osnovne formule: λ/λ = v/c v = 8/ c = m s -1 k = 1, J K -1 m = M/N A
|
|
- Σώστρατος Πρωτονοτάριος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ZDCI 1. Dopplerov efekt jedan je od uzroka proširenja linija u S. tomi koji se kreću prema izvoru zračenja opažaju više frekvenije od atoma koji se udaljavaju od izvora. Razlika u valnoj duljini, λ, koju opaža atom brzine v (u usporedbi s atomom u mirovanju) je λ/λ v/, pri čemu je brzina svjetlosti. Proijenite širinu (u Å) natrijeve D-linije pri 5893 Å, ako se atomi natrija koji apsorbiraju nalaze pri temperaturi od 000 K. Prosječna brzina atoma prikazuje se jednadžbom v 8/, u kojoj je T temperatura, k Boltzmannova konstanta, a m masa. osnovne formule: λ/λ v/ v 8/ m s -1 k 1, J K -1 m M/N λ λ 8kTN πm λ 0,066 J kg m s o o m s ,38 10 J K 000 K 6,0 10 mol 3 3, kg mol. Odredite širinu linije (nm) litija (λ 0 670,776 nm) kad se atomi koji apsorbiraju nalaze na temperaturi od a) 100 K b) 3150 K. prosječna brzina atoma: k Boltzmannova konstanta T apsolutna temperatura m masa atoma Dopplerov pomak: a) λo λ 8kTN πm λ 5,7 10 J kg m s 3 nm 670,776 nm m s ,38 10 J K 100 K 6,0 10 mol 3 3,14 6,9 10 kg mol b) λo λ 8kTN πm λ 6, nm 670,776 nm m s 3 8 1,38 10 J K 3150 K 6, ,14 6,9 10 kg mol 3 mol 1
2 Neki optički filter ima svojstvo da propušta samo liniju u rvenom dijelu spektra pri 6600 Ǻ. Izračunajte: a) valnu duljinu u nm i µm, b) frekveniju i ) valni broj. rješenje: a) λ 6600 Ǻ m 660, m 660,0 nm λ 6600 Ǻ 0, m 0,6600 µm b) ν /λ 4, s -1 ) 1/λ 1, m U visokotemperaturnim izvorima natrijevi atomi emitiraju dublet prosječne valne duljine 1139 nm, kao rezultat prijelaza iz stanja 4s u stanje 3p. Izračunajte omjer broja pobuđenih atoma u 4s i onih u osnovnom 3p stanju u: a) plamenu aetilen/kisik (3100 C); b) najtoplijem dijelu induktivno spregnutog plazma izvora ( 8000 C). N j /N 0 g j /g 0 exp(- E/kT) E h ν h ~ ν λ 1139 nm a) T C T K b) T 8000 C T 873 K 4s 3p 4s stanja g j 3p 6 stanja g 0 6 g j /g 0 / λ 1139 nm m -1 E j 8779,63 m -1 1, ajm 8779,63 m -1 1, Jm 1, J a) N j /N 0 0,333 exp [- 1, J/(1, JK K)] 7, b) N j /N 0 0,333 exp [- 1, J/(1, JK K)] 7,4 10
3 Plamenom emisijskom spektrometrijom određen je natrij u nizu uzoraka ementa. Plameni fotometar baždaren je nizom standardnih otopina koje su sadržavale 0.0, 0,0, 40.0, 60.0 i 80.0 µg ml -1 Na O. Očitanja intenziteta za te otopine iznosila su 3.1, 1.5, 40.9, 57.1, odnosno a) Grafički prikažite podatke. b) Odredite opisani prava metodom najmanjih kvadrata. ) Izračunajte standardna odstupanja nagiba i regresije opisanog prava. d) Za analizu je odvagano po 1,000 g uzorka ementa, B i C. Uzori su otopljeni u HCl, a otopina je nakon neutralizaije razrijeđena do 100,0 ml. Postupak mjerenja ponovljen je tri puta. Izračunajte količinu Na O (%) u svakom od uzoraka. Kolika je apsolutna, a kolika relativna standardna devijaija za srednju vrijednost svakog određivanja? emisijsko očitanje postupak slijepi uz. uzorak uzorak B uzorak C prva analiza 5,1 8,6 40,7 73,1 druga analiza 4,8 8, 41, 7,1 treća analiza 4,9 8,9 40, zabunom proliveno xi x N yi y N Sxx ( x x ) i xi ( x ) i N ( y ) i Syy ( y i y ) yi N ( )( ) xi yi Sxy xi x yi y xi yi N jednadžba prava: y mx + b N broj parova podataka x,y S xx, S yy sume kvadrata odstupanja od srednje vrijednosti za pojedinačne x i y nagib prava, m odsječak prava, b m S xy S xx b y mx standardno odstupanje regresije, s r s r S yy m N S xx standardno odstupanje nagiba, s m s m s r S xx standardno odstupanje odsječka, s b sb sr xi 1 N x ( x ) N ( x ) x i i i i standardno odstupanje rezultata, s sr s m 1 M + 1 N ( y y ) + m Sxx y srednja vrijednost M istovjetnih analiza N broj točaka 3
4 a) grafički prikaz: 80,0 60,0 b) I 0,9 γ + 3,18 ) s m 0,015; s r 0,96 I 40,0 0,0 0,0 0,0 0,0 40,0 60,0 80,0 γ/ µg ml 1 d) I S I 0 I I 0 I S I B0 I B I B0 I S I C0 I C 1 5,1 8,6 3,5 40,7 35,6 73,1 68,0 4,8 8, 3,4 41, 36,4 7,1 67,3 3 4,9 8,9 4,0 40, 35,3 I 8,56 I 35, 77 67, 65 B I C opaska: pri izračunavanju treba uzeti u obzir razliku u očitanjima emisijskih intenziteta za slijepe uzorke emenata i za slijepe uzorke standardnih otopina I γ 8,56 8,56 3,18 1 µ g ml 7,59µ g ml I B γ 35,77 0,9 6 γ 100 ml 7,59 10 g ml 100 ml w ( Na O,ement) 0, 76 % 1,000g 1,000g 35,77 3,18 1 B µ g ml 35,4 µ g ml 0,9 6 γ 100 ml 35,4 10 g ml 100 ml wb ( Na O,ement) B 0, 354 % 1,000g 1,000g I C 67,65 67,65 3,18 1 C µ g ml 70,08 µ g ml γ 0,9 6 γ C 100 ml 70,08 10 g ml 100 ml wc ( Na O,ement) 0, 701% 1,000g 1,000g 0,76 % Na O s 0,013 % (s ) r 49 ppt B 0,354 % Na O s 0,01 % (s ) r 3 ppt C 0,701 % Na O s 0,015 % (s ) r 0 ppt 4
5 U uzorku krvi volumena 5,00 ml istaloženi su proteini pomoću triklorotene kiseline. Nakon entrifugiranja preostaloj je otopini ph ugođen na vrijednost 3. Otopina je tada ekstrahirana dva puta s po 5,00 ml metilizobutilketona, uz prisutnost PCD - reagensa koji tvori komplekse s olovom u organskom materijalu. Ekstrakt je izravno raspršen u plamen smjese zrak/aetilen, pri čemu je pri 83,3 nm očitana apsorbanija 0,50. likvoti od 5,00 ml standardnih otopina koje su sadržavale 0,400, odnosno 0,600 ppm Pb, obrađeni su na isti način. Očitane vrijednosti apsorbanija iznosile su 0,396, odnosno 0,599. Uz pretpostavku da se sustav ponaša u skladu s Beerovim zakonom, izračunajte količinu olova (u ppm) u ispitivanom uzorku krvi. osnovne jednadžbe: ab k rješenje: 1 1 st uz uz uz st st uz st (1) () uz ppm 0,507 ppm uz ppm 0,50 ppm uz 0,5045 ppm Pb metoda dodatka standarda složena matria u alikvotni dio uzorka dodaje se poznata količina standardne otopine analita mjerenje: otopina bez dodatka standarda i otopina s dodanim standardom uvjet: sukladnost L-B zakonu mjerena veličina - uzorak 0 5
6 Sljedeći emisijski signali dobiveni su ICP analizom alikvota od 5 µl krvi pomiješane sa standardnom otopinom mangana. Uzori krvi najprije su deseterostruko razrijeđeni sa 0,1 M HCl. Primjenom metode dodatka standarda izračunajte konentraiju Mn (µg/ml) u uzorku čiste krvi. otopina očit. intenziteta uzorak 5,3 slijepi uzorak 5, uzorak + 0,005 µg/ml Mn 55, uzorak + 0,010 µg/ml Mn 85,4 uzorak + 0,00 µg/ml Mn 145,3 rješenje: otopina I r I I r I slijepi uzorak 5,3 0,1 slijepi uzorak 5, 0,0 uzorak + 0,005 µg/ml Mn 55, 50,0 uzorak + 0,010 µg/ml Mn 85,4 80, uzorak + 0,00 µg/ml Mn 145,3 140,1 grafički prikaz: I γ, ppm I 600,3γ + 0,08 iz grafičkog prikaza γ 0,0033 µg ml γ 0,0033 µg ml x 10 0,033 µg ml faktor razrjeđenja 6
7 metoda unutrašnjeg standarda: standardna otopina koja se dodaje svim uzorima i standardima u istoj poznatoj količini po sastavu nije jednaka analitu mjerni faktori (temperatura, protok, itd.) utječu na sve otopine jednako (uzorke, standarde, unutrašnji standard) kalibraijska krivulja: omjer signala uzorka i signala unutrašnjeg standarda prema konentraiji analita kalibraijska krivulja I x / I st opaska: u slučaju širokog raspona vrijednosti prikazuje se kao log vrijednost x 9. Metoda unutrašnjeg standarda primijenjena je za analizu bakra plamenom emisijskom spektroskopijom. Pripravljen je niz standardnih otopina bakra, od kojih je svaka sadržavala po 3,00 µg/ml kadmija. Otopina za analizu pripravljena je u odmjernoj tikvii od 5,0 ml, miješanjem 10,0 ml otopine uzorka i 10,0 ml otopine kadmija početne konentraije 7,5 µg Cd/ml. Tikvia je do oznake nadopunjena deioniziranom vodom. Relativni emisijski intenziteti bakra i kadmija mjereni su pri 37,4, odnosno 36,1 nm. Odredite konentraiju bakra u otopini uzorka. kon. bakra, relativni intenziteti µg/ml 37,4 nm 36,1 nm 1,0 18,7 31,5,40 38,6 3,7 3,60 5,7 9,8 4,80 71,7 30,4 6,00 93,9 31,3 uzorak 45,3 30, 7
8 rješenje: Cu, µg/ml I Cu, λ37,4 nm I Cd, λ36,1 nm I Cu /I Cd 1,0 18,7 31,5 0,594,40 38,6 3,7 1,188 3,60 5,7 9,8 1,768 4,80 71,7 30,4,359 6,00 93,9 31,3 3,000 uz 45,3 30, 1,500 grafički prikaz: I Cu/I Cd , µg/ml Y ( ) iz grafičkog prikaza Cu,uz 3,03 µg ml 5 ml Cu 3,03 µ g ml 7,58 µg ml 10mL 10. Metoda unutrašnjeg standarda primijenjena je za analizu stronija plamenom emisijskom spektroskopijom. Ishodna otopina stronijevog nitrata pripravljena je otapanjem 0,415 g stronijevog nitrata (M 11,63) u točno 1 l vode. U volumetrijske tikvie od 100 ml pipetom su dodavani različiti volumeni ishodne otopine i po 10 ml otopine VOSO 4 početne konentraije 160,0 mg/ml. Tako pripravljene otopine nadopunjene su do oznake destiliranom vodom. U odmjernu tikviu volumena 100 ml s oznakom "uzorak" dodano je 10,0 ml otopine vanadija i 50,0 ml otopine uzorka nepoznate konentraije, te je otopina nadopunjena do oznake. Mjereni su intenziteti stronijeve linije pri 460,7 nm i vanadijeve linije pri 437,9 nm. Odredite konentraiju stronija u otopini uzorka. ishodna otopina Sr, relativni intenziteti ml 460,7 nm 437,9 nm,00 16,9 35,7 4,00 9,9 33,1 6,00 54,7 38,5 8,00 74,7 39,3 10,00 81, 34,1 uzorak 36,1 35,4 8
9 rješenja: v Sr, ml Sr, M I Sr, λ460.7 nm I V, λ437.9 nm I Sr /I V,00,0x ,9 35,7 0,473 4,00 4,04x10-5 9,9 33,1 0,903 6,00 6,06x ,7 38,5 1,41 8,00 8,08x ,7 39,3 1,901 10,00 1,01x , 34,1,381 uzorak 36,1 35,4 1,00 grafički prikaz:.5 I Sr/I V iz grafičkog prikaza Sr 4,4x10-5 M zbog razrjeđenja Sr,uz 4,4x10-5 x 100/50 8,8x10-5 M x10-5, 11. Uzorak vode, koji sadrži ink u tragovima, analiziran je pomoću ICP-ES uz fotomultiplikatorsku ijev kao detektor. Kalibraijska otopina koja je sadržavala 1,4 ppm inka dala je signal veličine 14,5 jedinia. ko je pozadinski signal (osnovni) 8, jedinie, a ekvivalentan je konentraiji od 0,0 ppm, izračunajte konentraiju inka u uzorku čiji signal iznosi 94,5 jedinie. rješenje: korekija za I(Zn) 14,5 8, 116,3 jedinie korekija za (Zn) 1,4 0,0 1,38 ppm korekija za I(Zn uz ) 94,5 8, 86,3 jedinie omjer 116,3 : 1,38 ppm 86,3 : (Zn uz ) (Zn uz ) 1,0 ppm 9
10 DODTNI ZDCI I PITNJ 13. Otopina koja sadrži nepoznatu količinu mangana daje pri 403,3 nm na ljestvii instrumenta relativno očitanje 45. Otopina B koja sadrži istu količinu nepopznate otopine kao i, te dodanih 100 µg/ml mangana, daje očitanje 83,5. Izračunajte konentraiju mangana (µg/ml) u otopini. 14. Otopina uzorka mineralnog pepela () dala je na ljestvii instrumenta relativno očitanje 37. Otopine B i C sadržavale su istu količinu nepoznate otopine kao i 40, odnosno 80 ppm dodanog kalija, a dale su očitanje 65, odnosno 93. Izračunajte konentraiju kalija (µg/ml) u nepoznatom uzorku mineralnog pepela. 15. Ukratko objasnite uporabu: - metode unutrašnjeg standarda; - metode dodatka standarda. 16. Ukratko objasnite: Boltzmannova raspodjela značenje u analitičkoj kemiji; statistička obradba podataka značenje u analitičkoj kemiji. 17. Što je općenito baždami dijagram i koja mu je uloga u analitičkoj kemiji? 18. Uloga statistike u analitičkoj kemiji. 19. Ukratko objasnite pojmove: baždarna krivulja; Gaussova raspodjela. 0. Objasnite: preiznost, točnost. Navedite načine izražavanja preiznosti i točnosti analitičkih rezultata. 1. Objasnite metodu najmanjih kvadrata za dobivanje baždarne krivulje.. Definirajte: aritmetičku sredinu; medijan; standardnu devijaiju; prosječno odstupanje od srednje vrijednosti; relativnu standardnu devijaiju; apsolutnu pogrešku; relativnu pogrešku. 3. Što je elektromagnetsko zračenje? Kojim se parametrima opisuje? 4. Lambert-Beerov zakon. nalitičko značenje. 5. Na kojim se osnovnim proesima u plamenu temelji plamena emisijska spektroskopija? 6. Osnovni prinip atomske apsorpijske spektroskopije. 7. Dopplerov efekt u atomskoj apsorpijskoj spektroskopiji. 8. Ukratko opišite sličnosti i razlike atomske apsorpijske i atomske emisijske spektroskopije. 9. a) Utjeaj temperature plamena na analizu atomskom emisijskom spektroskopijom. b) Metoda unutrašnjeg standarda. 30. Proese koji se zbivaju tijekom plamenofotometrijske analize objasnite na primjeru otopine NaCl (jednadžbe!). 31. Što je ICP? 3. psorpija elektromagnetskog zračenja. Usporedba atomske i molekulske apsorpije. 10
11 U svrhu analiziranja uzoraka ementa pripravljen je niz standardnih otopina kojima su očitani emisijski intenziteti natrija i kalija pri 590, odnosno 768 nm. Svaka standardna otopina sadržavala je 6300 µg/ml kalija kao CaO, koji je služio za kompenzaiju utjeaja kalija na očitanje emisijskih intenziteta analiziranih alkalijskih metala. Dobiveni rezultati prikazani su tablično. Otopina nepoznatog uzorka pripravljena je otapanjem 1,0000 g ementa u kiselini i razrjeđivanjem do 100,00 ml. Izračunajte koliko Na O i K O sadrži uzorak ementa (u %). konentraija, očitanje emisije µg/ml Na O K O ement likvot od 5,0 ml otopine uzorka dodan je u svaku od 5 odmjernih tikvia volumena 50 ml, označenih sa S, 1,, 3 i 4. Zatim je u odmjernu tikviu dodana otopina standarda (,00x10-3 M): 5,00 ml u tikviu 1, 10,00 ml u tikviu, 15,00 ml u tikviu 3 i 0,00 ml u tikviu 4. Sve su tikvie otapalom nadopunjene do oznake i izmjerena je apsorbanija otopina pri 580 nm u kiveti od 1,00 m. Odredite konentraiju otopine uzorka i ukratko opišite prinip uporabljene eksperimentne metode. tikvia S 0, ,53 0, , Konentraija kalija u krvnom serumu analizira se primjenom metode dodatka standarda i plamenom emisijom. Ekstrahirana su dva alikvota od po 0.5 ml seruma, čime su dobivene dvije identične otopine, te su obje razrijeđene destiliranom vodom do konačnog volumena od 5 ml. U jednu od njih dodano je 10 µl 0. M KCl. Vrijednosti odziva instrumenta iznosile su 3.1 odnosno 58.6 proizvoljnih jedinia. Koja je konentraija kalija u serumu? 11
12 Krom je u vodenoj otopini uzorka određen atomskom apsorpijskom spektroskopijom. U tu je svrhu u svaku od odmjernih tikvia od 50 ml odpipetirano po 1.0 ml uzorka nepoznate konentraije, a potom različiti volumeni standardne otopine kroma (konentraija standardne otopine 1, ppm Cr). Tada su otopine razrijeđene do oznake. Eksperimentni podati prikazani su priloženom tabliom. a) Nartajte apsorbaniju kao funkiju volumena standarda, v s. b) Izvedite izraz ovisnosti apsorbanije o konentraijama standarda i nepoznatog uzorka ( s i x ), volumenima standarda i nepoznatog uzorka (v s i v x ), te ukupnom volumenu razrjeđenja (v t ). ) Izvedite izraze za nagib i odsječak prava dobivenog u a) pomoću varijabla navedenih u b). d) Dokažite da ja konentraija analita dana izrazom x a s /bv x, gdje su a i b nagib i odsječak prava prikazanog u a). e) Odredite ppm Cr u uzorku primjenom: prava prikazanog u a); izraza prikazanog u d). f) Ukratko objasnite primijenjenu analitičku metodu. uzorak, ml standard, ml apsorbanija a) Uzorak urina volumena.00 ml obrađen je reagensima koji s fosfatima daju obojenu otopinu, te je u odmjernoj tikvii razrije en do 100 ml. likvotu od 5.0 ml izmjerena je apsorbanija Drugom alikvotu od 5.00 ml dodan je 1.00 ml otopine koja je sadržavala mg fosfata, te mu je izmjerena apsorbanija Izračunajte sadržaj fosfata u uzorku urina (mg/ml). b) Koja je metoda priprave uzoraka primijenjena u a)? 38. Odaberite između predloženih metoda najpogodniju za analizu kalija u uzorku mineralne vode: automatska ph-titraija, 1 H NMR spektroskopija, atomska emisijska spektroskopija, molekulska apsorpijska spektroskopija, gravimetrijska analiza, HPLC. Ukratko obrazložite svoj odabir. 1
13 a) Uzorak nekog metalnog naftenata, spaljen i razrijeđen do određenog volumena, dao je na mjernoj ljestvii očitanje 9. Otopinama B i C, koje su sadržavale istu količinu otopine uzorka i dodanih 5, odnosno 50 ppm barija, očitane su vrijednosti 53, odnosno 78. Izračunajte prosječnu konentraiju barija (µg/ml) u analiziranom uzorku, uz pretpostavku da je sustav sukladan Beerovom zakonu. b) Koja je metoda priprave uzoraka za analizu primijenjena u ovom primjeru? Je li za analizu uzoraka uporabljena molekulska ili atomska spektroskopija? Obrazložite. 40. Navedite proese označene u sljedećoj shemi brojevima 1 do 7: 41. Metodom S određeno je olovo u uzorku paprike patvorene dodatkom olovljevog oksida iste boje. Uporabljen je elektrotermički atomski apsorpijski spektrometar koji omogućuje korekiju pozadine baziranu na Zeemanovom efektu. U ijev grafitne peći smješteno je 0,001 g praška paprike. Određivanje površine apsorbanijskog pika izvedeno je pri λ 83,3 nm, najprije u odsutnosti a potom u prisutnosti magnetskog polja. Vrijednost apsorpijskog maksimuma poslije korekije pozadine iznosila je 10 arbitrarnih jedinia. Pod istim uvjetima je za 0,01 ml otopine koja je sadržavala 10 g/l Pb očitana vrijednost od 1000 istih jedinia. Izračunajte maseni % olova u uzorku analizirane paprike. 4. a) Pet standardnih otopina pripravljeno je za mjerenje konentraije olova u otopinama i B. Sve su otopine sadržavale magnezij kao unutrašnji standard. Dobiveni su sljedeći podai: konentraija, emisijski signal signal Mg mg/l (arbitrarne jedinie) 0,10 13,86 11,88 0,0 3,49 11,76 0,30 33,81 1,4 0,40 44,50 1,00 0,50 53,63 1,1 15,50 11,80 B 4,60 1,40 Izračunajte konentraiju olova (mg/l) u dvije otopine uzorka, i B. b) Ukratko objasnite metodu unutrašnjeg standarda. 13
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
ANALITIČKA KEMIJA II BOLTZMANNOVA RASPODJELA. nositelj: prof.dr.sc. P. Novak održao: doc.dr.sc.t. Jednačak; ak.god. 2017/18.
ANALITIČKA KEMIJA II BOLTZMANNOVA RASPODJELA nositelj: prof.dr.sc. P. Novak održao: doc.dr.sc.t. Jednačak; ak.god. 2017/18. Ludwig Boltzmann rođen umro boravio nacionalnost struka 20. veljače 1844. Beč
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR
ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR UVOD STATISTIKA osnovni pojmovi BOLTZMANNOVA RAZDIOBA ATOMSKA SPEKTROSKOPIJA predavanja i seminar MOLEKULSKA SPEKTROSKOPIJA primjena UV/VIS MOLEKULSKA SPEKTROSKOPIJA AK2;
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
ZADACI. ktn c. λ λ. m s
ZADACI o 1 3 1 3 1 3 1 8 o 0,066 A 10 3 3,14 10 6,0 000 10 1,38 8 10 3 5893 A 8 s m kg J mol kg mol K J K m s M ktn c - A λ π λ λ . Odredte šrnu lnje (nm) ltja (λ 0 670,776 nm) kad se atom koj apsorbraju
SPEKTROSKOPIJA OSNOVE - zadaci
uvodno predavanje općenito uzorkovanje; norme i standardi; intelektualno vlasništvo BOLTZMANNOVA RAZDIOBA STATISTIKA osnove EKSTRAKCIJA, KROMATOGRAFIJA - osnove ELEKTROANALITIČKE METODE SPEKTROSKOPIJA
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom
Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA
Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Relativna skala masa elemenata: atomska jedinica mase 1/12 mase atoma ugljika C-12. Unificirana jedinica atomske mase (u)
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA
ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Impuls i količina gibanja
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
KEMIJSKA RAVNOTEŽA II
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 09 EMIJSA RAVNOTEŽA II Ravnoteže u otopinama elektrolita 2 dr. s. Biserka Tkalče dr. s. Lidija Furač EMIJSA RAVNOTEŽA II ONJUGIRANE
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija
Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Atomi i jezgre 1.1. Atomi i kvanti 1.2. Atomska jezgra λ = h p E = hf, E niži
tomi i jezgre.. tomi i kvanti.. tomska jezgra Kvant je najmanji mogući iznos neke veličine. Foton, čestica svjetlosti, je kvant energije: gdje je f frekvencija fotona, a h Planckova konstanta. E = hf,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
ANALITIČKE TEHNIKE I GLAVNE PRIMJENE. tehnika mjereno svojstvo glavne primjene
Spektroskopija ANALITIČKE TEHNIKE I GLAVNE PRIMJENE tehnika mjereno svojstvo glavne primjene gravimetrija volumetrija (titrimetrija) atomska i molekulska spektroskopija masena spektrometrija kromatografija
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1
4. MJERE DISPERZIJE Josipa Perkov, prof., pred. 1 Kod mnogih mjerenja se može opaziti da se rezultati grupiraju i skupljaju oko jedne srednje vrijednosti Srednja vrijednost dobro reprezentira rezultate
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su