Zadatak Rješenje: skica problema O R b φ a. Dinamika gibanja krutog tijela. Kinetička energija krutog tijela. E-L jednadžbe

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Zadatak Rješenje: skica problema O R b φ a. Dinamika gibanja krutog tijela. Kinetička energija krutog tijela. E-L jednadžbe"

Transcript

1 Homogeni štap mase M i duljine 2a kreće se bez trenja u sfernom udubljenju polumjera R tako da stalno ostaje u okomitoj ravnini koja prolazi kroz centar sfere. Na dite kinetičku energiju štapa. Rješenje: skica problema O R b φ a

2 štap rotira kutnom brzinom φ oko osi koja je za b udaljena od centra mase štapa i okomita je na ravninu u kojoj se štap giba kinetička energija štapa T = 1 2 IO štap φ 2 moment inercije s obzirom na točku O možemo izračunati pomoću Steinerovog teorema Ištap O = Ic.m. štap + Mb2 = 1 12 M(2a)2 + M(R 2 a 2 ) = M (R 2 23 ) a2 kinetička energija štapa T = M (R 2 23 ) 2 a2 φ 2

3 Homogena ploča mase M obješena je o nit duljine l tako da se može njihati u vertikalnoj ravnini. Na dite kinetičku ploče. Rješenje: zadatak možemo riješiti na dva načina u prvom rješenju sustav vezan uz ploču ima ishodište u objesištu ploče, a u drugom u centru mase ploče

4 Skica problema u prvom slučaju y ploča rotira u vertikalnoj ravnini θ l y φ x a a y x a x c.m. = Ω = φ k koordinate centra mase u sustavu fiksiranom uz ploču a = a x i + ay j brzina točke O u fiksiranom sustavu V = l θ

5 y θ l y x θ α β φ x V kutevi α i β α = φ = 90 0 φ β = 90 0 θ α = φ θ komponente brzine V u sustavu fiksiranom uz ploču V x = V cos (φ θ) = l θ cos (φ θ) V y = V sin (φ θ) = l θ sin (φ θ)

6 kinetička energija T = 1 2 M V 2 + MV ( ) Ω a translatorni doprinos T 1 = 1 2 M V 2 = 1 2 Ml 2 θ 2 računamo mješoviti doprinos Ω a = φ ) k (a x i ay j I ij Ω i Ω j ij ) = φ (a x j + ay i T 2 = M φ (V y a x + V x a y ) = Ml φ θ( a x sin (φ θ) + a y cos (φ θ))

7 pri računanju rotacionog doprinosa iskoristimo činjenicu Ω x = Ω y = 0 Ω z = φ označimo s I O moment inercije oko osi z kroz točku O kinetička energija ploče = T 3 = 1 2 I O φ 2 T = 1 2 Ml 2 θ 2 + Ml φ θ ( a x sin (φ θ) + a y cos (φ θ)) I O φ 2

8 Skica problema u drugom slučaju y ploča rotira u vertikalnoj ravnini θ l x a φ α a y y a x c.m. x = Ω = φ k koordinate centra mase u nepomičnom sustavu x c.m. = l sin θ y c.m. + a sin (φ + α) = l cos θ a cos (φ + α)

9 računamo brzinu centra mase u nepomičnom sustavu ẋ c.m. = l cos θ θ + a cos (φ + α) φ ẏ c.m. = l sin θ θ + a sin (φ + α) φ kvadriramo komponente brzine ẋ 2 c.m. = l 2 cos 2 θ θ 2 + a 2 cos 2 (φ + α) φ 2 + 2al cosθcos (φ + α) θ φ ẏ 2 c.m. = l 2 sin 2 θ θ 2 + a 2 sin 2 (φ + α) φ 2 + 2al sin θ sin(φ + α) θ φ kvadrat brzine centra mase v 2 c.m. = l 2 θ 2 + a 2 φ 2 + 2al cos (θ φ α) θ φ

10 raspišemo zadnji član a cos (θ φ α) = a cos(θ φ) cosα + a sin (θ = a y cos (θ φ) + a x sin (θ φ) kvadrat brzine centra mase vc.m. 2 = l 2 θ 2 + a 2 φ 2 + 2la y cos(θ φ) θ φ + 2la x sin(θ φ) θ φ kinetička energija ploče T = 1 2 I c.m. φ Mv 2 c.m. = 1 2 I c.m. φ Ml 2 θ Ma2 φ 2 + Mla y cos (θ φ) θ φ Mla x sin (φ θ) θ φ

11 iskoristimo Steinerov teorem I c.m. + Ma 2 = I O konačni rezultat za kinetičku energiju T = 1 2 I O φ Ml 2 θ 2 + Mla y cos (φ θ) θ φ Mla x sin (φ θ) θ φ poklapa se s rezultatom u prvom slučaju prethodni izrazi se pojednostavljuju ako os y prolazi kroz objesište i centar mase = a x = 0 a y = a

12 zadnji član kinetičke energije iščezava pa preostaje T = 1 2 I c.m. φ Ml 2 θ Ma2 φ 2 + Mla cos(θ φ) θ φ

13 Ploča u obliku jednakostraničnog trokuta stranice a i mase M obješena je o tanki štap duljine l i mase m tako da se može njihati u vertikalnoj ravnini. Na dite kinetičku energiju sustava. Rješenje: skica problema y θ l x φ c.m.

14 ukupna kinetička energija je suma kinetičke energije štapa i trokuta promotrimo prvo trokut visina jednakostraničnog trokuta 3 h = 2 a centar mase trokuta nalazi se u težištu trokuta t = 2 3 h = a 3 koristimo sustav vezan uz ploču s ishodištem u centru mase ploče kinetiča energija u tom slučaju ima dva doprinosa T trokut = T tr trokut + T rot trokut

15 kutna brzina rotacije ploče Ω = φ k kinetička energija rotacije oko centra mase T rot trokut = 1 2 ij I ij Ω i Ω j = 1 2 Ic.m. trokut Ω2 z = 1 2 Ic.m. φ trokut 2 Moment inercije moment inercije trokuta oko centra mase iznosi I c.m. trokut = 1 12 Ma2 kinetička energija rotacije trokuta T rot trokut = 1 24 Ma2 φ 2

16 da bi izračunali kinetičku energiju translacije centra mase T tr trokut = M 2 (ẋ 2 c.m. + ẏ 2 c.m.) trebamo brzinu centra mase položaj centra mase trokuta u fiksnom sustavu x c.m. = l sin θ + a 3 sin φ y c.m. = l cosθ a 3 cos φ brzina centra mase trokuta u fiksnom sustavu ẋ c.m. = l cos θ θ + a 3 cosφ φ ẏ c.m. = l sin θ θ + a 3 sin φ φ

17 kvadriramo komponente brzine centra mase ẋc.m. 2 = l 2 cos 2 θ θ 2 a + 2l cos θ cosφ θ φ 3 + a2 3 cos2 φ φ 2 ẏc.m. 2 = l 2 sin 2 θ θ 2 a + 2l sin θ sin φ θ φ 3 + a2 3 sin2 φ φ 2 zbrojimo kvadrate komponenti T tr trokut = M 2 [l 2 θ 2 + a2 3 φ ] la θ φ cos (θ φ) 3

18 ukupna kinetička energija trokuta T trokut = Ttrokut tr + Ttrokut rot = M [l 2 θ 2 + 5a φ ] la θ φ cos (θ φ) 3 kinetička energija trokuta odgovara izrazu za kinetičku energiju ploče u prethodnom zadatku štap rotira oko jednog svog kraja pa je njegova kinetička energija T štap = 1 2 I štap θ 2 moment inercije tankog štapa ( ) 2 l I štap = Ištap c.m. + m = ml 2

19 kinetička energija štapa T štap = 1 6 ml 2 θ 2 ukupna kinetička energija sustava T tot = T trokut + T štap

20 Dva homogena štapa duljine a i b spojena su pod pravim kutem u točki O na osovinu koja rotira konstantnom kutnom brzinom ω. Na dite kinetičku energiju sustava. Rješenje: skica problema ω a φ b

21 a koordinatni sustav fiksiran uz štap orjentiramo u smjeru glavnih osi štapa promotrimo štap b ω φ x y b komponente kutne brzine Ω x = ω cosφ Ω y = ω sin φ Ω z = φ kinetička energija štapa b T = 1 I ij Ω i Ω j 2 jedine komponente tenzora različite od nule ij I xx = I zz = 1 3 m bb 2 = 1 3 λb3

22 kinetička energija štapa b T b = 1 2 ( Ixx Ω 2 x + I zzω 2 z) = 1 6 λb3 ( ω 2 cos 2 φ + φ 2) analognim postupkom možemo izračunati kinetičku energiju štapa a T a = 1 6 λa3 ( ω 2 sin 2 φ + φ 2 ) ukupna kinetička energija sustava T = 1 (b 6 λω2 3 cos 2 φ + a 3 sin 2 φ )+ 1 6 λ φ ( 2 b 3 + a 3)

23 Homogeni stožac mase M, visine h, radijusa baze R i otvornog kuta 2α kotrlja se u ravnini, a vrh mu se nalazi iznad nje na visini R. Na dite kinetičku energiju stošca. Rješenje: skica problema z Ω x θ y

24 Ω z a α c.m. n udaljenost centra mase od vrha stošsca: a = 3h/4 udaljenost centra mase od plašta stošca: n = a sin α brzina centra mase: v cm = a θ uvjet kotrljanja: v cm = Ωn = Ωa sin α R x a θ = Ωa sin α = Ω = θ sin α

25 Ω sustav vezan uz stožac biramo tako da mu se osi poklapaju s glavnim osima stošca, a ishodište mu prolazi kroz centar mase stošca z α z y R x x Komponente kutne brzine u sustavu vezanom uz stožac Ω x = Ω cos α Ω y = 0 Ω z = Ω sin α primjetimo da je izbor osi x i y proizvoljan (I x = I y ) pa sustav u svakom trenutku možemo orjentirati tako da vrijedi Ω x = Ω cosα i Ω y = 0

26 kinetička energija stošca je suma energije translacije centra mase i energije rotacije oko centra mase translatorni doprinos T tr = 1 2 Mv 2 cm = 1 2 Ma2 θ 2 = 9 32 Mh2 θ 2 rotacioni doprinos T rot = 1 2 [ Ix Ω 2 x + I yω 2 y + I zω 2 z] momenti inercije stošca I z = 3 10 MR2 I x = I y = 3 20 M ] [R 2 + h2 4

27 kinetička energija rotacije T rot = 1 [ MR2 Ω 2 cos 2 α + 3 ) ] (R 20 M 2 + h2 Ω 2 sin 2 α 4 = 3 40 MΩ2 [2R 2 cos 2 α + (R 2 + h2 4 ) ] sin 2 α radijus i visina stošca su povezani: R = h tan α T rot = 3 [ 40 Mh2 Ω 2 sin 2 α 2 + tan 2 α + 1 ] 4 = 3 [ 40 Mh2 Ω 2 sin 2 1 α cos 2 α + 5 ] 4

28 iskoristimo uvjet: θ = Ω sinα energija rotacije T rot = 3 [ 40 Mh2 θ 2 1 cos 2 α + 5 ] 4 zbrojimo translatorni i rotacioni doprinos T = 9 32 Mh2 θ [ 40 Mh2 θ 2 1 cos 2 α + 5 ] 4 ukupna kinetička energija T = 3 [ Mh2 θ cos 2 α + 5 ] 4 = 3 [ 40 Mh2 θ ] cos 2 α

29 Kraj štapa AB mase m i duljine 2a može kliziti bez trenja duž vertikalne žice Oz. Kraj B učvršćen je za točku O napetom žicom OB duljine l = 2a. Vertikalna ravnina OBA rotira oko osi z kutnom brzinom φ. Na dite kinetičku energiju štapa. Rješenje: skica problema O θ 2a x koordinate infinitezimalnog dijela štapa dq y dq q A φ z B 2a x(q) = q sin θ cos φ y(q) = q sin θ sin φ z(q) = 2a cos θ + (2a q) cosθ

30 komponente brzine infinitezimalnog dijela štapa ẋ(q) = q cos θ cosφ θ q sin θ sinφ φ ẏ(q) = q cos θ cosφ θ + q sin θ cosφ φ ż(q) = (4a q) sin θ θ članovi koji sadrže q iščezavaju jer je štap kruto tijelo kvadrat brzine infinitezimalnog dijela štapa v 2 (q) = ẋ(q) 2 + ẏ(q) 2 + ż(q) 2 = (16a 2 8aq) sin 2 θ θ 2 + q 2 θ 2 + q 2 sin 2 θ θ 2 da bi izračunali kinetičku energiju štapa sumiramo po svim infinitezimalnim elementima

31 tijelo je kontinuirano pa suma prelazi u integral dm T = 2 v 2 štap je po pretpostavci tanak pa uvodimo linijsku gustoću λ = m = dm = λdq 2a u kinetičku energiju uvrstimo brzinu infinitezimalnog dijela štapa T = m 2a ( [sin 2 θ θ 2 16a 2 8aq ) dq 4a 0 2a 2a + θ 2 q 2 dq + sin 2 θ φ 2 q 2 dq 0 0

32 integriranjem dolazimo do kinetičke energije T = 2ma2 3 [(1 + 6 sin 2 θ) θ 2 + sin 2 θ φ 2 ]

33 Dva jednaka kružna diska polumjera a i mase M leže u okomitoj ravnini, dodiruju se i mogu rotirati bez trenja oko svojih osi. Njihovi rubovi su idealno hrapavi tako da nema proklizavanja. Centri diskova spojeni su homogenom šipkom mase m. Centar gornjeg diska je fiksiran. Na dite kinetičku energiju sustava. Rješenje: sustav se sastoji od tri tijela: gornji disk: rotira oko svoje osi (T 1 ) štap: rotira oko svog kraja (T 2 ) donji disk: rotira i translatira se (T 3 ) prvo računamo kutnu brzinu donjeg diska

34 Skica problema: y θ B φ v B φ v Bx c.m. v By x ω gornji disk se vrti kutnom brzinom θ točku dodira diskova označimo s B brzina točke B ( v B = a θ cosφ i + sin φ ) j

35 diskovi ne proklizavaju pa je v B ujedno i brzina dodirne točke donjeg diska položaj centra mase donjeg diska x c.m. = 2a sin φ, y c.m. = 2a cos φ, z c.m. = 0 brzina centra mase donjeg diska v c.m. = 2a cosφ φ i + 2a sin φ φ j položaj dodirne točke B x B = a sin φ, y B = a cos φ, z B = 0 ishodište koordinatnog sustava vezanog uz donji disk smjestimo u njegov centar mase kinetička energija tog diska je suma energija translacije centra mase i rotacije oko centra mase

36 y θ B r B y 1 φ c.m. v B x 1 x ω kutnu brzinu donjeg diska računamo iz brzine točke B i brzine ishodišta sustava vezanog uz donji disk (tj. centra mase) v B = v c.m. + ω r B

37 položaj točke B u odnosu na centar mase r B = (x B x c.m. ) i + (y B y c.m. ) j = a sin φ i + a cos φ j gibanje se odvija u xy ravnini pa je samo z komponenta kutne brzine različita od nule ω r B = ω ( k a sin φ i + a cosφ ) j brzina točke B ( a θ cos φ i + sin φ ) j = aω sin φ j aω cos φ i ( = 2a φ aω cos φ i + sin φ ) j ( cos φ i + sinφ ) j

38 iz zadnje jednadžbe slijedi a θ = 2a φ aω = ω = 2 φ θ kinetička energija donjeg diska je suma energije translacije centra mase i rotacije oko centra mase T 3 = T tr + T rot energija translacije centra mase T tr = 1 2 Mv 2 c.m. = 1 2 M(4a2 φ 2 ) = 2Ma 2 φ 2 energija rotacije donjeg diska T rot = 1 2 I dω 2 = 1 4 Ma2 ( 2 φ θ ) 2

39 ukupna kinetička energija donjeg diska T 3 = 2Ma 2 φ 2 + Ma 2 φ 2 Ma 2 φ θ Ma2 θ 2 = 3Ma 2 φ 2 Ma 2 φ θ Ma2 θ 2 štap rotira oko svog kraja kutnom brzinom φ kinetička energija štapa T 2 = 1 2 I štap φ 2 = m(2a)2 φ = 2 3 ma2 φ 2 gornji disk rotira oko svoje osi kutnom brzinom θ T 1 = 1 2 I d θ 2 = 1 4 Ma2 θ 2

40 ukupna kinetička energija je suma sva tri doprinosa T uk = T 1 + T 2 + T 3 = 1 2 Ma2 θ 2 + (3M + 23 ) m a 2 φ 2 Ma 2 φ θ

41 Homogeni štap mase M i duljine 2a kreće se bez trenja u sfernom udubljenju polumjera R tako da stalno ostaje u okomitoj ravnini koja prolazi kroz centar sfere. Na dite Lagrangian sistema, E-L jednadžbu i frekvenciju malih oscilacija štapa. Rješenje: skica problema O R b φ a

42 kinetičku energiju štapa smo izračunali u jednom od prethodnih zadataka T = M (R 2 23 ) 2 a2 φ 2 gravitacijska potencijalna energija štapa V = Mgz c.m. = Mg R 2 a 2 cos φ Lagrangian štapa L = T V = M (R 2 23 ) 2 a2 φ 2 + Mg R 2 a 2 cosφ

43 E-L jednadžba d dt ( ) L φ L φ = 0 računamo derivacije L (R φ = M 2 23 ) a2 φ L φ = Mg R 2 a 2 sin φ jednadžba gibanja (R 2 23 a2 ) φ + g R 2 a 2 sin φ = 0

44 u slučaju malih oscilacija štapa vrijedi sin φ φ jednadžba gibanja se svodi na jednadžbu oscilatora (R 2 23 a2 ) φ + g R 2 a 2 φ = 0 = φ + g R2 a 2 R a2 = 0 frekvencija malih oscilacija Ω 2 R2 a = g 2 R a2

45 Dva homogena štapa duljine a i b spojena su pod pravim kutem u točki O na osovinu koja rotira konstantnom kutnom brzinom ω. Na dite Lagrangian, E-L jednadžbu i ω(φ) u položaju ravnoteže. Rješenje: skica problema ω a φ b

46 kinetičku energiju smo izračunali u jednom od prethodnih zadataka T = λ 6 [( a 3 sin 2 φ + b 3 cos 2 φ )ω 2 + ( a 3 + b 3) ] φ 2 gravitacijska potencijalna energija ω x V(a) = m a gz c.m. (a) = m a g a 2 cos φ a φ y b V(b) = m b gz c.m. (b) = m b g b 2 sin φ

47 ukupna potencijalna energija V = g 2 (m aa cos φ + m b b sin φ) = gλ 2 Lagrangian sustava ( a 2 cosφ + b 2 sin φ ) L = T V = λ [( ) a 3 sin 2 φ + b 3 cos 2 φ ω 2 + ( a 3 + b 3) ] φ gλ ( a 2 cos φ + b 2 sin φ ) 2 E-L jednadžba d dt ( ) L φ L φ = 0

48 derivacije potrebne za E-L jednadžbu L φ = λ ( a 3 + b 3) φ 3 L φ = λ [ 6 ω2 2a 3 sin φ cosφ 2b 3 cosφsin φ ] + g 2 λ [ a 2 sin φ + b 2 cos φ ] = λ 6 ω2 ( a 3 b 3) sin 2φ + g 2 λ [ a 2 sin φ + b 2 cos φ ] jednadžba gibanja 2 ( a 3 + b 3) φ ω 2 ( a 3 b 3) sin 2φ 3g ( b 2 cos φ a 2 sin φ ) = 0

49 položaj ravnoteže odgovara minimumu efektivnog potencijala pomnožimo jednadžbu gibanja s φ 2 ( a 3 + b 3) φ φ ω 2 ( a 3 b 3) sin 2φ φ 3g ( b 2 cosφ a 2 sin φ ) φ = 0 iz prethodne jednadžbe možemo izračunati konstantu gibanja (energiju) = φ φ = 1 d 2 dt φ 2 sin 2φ φ = 1 d cos 2φ 2 dt ( b 2 cos φ a 2 sin φ ) φ = d ( b 2 sin φ + a 2 cosφ ) dt

50 = d dt [ (a 3 + b 3) φ ω2 ( a 3 b 3) cos 2φ 3g ( b 2 sin φ + a 2 cos φ )] = 0 izraz u zagradi je konstanta gibanja I = ( a 3 + b 3) φ ω2 ( a 3 b 3) cos 2φ 3g ( b 2 sin φ + a 2 cosφ ) ako konstantu I pomnožimo s λ/6 dobit ćemo energiju sustava E = λ ( a 3 + b 3) φ 2 + λ ( 6 12 ω2 a 3 b 3) cos 2φ g 2 λ ( b 2 sin φ + a 2 cosφ )

51 ako energiju napišemo u obliku E = T + U eff možemo zaključiti da se sustav nalazi u efektivnom potencijalu U eff = λ ( 12 ω2 a 3 b 3) cos 2φ g 2 λ ( b 2 sin φ + a 2 cos φ ) da bi sustav bio u ravnoteži mora vrijediti U eff φ = 0

52 deriviramo U eff po kutu φ U eff φ = λ 6 ω2 ( a 3 b 3) sin 2φ g 2 λ ( b 2 cosφ a 2 sin φ ) = 0 možemo izračunati ω(φ) u položaju ravnoteže ω 2 3g [ (φ) = b 2 cos φ a 2 sin φ ] (b 3 a 3 ) sin 2φ [ ] 3g b 2 = 2 (b 3 a 3 ) sin φ a2 cosφ

53 Kraj štapa AB mase m i duljine 2a može kliziti bez trenja duž vertikalne žice Oz. Kraj B učvršćen je za točku O napetom žicom OB duljine l = 2a. Vertikalna ravnina OBA rotira oko osi z kutnom brzinom φ. Na dite Lagrangian sustava. Ako su zadani početni uvjeti θ 0 = π 3, θ 0 = 0 i φ 0 = izračunajte konstante gibanja. 12g a,

54 Skica problema: y O θ dq q A φ z 2a B 2a x kinetičku energiju smo izračunali u jednom od prethodnih zadataka T = 2 ) ] [(1 3 ma2 + 6 sin 2 θ θ 2 + sin 2 θ φ 2

55 gravitacijska potencijalna energija štapa V = mgz c.m. = mg (2a cos θ + a cosθ) = 3mga cosθ Lagrangian štapa L = T U = 2 ) ] [(1 3 ma2 + 6 sin 2 θ θ 2 + sin 2 θ φ 2 + 3mga cos θ Lagrangian ne ovisi eksplicitno o vremenu pa je energija konstanta gibanja E = T + U = 2 ) ] [(1 3 ma2 + 6 sin 2 θ θ 2 + sin 2 θ φ 2 3mga cos θ

56 Lagrangian ne ovisi o varijabli φ pa je pripadni generalizirani impuls konstanta gibanja p φ = L φ = 4 3 ma2 sin 2 θ φ konstante gibanja uz zadane početne uvjete iznose E = 9 2 mga i p φ = ma 12ga

57 prvo računamo moment inercije s obzirom na točku O, a zatim koristimo Steinerov teorem da bi dobili moment inercije oko centra mase Itrokut O = dm ( x 2 + y 2) problem je simetričan s obzirom na os y pa je dovoljno integrirati po desnoj strani trokuta y h y = 3x + a 3 2 a 2 O a 2 x

58 ploča je po pretpostavci beskonačno tanka i homogena pa koristimo plošnu gustoću σ = M P = M a 2 3/4 moment inercije I O trokut 2 a/2 = σ = σ + σ 0 a/2 0 a/2 0 dx 3x+a 3/2 0 dxx 2 dx 3x+a 3/2 0 3x+a 3/2 0 dy ( x 2 + y 2) dy dyy 2

59 prvo integriramo po y, a zatim po x I O trokut 2 = σ 3 σ 3 = σ 3 σ 3 = σ 3 a/2 0 a/2 dx 0 a/2 0 a/2 0 a/2 0 ( x 2 x a ) dx 2 ( x a ) 3 2 3a x 3 dx + σ σ 0 3 t 3 dt = σ a/2 0 a/2 x 2 dx 2 0 ( d x a )( x a ) a a/2 x 3 dx + σ x 2 dx 2 0 3a a/2 x 2 dx 2

60 moment inercije oko točke O 3a Itrokut O a 3 3a 4 = 2σ 2 24 = σ 24 uvrstimo plošnu gustoću = I O trokut = 1 6 Ma2 moment inercije oko centra mase računamo pomoću Steinerovog teorema I c.m. trokut = I O trokut Md 2 udaljenost točke O od centra mase iznosi d = 1 3 h = a 2 3

61 moment inercije trokuta oko centra mase I c.m. trokut = 1 6 Ma2 M a2 12 = 1 12 Ma2

Ortogonalne transformacije

Ortogonalne transformacije Promatramo dva koordinatna S i S sa zajedničkim ishodištem z x z k i x k i j j y y jedinične vektore koordinatnog S možemo izraziti pomoću jediničnih vektora koordinatnog S i = ( i i) i + ( i j) j + (

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

(r, φ) φ x. Polarni sustav

(r, φ) φ x. Polarni sustav olarnom u oložaj točke u ravnini možemo definirati omoću udaljenosti r od ishodišta i kuta φ koji sojnica ishodišta i točke zatvara s osi φ r (r, φ) kut φ je o konvenciji ozitivan ako ga mijenjamo u smjeru

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija u ravnini

Analitička geometrija u ravnini Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se: 4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (

Διαβάστε περισσότερα

Skalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.

Skalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b. 5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje

7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje 7. itranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje IRANJE Općenito je titranje mijenjanje bilo koje mjerne veličine u nekom sustavu oko srednje vrijednosti. U tehnici titranje podrazumijeva takvo gibanje

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ), Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika i vektori

Kinematika i vektori ZADACI ZA INTERAKTIVNE VJEŽBE IZ OPĆE FIZIKE 1 Kinematika i vektori 1. Svjetiljka udaljena 3m od vertikalnog zida baca na zid svijetlu mrlju. Svjetiljka se jednoliko okreće oko svoje osi frekvencijom f

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 2. vežbe 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 Proračuni trajektorija koso-usmerenih bušotina 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 2 of 50 Proračun

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU. ilukacevic/

VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU.  ilukacevic/ VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU www.fizika.unios.hr/ ilukacevic/ ilukacevic@fizika.unios.hr Igor Lukačević Odjel za fiziku Trg Ljudevita Gaja 6 1. kat, soba 6 9. listopada 7. LITERATURA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

Nastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav,

Nastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav, 1. UVOD 1. * Odgovorite na sljedeća pitanja tako da dopunite tvrdnje. 1.1 Što je gibanje tijela? Gibanje tijela je... tijela u... 1.2 Osnovni parametri u kinematici su... i... 1.3 Na koji način opisujemo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

2 m. 2 m. MEHANIKA 2 ispit m. 1 m. 2 m

2 m. 2 m. MEHANIKA 2 ispit m. 1 m. 2 m 1 m 1 m m MEHNIK ispit - 01.0.01. NPOMEN: Zadatak mora biti riješen uredno i pregledno. Rješenja moraju sadržavati crteže s potrebnim oznakama i kotama. Prije numeričkog računa napisati općeniti izraz

Διαβάστε περισσότερα