2. Predavanje. October 4, 2016

Transcript

1 . Predaanje October 4, 6 Zakoni održanja U fizici postoje nekoliko zakona održanja. Zakoni održanja su posledica neke osnone sietrije kososa. Postoje zakoni održanja koji se odnose na energiju, ipuls, oent ipulsa, naelektrisanje, ukupan broj nukleona (konstituenti atoskog jezgra) itd.. Zakon održanja energije Zakon održanja energije obuhata pojoe kao što su kinetička energija, potencijalna energija i rad. Rad se definiše kao deloanje sile duž nekog puta. Stroga definicija ukupnog ehaničkog rada je data izrazo: A = B A F d s () Izraz pod integralo podrazuea skalarni proizod sile F i eleentarnog puta d s u sakoj tački putanje (Slika 3). Vektor eleentarnog dela putanje d s je u sakoj tački tangenta na trajektoriju čestice. U opšte slučaju sila ože duž trajektorije da enja intenzitet, praac i ser. Integral skalarnog proizoda F d s goori da treba sabrati se skalarne proizode sile i eleente putanje duž cele trajektorije. Jedinica za rad označaa se sa J i nazia se Džul. B F A ds Slika 3. Uz definiciju rada. PRIMER 3.: Izračunati ukupan rad sile, koja se enja po zakonu F (s) = ks, gde je k konstanta i iznosi k = 3, 5N/, a s pred eni put, na praolinijskoj putanji dužine s =. Sila duž celog puta deluje pod uglo α = 3 u odnosu praac kretanja. Rešenje Prea definiciji rada: A = s F d s = s s F ds cos α = k cos α sds = k cos α s = J. () Energija se u opšte sislu satra eličino koja kantifikuje eru sposobnosti nekog tela da izrši rad. U to sislu proena energije sistea jednaka je izršeno radu. E = A (3)

2 Pooću oe defincije dolazio do poja kinetičke energije, odnosno energije koje telo ia pri kretanju. Radi jednostanosti razatrao praolinijsko kretanje aterijalne tačke ase pod dejsto sile F koja je kolinearna sa prace kretanja. Satrano da je telo krenulo iz stanja iroanja i pod dejsto sile F steklo brzinu. Ako izraz za silu u jednačini () zaenio sa drugi Njutnoi zakono, dobijao: A = E = F ds = ads = d dt ds = d = (4) Ubrzanje je po definiciji a = d dt, a eleentarni deo puta je ds = dt. S obziro da je telo krenulo iz stanja iroanja ukupna energija koju je steklo priliko ubrzaanja je i nazia se kinetička energija ili energija kretanja. Ou energiju tela iaju ukoliko i je brzina različita od nule. Kinetička energija se obično obeležaa sa E k : E k = (5) Jedinica za kinetičku energiju je ista kao i za rad, Džul. S obziro na pri Njutno zakon, idio da ukoliko na telo ne deluje nikaka sila kinetička energija tela se ne enja, tj. kažeo da se kinetička energija održaa. Energiju ogu iati i tela koja iruju ali istoreeno interaguju sa drugi telia. Energija koja se jalja usled interakcije nazia se potencijalna energija. Na prier knjiga koja stoji na stolu interaguje sa graitacioni polje zelje i ia potencijalnu energiju. Ukoliko izučeo oslonac, knjiga pada i stiče brzinu. Ode graitaciona sila rši rad, a potencijalna energija se transforiše u kinetičku. S obziro da je poznat izraz za graitacionu silu, ožeo naći i izraz za rad graitacione sile, graitacionu potencijalnu energiju. E = F d s (6) dr ds r r B A Slika 4. Rad graitacione sile pri preeštanju tela iz položaja A u položaj B Razatrao telo ase koje je nepoično i telo ase koje se nalazi na rastojanju r A od tela. Koliki rad izrši graitaciona sila ako telo poeri sa rastojanja r A na rastojanje r B? S obziro na izraz () i Njutno zakon graitacije, iao: A = rb r A F dr = rb r a γ r dr = γ rb r A F dr r = γ r B r = γ + γ (7) r A r B r A Dobijeni izraz predstalja rad graitacione sile pri preeštanju tela ase iz položaja r A u položaj r B, ili proenu graitacione potencijalne energije. Ako satrao da se tačka A nalazi u beskonačnosti, izraz (7) se sodi na: A = γ r A (8) Dobijeni izraz predstalja graitacionu potencijalnu energiju. Ako izostaio indeks A, i uedeo oznaku U(r) za potencijalnu energiju, dobijao: U(r) = γ r U beskonačnosti sila graitacije isčezaa i nea energije interakcije. Na anje rastojanju, graitaciona potencijalna energija dobija na značaju. Prienićeo oaj rezultat na telo ase koje se nalazi na isini h u odnosu na poršinu zelje. Izraz za potencijalnu energiju postaje: U(h) = γ M Z + h, () (9)

3 gde je M Z asa, a poluprečnik zelje. S obziro da je h << ožeo naći približnu forulu za graitacionu potencijalnu energiju koja je prienljia na isinaa koje su nogo anje od poluprečnika zelje. U to cilju uodio oznaku x = h. Sada izraz () postaje: M Z U(h) = γ ( + x) Prea Tajloroo obrascu, kada je x nogo anje od, izraz +x na prier +,.). Nalazio: U(h) = γ M Z () sodi se na +x x (proeri + γ M Z h () Potencijalna energija je uek odred ena do na konstantu. Odnosno, erljia je sao proena potencijalne energije. Na prier proena potencijalne energije pri padu tela sa isine h je prea (): U = γ M Z i ne zaisi od prog člana u jednačini (). energiju u blizini poršine zelje: + γ M Z h + γ M Z Prepoznajeo iz Priera u prethodnoj lekciji da je član γ Mz izraz za graitacionu potencijalnu energiju: = γ M Z h, (3) Stoga je prikladan izraz za graitacionu potencijalnu U = γ M Z h (4) = g, te se konačno dobija poznati U p = gh (5) Ukupna energija nekog tela u graitaciono polju zelje je zbir kinetičke i potencijalne: E = E p + E k = gh + (6) U odsusustu sile trenja oa ukupna energija se održaa. Na prier za telo koje sklizne niz stru raan (bez trenja) sa isine h ože se napisati izraz: gh = odakle nalazio brzinu tela u podnožju stre rani: (7) = gh (8) Istu brzinu dobija i telo koje slobodno padne sa isine h (Slika 5.a). Oo je rezultat toga što je graitaciona sila tz. konzeratina sila, tj. rad oe sile ne zaisi od oblika trajektorije. Graitaciona sila izrši isti rad ako telo pred e iz tačke u tačku putanjaa A, B ili C(Slika 5.b). E =gh P A B h E K = E = P C a) b) Slika 5. a) Tela na isini h iruju pa iaju sao potencijalnu energiju. Na poršini zelje potencijalana energija se transforisala u kinetičku.b) Rad graitacione sile ne zaisi od oblika trajaktorije. 3

4 Prier nekonzeratine sile je sila trenja. Rad sile trenja zaisi od oblika trajektorije. Na prier, ako na slici 5.b) putanje leže u horizontalnoj rani, sila trenja je suda ista, jasno je da će rad sile trenja biti najeći na putanji C jer je to najduža trajektorija. Zakon održanja energije ia najopštiju ažnost i kaže da se energija ne ože storiti eć se ona ože sao transforisati iz jednog oblika u drugi. Na prieru kretanja tela niz stru raan (Slika 5.a) ako je prisutno trenje, očigledno u podnožju stre rani telo neće iati kinetičku energiju kao što izraz (7) predid a. Ali to ne znači da je energija nestala. U slučaju prisusuta sile trenja jedan deo energije se pretara u toplotu, odnosno dolazi do zagreanja saog tela i podloge stre rani. Zakon održanja energije nije oporgnuo ni jedan eksperient. To je posledica toga što interakcije u prirodi ne zaise eksplicitno od reena. Ni jedan eksperient nije pokazao npr. da se graitaciona konstanta enja sa reeno.. Zakon održanja ipulsa Njutn je ueo fizičku eličinu koja se nazia ipuls ili količina kretanja. obeležaa sa p. To je ektorska eličina i definiše se izrazo: Obično se oa eličina p = (9) Dakle jednaka je proizodu ase tela i njegoe brzine. Jedinica je kg s. Pretpostaio da se siste sastoji od n čestica pri čeu u jedno trenutku čestice iaju ipulse p, p,... p n. Ukupan ipuls je: n p i () i= Ukoliko nea spoljašnje sile, tj. čestice ogu sao ed usobno da interaguju, onda je ukupan ipuls eličina koja se održaa: n p i = const. () i= Oo je zakon održanja ipulsa i ia naročiti značaj pri rešaanju problea sa sudaria. Zakon održanja ipulsa ože se dokazati pooću III Njutnoog zakona. Posatrao de čestice sa ipulsia p = i p =. Ukupan ipuls je: Ako diferencirao po reenu ceo izraz, nalazio; p + p = + () d dt ( p d + p ) = dt + d dt Ako nea spoljašnjih sila, tj. u sisteu je oguća sao uzajana interakcija tela i, onda prea II Njutnoo zakonu aži: (3) d dt + d dt = F + F ; (4) gde je F sila kojo drugo telo deluje na pro, a F sila kojo drugo telo deluje na pro. Med uti prea treće Njutnoo zakonu F = F, odakle sledi: d dt ( p + p ) = (5) Zaključujeo da je zbir p + p = const., jer je prea prailu diferenciranja d dtconst. =. 4

5 .3 Zakon održanja oenta količine kretanja Važan poja u ehanici je oent količine kretanja i definiše se izrazo: L = r p = r (6) gde je p ipuls, a r ektor položaja. Jedinica za oent ipulsa je kg /s. S obziro na definiciju oenta količine kretanja preko ektorskog proizoda radijus ektora i ipulsa, oent ipulsa je ektor koji je noralan na raan u koe leže ektor položaja i ipuls (Slika 6). p L r Slika 6. Definicija oenta količine kretanja. Moent sile je definisan relacijo: M = r F (7) gde je F sila koja deluje na česticu (Slika 7). F M r Slika 7. Definicija oenta sile. Ako diferencirao relaciju (6) po reenu, dobijao: S obziro da je sledi iz drugog Njutnoog zakoan dl dt = d d r d p ( r p) = p + r dt dt dt (8) d r p = = (9) dt r d p dt = r F = M (3) Odnosno, dl dt = M (3) Vreenska proena oenta ipulsa jednaka je oentu sile. Sledi zakon održanja oent ipulsa, ako je zbir sih oenata ipulsa jednak nuli M = onda je oent količine kretanja konstantna eličina L = const.. Pri kretanju planeta oko sunca održaa se oent količine kretanja. Oo je zato što je sila uek kolinerana sa radijus ektoro pa je prea definiciji (7) oent sile jednak nuli. Ako na eliptičnoj orbiti planete oko sunca uočio de tačke, gde je planeta najbliža i najudaljenija od sunca, ožeo napisati pooću zakona održanja oenta količine kretanja: r = r (3) 5

6 r r sunce Slika 8. Očuanje oenta količine kretanja pri kretanju planete oko sunca. Vektorske oznake su izostaljene s obziro da je u oi tačkaa radijus ektor noralan na ektore ipulsa. Zaključujeo da planeta kada prolazi bliže suncu ia eću brzinu nego kada prolazi na dalje rastojanju od sunca. II Keplero zakon nije ništa drugo nego zakon održanja oenta količine kretanja. Za telo koje se kreće po kružnici radijusa r stalno brzino, na prier uprošćen odel atoa odonika gde elektron kruži oko protona, intenzitet oenta količine kretanja je: L = r (33) e r p Slika 9. Moent kolilčine kretanja tela koje se kreće po kružnici. Moent ipulsa je ode ektor noralan na raan crteža, počinje u centru kružnice i useren je uis. Da zadatka iz zakona održanja PRVI ZADATAK Telo ase = kg krećući se brzino = 8/s naleće na telo ase = 3kg koje iruje i čeono se sudari. Odrediti brzine tela i gubitak ukupne kinetičke energije nakon: a) apsolutno elastičnog sudara; b) apsolutno neelastičnog sudara. REŠENJE: a) Situacija pre i posle apsolutno elastičnog sudara je prikazana na Slici. x x PRE SUDARA Slika POSLE SUDARA Na osnou zakona održanja ipulsa: p = p + p (34) Ako pretpostaio da se nakon sudara telo ase kreće suprotno od sera x-ose, izostaljanje ektorskih oznaka nalazio: p = p + p, (35) 6

7 tj. s obziro na definiciju ipulsa: = +, (36) gde su i brzine tela ase i nakon sudara, respektino. U apsolutno neelastično sudaru ne dolazi do gubitka ukupne kinetičke energije. Zbog toga aži: = Ako iz (3) izrstio i zaenio u (4) nalazio: + (37) Ako dobijeni izraz za (5) zaenio u (3) nalazio: = + = 4/s (38) = + = 4/s (39) b) Situacija pre i posle apsolutno neelastičnog sudara je prikazana na Slici. ( + ) x V x PRE SUDARA Slika POSLE SUDARA Na osnou zakona održanja ipulsa odakle sledi, Gubitak kinetičke energije je: = ( + )V, (4) V = E k = ( + )V Ako u (9) urstio izraz (8) nalazio gubitak kinetičke energije: E k = Energija koju je telo ialo pre sudara je: + = /s (4) (4) ( + ) = 4J (43) E k = = 3J (44) Ako nad eo količnik E k /E k =, 75, saznajeo da se čak 75% kinetičke energije pri sudaru transforisalo u energiju deforacije i toplotu! DRUGI ZADATAK Telo ase =, 5kg kreće se brzino = /s po telu ase M = 5kg koje stoji na horizontalnoj podlozi kao što je prikazano na Slici 3. Do koje isine h se telo ase ože popeti? Sa trenja zaneariti. Šta se dobija za M? Za ubrzanje zeljine teže uzeti g = 9, 8/s. g Slika 3 h M 7

8 REŠENJE: Na osnou zakona održanja ipulsa ožeo napisati: = ( + M)V () Zakon održanja energije daje: ( + M)V = + gh () Ako pooću () izrazio brzinu V i urstio u () nakon sred ianja nalazio: h = M =, 85 = 8, 5c (3) g(m + ) U cilju nalaženja rezultata za slučaj M rešenje (3) ćeo napisati u drugačije obliku: h = g( + M ) g =, 4 =, 4c (4) jer član M teži nuli. Zadaci za saostalni rad:.6;.7;.8;.9. Literatura: Tehnička Fizika, Ana Kozidis Petroić. Zbirka zadataka iz fizike - ašinski odsek, Ljuba Budinski-Petkoić, Ana Kozidis- Petroić, Milica Vučinić Vasić, Iana Lončareić, Aleksandra Mihailoić, Dušan Ilić, Robert Lakatoš. FTN Izdaašto, Noi Sad. 8