Raspodele: neprekidna i diskretna raspodela Funkcija gustine i funkcija raspodele pri neprekidnoj raspodeli

Transcript

1 MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA /, dr Momr Jovanovć, red.profesor Educaton and Culture Predavanje 7 STATISTIĈKE I STOHASTIĈKE OSNOVE SIMULACIJE PROCESA STATISTIKA Sluĉajne promenjve: neprekdne dskretne Sluĉajna promenljva je ona koja dobja vrednost kao rezultat sluĉajnog procesa. Neprekdne sluĉajne promenljve mogu uzet beskonaĉno mnogo vrednost, npr. vreme ĉekanja. Dskretne sluĉajne promenljve mogu uzet samo konaĉne vrednost, npr. broj zahteva. Statstĉk brojev: srednja vrednost, varjanca, kvantl Srednja vrednost predstavlja artmetĉku srednu vrednost nza merenja, kao: X XX.... n n n Xn X Srednja vrednost se oznaĉava kao oĉekvana vrednost EX, pa važ: EXY EX EY. Varjanca predstavlja meru raspanja vrednost jednog nza merenja XX X VX EX. n n Standardno odstupanje je kvadratn koren varjance: VX. Raspodele: neprekdna dskretna raspodela Funkcja gustne funkcja raspodele pr neprekdnoj raspodel Defncja: Funkcja gustne jedne neprekdne raspodele je poztvna funkcja za koju važ: b Pa Xb fx dx a Grafk predstavlja verovatnoću, da vrednost x lež u ntervalu zmeċu a b. U oblast meċuvremena dolazaka, gustna verovatnoće može uzet vrednost: f t (.7)

2 MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA /, dr Momr Jovanovć, red.profesor Pr tome mora bt spunjen uslov normranja (.8), da je površna spod krve na slc.-a, jednaka. f t dt tt VEROVATNOĆA: nastajanja meċuvremena dolaska, sa vrednostma k, odgovara ntegralu funkcje verovatnoće gustne od t do t t k. Verovatnoća P (Probablty) je: P t k k (.9) k t t f tdt Ft f(t) (.8) Sl.. Funkcja gustne kod neprekdne (kontnualne) raspodele a. funkcja verovatnoće gustne raspodele f(t), b. funkcja raspodele F(t) FUNKCIJA RASPODELE: Ĉešće se umesto funkcje gustne raspodele, korst funkcja raspodele F(t) sa kojom se raspodela meċuvremena dolazaka još jednostavnje odreċuje (vrednuje). Funkcja raspodele F(t) nastaje ntegracjom funkcje verovatnosne gustne. Moguća oblast njene vrednost je: Vrednost funkcje t k Ft (..) F na sl..-b, odgovara ntegralu prema jednaĉn (.9). Uz pomoć funkcje raspodele, verovatnoća da nastup meċuvreme dolaska u oblast t ttk, može se dat jednostavno kao razlka vrednost funkcje F t F t k. Za verovatnoću se pše: tp tt k tf k tf (.)

3 MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA /, dr Momr Jovanovć, red.profesor Iz jednaĉne (.) postaje jasno da verovatnoća za nastanak meċuvremena dolazaka za t je tp tf tf. Ovakav sluĉaj (stanje) važ za sve neprekdne sluĉajne promenljve (npr. merenje puta vremena). Nasuprot tome može se za svako pojašnjenje jedne dskretne sluĉajne promenljve (npr. broj komada) dat jedna konkretna verovatnoća. MeĊuvreme dolaska je po svojoj prrod neprekdna velĉna. Oĉekvana vrednost neprekdne raspodele (prolazno vreme): Koja se srednja vrednost meċuvremena dolazaka može oĉekvat? Oĉekvana vrednost E(t) može se odredt z funkcje verovatnoće gustne f(t), prema zrazu (.). Oĉekvana vrednost kao zbalansrana vrednost svh mogućh meċuvremena dolazaka odgovara težštu površne zmeċu apcse krve f(t). Oĉekvana vrednost: E t t f tdt Prmer: Radn vek jednog lasera znos u proseku godne. Statstĉka raspodela veka trajanja poseduje funkcju gustne datu zrazom grafkom: e fx x x nace Sl..3 Grafk neprekdne raspodele Verovatnoća da će vek trajanja lasera znost zmeċu 3 godne je: 3 3 x 3XP eee %5.4. Funkcja raspodele radnog veka lasera je x t x Fx edte. Verovatnoća daće vek trajanja lasera bt zmeċu 3 godne je: 3 3 F3F3XP e eee %5.4 Verovatnoća da vek trajanja lasera bude spod godne znos: XPFe. 63 %.63 3

4 MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA /, dr Momr Jovanovć, red.profesor Funkcja gustne pr dskretnoj raspodel H Klasa =()n t=constant H H t t t 3 t n t t Slka.7. Hstogram apsolutne uĉestalost zmerenh meċuvremena dolaska vremenskh klasa šrne U PRAKSI: Funkcja verovatnoće gustne f(t) funkcja raspodele F(t) meċuvremena dolaska u svojoj matematĉkoj form za zvedene ssteme materjalnh tokova u normalnm sluĉajevma unapred nsu poznate. Merenjem se može odredt sa kojom uĉestalošću se javljaju meċuvremena dolazaka u unapred zadatom vremenskom ntervalu. Kao prblženje, dobja se dskretna raspodela koja je u stvarnost neprekdna raspodela meċuvremena dolazaka. Kao rezultat, može se apsolutna uĉestalost H predstavt, na prmer, u form hstograma prema slc.7. Pr tome, za relatvnu uĉestalost važ: t H h n H za h (.3) Pod pretpostavkom da je rezultat merenja (sl..7) reprezentatvan za sva meċuvremena dolazaka, tada se emprjsk može zjednaĉt relatvna uĉestalost h sa nepoznatom verovatnoćom p : p h za p (.4) pr tome: p Pt t t (.5) a. p p p p k b. P, t t t k t n t P k t t t k Slka.8. Dskretne raspodele meċuvremena dolazaka pomoću: a. elemenata vektora verovatnoće, b. funkcja raspodele t n t 4

5 MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA /, dr Momr Jovanovć, red.profesor Kumulatvna funkcja dskretne raspodele Defncja: Funkcja raspodele dskretnh velĉna predstavlja kumulatvnu funkcju gustne: Vrednost p su element vektora verovatnoće sa sumom jedan: n p (.6) KOLIKA JE VEROVATNOĆA DISKRETNE RASPODELE: Verovatnoća za nastajanje meċuvremena dolazaka sa vrednošću ttk, odreċuje model dskretne raspodele, analogno ntegracj, procedurom sumranja. Sada se verovatnoća može napsat: k P t t k p (.7) OĈEKIVANA VREDNOST DISKRETNE RASPODELE: Verovatnoća nastanka meċuvremena dolazaka u oblast t ttk, može se odredt takoċe za dskretnu raspodelu, kao razlka vrednost funkcje F(t). Oĉekvana vrednost dskretne raspodele analogna je jednaĉn (.). n E t t p (.8) U ovom odeljku, uvedene su dskretne raspodele meċuvremena dolazaka kao u praks merljva prblženja neprekdne raspodele. Kad se vrednost meċuvremena dolazaka u stvarnost menjaju skokovto, na prmer ako se daju kao cele vremenske jednce dan, sedmca l mesec. Raspanje vrednost meċuvremena dolazaka Potreba za velkm stepenom skoršćenja nameće potrebu da se raspanje meċuvremena dolazaka vrednuje. Za to je pogodna tzv. varjanca l dsperzja kao najpoznatj parametar raspanja u statstc. Varjanca je oĉekvana vrednost kvadrata odstupanja od srednje vrednost. Za neprekdnu (kontnualnu) raspodelu varjanca se defnše zrazom: Var t t Et f tdt (.) Za dskretnu raspodelu varjanca se raĉuna prema: n t t Ĉesto se kao parametar raspanja daje standardno odstupanje σ: Var te p (.) t t Var (.) Da b se raspodele sa razlĉtm vrednostma oĉekvanja (raspanja) mogle uporeċvat, pogodno je relatvno standardno odstupanje poznato kao koefcjent varjacje v: v t E t t (.3) 5

6 )u(f MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA /, dr Momr Jovanovć, red.profesor Ostale važne raspodele: neprekdne dskretne raspodele Neprekdna exponencjalna raspodela: e e x fx e x x xf Sl..4 Exponencjalna raspodela Oĉekvana vrednost varjanca: E X, VX Prmena: za vremena zmeċu nezavsnh dogaċaja, npr. meċuvremena dolaska za sluĉajno nastale zahteve (materjal, prozvod, ljud), za modelranje veka trajanja komponenata koje znenada otkazuju (npr. sjalce), pogodna, kada meċuvremena dolaska jako osclraju, kada vrednost nemaju meċusobn utcaj, kada procenjena srednja vrednost nje suvše velka, nepogodna za predstavljanje vremena usporavanja. Neprekdna normalna raspodela: FORMULACIJA: Normalna raspodela pogodna je za modelranje kod procesa kod kojh postoj vrlo mnogo pojednaĉnh u znatnoj mer nezavsnh utcaja koj deluju na sstem. Funkcja gustne: x f (x) e - x +: (3.7) Gde je: - (nepoznata) stvarna srednja vrednost, - (nepoznato) stvarno standardno odstupanje. Ako su vrednost X normalno raspodeljene, prema jednaĉn (3.7) z normalne raspodele N(,), supsttucjom vrednost u=(x-)/, dobja se normalna raspodela sa = =. Funkcja gustne ove standardne normalne raspodele, koja je oznaĉena kao normrana normalna raspodela N(,) je: u u e 4.e (3.7) Gustna njene verovatnoće predstavljena je na slc

7 MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA /, dr Momr Jovanovć, red.profesor OSOBINA: Izmedju granca - u lež oko /3 svh vrednost jedne normalne raspodele sluĉajne velĉne a zmedju - u, oko 95 %. Vrednost funkcje f(u) nalaz se u tabelama svh standardnh knjga statstke (recmo HARTUNG 993.). f(u) - - u Slka 3.36 Verovatnoća gustne standardne normalne raspodele N(,). Logartamska normalna raspodela ln x fx exp x Oĉekvana vrednost varjanca: Sl..6 Grafk logartamske normalne raspodele e, XV e e EX Prmena: pr mnogostrukom prenošenju velkog broja nezavsnh sluĉajnh velĉna, za aproksmacju kose raspodele, za modelranje veka trajanja ostvarenja vremena ĉekanja. Jednaka (ravnomerna) raspodela a x ba nace f x F x xa b a xa ax bx Sl..7 Gustna funkcja raspodele 7

8 MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA /, dr Momr Jovanovć, red.profesor Oĉekvana vrednost varjanca: EX VX. Prmena: pogodna, kada proces nje dovoljno poznat, al se mnmum maksmum mogu procent, generator sluĉajnh brojeva prozvode uglavnom jednako raspodeljene sluĉajne brojeve u ntervalu (,). ab, b a Raspodela oblka trougla hx a b a hc x f x b x c sah Fx c b a x b nace c a x a b a cb c x c a cb ax ax b bx c cx Sl..8 Grafk trougaone raspodele a b c Oĉekvana vrednost varjanca: EX abcab ac bc, XV 3 8 Prmena: kada taĉna forma raspodele nje poznata, al mnmum, maksmum uspešno oĉekvane vrednost stoje na raspolaganju, lako prmenljva razumljva, taĉno ogranĉena oblast vrednost, gruba sluĉajna procena pr asmetrĉnoj raspodel, suvše netaĉna za korektno modelranje. Bernuljeva raspodela p p p F x p nace xa x x Sl..9 Grafk Bernuljeve raspodele 8

9 MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA /, dr Momr Jovanovć, red.profesor Oĉekvana vrednost varjanca: EX p, V X p p. Prmena: Bernuljeva raspodela odgovara jednoj sluĉajnoj prob sa dva moguća rezultata: uspeh sa verovatnoćom p neuspeh sa verovatnoćom (- p). Bnomna raspodela f x n p q n x,,..., nace n sa q p x n Fx p q VX np. Oĉekvana vrednost varjanca: E X np, q Prmena: za broj grešaka pr sptvanju n komponenata, za broj ĉlanova u grupama sluĉajnh velĉna, npr. ljud, zahtev-naloz. Poasonova dskretna raspodela: n, x x n x. FORMULACIJA: Bnomna raspodela prelaz za vrlo malo p velko n u Poasonovu (Posson) raspodelu. To zražava relacja: n x x nx lm pp e x!x (3.46) n Proces važ kada prozvod np tež konaĉnoj vrednost. Za Poasonovu verovatnoću pše se: P(X x) Funkcja raspodele dobja se postepenom smulacjom: x e, za x ()n (3.47) x! x F(x) P(X x ) P(X x ) e, (3.48) x! x x n x Oĉekvana vrednost varjanca Poasonove raspodele maju stu vrednost: E(X) x Var(X) np (3.49) Poasonova raspodela zove se raspodelom retkh dogadjaja. Ona se korst za opsvanje dogadjaja sa malom verovatnoćom nastajanja (malo p) al za koju postoj velk broj mogućnost (velko n). U transportnm tokovma Poasonova raspodela nalaz velku mogućnost prmene. PRIMER: Tehnĉk odeljak kontrole, sa slke 3.8, ma propsanu moć (protok) A + B ==6 [h - ] gotovh prozvoda. U proseku je 95 % spravno a 5 % prozvoda traž naknadnu doradu za koju su predvdjen kapactet (prostor, mašne, personal) koj obezbedjuju granĉn protok od =4 [h - ] prozvoda. Postavlja se ptanje verovatnoće povremenog preopterećenja odelenja naknadne dorade kao potreba za odredjvanjem površne koja obezbedjuje odlaganje (ĉekanje) na doradu. Slka 3.3 stuacje sa vrednostma: 9

10 MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA /, dr Momr Jovanovć, red.profesor Montaža (A+B) FTS Dorada Cekanje? Isptvanje A B WA-L. WA Slka 3.3 Prmer odredjvanja prostora za doradu nespravnh prozvoda Odelenje naknadne dorade nje preopterećeno, što se utvrdjuje stepenom skoršćenja: 3 4 (3.5) Iz ove relacje se još ne može utvrdt da l povremeno ne dolaz do preopterećenja P(X>4). Za raspodelu prozvoda sa greškom, može se uzet Poasonova raspodela jer je p=.5, n=6, np=3. Verovatnoća nastajanja preopterećenja P(X>4) raĉuna se kao komplementarna vrednost jednaĉn (3.48): 4x X(P)4X(P)4 e (3.5) x!x Za = =3, zamenom u jednaĉn dobja se: e)4x(p !!!!3!4 8 Iz ovoga sled da za oko 8 % svh radnh sat u posmatranom vremenskom ntervalu, može bt preopterećenja u odelenju dorade a to znaĉ da ptanje odredjvanja neophodne površne kao medjuskladšta spred dorade mora ozbljno da se razmatra. Ovo može da se sprovede samo uz pomoć teorje verovatnoće (vdet taĉku 4) l smulacje (taĉka 6.6). Na slc 3.3, predstavljena je funkcja raspodele za naveden prmer. P(X<x), P(X<4),5 P(X>4)=,8 P(X=4) P(X=) x Bld 3.3 Posson-Vertelungsfunkton der fehlerhaften Produkte m Nacharbetsberech ( t= h) Slka 3.3 Poasonova funkcja raspodele prozvoda sa greškom u odelenju dorade (t= h). Prmena: Poasonova raspodela se dobja za velk broj n z bnomne raspodele, u sluĉaju da je verovatnoća pojave jednog od dva dogaċaja vrlo mala kada je broj proba relatvno velk, broj nezgoda (povrdeda, udesa sl.) po danu (odnosno meseĉno l godšnje) na jednoj deonc autoputa l broj zahteva (ptanja, nteresovanja) za jednm vrlo retko upotrebljavanm rezervnm delom u odreċenom vremenskom perodu maju raspodelu Poasona.