Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
|
|
- Άμωσις Λύκος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu leži veći kut Nsuprot mnjoj strnii u trokutu leži mnji kut Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n = n, n, n oučk o kosinusu (kosinusov poučk) U trokutu vrijede ove jednkosti = + os, = + os, = + os os =, os =, os = Nek je = 7 m, = 8 m i = 9 m udući d se nsuprot njmnje strnie u trokutu nlzi njmnji kut, slijedi: + + ( 8 m) + ( 9 m) ( 7 m) os = = os = os 8 m 9 m 64 m + 8 m 49 m 96 m krtimo rzlomk = os = os 44 m 44 m s 48 m = os = 48 '3'' 3 Vjež 4 Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 4 m, 6 m i 8 m? Rezultt: 48 ' 3'' < < < < < < Zdtk 4 (4, TUŠ) N skii je prikzn konveksn četverokut D u kojem je + = + δ = 8
2 rvi i D sijeku se u točki T Točk T je 3 m udljen od točke, 6 m od točke D i m od točke Kolik je duljin strnie? 3 m 5 m 7 m D 9 m Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Sličnost trokut Kžemo d su dv trokut sličn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie proporionlne =, =, =, = = = k Omjer strni sličnih trokut k zovemo koefiijent sličnosti rvi poučk sličnosti (K K) Dv su trokut sličn ko se podudrju u dv kut Drugi poučk sličnosti (S K S) Dv su trokut sličn ko se podudrju u jednom kutu, strnie koje odreñuju tj kut su proporionlne Treći poučk sličnosti (S S S) Dv su trokut sličn ko su im sve odgovrjuće strnie proporionlne Četvrti poučk sličnosti (S S K) Dv su trokut sličn ko su im dvije strnie proporionlne, podudrju se u kutu nsuprot većoj strnii ko su i rojevi, kžemo d je količnik :, omjer rojev i Vrijednost omjer ne mijenj se ko se prvi i drugi roj pomnože ili podijele istim rojem ( ) ( ) ( ) : ( ) : = n : n : = : n : n Rzmjer ili proporij je jednkost dvju jednkih omjer ko je td je rzmjer ili proporij : = k i : d = k, : = : d Umnožk vnjskih člnov rzmjer i d jednk je umnošku unutrnjih člnov rzmjer i : = : d d = Dv su kut suplementn, ko je njihov zroj jednk 8, još kžemo d su ti kutovi sukuti + = 8
3 S slike vidi se: T = 3, TD = 6, T =, = T T D =, =, D =, D = δ Dokžimo d vrijedi: TD =, DT = TD = TD = 8 TD = 8 metod TD = + = 8 = 8 komprije DT = DT = 8 δ DT = 8 δ metod DT = + δ = 8 = 8 δ komprije 3
4 Uočimo d su trokuti TD i T slični jer imju jednke kutove (kut DT je zjednički z o trokut, = DT, D = TD ) Nsuprot kutu je: u trokutu TD strni T u trokutu T strni T Nsuprot kutu je: u trokutu TD strni TD u trokutu T strni T Td vrijedi rzmjer: Rčunmo duljinu strnie Odgovor je pod T : T = TD : T T : = 6 : 3 3 T = 6 3 T = 6 /: 3 T = = T T = 3 = 7 Vjež 4 N skii je prikzn konveksn četverokut D u kojem je + = + δ = 8 rvi i D sijeku se u točki T Točk T je 6 m udljen od točke, m od točke D i m od točke Kolik je duljin strnie? Rezultt: 6 m 3 m 34 m D 38 m Zdtk 43 (4, TUŠ) U prvokutnome trokutu mjer jednog šiljstog kut je sedm put već od mjere drugog šiljstog kut Kolik je mjer mnjeg kut tog trokut? 5' 5' 3 ' D 5 4 ' Rješenje 43 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Zroj kutov u trokutu je = 8 rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut 4 = 9, + = 9
5 Kko zpisti d je roj ''n put'' veći od roj? = n, =, = n n Mjer njmnjeg kut prvokutnog trokut doije se iz sustv jedndži + = 9 metod 7 + = 9 8 = 9 8 = 9 /: 8 = 5' = 7 supstituije Odgovor je pod Vjež 43 U prvokutnome trokutu mjer jednog šiljstog kut je osm put već od mjere drugog šiljstog kut Kolik je mjer mnjeg kut tog trokut? D 5 Rezultt: Zdtk 44 (Helen, pedgoški fkultet) Nek je zdn trokut tkv d je < i nek su nd strnim konstruirni kvdrti (slik) Dokžite d je N = N i M R Rješenje 44 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Sukldnost trokut Kžemo d su dv trokut sukldn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie jednkih duljin =, =, =, =, =, = rvi poučk sukldnosti (S S S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u sve tri strnie Drugi poučk sukldnosti (S K S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnie i kutu izmeñu njih Treći poučk sukldnosti (K S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u jednoj strnii i o kut n toj strnii Četvrti poučk sukldnosti (S S K) 5
6 Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnie i kutu nsuprot većoj strnii Četverokut je dio rvnine omeñen s četiri dužine Četverokut je ztvoren geometrijski lik koji im četiri kut i četiri strnie Kvdrt je četverokut kojemu su sve strnie sukldne, dijgonle meñusono sukldne i okomite N M S slike vidi se: R = = R = R =, M = MN = N = = =, =, = N = 9 + = 9 +, = + 9 = + 9 N N M M R Uočimo trokute N i z koje vrijedi: Td je: N N =, =, N = + 9 =, =, = + 9 R 6
7 N = + 9 N = = + 9 Dkle, promtrni trokuti N i imju dvije strnie jednke duljine i jednke kutove meñu tim strnim N = =, = = N = o drugom poučku o sukldnosti trokut (S K S) trokuti N i sukldni su (podudrju se u dvije strnie i kutu meñu njim) p im je i treć strni jednke duljine, tj Dokz gotov N Vjež 44 Svki vnjski kut trokut jednk je zroju dvju unutrnjih kutov trokut koji s njime nisu susjedni Rezultt: = ' ' + + = 8 ' + = 8 Zdtk 45 (Helen, pedgoški fkultet) Nek je ' = + = ED i = E (slik) Dokžite d je D = E D Rješenje 45 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Sukldnost trokut Kžemo d su dv trokut sukldn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d 7 E
8 su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie jednkih duljin =, =, =, =, =, = rvi poučk sukldnosti (S S S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u sve tri strnie Drugi poučk sukldnosti (S K S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnie i kutu izmeñu njih Treći poučk sukldnosti (K S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u jednoj strnii i o kut n toj strnii Četvrti poučk sukldnosti (S S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnie i kutu nsuprot većoj strnii D E Uočimo trokute i ED z koje vrijedi: = E, = DE =, = ED D D E E o trećem poučku o sukldnosti trokut (K S K) trokuti i ED sukldni su (podudrju se u jednoj strnii i o kut n toj strnii) p vrijedi: S slik vidi se: Dokz gotov D =, = ED = E D + D = + E D = D + = + E D + = + E D = E 8
9 Vjež 45 Zroj vnjskih kutov trokut jednk je punom kutu (36 ) Rezultt: ' + + = 8 ' = + ' + ' + ' = ' + ' + ' = 36 ' = + ' = + Zdtk 46 (Nik, gimnzij) Duljine ktete i hipotenuze prvokutnog trokut su dv uzstopn prirodn roj Kvdrt ktete trokut je: + + D Rješenje 46 ' ( + ) = + + Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut itgorin poučk Trokut je prvokutn ko i smo ko je kvdrt nd hipotenuzom jednk zroju kvdrt nd ktetm Skup svih prirodnih rojev oznčvmo s N i pišemo: Zkon soijije z zrjnje Kko zpisti dv uzstopn prirodn roj? ' { n n } N =,, 3, 4, 5,,, +, ( + ) + = + ( + ) n, n +, n, n udući d su duljine ktete i hipotenuze prvokutnog trokut dv uzstopn prirodn roj, vrijedi: = n, = n + n + = ( n + ) = ( n + ) n = n + n + n + = = n + n + n = n + = n + n + = n + n + Odgovor je pod = n = + = n + ( ) 9
10 Vjež 46 Duljine ktete i hipotenuze prvokutnog trokut su dv uzstopn prirodn roj Kvdrt ktete trokut je: + + D Rezultt: Zdtk 47 (etr, strukovn škol) Nrtni su usporedni prvi p i q i po dvije točke n svkome od njih Koj je tvrdnj točn z površine trokut i D prikznih n skii? Rješenje 47 = 5 D = D = 5 D D = D Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut loštin trokut izrčunv se po formuli v v, v = =, = loštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii D E v v v = v = D = E
11 = = v v v S slike vidi se d trokuti i D imju jednku osnoviu (zu), visine su jednke duljine jer su prvi p i q usporedni ovršine trokut i D jednke su Odgovor je pod Vjež 47 Nrtni su usporedni prvi p i q i po dvije točke n svkome od njih Koj je tvrdnj točn z površine trokut D i D prikznih n skii? D p q Rezultt: D = 5 D D = D D = 5 D D D = D Zdtk 48 (Ivn, gimnzij) Rzlik duljin hipotenuze i jedne ktete prvokutnog trokut je 8 m, duljin je druge ktete 36 m Kolik je površin trokut? Rješenje 48 ( x + y) = x + x y + y Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete,
12 njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut itgorin poučk Trokut je prvokutn ko i smo ko je kvdrt nd hipotenuzom jednk zroju kvdrt nd ktetm loštin prvokutnog trokut čije su ktete i dn je formulom Iz zdne pretpostvke doije se sustv jedndži = = 8 = 8 + itgorin poučk ( 8 ) = + = = = = = = 96 6 = = 3 6 = 3 /: 6 = 77 ovršin prvokutnog trokut iznosi: = 77 m, = 36 m 77 m 36 m = = 386 m = 4 Vjež 48 Rzlik duljin hipotenuze i jedne ktete prvokutnog trokut je 4 m, duljin je druge ktete 8 m Kolik je površin trokut? Rezultt: 4 m Zdtk 49 (Le, gimnzij) Koliki su kutovi jednkokrčnog trokut, ko je = 33 m i v = 5 m? Rješenje 49 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut N osnovi odnos meñu duljinm strni trokut može iti: ) rznostrničn, ) jednkokrčn, 3) jednkostrničn Kod jednkokrčnog trokut duljine dviju strni su jednke Strnie jednkih duljin zovemo krim trokut Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjeište okomie (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvem n kojem leži suprotn strni trokut Zroj svih kutov u trokutu je 8º + + = 8 Z jednkokrčn trokut vrijedi: + = 8 Tngens šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine ktete uz tj kut Gledj slike!
13 v v v Iz prvokutnog trokut, čije su ktete v i, hipotenuz uz pomoć funkije tngens, doije se: v v v v 5 m tg = tg = tg = = tg tg = 33 m 3 m 3 m 3 = tg = tg = tg = 4 6'5'' 33 m 33 m 33 Rčunmo kut + = '5'' = '5 '' = 8 = 4 6 '5'' 6 ' = '5 '' = = '6 '' 84 3 '5 '' = 95 7 ' '' ' = 6 '' Vjež 49 Koliki su kutovi jednkokrčnog trokut, ko je = 66 m i v = 3 m? Rezultt: = 95 7 ' '', = 4 6 '5 '' Zdtk 5 (Le, gimnzij) U jednkokrčnom trokutu je = = 3 m i = 5 m Simetrle kutov n osnovii trokut sijeku se u točki D Koliki je kut D? Rješenje 5 Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut N osnovi odnos meñu duljinm strni trokut može iti: ) rznostrničn, ) jednkokrčn, 3) jednkostrničn Kod jednkokrčnog trokut duljine dviju strni su jednke Strnie jednkih duljin zovemo krim trokut Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjeište okomie (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvem n kojem leži suprotn strni trokut 3
14 Zroj svih kutov u trokutu je 8º + + = 8 Kosinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete uz tj kut i duljine hipotenuze E D F E D F E D F N N S slik vidi se: = = 3, = 5, N = N =, = ND =, DN =, ND = DN Visin N okomit je n osnoviu i trokut dijeli n dv sukldn prvokutn trokut: N i N romtrjmo, n primjer, prvokutn trokut N omoću funkije kosinus doije se: N 5 m os N = os N = os N = 3 m 5 m os N = os N = os N = os N = 3 m N = os N = 65 '3 '' Td je ND = N ND = 65 '3'' = 6 ' ND = 64 8 '3 '' ND = 3 4'6 Zog ND = DN, slijedi ND + D + DN = 8 D = 8 ( ND + DN ) D = 8 ND D = 8 65 '3 '' = 6 ' D = '64 '' D = '6 '' 3 45'4 '' ' = 6 ' D = 49 4 '56 '' N 4
15 Vjež 5 U jednkokrčnom trokutu je = = 6 m i = 5 m Simetrle kutov n osnovii trokut sijeku se u točki D Koliki je kut D? Rezultt: = 95 7 ' '', = 4 6 '5 '' Zdtk 5 (Mtij, gimnzij) Duljine strni trokut jednke su m, m i 3 m Rzlik duljin dviju krćih strni sličnog trokut iznosi m Kolike su duljine strni sličnog trokut? Rješenje 5 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Sličnost trokut Kžemo d su dv trokut sličn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie proporionlne = k,, = = =, = = = k = k = k Omjer strni sličnih trokut k zovemo koefiijent sličnosti Zkon distriuije množenj prem zrjnju ( ) ( ) + = +, + = + ko trokut im duljine strni, i, td njemu sličn trokut im duljine strni, i tko d vrijedi: = k = k = k Tržimo koefiijent sličnosti k udući d je rzlik duljin dviju krćih strni sličnog trokut jednk m, vrijedi: = metod k k = k ( ) = = k k komprije ( ) k = k = k = Duljine strni sličnog trokut iznose: = k = = = m = k k =, = = = 3 m 3 = k = = 3 = 43 m 5
16 Vjež 5 Duljine strni trokut jednke su m, m i 3 m Zroj duljin dviju krćih strni sličnog trokut iznosi 53 m Kolike su duljine strni sličnog trokut? Rezultt: = m, = 3 m, = 43 m Zdtk 5 (ntun, tehničk škol) U tupokutnome trokutu mjer kut u vrhu je 3, duljine strni su = m i = 3 m Kolik je duljin visine iz vrh? Rješenje m 577 m 677 m D 777 m Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut loštin trokut izrčunv se po formuli v v, v = =, = loštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii loštin trokut zdnog dvjem strnim i kutom izmeñu njih = sin, = sin, = sin oučk o kosinusu (kosinusov poučk) U trokutu vrijede ove jednkosti = + os, = + os, = + os 3 m S slike vidi se: 3 m =, = 3, = 3 Duljinu, treće strnie trokut, izrčunmo primjenom kosinusovog poučk = + os = + os / = + os = os 3 = 398 m 6
17 Uporom formul z ploštinu trokut odredimo duljinu visine iz vrh, v v = metod v = sin 3 komprije = sin 3 v sin 3 = sin 3 / v = Odgovor je pod v 3 sin 3 = v = m Vjež 5 U tupokutnome trokutu mjer kut u vrhu je 3, duljine strni su = 4 m i = 6 m Kolik je duljin visine iz vrh? Rezultt: 954 m 354 m 3354 m D 3554 m Zdtk 53 (Ivn, srednj škol) Izrčunj visinu n strniu u trokutu čiji su vrhovi ( 3, ), (, ) i ( 3, 3) Rješenje 53 Zkon distriuije množenj prem zrjnju n, d n = =, = d ( ) ( ) + = +, + = + Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjeište okomie (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvem n kojem leži suprotn strni trokut Jedndž prv olik y = k x + l nziv se ekspliitni olik jedndže prv ili krće, ekspliitn jedndž prv roj k nziv se koefiijent smjer prv roj l nzivmo odsječk prv n osi y rv točkm (x, y ), (x, y ), x x, im koefiijent smjer: y y k = x x Uvjet okomitosti: ko su prvi dni ekspliitnim jedndžm y = k x + l, y = k x + l, k, k, td su okomiti ko i smo ko je k k = k = k = k k Koefiijenti, dkle, morju imti suprotne predznke i morju iti meñusono reipročni Jedndž prv zdnog koefiijentom smjer k i točkom T(x, y ) glsi 7
18 ( ) y y = k x x Odredimo koefiijent smjer k prv (n kojem leži strni trokut ) ( x, y ) = ( 3, ) y y 3 3 k = k = k ( ) ( ) ( 3) = k 3 = x,, x x 4 y = + udući d je prv kojemu pripd visin v okomit n strniu, z njegov koefiijent smjer k vrijedi: 4 k / k = k k = k = k = k = k = k 3 3 k Jedndž prv kojemu pripd visin v je: ( ) ( ) ( ) 4 k =, x, y = 3, y 3 = ( x ( 3) ) y 3 = ( x + 3) 3 3 y y = k x x y 3 = x + 4 y = x y = x Vjež 53 Izrčunj visinu n strniu u trokutu čiji su vrhovi ( 3, ), (, ) i ( 3, 3) Rezultt: y = x 4 Zdtk 54 (Helen, gimnzij) N skii je prikzn prlelogrm D kojemu je strni duljine 5 m, visin n tu strniu 8 m Točk S je sjeište njegovih dijgonl, točk T polovište dužine S Izrčunjte površinu trokut T 8
19 D S 8 m T Rješenje 54 5 m d, = = d d d Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n rlelogrmi su četverokuti kojim su po dvije nsuprotne strnie usporedne (prlelne) Dijgonl prlelogrm je spojni dv nesusjedn vrh rlelogrm im dvije dijgonle koje se meñusono rspolvljju Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjeište okomie (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvem n kojem leži suprotn strni trokut loštin trokut izrčunv se po formuli v v, v = =, = loštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii = = v v v 9
20 D v = 8 m S h T S slike vidi se: 5 m = D = 5, = D, v = 8, h visin okomit n D Izrčunmo ploštinu trokut D T = S T = D T = D 4 S = D v 5 8 D = m D = D = loštin trokut D može se izrčunti i n sljedeći nčin D h D = romtrjmo trokute D i T Imju zjedničku visinu h, z ze vrijedi: T = D 4 omoću omjer doije se ploštin treokut T T h T h T T T T T T = = = = D h D h D D D D D D D 4 D T T 4 T T = D = = = 4 D D D D D 4 T / m 5 m = 4 D T = 4 D T = 4 T = D Vjež 54 N skii je prikzn prlelogrm D kojemu je strni duljine 5 m, visin n tu strniu 8 m Točk S je sjeište njegovih dijgonl, točk T polovište dužine S Izrčunjte površinu trokut T
21 D S 8 m T Rezultt: 6 m 6 m Zdtk 55 (Snj, gimnzij) Opseg prvokutnog trokut je jednk Duljin hipotenuze je jednk 78 Koliki je polumjer trokutu upisne kružnie? Rješenje 55 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut ko su i duljine ktet, duljin hipotenuze prvokutnog trokut, ond je formul z opseg O = + + ko je zdn prvokutni trokut duljin ktet i i hipotenuze, td je polumjer r upisne kružnie dn formulom + r = Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n r S inči O = + + = = + = 78 + = = 78 = 78 olumjer trokutu upisne kružnie iznosi:
22 + = r = r = r = r = r = = 78 inči O = + + = r = r = r = = 78 = r = r = r = r = r = r = Vjež 55 Opseg prvokutnog trokut je jednk 4 Duljin hipotenuze je jednk 56 Koliki je polumjer trokutu upisne kružnie? Rezultt: 44 Zdtk 56 (Lilly, gimnzij) Duljine strni trokut su = 5, = 6 i = 8 Kko se odnose visine trokut? Rješenje 56 Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut loštin trokut izrčunv se po formuli v v, v = =, = loštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii ko su i rojevi, kžemo d je kvoijent :, omjer rojev i Vrijednost omjer ne mijenj se ko se prvi i drugi roj pomnože ili podijele istim rojem ( ) ( ) ( ) : ( ) : = n : n : = : n : n Rzmjer ili proporij je jednkost dvju jednkih omjer ko je td je rzmjer ili proporij ko postoji n jednkih omjer produženi rzmjer je : = k i : d = k, : = : d : = k : = k 3 : 3 = k n : n = k, : : 3 : : n = : : 3 : : n
23 v v = = / v = v v = = / v = v : v : v : : = v v = = / v = člnove rzmjer v : v : v = : : krtimo s v : v : v = : : v : v : v : : = = 5 = 6 v : v : v = : : = 8 člnove rzmjer proširimo s v : v : : : : : : : v = v v v = v : v : v 4 : : 5 = Vjež 56 Duljine strni trokut su = 3, = 4 i = 5 Kko se odnose visine trokut? Rezultt: v : v : v = : 5 : Zdtk 57 (Snny, gimnzij) S krov kuće visine 5 m vidi se podnožje tornj pod kutom depresije od 35' 8'', njegov vrh pod kutom elevije od 8 39' 4'' Kolik je visin tornj? Rješenje 57 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut Tngens šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine ktete uz tj kut Kut elevije kut od horizontlnog prv prem gore Kut depresije kut od horizontlnog prv prem dolje kut elevije horizontlni prv kut depresije 3
24 D h d I h h D h d I h h S slik vidi se: = 35'8'', = 8 34 '4 '', = d, = h, D = h, D = h Uočimo prvokutne trokute D i omoću funkije tngens doije se: D h h d h tg = / tg tg d = = = d d tg tg metod h h d h komprije tg = tg = tg = / d = d d tg tg h h h h / h tg = = tg h = tg tg tg tg tg Visin h tornj iznosi: h tg h h h h h h h tg = + = + = + tg tg tg8 39 '4 '' h = 5 m + h = 3767 m tg 35'8'' Vjež 57 S krov kuće visine 3 m vidi se podnožje tornj pod kutom depresije od 35' 8'', njegov vrh pod kutom elevije od 8 39' 4'' Kolik je visin tornj? Rezultt: 7535 m 4
25 Zdtk 58 (Ivn, gimnzij) ovršin trokut jednk je 44 m, dv su njegov kut = 35 5' i = 7' Kolike su duljine strni ovog trokut? Rješenje 58 = 6 ', ' = 6 ' Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Zroj kutov u trokutu je = 8 ovršin trokut zdnog duljinom jedne njegove strnie i mjerm sv tri kut dn je izrzom: sin sin sin sin sin sin =, =, = sin sin sin odsjetimo se poučk o sinusim (sinusovog poučk) U trokutu vrijedi = = = R, sin sin sin pri čemu je R polumjer opisne kružnie tog trokut Njprije odredimo mjeru kut + + = 8 = 8 + = ' + 7 ' ( ) ( ) = ' = 79 6 ' 36 3 ' = 43 8' Iz zdne površine izrčunmo, n primjer, duljinu strnie sin sin sin sin sin sin = = / = sin sin sin sin sin sin sin sin = / = sin sin sin sin 44 m sin 35 5' = = 95 m sin 7 ' sin 43 8' D ismo odredili duljine strni i primijenit ćemo poučk o sinusim: sin = = / sin = sin sin sin sin sin 95 m sin 7 ' = = 354 m sin 35 5 ' sin = = / sin = sin sin sin sin sin 95 m sin 43 8' = = 83 m sin 35 5' 5
26 Vjež 58 ovršin trokut jednk je m, dv su njegov kut = 35 5' i = 7' Kolike su duljine strni ovog trokut? Rezultt: = 383 m, = 658 m, = 4566 m Zdtk 59 (Ivn, gimnzij) N horizontlnom zemljištu nlzi se neoder Njegov se vrh vidi iz udljenosti d pod kutom elevije Z koliko se tremo priližiti neoderu d i se kut elevije udvostručio? Rješenje 59 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut Tngens šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine ktete uz tj kut Kut elevije kut od horizontlnog prv prem gore tg tg = tg n n m n + m d d n,,,, = = = = = d d d Zkon distriuije množenj prem zrjnju ( ) ( ) + = +, + = + Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n h D S slike vidi se: x d d - x D = x, D = d x, = d, = h Uočimo prvokutne trokute i D omoću funkije tngens doije se: 6
27 h D x d d - x h D x d d - x tg = h h tg = tg = / d d d h h tg = tg = tg = / ( d x) D d x d x h = d tg metod d tg = ( d x) tg h = ( d x) tg komprije ( ) d tg = d tg x tg x tg = d tg d tg x tg = d tg tg ( ) d tg tg tg x tg = d ( tg tg ) / x = tg = tg tg tg tg tg tg tg tg ( tg ) d tg d d tg tg tg x = x = x = tg tg tg tg tg tg tg tg + tg 3 tg + tg 3 tg + tg 3 d d d tg tg tg x = x = x = tg tg tg tg tg tg 7
28 ( 3 ) ( ) tg ( ) ( ) d tg + tg d tg + tg d + tg d + tg x = x = x = x = tg tg tg Vjež 59 N horizontlnom zemljištu nlzi se neoder Njegov se vrh vidi iz udljenosti 6 m pod kutom elevije Z koliko se tremo priližiti neoderu d i se kut elevije udvostručio? Rezultt: = ( + ) x 3 tg m Zdtk 6 (Deny, gimnzij) Izrčunj duljinu hipotenuze prvokutnog trokut ko polumjer tom trokutu upisne kružnie iznosi 4 m, jedn kut trokut 67º 5' Rješenje 6 + = +, = = n n n Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut Sinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine hipotenuze Kosinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete uz tj kut i duljine hipotenuze ko je zdn prvokutni trokut duljin ktet i i hipotenuze, td je polumjer r upisne kružnie dn formulom + r = r r r S slike vidi se: r = 4 m, = 67 5', sin =, os = Rčunmo duljinu hipotenuze + + r + r r = r = / = = + 8
29 zmjen r r r = + = + sin = = sin + os os = r r r = sin + os / = = sin + os sin + os sin + os 4 m = = 63 m sin 67 5' + os 67 5 ' Vjež 6 Izrčunj duljinu hipotenuze prvokutnog trokut ko polumjer tom trokutu upisne kružnie iznosi 8 m, jedn kut trokut 67º 5' Rezultt: 56 m 9
γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραPriprema za ispit - RJEŠENJA
Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότεραBudući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2
Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραKoliko sati toga dana je razina vode bila iznad 30 cm? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13 Rješenje: E. Rješenje: A A) 1 B) 2 C) 6 4 D) 3 4 E) 2.
MATEMATIČKI KLOKAN S 6 700 000 sudionik u zemlji Europe, Amerike, Afrike i Azije Četvrtk,. ožujk 0. Trjnje 7 minut Ntjecnje z Student (IV. rzred SŠ) * Ntjecnje je pojedinčno. Rčunl su zbrnjen. * Svki zdtk
Διαβάστε περισσότερα( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke.
Zdtk 00 (Tomislv, tehničk škol) Kugli polumje upisn je kok. Nđite id koke. Rješenje 00 ko je kugli upisn kok, ond je pomje kugle jednk postonoj dijgonli koke: =. Poston dijgonl koke čun se fomulom: D =.
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραx y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραTada je obujam ostatka kocke jednak: b
Ztk (Mrko, gimnzij) Jenom ijgonlom osnoke kr položimo rninu koj n rugoj osnoki prolzi smo jenim rhom đite omjer oujmo nstlih tijel Rješenje đimo pro oujm pirmie: + = = = = T je oujm osttk koke jenk: 5
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότερα1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Διαβάστε περισσότερα( ) ( )
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 4. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ
Διαβάστε περισσότεραOpsezi i površine - DZ
Opsezi i površine - DZ Iko učenici u 4. rzredu uče vrste trokut, uče o prvokutniku i kvdrtu, upoznju se s pojmom opseg i površine, s kvdrtnim mjernim jedinicm, s pojmom formule i kko u formulu uvrštvmo
Διαβάστε περισσότεραOsnove inženjerskog proračuna
Osnove inženjerskog prorčun Skript z studente Sveučilišt Sjever Ktrin Pisčić, UNIN 04. Kut Kut je dio rvnine omeđen s dv prvc koj se sijeku. Obično se obilježv kružnim lukom među prvcim. Ako je duljin
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske formule sve iz jednog trokuta i još ponešto
Poučk 60 Trigonometrijske formule sve iz jednog trokut i još ponešto Uvod Oštroumni zključi iz tupokutnog trokut i iz-skok trokutomjernih funkij iz trokut Vldimir Ćepulić 1, Kristin Penzr U ovom su člnku,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραIstosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραTROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Διαβάστε περισσότεραPriprema za ispit znanja trigonometrija pravokutnog trokuta
Pipem z ispit znnj tigonometij pvokutnog tokut 1. Zoj duljin ktet pvokutnog tokut jednk je 12 m, jedn kut tokut iznosi 58⁰. Kolik je duljin hipotenuze ovog tokut? + = 12 = 58⁰ =? S oziom d se u zdnim podim
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
Διαβάστε περισσότεραRješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
Διαβάστε περισσότεραМногоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла. Obele`i svaki mnogougao, a zatim napi{i kojoj vrsti po broju stranica pripada.
Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла 1 Obele`i svki mnogougo, ztim npi{i kojoj vrsti po broju strnic pripd. Petougo Ncrtj osmougo FGH. Obele`i wegov temen. ) Npi{i temen
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKI KLOKAN C 2018.
MATEMATIČKI KLOKAN C 018. RJEŠENJA ZADATAKA Pitnj z 3 od: 1. Koliko je (0 + 18) : (0 18)? A) 18 B) 19 C) 0 D) 34 E) 36 Rješenje: B) 19 (0 + 18) : (0 18) = 38 : = 19.. Kd se slov u riječi MAMA npišu vertiklno
Διαβάστε περισσότεραKut je skup točaka ravnine odre - den dvama polupravcima sa. Polupravci a i b su krakovi kuta, a njihov zajednički početak V je vrh kuta.
UDŽBENIK 2. dio Pojam kuta Dva polupravca sa zajedničkim početkom dijele ravninu na dva dijela (jače naglašeni i manje naglašeni dio). Svaki od tih dijelova zajedno s polupravcima zove se kut. Da bi se
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραOsnovna škola. b) Koliko prstenova treba objesiti na kukicu s lijeve strane na slici 2 da bi poluga bila u ravnoteži? 1 3 F/N
ŠKOLSKO/OPĆINSKO NTJENJE IZ FIZIKE 2.2.2009. Osnovn škol Uut: U svim zdcim gdje je to otrebno koristiti g = 10 N/kg. 1. zdtk (7 bodov) ) Slik 1 rikzuje olugu u rvnoteži n kojoj se nlze dv rsten i neoznti
Διαβάστε περισσότεραMetode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραMimoilazni pravci. Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb
Mimoilzni prvci El Rc Mrinić Krgić, Zgreb Dv se prvc u rvnini ili sijeku ili ne sijeku. Ako se sijeku, sjecište može biti jedn tok, prvci se mogu i poklpti. Ovj drugi sluj zjedno s slujem kd dv prvc nemju
Διαβάστε περισσότεραZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραSTRUKTURA I SVOJSTVA MATERIJALA METALOGRAFIJA ŽELJEZNIH LEGURA. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić
STRUKTURA I SVOJSTVA MATERIJALA METALOGRAFIJA ŽELJEZNIH LEGURA Prof. dr. sc. Ivic Kldrić Identifikcij i procjen mikrostrukture METALOGRAFIJA je istrživčk metod koj ouhvć optičko istrživnje mikrostrukture
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραLINEARNE JEDNAČINE. za koji važi: a x b
LINERNE JEDNČINE Pod linernom jednčinom po x podrzumevmo svku jednčinu s nepozntom x koj se ekvivlentnim trnsformijm svodi n jednčinu olik: gde su i dti relni rojevi. x Rešenje ove jednčine je svki reln
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα2.1. KRISTALNA STRUKTURA
.1. KRISTALNA STRUKTURA Kd govorimo o čvrstim tijelim, rzlikujemo kristle i morfn tijel. N primjer, kr, željezo, germnij, i ntrij-klorid su kristli, stklo, polimerizirne plstične mse, smol, gum i jntr
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Διαβάστε περισσότεραMatematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja
Mtemtik - usmei dio ispit itj i rješej. itgori poučk c vrijedi smo z prvokuti trokut Dokz: potoji mogo dokz itgoriog poučk/teorem, 69 dokz možete ći ovdje: HTUhttp://www.cut-the-kot.org/pthgors/ UTH Geometrijski
Διαβάστε περισσότεραFORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
Διαβάστε περισσότεραNacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA
Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραTemeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa
1 Temeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa 1. Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije su omjeri stranica u pravokutnom trokutu. Mjerenjem je utvrdeno - da medusobni - omjeri stranica
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραa) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPopis zadataka. 1. Odredi Re
Pops zdtk. Odred Re. Odred, ko vrjed: (-) +(-b) = (-b). Zbroj znmenk dvoznmenkstog broj jednk je, umnožk. Koj je to broj?. U koordntnom sustvu prkž grf funkcje f() = -(+)(-). Izrčunj vrjednost ostlh funkcj
Διαβάστε περισσότερα