Analiza vremenskih serija Osnovni pojmovi
|
|
|
- Ἀκελδαμά Βυζάντιος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Analiza vremenskih serija Osnovni pojmovi Slučajan proces i vremenska serija Sacionarnos Osnovni modeli sacionarnih vremenskih serija Auokorelaciona funkcija (obična i parcijalna) Tesovi auokorelacije Primeri Slučajan proces i vremenska serija Slučajan proces: niz slučajnih promenljivih koje su uređene u odnosu na vreme Uobičajena oznaka: X, X,... X, =,,... Vremenska serija: I koncep: jedna realizacija slučajnog procesa II koncep: ne posoji razlika između vremenske serije i slučajnog procesa Termine korisimo kao sinonime: vremenski niz slučajnih promenljivih. Ekonomski fakule, Beograd, /00.
2 Sacionarnos I Sacionarnos vremenske serije: vremenska serija se kreće po prepoznaljivoj puanji okom vremena Dva koncepa: sroga i slaba sacionarnos Definicija slabe sacionarnosi:. E(.var 3.cov X ) = µ = cons, =,,... ( X ) = E( X µ ) = cons, =,,... ( X,X ) = E( X µ )( X µ ) = γ ( k =,,..., k =,,... k -k ), 3 Sacionarnos II Očekivana vrednos i varijansa slabo sacionarne vremenske serije su invarijanne u odnosu na vreme. Transliranjem u vremenu ove dve veličine se ne menjaju. Kovarijansa između članova vremenske serije zavisi samo od rasojanja (docnje), a ne od vremenskog renuka. To znači da je za dau docnju k kovarijansa isa: ( X,X ) = cons za dao k i,,... cov = k, 4 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
3 Najjednosavniji primer sacionarne vremenske serije: beli šum (engl. whie noise) E( e ) = 0, =,,... var cov ( e ) E( e ) = = σ = cons, =,,... ( e,e ) = E( e e ) = 0, =,,..., k =,,... k -k Niz nekorelisanih slučajnih promenljivih nule srednje vrednosi i sabilne varijanse 5 Gausov beli šum E( e ) = 0, =,,... var ( e ) e : Ν = E( e ( e,e ) k ( 0, σ ) ) = σ = E( e e -k, =,,... = cons, =,,... Članovi vremenske serije su nezavisne sl. promenljive cov ) = 0, =,,..., k =,,... Niz nezavisnih slučajnih promenljivih koje su normalno raspodeljene sa nulom srednjom vrednošću i sabilnom varijansom 6 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
4 Gausov beli šum: grafički prikaz G eneris ani G aus ov beli s um (e) Series: e Sample 00 Observaions 00 Mean Maximum Minimum Sd. Dev Osnovni modeli sacionarnih vremenskih serija Auoregresioni modeli (AR) Modeli pokrenih proseka (MA) Auoregresioni modeli pokrenih proseka (ARMA) 8 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
5 AR(p) model Opše forme modela sacionarnih vremenskih serija X = φx + φx φ p X p + e MA(q) model X = e θe θe... θqe q ARMA(p,q) model Parameri modela su: 9 X = φx + φx φp X p + e θe θe... θqe q φ, φ φ θ θ θ,..., p,,,..., q Primer AR() modela 5 X = 0.7* X -+ e 5 X = -0.7*X -+ e Ekonomski fakule, Beograd, /00.
6 Primer MA() modela 4 X=e+0.8e- 4.0 X=e-0.8e Uslov sacionarnosi I Relevanan kod AR modela i ARMA modela AR(p) model: X = φx + φx φpx p + e X φx φx... φpx p = e AR modelu reda p može se pridružii karakerisična jednačina oblika: g p φ g p g p φ... φp = 0 gde g, g,..., g p označavaju rešenja (korene) karakerisične jednačine. Sacionarnos vremenske serije koja je opisana AR(p) modelom zavisi od rešenja karakerisične jednačine g, g,..., g p. Ekonomski fakule, Beograd, /00.
7 Uslov sacionarnosi II Može se pokazai da važi sledeća eorema: Ukoliko su svi koreni g, g,..., g p po modulu srogo manji od jedan, onda je vremenska serija sacionarna. Ukoliko posoji bar jedan koren g i, i=,,..., p, koji je jednak vrednosi jedan po modulu, dok su drugi koreni srogo manji od jedan po modulu, onda je vremenska serija nesacionarna. Takva vremenska serija se uobičajeno naziva vremenska serija sa jediničnim korenom. Ukoliko posoji bar jedan koren g i, i=,,...,p, koji je po modulu srogo veći od jedan, dok su drugi srogo manji od jedan, ada je vremenska serija eksplozivna. To znači da je vremenska serija pod uicajem kumulisanog dejsva rajno rasućeg efeka neočekivanih slučajnih šokova. 3 Uslov sacionarnosi kod AR() modela: auoregresioni paramear je po modulu srogo manji od jedan, < X = φ X- + e = φ = φ =... [ φ X + e ] - + e [ φ X + e ] -3 + e + φe 3 = e + φe + φ e + φ e φ ( 3 ) e e e e... σ ( φ + φ + φ + = + φ + φ + φ +...) var(x ) = var 3 Da bi varijansa bila konacna, neophodno je da vazi φ <. Tada je: var(x ) ( 4 6 σ + φ + φ + φ +...) =. = σ φ φ 4 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
8 Obična i parcijalna auokorelaciona funkcija Kako uvrdii koji od modela odgovara daom skupu podaaka? Porebno je da analiziramo korelacionu srukuru podaka. Auokorelacioni koeficijen (obični) na docnji k: Niz ρ, ρ, predsavlja običnu auokorelacionu funkciju. Grafički prikaz niza ρ, ρ, naziva se obični korelogram. EVIEWS oznaka: AC. 5 ρ = k cov( X,X k ) ρk = var( X ) cov( X cov( X,X k ) var( X )var( X,X k k ) var( X,k ) =,,... ρk =,k = 0 ) ρk <,k =,,... Model Obična auokorelaciona funkcija jednosavnih AR i MA modela Beli šum, MA(0) 6 Uslov sacionarnosi Uvek sacionarna Obična auokorelaciona funkcija ρ k =0, k=,, AR(), 0<ф < ρ k =ф k, k=,, X =ф X - +e Opada po eksponencijalnoj puanji AR(), -<ф <0 φ ρ k =ф k <, k=,, X =ф X - +e Opada po oscilaornoj puanji (menja znak za svako k). MA(), 0<θ < X =e -θ e - Uvek sacionarna ρ = -θ /(+ θ ) < 0, ρ k =0, k=,3, MA(), -<θ <0 ρ = -θ /(+ θ ) > 0, X =e -θ e - ρ k =0, k=,3, Ekonomski fakule, Beograd, /00.
9 Opši oblik obične auokorelacione funkcije AR i MA modela Model Obična auokorelaciona funkcija AR(p) Opada okom vremena po eksponencijalnoj, oscilaornoj ili sinusoidnoj puanji. MA(q) ρ 0, ρ 0,..., ρ q 0, ρ k =0 za k>q. Jednaka je nuli za docnje veće od reda modela. 7 Parcijalna auokorelaciona funkcija Sepen korelisanosi između X i X -k smo merili na osnovu običnog auokorelacionog koeficijena na docnji k. Auokorelacioni koeficijen na docnji k može bii pod uicajem korelisanosi X i X -k sa članovima vremenske serije na docnjama između vremenskih renuaka i -k (X -, X -,,X -k+ ). Eliminacijom uicaja X -, X -,, X -k+ dobija se pokazaelj čise korelisanosi između X i X -k, koji se naziva parcijalni auokorelacioni koeficijen. Ovaj koeficijen na docnji k označava se sa φ kk. Niz φ φ,... predsavlja parcijalnu auokorelacionu funkciju. Grafički prikaz niza φ φ,... naziva se parcijalni korelogram. EVIEWS oznaka: PAC. 8 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
10 Parcijalna auokorelaciona funkcija (definicija na osnovu regresione analize). X ocenjujemou funkcijiod X,X,...,X k+ primenommeodaonk Xˆ jedeo X kojisadrziuicaj X,X,...,X k+ ( X Xˆ ) jedeo X koji nesadrziuicajx,x,...,x k+.. X k ocenjujemou funkcijiod X,X,...,X k+ primenommeodaonk Xˆ k jedeo X k kojiobuhvaadejsvo X,X,...,X k+ ( X k Xˆ k ) jedeo X k iz koga jeiskljucen uicajx,x,...,x k+. 3. Parcijalniauokorelacionikoeficijen na docnjik definisese kaoobicniauokorelacionikoeficijen izmedju ( X Xˆ ) i ( X k Xˆ k ): cov[ ( X Xˆ ),( X k Xˆ k )] φkk = var( X Xˆ ) var( X Xˆ ) k,k =,,... k 9 Parcijalna auokorelaciona funkcija jednosavnih AR i MA modela Model Dodani opis Parcijalna auokorelaciona funkcija Beli šum, MA(0) Nekorelisan proces φ kk =0, k=,, AR(), 0<ф < X =ф X - +e Izmedju X X - nema φ =ρ =φ,k= φ kk =0, k=,3,... AR(), -<ф <0 X =ф X - +e dodanog uicaja φ =ρ =φ, k= φ kk =0, k=,3,... MA(), 0<θ < Poseduje AR Opada okom vremena po X =e -θ e - reprezenaciju eksponencijalnoj puanji. MA(), -<θ beskonačnog <0 Opada okom vremena po X reda. =e -θ e - oscilaornoj puanji. 0 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
11 Opši oblik obične i parcijalne auokorelacione funkcije AR i MA modela Model Obična auokorelaciona funkcija Parcijalna auokorelaciona funkcija AR(p) Opada okom vremena po eksponencijalnoj, oscilaornoj ili sinusoidnoj puanji MA(q) ρ 0, ρ 0,..., ρ q 0, ρ k =0 za k>q. Jednaka je nuli za docnje veće od reda modela φ 0, φ 0,..., φ pp 0, φ kk =0 za k>p. Jednaka je nuli za docnje veće od reda modela Opada okom vremena po eksponencijalnoj, oscilaornoj ili sinusoidnoj puanji Tesovi auokorelacije u vremenskoj seriji. Da li posoji auokorelacija na ačno određenoj docnji k? H 0 : ρ k =0, H : ρ k 0 ili (H 0 : φ kk =0, H : φ kk 0). Da li posoji auokorelacija na svim docnjama zaključno do m? H 0 : ρ = ρ =...= ρ m =0, H : Bar jedan od auokorelacionih koeficijenaa je različi od nule. Ekonomski fakule, Beograd, /00.
12 Tesovi auokorelacije u vremenskoj seriji II Ocena običnog/parcijalnog auokorelacionog koef. Uzorak obima T : X,X,...,XT,X arimeicka sredina T ( X X )( X k X ) ρˆ k k = = +, k =,...,T T ( X X ) =. ρˆ k je prisrasna, ali konzisenna ocena (pod dovoljno opsim uslovima za sacionarnu vremensku seriju). Pod preposavkom da ne posoji na docnji k ( ρk = 0 ) za dovoljno veliko T ˆ 0 ˆ ρ N 0, k ρk : z = = ρˆ k T : N( 0,) T [ ρˆ T. 96] = P[ -.96/ T ρˆ. 96/ T ] P -.96 k T Navedena 3 svojsva vaze i za ocenu ˆφ kk. korelacija vazi : k = Da li posoji značajna auokorelacija na docnji k? (H 0 : ρ k =0, H : ρ k 0) Validnos hipoeze H 0 : ρ k =0 se esira proiv alernaivne H : ρ k 0, ako šo se proverava da li je ocena običnog auokorelacionog koeficijena na docnji k elemen inervala [-.96/ T,.96/ T]. Nula hipoeza se ne može odbacii ako je: [ T,.96/ T] ˆρ k -.96/ Nula hipoeza se odbacuje za nivo značajnosi 5% ako je: [ T,.96/ T] ˆρ k -.96/ 4 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
13 Da li posoji značajna auokorelacija na docnji k? (H 0 : φ kk =0, H : φ kk 0) Validnos hipoeze H 0 : φ kk =0 se esira proiv alernaivne H : φ kk 0 ako šo se proverava da li je ocena parcijalnog auokorelacionog koeficijena na docnji k elemen inervala [-.96/ T,.96/ T]. Nula hipoeza se ne može odbacii ako je: Nula hipoeza se odbacuje za nivo značajnosi 5% ako je: [ T,.96/ T ] ˆkk φ -.96/ [ T,.96/ T ] ˆkk φ -.96/ 5 Da li posoji značajna auokorelacija zaključno sa docnjom m? (H 0 : ρ = ρ =...= ρ m =0, H : H 0 nije ačno) Box-Pierce-ova, BP(m), i Box-Ljung-ova, BLj(m), es-saisika: BP ( m ) = T m i = ˆ ρ BLj ( m ) = Q ( m i : χ ) = T ( T + ) m i = Nula hipoeza se odbacuje uz nivo značajnosi 5% ako je Q(m) veće od korespondirajuće kriične vrednosi hi-kvadra raspodele sa m sepeni slobode (χ m ) i nivo značajnosi 5%. ako je korespondirajuća p-vrednos manja od 5%. m ˆ ρ i : χ T i m Broj m se definiše kao funkcija od T: T, T,ln(T ) 6 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
14 Tesovi auokorelacije: važna napomena Svi navedeni esovi mogu se korisii u klasičnom regresionom modeliranju kada se proverava kvalie ocenjenog modela. Tesovi se primenjuju na vremensku seriju reziduala. Broj sepeni slobode u primeni BP i BLj es-saisika je razlika između broja ocenjenih običnih auokorelacionih koeficijenaa (m) i broja ocenjenih parameara modela. 7 Primeri: primena auokorelacione funkcije. Izračunavanje ocena auokorelacionih koeficijenaa i korespondirajućih sandardnih grešaka na osnovu podaaka vremenske serije. Provera da li je konkrena vremenska serija beli šum 3. Izbor adekvanog modela za osnovnu inflaciju u Srbiji 8 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
15 Primer (naredna 4 slajda) Sledeća abela sadrži podake o opservacija vremenske serije. Ocenii obične auokorelacione koeficijene na docnjama i. Izračunai sandardne greške ocena auokorelacionih koeficijenaa na docnjama i. Tesirai značajnos prva dva obična auokorelaciona koeficijena. 9 X X X X X X X T= Zbir:9 Zbir:0 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
16 ( X X ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) T= Zbir: 74 Zbir: 80 Zbir: 60 ˆ ρ ˆ ρ s = = = = 3 ( X X )( X X ) = ( X X ) ( X X )( X X ) = ( ˆ ρ ) = s ( ˆ ρ ) ( X X ) = T = = = I s = II = = ( ˆ ρ ) s( ˆ ρ ) = 0.89 = 0.89 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
17 Ocena auokorelacionog koeficijena Sandardna greška ocene Inerval poverenja (95% verovanoća) (-.96*0.89,.96*0.89); (-0.566;0.566) Nula hipoeza H 0 : ρ =0 H 0 : ρ =0 Ispiivanje validnosi H ± [ 0.566] 0.9 [ ± 0.566] Zaključak H 0 se odbacuje. H 0 se ne odbacuje. Primer I Na osnovu 64 podaaka vremenske serije nule srednje vrednosi i sabilne varijanse ocenjeni su sledeći auokorelacioni koeficijeni (redom na docnjama od do 0): ˆρ ˆρ ˆρ 3 ˆρ 4 ˆρ 5 ˆρ 6 ˆρ 7 ˆρ 8 ˆρ 9 ˆρ Da li se može smarai da je vremenska serija proces beli šum? 34 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
18 Primer II Vremenska serija nule srednje vrednosi i sabilne varijanse je proces beli šum ukoliko njeni članovi nisu korelisani: auokorelacioni koeficijeni na docnjama različiim od nule su jednaki nula. Porebno je proverii valjanos nule hipoeze H 0 : ρ k =0, proiv alernaivne H : ρ k 0, k=,,...,0. Ukoliko se nula hipoeza ne može odbacii ni za jednu od prvih dese docnji, ada u vremenskoj seriji ne posoji značajna auokorelacija. To sugeriše adekvanos belog šuma. Odgovarajući inerval poverenja sa verovanoćom 95% je [ 0.53;0.53] ˆρ = [ 0.53;0.53] Zaključujemo da vremenska serija nije beli šum. 35 Primer III Grafički prikaz ocena auokorelacionih koeficijenaa (korelogram) omogućava brzo zaključivanje. Napomena: isprekidane linije označavaju granice inervala poverenja uz verovanoću 95%, [ 0.53;0.53].5.4 AC Ekonomski fakule, Beograd, /00.
19 Primer 3: analiza korelacione srukure osnovne inflacije privrede Srbije, 00:-008:3 (T=74) I Osnovna inflacija u Srbiji 37 Primer 3: analiza korelacione srukure osnovne inflacije privrede Srbije, 00:-008:3 (T=74) II Docnja Ocena običnog Značajna korelacija (k) auokorel.koeficijena DA DA DA DA NE NE NE NE Inerval poverenja sa verovanoćom 0.95: [-0.3;0.3] 38 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
20 Primer 3: analiza korelacione srukure osnovne inflacije privrede Srbije III Docnja Ocena parcijalnog Značajna korelacija (k) auokorel. koeficijena DA 0.48 NE NE NE NE NE NE NE Inerval poverenja sa verovanoćom 0.95: [-0.3;0.3] Zaključak: ovu seriju verovano reba modelirai na osnovu AR() forme. 39 Primer 3: analiza korelacione srukure osnovne inflacije privrede Srbije IV (analiza reziduala iz AR() modela) Auokorelacioni koeficijeni vremenske serije reziduala iz AR() modela (sa konsanom) ukazuju na o da je ocenjenim modelom obuhvaćena auokorelacija u seriji osnovne inflacije, jer nije prisuna u rezidualima. Docnja Ocena običnog auokorel.koeficijena Inerval poverenja sa verovanoćom 0.95: [-0.3;0.3] Reziduali Svarno kreanje osnovne inflacije Kreanje osnovne inflacije ocenjeno prema AR() modelu (ocena AR() paramera 0.49) 40 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
21 Primer 3: analiza korelacione srukure osnovne inflacije privrede Srbije V (analiza reziduala iz AR() modela) H0 : ρ = ρ =... = ρm = 0, H :H0 nije acno m ˆ ρ BLj( m ) = Q( m ) = T(T + ) i : χm i= T i Serija rezidualaiz AR()modelasa konsanom:sada je T = 73, Q( m ) : χm H0 : ρ = ρ =... = ρ8 = 0, H :H0 nije acno Q( 8) = ( ) ( 73 ) ( ) ( 73 ) ( 0. 45) ( 73 3) ( 0. 74) ( 73 4) Q( 8) = < χ6( 0. 05) =. 59 H0 se ne odbacuje. U modelu ne posoji zbirna auokorelacija reda8. ( 0. 0) ( 73 5) + ( 0. 3) ( 73 6) + ( 0. 09) ( 73 7) + ( 0. 9) ( 73 8) 4 Ekonomski fakule, Beograd, /00.
Osnovni pojmovi u Analizi vremenskih serija
Profesor Zorica Mladenović 3/5/06 Osnovni pojmovi u Analizi vremensih serija Zorica Mladenović Osnovni pojmovi Elemenarne oznae Slučajan proces i vremensa serija Sacionarnos Auoovarijaciona funcija Auoorelaciona
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Analiza vremenskih serija
Profesor Zorica Mladenović 5//8 Analiza vremenskih serija Zorica Mladenović Srukura Uvodne napomene Vremenska serija i slučajan proces Sacionarnos i osnovni modeli Uzroci nesacionarnosi. Jedinični koren
Analiza vremenskih serija
Profesor Zorica Mladenović 5/7/7 Analiza vremenskih serija Zorica Mladenović Srukura Uvodne napomene Vremenska serija i slučajan proces Sacionarnos i osnovni modeli Uzroci nesacionarnosi. Jedinični koren
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Uvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
PRIMENA STATISTIKE U KONSTRUISANJU
PRIMENA STATISTIKE U KONSTRUISANJU Osnovne saisičke veličine u konsruisanju Srednja vrednos Medijana Moda Mera rasipanja oko srednje vrednosi disperzija Granice poverenja Osobine numeričkih podaaka- Numeričko
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).
Str. 53;76; Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama
Ekonometrijska analiza vremenskih serija Deo II (8)
Ekonomeijska analiza vemenskih seija Deo II (8) Osnovne sudije Pedavač: Aleksanda Nojković Ocenjivanje paameaa ARMA modela Sukua pedavanja: - Pimena meoda ONK u ocenjivanju paameaa AR modela - Pimena meoda
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Ekonometrijski modeli Sistemi simultanih jednačina Glava 11
konomerijski modeli Sisemi simulanih jednačina Glava Osnovne sudije Predavač: Aleksandra Nojković SSJ: Srukura predavanja Uvod: osnovne definicije SSJ Posledice ignorisanja simulanosi Problem idenifikacije
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Prediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
VILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici.
VILJUŠKARI 1. Viljuškar e korii za uoar andardnih euro-pool palea na druko ozilo u ieu prikazano na lici. PALETOMAT a) Koliko reba iljuškara da bi ree uoara kaiona u koji aje palea bilo anje od 6 in, ako
Obrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Uvod u neparametarske testove
Str. 644;1;148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Hi-kvadrat testovi χ Str. 646;1;149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Str
Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Diferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Sistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas Aleksandar Veljković October 2016 Materijali su zasnovani na materijalima Mirka Stojadinovića 1 Složenost algoritama Približna procena vremena ili prostora potrebnog
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Diferencne jednačine
Diferencne jednačine Ana Manojlović Marko Mladenović Sandra Hodžić Uvod Aritmetički i geometrijski niz su primeri nizova zadatih rekurentnim vezama. Oba niza su odredjena ponavljanjem prvog člana u neke
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
JEDINIČNI KOREN VREMENSKOG NIZA UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU MASTER RAD MENTOR: broj indeksa: 9 STUDENT:
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU JEDINIČNI KOREN VREMENSKOG NIZA MASTER RAD MENTOR: Prof. dr Biljana Popović STUDENT: Bojana S. Petković broj indeksa: 9 NIŠ, FEBRUAR
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!