimum funkcije e(x) i potprogrm z rčunnje polinom (Hornerov lgoritm). Lkše je relizirti diskretnu verziju Remezovog lgoritm. Uzmimo d umjesto funkcije f immo zdne njene vrijednosti u N točk (npr. ekvidistntnih ili Čebiševljevih). Pri tome broj točk mor biti veći od stupnj proksimcijskog polinom (N > n). Td referentni skup birmo iz skup zdnih točk, trženje mksimum funkcije svodi se n pretrživnje tbele funkcijskih vrijednosti. Rdn verzij

15 1.3 Remezov lgoritm 15 Algorithm Korekcij referentnog skup Ulz: Segment [, b], Funkcij greške e(x), Referentni skup x 0 < x 1 <... < x n+1, y = točk mksimum. if y < x 0 then if e(y)e(x 0 ) > 0 then x 0 = y else for i = n + 1, n,...,1 do x i = x i end for x 0 = y end if end if if y [x i, x i+1 ] then if e(y)e(x i ) > 0 then x i = y else x i+1 = y end if end if if y > x n+1 then if e(y)e(x n+1 ) > 0 then x n+1 = y else for i = 0, 1,..., n do x i = x i+1 end for x n+1 = y end if end if Izlz: Novi referentni skup x 0 < x 1 <... < x n+1. M. Jurk 9. svibnj 007.

16 16 Polinomijln proksimcij 1.4 Metod njmnjih kvdrt Z zdnu funkciju f C([, b]) promtrmo problem nlženj polinom p P n koji zdovoljv f p = min q P n f q, g = b g(x) dx. (1.17) Rdi se o kontinuirnom problemu njbolje proksimcije u smislu njmnjih kvdrt. Uzmimo polinom p u obliku p(x) = x + x + + n x n i uvedimo funkciju F( 0, 1,..., n ) = b (f(x) 0 1 x... n x n ) dx; dolzimo do problem minimizcije bez ogrničenj F( 0, 1,..., n ) = min b 0,b 1,...,b n F(b 0, b 1,...,b n ). Točk minimum je ujedno stcionrn točk p mor vrijediti F i = b x i (f(x) 0 1 x... n x n ) dx = 0 i = 0, 1,..., n Time smo dobili tzv. normlnu jedndžbu b b b 0 x i dx + 1 x i+1 dx + + n x i+n dx = b x i f(x) dx z i = 0, 1,,..., n, odnosno G = f gdje je G = (g i,j ) n i,j=0 g i,j = i = ( i ) n i=0. b Primjer 1.4 Ako je = 0, b = 1 td je x i+j dx, f = (f i ) n i=0 f i = b x i f(x) dx g i,j = 1 i + j + 1 i, j = 0, 1,..., n. G je u tom slučju Hilbertov mtric z koju se zn d je vrlo loše uvjetovn. Rdn verzij

17 1.4 Metod njmnjih kvdrt 17 Normln jedndžb do koje smo došli je linerni sustv s loše uvjetovnom mtricom te stog nije pogodn z rješvnje stndrdnim metodm. Tj se problem može otkloniti birnjem pogodnije bze u prostoru P n. U prethodnom izvodu uzeli smo bzu polinom 1, x, x,...,x n. Loš uvjetovnost mtrice je posljedic tog što su ti vektori, iko linerno nezvisni, u dnom sklrnom produktu vrlo bliski. Promtrjmo sd mlo općenitiji problem nego što je to (1.17). Reći ćemo d je funkcij w težinsk funkcij ko zdovoljv w(x) > 0 z x (, b) b w(x) dx <. U prostoru C([, b]) uvodimo sklrni produkt i pripdnu normu (f, g) = b ( b f = w(x)f(x)g(x) dx, (1.18) ) 1 w(x)f(x) dx. Nek je F C([, b]) končnodimenzionln potprostor. Promtrmo kontinuirni problem njmnjih kvdrt { nći p F f p = min q F f q. D bismo npisli normlnu jedndžbu odberimo jednu bzu u prostoru F i oznčimo njene elemente s φ 0, φ 1,...,φ n (dim(f) = n + 1). Td je f p = b w(x)(f(x) 0 φ 0 (x) 1 φ 1 (x) n φ n (x)) dx = F( 0, 1,..., n ). Stog u točki minimum ponovo immo odnosno b F i = 0 i = 0, 1,,..., n w(x)φ i (x)(f(x) 0 φ 0 (x) 1 φ 1 (x) n φ n (x)) dx = 0 M. Jurk 9. svibnj 007.

18 18 Polinomijln proksimcij z i = 0, 1,,..., n. Te jedndžbe možemo npisti u obliku (φ 0, φ i ) 0 + (φ 1, φ i ) (φ n, φ i ) n = (f, φ i ) z i = 0, 1,,..., n. Uvedemo li oznke G = (g i,j ) n i,j=0 g i,j = (φ i, φ j ), f = (f i ) n i=0 f i = (f, φ i ), ond normlnu jedndžbu možemo zpisti u obliku G = f. Mtric tog sustv je Grmmov mtric vektor φ 0, φ 1,...,φ n i stog je regulrn čim su vektori φ i linerno nezvisni (vidi Kurep [?]). Normln jedndžb se bitno pojednostvljuje kd su funkcije (φ i ) n i=0 me dusobno ortogonlne, odnosno kd vrijedi (φ i, φ j ) = φ i δ i,j i, j = 0, 1,..., n. U tom je slučju rješenje problem njmnjih kvdrt dno formulm i = (f, φ i) φ i i = 0, 1,..., n. p(x) = 0 φ 0 (x) + 1 φ 1 (x) + + n φ n (x). Ukoliko je F = P n dolzimo do zključk d je rješenje problem njmnjih kvdrt poznto ko znmo konstruirti ortogonlne polinome i numerički rčunti integrle koji se pojvljuju u sklrnom produktu. 1.5 Ortogonlni polinomi Definicij 1.1 Niz polinom φ 0, φ 1, φ,... s sljedećim svojstvim: 1) deg(φ i ) = i ) (φ i, φ j ) = 0 z i j, nziv se ortogonlni sustv polinom. Egzistenciju i efektivnu konstrukciju ortogonlnog sustv polinom možemo dobiti primjenom Grm-Schmidtovog postupk ortogonlizcije polzeći od niz polinom 1, x, x, x 3,... Grm-Schmidtov postupk sstoji se u sljedećem: nek je zdn skup linerno nezvisnih funkcij (g 0, g 1,...,g n ). Konstruirmo ortonormirnu bzu (φ 0, φ 1,...,φ n ) Rdn verzij

19 1.5 Ortogonlni polinomi 19 sljedećim rčunom: f 0 (x) = g 0 (x), φ 0 (x) = f 0 (x)/ f 0 f 1 (x) = g 1 (x) (g 1, φ 0 )φ 0 (x), φ 1 (x) = f 1 (x)/ f 1 f (x) = g (x) (g, φ 0 )φ 0 (x) (g, φ 1 )φ 1 (x), φ (x) = f (x)/ f n f n (x) = g n (x) (g n, φ i )φ i (x), φ n (x) = f n (x)/ f n i=0 Uočimo d je svk funkcij φ i linern kombincij funkcij g 0,...,g i. Zbog tog niti jedn od funkcij f i, i = 1,,..., n, ne može biti jednk nuli jer bi u suprotnom jednkost f i 0 povlčil d je funkcij g i linern kombincij funkcij g 0,...,g i, što je u suprotnosti s pretpostvkom o linernoj nezvisnosti. Zbog tog su norme funkcij f i rzličite od nule i postupk je dobro definirn. Teorem 1.5 Nek je U linern prostor rzpet linerno nezvisnim skupom funkcij {g 0, g 1,...,g n }. Td funkcije φ 0, φ 1,...,φ n, konstruirne Grm-Schmidtovim postupkom, čine ortonormirnu bzu u prostoru U. Dokz. Nek je U i = L(g 0, g 1,..., g i ) linern prostor rzpet funkcijm g 0, g 1,..., g i. Indukcijom ćemo dokzti d z i = 0, 1,,... vrijedi: (i) {φ 0, φ 1,...,φ i } U i, (ii) skup {φ 0, φ 1,...,φ i } je ortonormirn. Z i = 0 tvrdnj je očit. Pretpostvimo d tvrdnj vrijedi z i i dokžimo d vrijedi z i. Prem konstrukciji je i f i (x) = g i (x) (g i, φ j )φ j (x) φ i (x) = f i (x)/ f i. j=0 Zbog linerne nezvisnosti je f i 0 p je φ i = 1 i φ i U i. Time je dokzn tvrdnj (i). Ndlje, iz pretpostvke indukcije i konstrukcije funkcije f i slijedi z svko k < i i (f i, φ k ) = (g i, φ k ) (g i, φ j )(φ j, φ k ) = (g i, φ k ) (g i, φ k ) = 0. j=0 Time je dokzno d je φ i ortogonlno n φ 0, φ 1,...,φ i. Kko su ortonormirni vektori i linerno nezvisni, oni čine bzu u U i. Q.E.D. Uočimo d se Grm-Schmidtov postupk može primijeniti n beskončn niz funkcij ko su one linerno nezvisne, tj. tkve d je svki končni podskup tih funkcij linerno nezvisn. Primjenom Grm-Schmidtovog postupk n niz monom 1, x, x, x 3,... dobivmo niz ortogonlnim polinom φ 0, φ 1,.... Iz konstrukcije je jsno d polinom M. Jurk 9. svibnj 007.

20 0 Polinomijln proksimcij φ i im stupnj i. Time je dokzn egzistencij ortogonlnog sustv polinom. Rzličiti primjeri tkvih sustv dobivju se vrirnjem sklrnog produkt u kojem se vrši ortogonlizcij. Klsični primjeri ortogonlnih polinom dobivju se primjenom sklrnog produkt (1.18) s rzličitim težinskim funkcijm w(x). Primjer 1.5 Klsični ortogonlni polinomi dobivju se uz sljedeće izbore težinskih funkcij: ko je [, b] = [, 1] i w(x) = (1 x) α (1 + x) β z α >, β > ond se dobiveni polinomi nzivju Jcobijevi polinomi; specijlni slučjevi su Legendreovi polinomi z α = 0 = β = 0, Čebiševljevi polinomi prve vrste z α = β = 1, Čebiševljevi polinomi druge vrste z α = β = 1. Ako je [, b] = [0, ) i w(x) = e x dobivju se Lguerrovi polinomi, z w(x) = x α e x pridruženi Lguerrovi polinomi. Z [, b] = R i w(x) = e x dobivju se Hermiteovi polinomi. Uočimo d je φ n+1 ortogonln n čitv prostor P n. Zist, on je ortogonln n φ 0,..., φ n no ti polinomi čine bzu u P n. Ortogonlne polinome φ i nije uobičjeno normirti relcijom φ i = 1. Češće se zhtijev d je vodeći koeficijent u polinomu jednk 1 ili d polinom im vrijednost jednku 1 u nekoj točki. Teorem 1.6 Svki niz ortogonlnih polinom (φ i ) i=0, normirn tko d je φ i (x) = x i +, zdovoljv sljedeću rekurziju: φ 0 (x) = 1, φ 1 (x) = x 1 (1.19) gdje je φ n (x) = (x n )φ n (x) b n φ n (x), n, (1.0) n = (xφ n, φ n ) φ n, n 1, b n = (xφ n, φ n ) φ n, n. (1.1) Dokz. Uočimo prvo d je fmilij ortogonlnih polinom jedinstveno odre den izborom sklrnog produkt i nčin normirnj. S druge strne rekurzije (1.19) (1.1) n jedinstven nčin odre duju jednu fmiliju polinom z koju je evidentno deg(φ n ) = n i φ n (x) = x n +. Stog ostje smo pokzti ortogonlnost niz generirnog rekurzijom. Ortogonlnost dokzujemo indukcijom. Immo (φ 1, φ 0 ) = (x 1, 1) = (x, 1) 1 (1, 1) = (x, 1) (xφ 0, φ 0 ) φ 0 (1, 1) = (x, 1) (x, 1) (1, 1) = 0. 1 Pretpostvimo d su polinomi φ 0, φ 1,...,φ n me dusobno ortogonlni. Pokzt ćemo d je φ n ortogonln n φ n, φ n,...,φ 0. (φ n, φ i ) = ((x n )φ n b n φ n, φ i ) = ((x n )φ n, φ i ) b n (φ n, φ i ). Immo tri rzličit slučj: Rdn verzij

21 1.5 Ortogonlni polinomi 1 1. Z i < n immo d je (φ n, φ i ) = (φ n, φ i ) = 0 p je (φ n, φ i ) = (xφ n, φ i ) = (φ n, xφ i ) = 0, budući d je xφ i P i+1 P n, φ n je prem pretpostvci indukcije ortogonln n P n.. Z i = n immo prem definiciji koeficijent b n. 3. Z i = n 1 immo (φ n, φ n ) = ((x n )φ n, φ n ) b n φ n = (xφ n, φ n ) b n φ n = 0 (φ n, φ n ) = ((x n )φ n, φ n ) b n (φ n, φ n ) = (xφ n, φ n ) n φ n = 0 prem definiciji koeficijent n. Q.E.D. Koeficijent b n iz tročlne rekurzije možemo zpisti u obliku koji je efiksniji z rčunnje. Zist, budući d je zbog ortogonlnosti vrijedi što dje trženi zključk. b n = φ n φ n (1.) φ n (x) = xφ n (x) n φ n (x) b n φ n 3 (x), (xφ n, φ n ) = (φ n, xφ n ) = (φ n, φ n + n φ n + b n φ n 3 ) = (φ n, φ n ) Teorem 1.7 Nek je φ 0, φ 1, φ,... sustv ortogonlnih polinom n [, b]. Td polinom φ k im točno k rzličitih nultočk u intervlu (, b). Dokz. Oznčimo s x 1, x,..., x m sve relne nultočke polinom φ k, neprnog stupnj, koje se nlze u intervlu (, b). Ukoliko tkvih nultočk nem uzet ćemo formlno d je m = 0. Uočimo d zbog neprnog stupnj nultočk polinom φ k mijenj predznk u točkm x i. Ukoliko je m = k dokz je gotov. Pretpostvimo stog d je m < k. Td možemo konstruirti polinom { 1 z m = 0 q(x) = (x x 1 )(x x ) (x x m ) z m 1. M. Jurk 9. svibnj 007.

22 Polinomijln proksimcij Prem konstrukciji polinom φ k (x)q(x) ne mijenj predznk n intervlu (, b), zbog tog što je stupnj polinom q strogo mnji od k vrijedi (φ k, q) = b w(x)φ k (x)q(x) dx = 0. Odvde izlzi φ k (x)q(x) = 0 z svko x (, b) to može biti smo ko je φ k = 0 što je kontrdikcij. Q.E.D. Lem 1.1 Uz oznke iz Teorem 1.6 pretpostvimo d je segment [, b] simetričn ( = b) i d je težinsk funkcij w(x) prn. Td je n = 0 z sve n 1 i φ n je prn funkcij z prno n, neprn z neprno n. Dokz. Indukcijom. Z n = 1 immo 1 = 1 b w(x)xφ φ 0 0 (x) dx = 1 b w(x)xdx = 0 b φ 0 b budući d je produkt prne i neprne funkcije neprn funkcij. 3 zključili d je 1 = 0 i stog je φ 0 prn, φ 1 neprn funkcij. Kork indukcije. Uzmimo d smo z Time smo φ 0, φ 1, φ,...φ k dokzli d su funkcije s prnim indeksom prne, one s neprnim neprne te d je i = 0 z i = 0, 1,,..., k 1. Td je i φ k (x) = (x k )φ k (x) b k φ k (x) k = (xφ k, φ k ) φ k = 1 b w(x)xφ φ k k (x) dx = 0, b jer je kvdrt prne ili neprne funkcije uvijek prn funkcij, p je cijel podintegrln funkcij w(x)xφ k (x) neprn. Sd je φ k (x) = xφ k (x) b k φ k (x) p po pretpostvci indukcije vidimo d je φ k (x) prn funkcij. Posve nlogno se vidi d je k+1 = 0 što neposredno dje neprnost funkcije φ k+1 (x). Q.E.D. 3 Koristimo činjenicu d je integrl neprne funkcije po simetričnom intervlu jednk nuli. Rdn verzij

23 1.5 Ortogonlni polinomi Legendreovi polinomi Legendreove polinome dobivmo Grm-Schmidtovom ortogonlizcijom potencij 1, x, x, x 3,... n segmentu [, 1], u sklrnom produktu (f, g) = f(x)g(x) dx. Stndrdni Legendreovi polinomi se oznčvju s P n (x) i normirju tko d je P n (1) = 1. Oznčimo s P n (x) n-ti Legendreov polinom normirn tko d je P n (x) = xn +. Td prem Teoremu 1.6, (1.) i Lemi 1.1 znmo d vrijedi P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x te P n(x) = xp n(x) P n P n P n (x), n gdje je f = Primjer 1.6 Neposrednim rčunom može se dobiti P 0 (x) = 1 P 1 (x) = x Lem 1. Z n = 0, 1,,... vrijedi Zdtk. Dokžite Lemu 1.. Koristeći Lemu 1. dobivmo P (x) = x 1 3 P 3 (x) = x3 3 5 x f(x) dx. P 4 (x) = x4 6 7 x P n = n + 1 P n (1). Pn (x) = xp n n 3 Pn (x) (1) n 1 Pn (1) P n (x), n što dje rekurziju z P n(1): N osnovu te rekurzije dobivmo M. Jurk 9. svibnj 007. Pn(1) = Pn(1) n 3 Pn (1) n 1 Pn (1), n.

24 4 Polinomijln proksimcij Lem 1.3 Z n = 0, 1,,... vrijedi P n (1) = n ( ). n n Zdtk. Dokžite Lemu 1.3. Sd lko slijedi rekurzij z stndrdne Legendreove polinome: P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, (1.3) np n (x) = (n 1)xP n (x) (n 1)P n (x), n. (1.4) Ndlje, evidentn je i formul P n = Zdtk. Dokžite rekurziju (1.3) (1.4) Čebiševljevi polinomi, n = 0, 1,,.... (1.5) n + 1 Čebiševljeve polinome dobivmo Grm-Schmidtovom ortogonlizcijom potencij 1, x, x, x 3,... n segmentu [, 1], u sklrnom produktu (f, g) = f(x)g(x) 1 x dx. Stndrdni Čebiševljevi polinomi oznčvju se s T n(x) i normirju tko d je T n (1) = 1. Oznčimo s T n (x) n-ti Čebiševljev polinom normirn tko d je T n (x) = xn +. Td prem Teoremu 1.6, (1.) i Lemi 1.1 znmo d vrijedi T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x te T n(x) = xt n(x) T n T n T n (x), n gdje je f = f(x) 1 x dx. Primjer 1.7 Izrčunjmo T (x). Prvo uočimo d integrl oblik P(x) 1 x dx možemo izrčunti supstitucijom x = cos t, z t [0, π]: P(x) 0 dx = 1 x π P(cost)sin t π 1 cos t dt = P(cost)dt 0 Rdn verzij

25 1.5 Ortogonlni polinomi 5 gdje smo iskoristili pozitivnost sinus n [0, π]. Primijenjujući ovu formulu dobivmo T0 = T1 = 1 π dx = dt = π 1 x 0 x π dx = 1 x 0 cos t dt = π. Time rekurzij dje T (x) = x 1. Lem 1.4 Z x [, 1] i n 1 vrijedi Dokz. Uvest ćemo funkciju Jednostvnim rčunom dobivmo d je Tn(x) = 1 cos(n rccosx). n ψ n (t) = Tn (cost), t [0, π], n > 0. (1.6) ψ 0 (t) = 1, ψ 1 (t) = cost, ψ (t) = cos(t), ψ 3 (t) = cos(3t). Odvde se nmeće formul ψ n (t) = cos(nt) n, n > 0. (1.7) Ukoliko dokžemo formulu (1.7), očito smo dokzli lemu. Uočimo d funkcije ψ n (t) definirne s (1.6) zdovoljvju rekurziju ψ 0 (t) = 1, ψ 1 (t) = cost, ψ n (t) = costψ n (t) b n ψ n (t), n, (1.8) gdje je Budući d je immo T n = b n = T n n. Tn, π 0 ψ n (t) dt = ψ n, b n = ψ n ψ n. Rekurzij (1.8) posve odre duje funkcije ψ n (t) p je dovoljno pokzti d funkcije M. Jurk 9. svibnj 007. θ n (t) = cos(nt) n, n > 0

26 6 Polinomijln proksimcij θ 0 (t) = 1, zdovoljvju istu rekurziju, što ond dokzuje (1.7). U tu svrhu prvo uočimo d je z n 1 θ n = π 0 cos (nt) n dt = 1 n i evidentno θ 0 = π. Stog je Sd treb smo pokzti d je π cos(nt) θ n θ n = 1 4, n 3, θ 1 θ 0 = 1. θ (t) = costθ 1 (t) 1 θ 0(t), θ n (t) = costθ n (t) 1 4 θ n (t), n 3, dt = π 1 n, što se dobiv elementrnim rčunom. Time je lem dokzn. Q.E.D. Sd lko dobivmo d vrijedi T n T n = ψ n ψ n = 1 4, i štoviše Tn = θ n = π ( 1 n) z n > 0. Time dobivmo rekurziju z Tn (x): T0 (x) = 1, T 1 (x) = x, Tn (x) = xt n (x) 1 4 T n (x), n. Z stndrdne Čebiševljeve polinome immo Rekurzij z te funkcije je T 0 (x) = 1, T n (x) = cos(n rccosx), n > 0. (1.9) T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x (1.30) T n (x) = xt n (x) T n (x), n =, 3,... (1.31) Končno T 0 = π, T n = π, n = 1,,... (1.3) Zdtk. Pomoću rekurzije z Čebiševljeve polinome dokzti: (x y) + (x y) T n (x)t n (y) = T N+1 (x)t N (y) T N+1 (y)t N (x). (1.33) n=1 Rdn verzij

27 1.6 Diskretn Čebiševljev njbolj proksimcij 7 Uput: Oduzeti relcije prosumirti od 1 do N. T n+1 (x)t n (y) = xt n (x)t n (y) T n (x)t n (y) T n+1 (y)t n (x) = yt n (y)t n (x) T n (y)t n (x) 1.6 Diskretn Čebiševljev njbolj proksimcij Vrtimo se ponovo problemu njmnjih kvdrt iz Sekcije 1.4. Z sklrni produkt u C([, b]) odbiremo norm je dn s (f, g) = ( f = f(x)g(x) 1 x dx, f(x) 1 x dx ) 1/. Ukoliko nm je zdn ortonormirn niz polinom φ 0, φ 1,...,φ n,... ond problem njbolje proksimcije funkcije f C([, b]) im rješenje p n P n dno formulom gdje je p n (x) = 0 φ 0 (x) + 1 φ 1 (x) + + n φ n (x) i = (f, φ i), i = 0, 1,,... φ i D bismo efektivno izrčunli tu proksimciju mormo poznvti funkcije φ i i njihove norme φ i te rčunti sklrne produkte (f, φ i ). U tu svrhu trebmo koristiti neku od metod numeričke integrcije. Rdi rčunnj sklrnog produkt posebno su pogodni z proksimciju Čebiševljevi polinomi. Oni nime imju tu prednost d im se lko rčunju nultočke. Nultočke N-tog Čebiševljevog polinom T N(x) dne su formulom ( ) (i 1)π x i = cos, i = 1,,..., N. (1.34) N Sd je moguće iskoristiti Gussovu integrcijsku formulu zsnovnu n Čebiševljevim polinomim. M. Jurk 9. svibnj 007.

28 8 Polinomijln proksimcij Lem 1.5 Nek su x i, i = 1,,..., N nultočke N-tog T N (x). Td z svko p P N vrijedi Čebiševljevog polinom p(x) 1 x dx = π N p(x i ). Dokz. Uzmimo proizvoljn polinom p P N i podijelimo g s T N : p(x) = q(x)t N (x) + r(x), deg(q) < N, deg(r) < N. Zbog ortogonlnosti immo p(x) 1 dx = 1 x = q(x)t N (x) 1 x r(x) 1 x dx. dx + S druge strne, ko immo formulu numeričke integrcije r(x) 1 x dx f(x) dx N ω i f(x i ), (1.35) 1 x gdje su integrcijske točke izbrne ko nultočke N-tog T N (x), ond vrijedi Čebiševljevog polinom ω i p(x i ) = ω i q(x i )T N (x i ) + ω i r(x i ) = ω i r(x i ). Sd treb smo odbrti integrcijske težine tko d formul (1.35) bude točn n polinomim stupnj strogo mnjeg od N, odnosno, z svko r P N : r(x) dx = N ω i r(x i ). 1 x U tu svrhu prikžimo polinom r(x) ko Lgrngeov interpolcijski polinom s čvornim točkm x i, i = 1,...,N. Immo r(x) = r(x j )L j (x), gdje su L j P N polinomi definirni relcijm L j (x k ) = δ k,j, k = 1,...,N. Rdn verzij

29 1.6 Diskretn Čebiševljev njbolj proksimcij 9 Budući d je T N (x) = C N (x x 1 )(x x ) (x x N ), gdje je C N nek normirjuć konstnt, lko se pokzuje d je L j (x) = Π i j(x x i ) Π i j (x j x i ) = T N (x) (x x j )T N (x j). Time dobivmo izrz z integrcijske težine: L j (x) ω j = dx = 1 1 T N (x) 1 x T N (x j) (x x j ) dx. (1.36) 1 x Iskoristimo formulu (1.33) uz y = x j : (x x j ) + (x x j ) T n (x)t n (x j ) = T N+1 (x j )T N (x). n=1 Dijeljenjem s (x x j ) 1 x i integrcijom dobivmo, T 0 (x) 1 dx = T N+1(x j ) 1 x T N (x) (x x j ) dx, (1.37) 1 x gdje smo iskoristili T 0 = 1 i ortogonlnost Čebiševljevih polinom. Integrl n lijevoj strni u (1.37) je jednk π, tko d kombinirjući (1.36) i (1.37) dobivmo π ω j = T N+1 (x j )T N (x j). Neposrednim rčunom, n osnovu formule (1.9) končno dobivmo ω j = π N. Iz prethodne leme slijede diskretne ortogonlnosti Lem 1.6 Nek su x i, i = 1,,..., N nultočke N-tog Čebiševljevog polinom T N (x). Td z j + k < N vrijedi 0 j k T j (x i )T k (x i ) = N/ j = k 0 N j = k = 0. Dokz. Kko z j + k < N immo T j (x)t k (x) P N p prem prethodnoj lemi vrijedi T j (x)t k (x) dx = π T j (x i )T k (x i ). 1 x N M. Jurk 9. svibnj 007.

30 30 Polinomijln proksimcij Sd se iskoristi ortogonlnost Čebiševljevih polinom te formule (1.3). Q.E.D. N osnovu ovih formul dolzimo do sljedećeg približnog rješenj problem njbolje proksimcije. Z trženi stupnj proksimcije n 1 odberemo cijeli broj N > n i oznčimo s x i nultočke N-tog Čebiševljevog polinom T N(x) (formul (1.34)). Njbolj proksimcij se rčun po formulm gdje je z i = 0, 1,...,n p n (x) = 0 T 0(x) + i T i (x), (1.38) i = N f(x j )T i (x j ). (1.39) Tu smo proksimirli Fourierove koeficijente Guss-Čebiševljevim integrcijskim formulm 1 f(x)t i (x) π dx f(x j )T i (x j ) 1 x N koje su točne z f P N n. Lem 1.7 Nek su x i, i = 1,,..., N nultočke N-tog Čebiševljevog polinom T N (x) i nek je 0 < n < N. Td je formulm (1.38) i (1.39) dno rješenje sljedećeg diskretnog problem njmnjih kvdrt: Nći p P n tkv d je (f(x j ) p(x j )) min. Dokz. Svki polinom p P n možemo rspisti po Čebiševljevim polinomim p(x) = 0 T 0(x) + i T i (x) što vodi n problem minimizcije funkcije ( f( 0, 1,..., n ) = f(x j ) 0 T 0(x j ) i T i (x j ) Derivirnjem po koeficijentim 0,..., n dolzimo do sljedećeg sustv z stcionrne točke. ( ) f(x j ) 0 T 0(x j ) i T i (x j ) T k (x j ) = 0, ) Rdn verzij

31 1.6 Diskretn Čebiševljev njbolj proksimcij 31 z k = 0, 1,..., n. Odvde zbog diskretne ortogonlnosti dobivmo f(x j )T k (x j ) = 0 T 0 (x j )T k (x j ) + N i T i (x j )T k (x j ) = k N. Time smo pokzli d je rješenje diskretnog problem minimizcije uprvo dno formulm (1.39). Q.E.D. Npomen. U slučju n = N 1 diskretn problem njmnjih kvdrt im z rješenje interpolcijski polinom. Posvetimo se sd efiksnoj implementciji lgoritm. Uočimo prvo d mormo rčunti koeficijente i z i = 0, 1,..., n prem formuli (1.39). Tj rčun možemo izvesti rekurzivno, koristeći rekurziju z polinome T i. Immo: 0 = N 1 = N i = N f(x j )T 0 (x j ) = N f(x j )T 1 (x j ) = N f(x j )T i (x j ) = N f(x j ) f(x j )x j f(x j ) (x j T i (x j ) T i (x j )), Pmtimo li tri vektor b = (f(x j )T i (x j )) N, c = (f(x j )T i (x j )) N i d = (f(x j )T i (x j )) N ond rčunnje možemo orgnizirti n ovj nčin: b = (f(x j )) N, c = (f(x j )x j ) N, 0 = (/N) N b j, 1 = (/N) N c j for i =,...,n do d = (x j c j ) N b i = (/N) N d j b = c, c = d end for Vidimo d se u tom lgoritmu Čebiševljevi polinomi više ne pojvljuju. Nkon što izrčunmo koeficijente u rzvoju potrebno je rčunti vrijednost polinom po formuli (1.38). Tj rčun tko der želimo izvesti rekurzivno, koristeći rekurziju z Čebiševljeve polinome (1.31). Pokzt ćemo kko se do tkve rekurzije može doći u slučju Čebiševljevih polinom, no n isti nčin se postup u slučju bilo koje fmilije rekurzivno zdnih polinom. Algoritm koji se tko dobiv nziv se Clenshwljev rekurzij. M. Jurk 9. svibnj 007.

32 3 Polinomijln proksimcij Želimo izrčunti p(x) = 0 T 0(x) + i T i (x), p uvedimo oznku p 0 = p(x). Zbog rekurzije (1.31), z bilo koje brojeve p 1,..., p n vrijedi p(x) = p 0 + p 1 (T 1 (x) x) + p i (T i (x) xt i (x) + T i (x)). i= Nime, svi člnovi uz p i, i > 0, su jednki nuli. Preuredit ćemo ovj izrz tko d dobije oblik (1.38): p(x) = p 0 + p 1 T 1 (x) p 1 x + = p 0 + p 1 T 1 (x) p 1 x + = p 0 p 1 x + p T 0 (x) + p i T i (x) p i xt i (x) + p i T i (x) i= i= i= n n p i T i (x) p j+1 xt j (x) + p j+ T j (x) i= i=0 n n p i T i (x) p j+1 xt j (x) + p j+ T j (x). Stvimo li p n+1 = p n+ = 0 možemo proširiti zdnje dvije sume do n p dobivmo p(x) = p 0 p 1 x + p + (p i p i+1 x + p i+ )T i (x). Uspore divnjem s (1.38) vidimo d mor vrijediti p 0 p 1 x + p + (p i p i+1 x + p i+ )T i (x) = 0 T 0(x) + i T i (x), p izjednčvnjem koeficijent uz iste bzne funkcije dobivmo rekurziju dok z i = 0 immo i = p i p i+1 x + p i+, i = n, n 1,...1 p 0 p 1 x + p = 0 /. Pomoću te rekurzije možemo izrčunti p 0 = p(x) polzeći od i = n prem i = 0. Dobivmo lgoritm Rdn verzij

33 1.6 Diskretn Čebiševljev njbolj proksimcij 33 p n+1 = p n+ = 0, for i = n,...,1 do p i = p i+1 x p i+ + i end for p 0 = p 1 x p + 0 / Cijeli lgoritm z rčunje njbolje proksimcije sstoji se od Algoritm 3 u kojem se rčunju koeficijenti rzvoj i Algoritm 4 koji z dnu toǩu x [, 1] rčun p n (x). Algorithm 3 Diskretn Čebiševljev proksimcij - koeficijenti Ulz: Funkcij f : [, 1] R N = broj čvorov n = stupnj proksimcije (n < N) // Inicijlizcij for i = 1,,..., N do x i = cos( (i)π ) N f i = f(x i ) end for for i = 0, 1,,..., n do i = 0 // koeficijenti u rzvoju end for // Rčunnje koeficijent for i = 1,,..., N do b i = f i, c i = x i f i 0 = 0 + b i, 1 = 1 + c i end for for j =,...,n do for i = 1,,..., N do d i = x i c i b i j = j + d i b i = c i, c i = d i end for end for for i = 0, 1,..., n do i = i /N end for Izlz: Koeficijenti 0, 1,..., n. Primjer 1.8 Aproksimirjmo funkciju f(x) = cos((x + 1) ) n segmentu [, 1] uzimjući N = 18. Rezultti z polinome stupnj 3,5,7 i 9 prikzni su n Slici 1.3. M. Jurk 9. svibnj 007.

34 34 Polinomijln proksimcij Algorithm 4 Diskretn Čebiševljev proksimcij - vrijednost polinom Ulz: x [, 1] točk u kojoj rčunmo proksimciju 0, 1,..., n koeficijenti rzvoj p n+ = p n+1 = 0 for i = n,...,1 do p i = p i+1 x p i+ + i end for p 0 = p 1 x p + 0 / Izlz: p 0 = p(x). 1.5 cos(*(x+1)*(x+1)) Cebisev.prox 1.5 cos(*(x+1)*(x+1)) Cebisev.prox cos(*(x+1)*(x+1)) Cebisev.prox 1.5 cos(*(x+1)*(x+1)) Cebisev.prox Slik 1.3: Diskretn Čebiševljev proksimcij polinomim stupnj 3,5,7 i Zdci Z1.1. Dokžite d je mtric (1.5) regulrn ko me du točkm x i nem jednkih. Z1.. Dokžite d su formulom (1.8) dne norme n R n. Z1.3. Dokžite d je mtric A iz (1.9) punog rng. Z1.4. Dokžite d je formulom (1.18) dn sklrni produkt n C([, b]) ukoliko je w težinske funkcij s svojstvim 1, i 3. Rdn verzij

35 1.7 Zdci 35 Z1.5. Implementirjte diskretn Rémèsov lgoritm. M. Jurk 9. svibnj 007.