Osnovni pojmovi u Analizi vremenskih serija

Transcript

1 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Osnovni pojmovi u Analizi vremensih serija Zorica Mladenović Osnovni pojmovi Elemenarne oznae Slučajan proces i vremensa serija Sacionarnos Auoovarijaciona funcija Auoorelaciona funcija Obična Parcijalna Tesovi auoorelacije Primeri Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06.

2 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Elemenarne oznae Nivo vremense serije u renuu : X Docnja prvog reda: - Operaor docnje prvog reda: L X X - Diferenca prvog reda (obična diferenca): X X X L X ( ) Diferenca reda s (sezonsa diferenca): s X X X s s ( L ) X 3 Slučajan proces i vremensa serija Slučajan proces: niz slučajnih promenljivih oje su uređene u odnosu na vreme Uobičajena oznaa: X, X,... X,,,... Vremensa serija: I oncep: jedna realizacija slučajnog procesa II oncep: ne posoji razlia između vremense serije i slučajnog procesa Termine orisimo ao sinonime: vremensi niz slučajnih promenljivih. 4 Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06.

3 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Sacionarnos I Sacionarnos vremense serije: vremensa serija se reće po prepoznaljivoj puanji oom vremena Dva oncepa: sroga i slaba sacionarnos Definicija slabe sacionarnosi:. E( X ) µ cons,,,....var 3. cov ( X ) E( X µ ) cons,,,... ( X,X ) E( X µ )( X µ ) γ ( ),,,...,,, Sacionarnos II Očeivana vrednos i varijansa slabo sacionarne vremense serije su invarijanne u odnosu na vreme. Transliranjem u vremenu ove dve veličine se ne menjaju. Kovarijansa između članova vremense serije zavisi samo od rasojanja (docnje), a ne od vremensog renua. To znači da je za dau docnju ovarijansa isa: ( X,X ) cons za dao i,,... cov, 6 Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 3

4 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Najjednosavniji primer sacionarne vremense serije: beli šum (engl. whie noise) E( e ) 0,,,... var cov ( e ) E( e ) σ cons,,,... ( e,e ) E( e e ) 0,,,...,,,... - Niz neorelisanih slučajnih promenljivih nule srednje vrednosi i sabilne varijanse 7 Gausov beli šum E( e ) 0,,,... var ( e ) e : Ν E( e ( e,e ) ( 0, σ ) ) E( e e -,,,... σ cons,,,... Članovi vremense serije su nezavisne sl. promenljive cov ) 0,,,...,,,... Niz nezavisnih slučajnih promenljivih oje su normalno raspodeljene sa nulom srednjom vrednošću i sabilnom varijansom 8 Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 4

5 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Gausov beli šum: grafiči priaz 3. 0 G eneris ani G aus ov beli s um (e) Series: e Sample 00 Observaions 00 Mean Maximum Minimum Sd. Dev Auoovarijaciona funcija Kao uvrdii oji od modela odgovara daom supu podaaa? Porebno je da analiziramo orelacionu sruuru podaa. Auoovarijacioni oeficijen na docnji : Niz γ,γ, predsavlja auoovarijacionu funciju. Svojsva: 0 ( X µ )( X ) γ cov( X,X ) E µ, 0,,,... ( X µ ) var( X ). γ 0 E. γ γ 3. γ γ 0, 0,,, Marica auoovar ijacionih oeficijenaa je poziivno semidefinina. Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 5

6 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Auoorelaciona funcija (obična) Auoorelacioni oeficijen (obični) na docnji : ρ ρ cov( X,X ), 0,,,... var( X )var( X ) cov( X,X ) γ var( X ) γ 0 Niz ρ, ρ, predsavlja običnu auoorelacionu funciju. Grafiči priaz niza ρ, ρ, naziva se obični orelogram. EVIEWS oznaa: AC. Auoorelaciona funcija (obična) II Svojsva: ( X µ ) var( X ). γ 0 E ρ0. γ γ ρ ρ 3. γ γ 0 ρ, 0,,, Marica auoorelacionih oeficijenaa je poziivno semidefinina. Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 6

7 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Parcijalna auoorelaciona funcija Sepen orelisanosi između X i X - smo merili na osnovu običnog auoorelacionog oeficijena na docnji. Auoorelacioni oeficijen na docnji može bii pod uicajem orelisanosi X i X - sa članovima vremense serije na docnjama između vremensih renuaa i - (X -, X -,,X -+ ). Eliminacijom uicaja X -, X -,, X -+ dobija se poazaelj čise orelisanosi između X i X - : parcijalni auoorelacioni oeficijen. Ovaj oeficijen na docnji označava se sa φ. Niz φ φ,... predsavlja parcijalnu auoorelacionu funciju. Grafiči priaz niza φ φ,... naziva se parcijalni orelogram. EVIEWS oznaa: PAC. 3. X. X Parcijalna auoorelaciona funcija (definicija na osnovu regresione analize) Xˆ Xˆ ocenjujemo u funciji od je deo X ( X Xˆ ) ocenjujemo u funciji od je deo X ( X Xˆ ) oji sadrzi uicaj je deo X oji obuhvaa dejsvo je deo X oji ne sadrzi uicaj X X X iz oga, X, X, X,..., X,..., X X, X,..., X X + +, X,..., X,..., X je isljucen uicaj X primenom meoda ONK +. + primenom meoda ONK +, X,..., X Parcijalni auoorelacioni oeficijen na docnji definise se ao obicni auoorelacioni oeficijen izmedju ( X ˆ ) ( ˆ X i X X ): cov[ ( X ˆ ), ( ˆ X X X )] φ var( X Xˆ ) var( X Xˆ ) 4,,3,... Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 7

8 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Tesovi auoorelacije u vremensoj seriji. Da li posoji auoorelacija na ačno određenoj docnji? H 0 : ρ 0, H : ρ 0 ili (H 0 : φ 0, H : φ 0). Da li posoji auoorelacija na svim docnjama zaljučno do m? H 0 : ρ ρ... ρ m 0, H : Bar jedan od auoorelacionih oeficijenaa je različi od nule. 5 Tesovi auoorelacije u vremensoj seriji II Ocena običnog/parcijalnog auoorelacionog oef. Uzora obima T : X,X ˆ ρ. ˆ ρ je T + ( X X T )( X ( X X ),...,X,X arimeica sredina prisrasna, ali onzisenna ocena T X ),,...,T (pod dovoljno opsim uslovima za sacionarnu vremensu seriju). Pod preposavom da ne posoji na docnji ( ρ 0 ) za dovoljno velio T ˆ ρ : N P - 6 Navedena svojsva vaze i za ocenu ˆ φ. orelacija vazi : ( 0, ) [ 96. ρˆ T 96. ] P[ -96. / T ρˆ 96. / T ] ˆ ρ 0 0, z ˆ ρ T T T : N Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 8

9 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Da li posoji značajna auoorelacija na docnji? (H 0 : ρ 0, H : ρ 0) Validnos hipoeze H 0 : ρ 0 se esira proiv alernaivne H : ρ 0, ao šo se proverava da li je ocena običnog auoorelacionog oeficijena na docnji elemen inervala [-.96/ T,.96/ T]. Nula hipoeza se ne može odbacii ao je: [ T,.96/ T] ˆρ -.96/ Nula hipoeza se odbacuje za nivo značajnosi 5% ao je: [ T,.96/ T] ˆρ -.96/ 7 Da li posoji značajna auoorelacija na docnji? (H 0 : φ 0, H : φ 0) Validnos hipoeze H 0 : φ 0 se esira proiv alernaivne H : φ 0 ao šo se proverava da li je ocena parcijalnog auoorelacionog oeficijena na docnji elemen inervala [-.96/ T,.96/ T]. Nula hipoeza se ne može odbacii ao je: Nula hipoeza se odbacuje za nivo značajnosi 5% ao je: [ T,.96/ T ] ˆ φ -.96/ [ T,.96/ T ] ˆ φ -.96/ 8 Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 9

10 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Da li posoji značajna auoorelacija zaljučno sa docnjom m? (H 0 : ρ ρ... ρ m 0, H : H 0 nije ačno) Box-Pierce-ova, BP(m), i Box-Ljung-ova, BLj(m), es-saisia: BP ( m ) T m i ˆ ρ i : χ m i Nula hipoeza se odbacuje uz nivo značajnosi 5% ao je Q(m) veće od orespondirajuće riične vrednosi hi-vadra raspodele sa m sepeni slobode (χ m) i nivo značajnosi 5%. ao je orespondirajuća p-vrednos manja od 5%. m BLj ( m ) Q ( m ) T ( T + ) ˆ ρ i : χ T i m Broj m se definiše ao funcija od T: T, T,ln(T ) 9 Tesovi auoorelacije: važna napomena Svi navedeni esovi mogu se orisii u lasičnom regresionom modeliranju ada se proverava valie ocenjenog modela. Tesovi se primenjuju na vremensu seriju reziduala. Broj sepeni slobode u primeni BP i BLj es-saisia je razlia između broja ocenjenih običnih auoorelacionih oeficijenaa (m) i broja ocenjenih parameara modela (bez slobodnog člana). 0 Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 0

11 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Primeri: primena auoorelacione funcije. Izračunavanje ocena običnih auoorelacionih oeficijenaa i orespondirajućih sandardnih grešaa na osnovu podaaa vremense serije. Provera da li je onrena vremensa serija beli šum 3. Izračunavanje Box-Ljungove es-saisie i ransformacija polazne vremense serije. Primer (uljučujući i naredna 4 slajda) Sledeća abela sadrži podae o opservacija vremense serije. Ocenii obične auoorelacione oeficijene na docnjama i. Izračunai sandardne greše ocena auoorelacionih oeficijenaa na docnjama i. Tesirai značajnos prva dva obična auoorelaciona oeficijena. Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06.

12 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 X X X X X X X T Zbir:9 Zbir:0 ( X X ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) T Zbir: 74 Zbir: 80 Zbir: 60 Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06.

13 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 ˆ ρ ˆ ρ s 3 ( X X )( X X ) ( X X ) ( X X )( X X ) ( ˆ ρ ) s ( ˆ ρ ) ( X X ) T I s II ( ˆ ρ ) s( ˆ ρ ) Ocena auoorelacionog oeficijena Sandardna greša ocene Inerval poverenja (95% verovanoća) (-.96*0.89,.96*0.89); (-0.566;0.566) Nula hipoeza H 0 : ρ 0 H 0 : ρ 0 Ispiivanje validnosi H ± [ 0.566] 0.9 [ ± 0.566] Zaljuča H 0 se odbacuje. H 0 se ne odbacuje. Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 3

14 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Primer I Na osnovu 64 podaaa vremense serije nule srednje vrednosi i sabilne varijanse ocenjeni su sledeći auoorelacioni oeficijeni (redom na docnjama od do 0): ˆρ ˆρ ˆρ 3 ˆρ 4 ˆρ 5 ˆρ 6 ˆρ 7 ˆρ 8 ˆρ 9 ˆρ Da li se može smarai da je vremensa serija proces beli šum? 7 Primer II Vremensa serija nule srednje vrednosi i sabilne varijanse je proces beli šum uolio njeni članovi nisu orelisani: auoorelacioni oeficijeni na docnjama različiim od nule su jednai nula. Porebno je proverii valjanos nule hipoeze H 0 : ρ 0, proiv alernaivne H : ρ 0,,,...,0. Uolio se nula hipoeza ne može odbacii ni za jednu od prvih dese docnji, ada u vremensoj seriji ne posoji značajna auoorelacija. To sugeriše adevanos belog šuma. Odgovarajući inerval poverenja sa verovanoćom 95% je [ 0.53;0.53] ˆρ [ 0.53;0.53] Zaljučujemo da vremensa serija nije beli šum. 8 Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 4

15 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Primer III Grafiči priaz ocena auoorelacionih oeficijenaa (orelogram) omogućava brzo zaljučivanje. Napomena: ispreidane linije označavaju granice inervala poverenja uz verovanoću 95%, [ 0.53;0.53].5.4 AC Primer 3 I Prema periodu: prvi varal, 00-reći varal, 04. godine ocenjeno je prvih šes običnih auoorelacionih oeficijenaa za godišnju sopu rasa bruo domaćeg proizvoda Srbije: ˆρ ˆρ ˆρ 3 ˆρ 4 ˆρ 5 ˆρ Kao se iz varalnih podaaa obrazuje vremensa serija oja meri promene na godišnjem nivou? Primenom Box-Ljungove es-saisie ispiai da li posoji značajna auoorelacija zbirnog reda šes. 30 Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 5

16 Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Primer 3 II Vremensa serija (-L 4 )BDP BDP -BDP -4 (BDP označava logarimovane vrednosi polaznih podaaa) H 0 BLj( m ) Q( m ) T( T + ) Polazni uzora Daom ransformacijom gube se 4 podaaa, ao da je : T 5 : ρ ρ... ρ 0, H m : 55 varala m i : H 0 nije acno ˆ ρi : χ m T i H 0 : ρ ρ... ρ 0, H Q( 6 ) 5 53 ( 0. 70) ( 5 ) + 6 ( ) ( 5 ) + : H 0 nije acno ( ) ( 5 3) ( 0. ) ( 5 4) ( 0. 3) ( 5 5) ( 0. 48) ( 5 6) Q( 6 ) > χ 6 ( ). 6 H 0 se odbacuje uz dai nivo znacajnosi. Posoji zbirna auoorelacija reda Primer 3 III Grafiči priaz analizirane vremense serije.50.5 BDP-BDP(-4) Eonomsi faule, Beograd, Doorse sudije, 06. 6