Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora

Transcript

1 Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora Mentor prof. Dragana Cvetković Ilić Niš, oktobar Student Maja Ţivković [- 0 -]

2 Sadržaj 1. Osnovni pojmovi Normirani prostor, Banachov prostor Ograničeni linearni operatori Kompaktni operatori Elementarne osobine, Hilbertovi prostori Hilbert adjungovani operator Hermitski operator, normalni operator, pozitivan operator, unitaran operator Adjungovani operator Minimalni modul i modul sirjektivnosti Pojam algebre;banchova algebra Definicija spektra i osobine Invertibilnost Spektar i rezolventa Spektralni poluprečnik Spektar i podalgebre B(X) kao Banachova algebra Vrste spektra Spektar ograničenog operatora Spektar unitarnog operatora Spektar samo-konjugovanog i normalnog operatora Spektar kompaktnog operatora Spektralna dekompozicija; spektralni integral Funkcije operatora Spektralna dekompozicija Glavna nejednakost Konstrukcija spektralnog integrala...57 Biografija...59 Literatura

3 Uvod U ovom radu osim osnovnih osobina normiranih prostora, posebno Banachovog i Hilbertovog prostora, izloţ ene su i osnovne osobine spektra ograničenih linearnih operatora i klasifikacije spektra. TakoĎe, pokazani su i najvaţ niji rezultati u vezi sa spektrom ograničenih, samoadjungovanih i normalnih, kao i unitarnih operatora i kompaktnih operatora, ali i uveden pojam spektralne dekompozicije i pojam spektralnog integrala. Rad je podeljen na četiri glave, a svaka glava na nekoliko poglavlja. Naslovi tih glava i poglavlja ukazuju na sadrţ aj rada. Definicije, teoreme i primeri numerisani su po glavama i poglavljima. Prvi deo rada sadrţ i osnovne pojmove i teoreme funkcionalne analize, u vezi sa Banachovim i Hilbertovim prostorima. Ovaj deo rada bi trebao da pomogne čitaocu prilikom praćenja ostatka rada. U drugom delu rada moţ emo videti šta je spektar operatora i klasifikaciju spektra, odnos spektra i podalgebre, kao i najznačajnija tvrďenja u vezi sa B(X) kao Banachovom algebrom. Treća glava odnosi se na najvaţ nije rezultate u vezi sa spektrom ograničenog operatora, unitarnog, samo-konjugovanog i normalnog operatora, kao i kompaktnih operatora. U poslednjem, četvrtom delu rada navodimo neke od funkcija operatora, uvodimo pojam spektralne dekompozicije i definišemo spektralni integral, uz izvoďenje glavne nejednakosti. Ovom prilikom ţ elim da izrazim svoju zahvalnost svima koji su me podrţ avali tokom izrade master rada. Posebno bih ţ elela da se zahvalim svom mentoru, profesorki Dragani Cvetković-Ilić, na ukazanoj pomoći pri izradi master rada. Niš, Maja Ţivković - 2 -

4 1. Osnovni pojmovi 1.1. Normirani prostori, Banachovi 1 prostori Definicija Neka je K polje realnih brojeva, ili polje kompleksnih brojeva, a X vektorski prostor nad K. Funkcija sa X u naziva se norma na X ako zadovoljava sledeće uslove: (i) za svako, (ii) ako i samo ako je, (iii) za svako i svako, (iv) za svako. Ako se u Definiciji izostavi uslov (ii) dobija se funkcija koja se naziva semi-norma. Za funkciju koja zadovoljava uslove (i) i (ii) kaţ e se da je strogo pozitivna funkcija. Funkcija koja zadovoljava uslov (iii) je apsolutno homogena funkcija. Ako funkcija zadovoljava uslov (iv) kaţ e se da tada funkcija zadovoljava nejednakost trougla ili da je subaditivna. Definicija Normiran prostor (normiran linearan prostor, normiran vektorski prostor) je par gde je X vektorski prostor, a norma na X. Ako je X normiran prostor, često se kaţ e da je X realan (kompleksan) normiran prostor ukoliko je X realan (kompleksan) vektorski prostor. Ukoliko je X normiran prostor i dimenzija vektorskog prostora X konačna (beskonačna), tada se kaţ e da je normiran prostor X konačnodimenzionalan (beskonačno-dimenzionalan) prostor. Definicija Neka je X normiran prostor i d funkcija sa za svako u R, definisana sa Lako se dokazuje da je metrički prostor. Za funkciju d kaţ e se da je metrika definisana normom ili da je prirodna metrika na normiranom prostoru X. Ako posebno ne naglasimo, uvek kada normiran prostor razmatramo kao metrički prostor, podrazumevamo da je on metrički prostor sa metrikom koja je definisana normom. Kako je normiran prostor ujedno i metrički prostor, to se svi pojmovi i stavovi za metričke prostore na prirodan način prenose i na normirane prostore. Na primer, niz u konvergira ka ako niz konvergira u t.j., ako Definicija Normiran prostor X je Banachov prostor ako je gde je d metrika definisana normom. kompletan metrički prostor, 1 Stefan Banach ( ), poljski matematičar - 3 -

5 Prema tome, da bi normiran prostor X bio Banachov potrebno je i dovoljno da u njemu svaki Cauchyjev 2 niz konvergira. Napomenimo, niz u X je Cauchyjev ako za svako postoji prirodan boj takav da je, t.j., ako Lema Neka je } linearno nezavisan skup vektora u normiranom prostoru X. Tada postoji pozitivan broj c takav da za svako vaţ i nejednakost (1) Dokaz. Kako bi pojednostavili dokaz, označimo sumu sa t. Ako je nejednakost je očigledno tačna za svako c. Pretpostavimo da je.u ovom slučaju nejednakost (1) je ekvivalentna sa nejednakošću koja se dobija iz (1) kada se ova podeli sa t i uvede smena, t.j., sa (2) Prema tome, dovoljno je dokazati (2) za svaku n-torku skalara uslov Ako nejednakost (2) nije tačna, tada postoji niz iz X takav da je koja zadovoljava (3) Iz, sledi Dakle, za svako, niz ( ) je ograničen. Na osnovu Bolzano3-Weirstrassovog4 stava, niz ( ) ima konvergentan podniz. Označimo sa graničnu vrednost ovog niza, a sa ( ) odgovarajući podniz niza. Analognim rasuďivanjem, zaključujemo da niz ( ) ima podniz ( ) kod koga odgovarajući podniz niza ( ) konvergira, ka graničnoj vrednosti. Primenjujući isti postupak, posle n-tog koraka dolazimo do podniza ( ) niza čiji su članovi oblika, a nizovi skalara Sledi odnosno. Odavde, kako je skup } linearno nezavisan, sledi, a iz (3). Došli smo do kontradikcije. 2 Augustin-Louis Cauchy ( ), francuski matematičar 3 Bernhard Bolzano ( ), austrijski matematičar 4 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( ), nemački matematičar - 4 -

6 Ako je normiran prostor i Y potprostor vektorskog prostora X, tada je restrikcija norme na Y očigledno norma na Y, i normiran prostor naziva se potprostor normiranog prostora X. Obično se jednostavnije kaţ e Y je potprostor u X, ili Y je potprostor normiranog prostora X, a naravno podrazumeva se da se radi o normiranom potprostoru Primetimo da je zatvorenje potprostora takoďe potprostor. Teorema Svaki konačno-dimenzionalan potprostor Y normiranog prostora X je kompletan (Banachov). Specijalno, svaki konačno-dimenzionalan normiran prostor je kompletan (Banachov). Dokaz. Neka je Cauchyjev niz u Y, i } baza prostora Y. Svaki vektor moţ e se na jedinstven način prikazati kao linearna kombinacija vektora baze, t.j.,. Kako je Cauchyjev niz, to za svako postoji, tako da iz sledi. Na osnovu Leme postoji, tako da je odnosno Sledi da je za svako niz ( ) Cauchyjev u ili u. On je zato konvergentan, i neka je, njegova granica. Sada, vektor, a lako se dokazuje Teorema Svaki konačno-dimenzionalan potprostor Y normiranog prostora X je zatvoren u X. Dokaz. Na osnovu Teoreme 1.1.6, Y je kompletan prostor, a prema tome on je zatvoren u X Ograničeni linearni operatori Definicija Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalara K. Operator je ograničen ako postoji realan broj takav da je za svako (1) Ako je, tada iz ( ) je a odatle (2) ( ) - 5 -

7 Prema tome { } { } (3) Iz dobijenih nejednakosti sledi: Operator A je ograničen (4) Definicija Neka su X i Y normirani prostori i operatora A, označava se sa i ograničen operator. Norma (1) Iz (3) i (1), za ograničen operator vaţ i: za svako (2) i za svako postoji tako da je ( ) Skup svih linearnih ograničenih operatora sa X u Y, označava se sa Ukoliko je, umesto jednostavno pišemo Prostor označava se sa i naziva prostor linearnih ograničenih funkcionala na X, ili dualni prostor prostora X. Primetimo, ako je normiran prostor tada je očigledno. Neka je Z normiran prostor nad poljem, Tada je a zato što su S i T ograničeni operatori, iz ( ) sledi (3) Sada je, očigledno (4) Teorema Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalara vektorski potprostor u i norma operatora jeste norma na prostoru Dokaz. Za sledi. Tada je (1) - 6 -

8 i. (2) Iz jednakosti (1), definicije norme i jednakosti (3) sledi i (3) Analogno, iz (2), definicije norme i (3) sledi Ovim smo dokazali da je vektorski potprostor u Očigledno je Iz pokazanog sledi da je norma operatora (1) norma na prostoru B(X,Y). Nadalje, ukoliko posebno ne naglasimo, normiran prostor B(X,Y) je uvek normiran prostor sa operatorskom normom (1). Sledeća teorema daje metod za izračunavanje norme operatora. Teorema Neka su X i Y normirani prostori i Tada je (1) Dokaz. Kako je to je Ukoliko je sledi. Prema tome { tada iz ove nejednakosti sledi (1). Iz } i (4),. (2) Sledeća teorema, izmeďu ostalog, pokazuje da je svaki ograničen operator neprekidan. Teorema Neka su X, Y normirani prostori i Sledeći uslovi su ekvivalentni: (i) je uniformno neprekidno preslikavanje na X. (ii) je neprekidno preslikavanje u 0. (iii) Dokaz. Očigledno (i) implicira (ii), a lako se pokazuje da iz (iii) sledi (i): jer ako je ispunjava uslov (i), tada za i svako iz - 7 -

9 Dokazaćemo da iz (ii) sledi (iii). Zato što je preslikavanje A neprekidno u 0, za postoji tako da je uvek kada je. Sada, ako je, sledi i ( ) Kako nejednakost vaţ i i za, to je Teorema Neka su X, Y normirani prostori i Operator A je ograničen ako i samo ako je ograničen podskup u Y za svaki ograničen podskup Q u X. Teorema Neka je X konačno-dimenzionalan normiran prostor i Y normiran prostor. Tada je Dokaz. Neka je baza u X i. Tada postoje skalari tako da je Zato je Koristeći ovu nejednakost i Lemu 1.1.5, sledi da postoji tako da je ( ) Navedimo jednu značajnu lemu: Lema (Rieszova 5 lema) Neka je Y zatvoren i pravi potprostor u normiranom prostoru X. Tada, za svako postoji, tako da je Dokaz. Iz pretpostavke leme, sledi postoji tako da je Kako je, postoji tako da je. Neka je Očigledno je i 5 Riesz Frigyes ( ), maďarski matematičar - 8 -

10 Zbog velikog značaja, pokaţ imo i sledeću teoremu. Napomenimo, skup je kompaktan ako svaki niz tačaka skupa E sadrţ i konvergentan podniz čija je granična vrednost sadrţ ana u skupu E. Teorema Neka je X normiran i [ ] zatvorena kugla sa centrom u 0 i poluprečnikom 1 u normiranom prostoru X. Ako je [ ] kompaktan podskup u X, tada je normiran prostor X konačno-dimenzionalan. Dokaz. Pretpostavimo da je [ ] kompaktan podskup u X, i da je X beskonačno-dimenzionalan prostor. Neka je lineal nad skupom. je pravi i zatvoren potprostor u X. Na osnovu Rieszove leme, postoji Tada je i Neka je lineal nad skupom. je pravi i zatvoren potprostor u X. Na osnovu Rieszove leme, postoji. Primetimo,. Primenom metoda matematičke indukcije i Rieszove leme zaključujemo da postoji niz konačno-dimenzionalnih potprostora u X, i niz iz X tako da je Sledi što znači da niz nema nijedan konvergentan podniz. Tada [ ] ne moţ e biti kompaktan podskup u X, što je kontradikcija sa pretpostavkom Kompaktni operatori Definicija Neka su X, Y normirani prostori i Operator A je kompaktan ako je relativno kompaktan podskup u Y za svaki ograničen podskup Q u X. Ako je [ ] tada je očigledno operator A kompaktan akko je [ ] kompaktan podskup. (1) Skup svih kompaktnih operatora sa X u Y, označava se sa Ukoliko je, umesto jednostavno pišemo Iz Teoreme sledi svaki kompaktan operator je ograničen. Da obrnuto ne vaţ i pokazuje sledeći primer. Primer Neka je X beskonačno-dimenzionalan normiran prostor i Operator I je ograničen ali nije kompaktan. identičan operator. Dokaz. Očigledno je I B(X). Neka je [ ] Tada je [ ] ograničen podskup u X, i [ ] [ ] nije relativno kompaktan podskup u X (Teorema 1.2.9). Teorema Neka su X, Y normirani prostori i Tada: - 9 -

11 (i) (ii) Dokaz. (i) Neka je ograničen podskup u X. Iz Teoreme sledi je ograničen podskup u Y. Zato je ograničen i zatvoren podskup u Y. Iz sledi je zatvoren podskup u Y (Teorema 1.1.7), te je kompaktan podskup u A(X). Ovim je dokazan uslov (i). (ii) Sledi iz Teoreme i pokazanog. Definicija Operator je operator konačnog ranga (konačno-dimenzionalan operator) ako je Skup svih operatora konačnog ranga iz označava se sa Ukoliko je umesto jednostavno pišemo Iz (i) sledi Teorema Neka su X, Y normirani prostori i Operator A je kompaktan ako i samo ako niz ima konvergentan podniz za svaki ograničen niz iz X. Dokaz. Neka je A kompaktan operator i ograničen niz iz X. Kako je ograničen podskup u X, to je relativno kompaktan podskup u Y. Sledi da niz ima konvergentan podniz. Obrnuto, pretpostavimo da niz ima konvergentan podniz za svaki ograničen niz iz X. Ako je Q ograničen podskup u X i niz iz, tada postoji niz iz Q takav da je za svako Prema tome niz ima konvergentan podniz. Posledica Ako su tada je Dokaz. Ako je ograničen niz iz X, tada na osnovu prethodne teoreme niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan. Analogno, niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan. Zato je niz konvergentan. Na osnovu prethodno pokazane teoreme operator je kompaktan. Drugi deo tvrďenja je očigledan. (1) Znamo da je kompozicija ograničenih operatora opet ograničen operator. Ako je jedan od operatora kompaktan, tada sledeće tvrďenje pokazuje da je kompozicija kompaktan operator. Posledica Ako su X, Y i Z normirani prostori nad istim poljem skalara K, tada je Dokaz. Neka je A Ako je ograničen niz iz X, tada je niz ograničen, i na osnovu Teoreme niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan. Zato je Analogno, ako je i ako je ograničen niz iz X, tada niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan (Teorema 1.3.5). Zato je niz )konvergentan, i ponovo iz Teoreme sledi

12 Sledeća teorema je od praktičnog značaja. Ona pokazuje kako se u mnogim konkretnim situacijama dokazuje da je neki operator kompaktan. Teorema Neka je X normiran prostor i Y Banachov prostor. Ako je niz iz konvergentan, sa granicom A, tada je Prema tome, je zatvoren podskup u Dokaz. Neka je ograničen niz iz X. Na osnovu Teoreme niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan. Analogno, niz sadrţ i podniz takav da je niz konvergentan. Koristeći metod matematičke indukcije i Teoremu 1.3.5, vidimo da za svako postoji podniz niza takav da je niz konvergentan. Zato dijagonalni niz očigledno podniz niza ima osobinu da je niz konvergentan za svako. Dokazaćemo da je konvergentan (iz Teoreme tada. Za to je dovoljno dokazati da je niz Cauchyjev (koristimo da je Y Banachov prostor). Neka je. Kako je niz ograničen, postoji broj takav da je za svako Iz sledi postoji prirodan broj takav da je za svako Neka je prirodan broj takav da je za svako Iz ovih nejednakosti, za svako sledi 1.4. Elementarne osobine, Hilbertovi 6 prostori Definicija Skalarni proizvod na kompleksnom vektorskom prostoru X je funkcija s sa C koja zadovoljava sledeće uslove: (i), za svako i svako (ii) (iii) za svako, (iv) za svako, za svako i svako, u 6 David Hilbert ( ), nemački matematičar

13 (v) ako i samo ako je. Vektorski prostor X sa skalarnim proizvodom s, odnosno ureďeni par naziva se unitaran prostor (pre-hilbertov prostor, prostor sa skalarnim proizvodom). Preciznije, Definicijom uveden je kompleksan unitaran prostor. Ukoliko je vektorski prostor X realan, funkcija realna i ima gore navedene osobine, kaţ emo da je X realan unitaran prostor. Dokaţ imo elementarne osobine unitarnih prostora, definišimo Hilbertov prostor. Teorema (Cauchy-Schwarzova 7 nejednakost) Neka je X unitaran prostor i Tada je Dokaz. Ako je, onda je, tj. teorema vaţ i. Neka je Za svako imamo Odavde, za sledi Jednakost vaţ i ako i samo ako su x i y linearno zavisni vektori. Teorema (Nejednakost Minkowskog 8 ) Neka je X unitaran prostor i Tada je Dokaz. Na osnovu prethodne teoreme sledi Skalarni proizvod definiše normu. Naime, funkcija sa unitarnog prostora X u strogo je pozitivna i zadovoljava nejednakost Minkowskog. Osim toga, za svako i svako imamo Prema tome, funkcija, je norma na X. Definicija Neka je X unitaran prostor. Za normu (1) 7 Karl Hermann Amandus Schwarz ( ), nemački matematičar 8 Hermann Minkowski ( ), ruski matematičar i fizičar

14 kaţ e se da je norma definisana skalarnim proizvodom. Ako se posebno ne naglasi, podrazumeva se da je unitaran prostor X normiran prostor sa normom (1). Ako je unitaran prostor Banachov prostor, tada se za kaţ e da je Hilbertov prostor. Teorema Neka je X unitaran prostor. Tada je skalarni proizvod neprekidna funkcija, t.j., ako je i ako su nizovi iz X, tada Dokaz. Na osnovu Cauchy-Schwarzove nejednakosti, sledi Posledica Neka je X unitaran prostor i Dokaz. Na osnovu prethodne teoreme.. Tada su funkcije, neprekidne na X. Teorema (Polarizaciona jednakost) Ako je X kompleksan unitaran prostor, tada za svako imamo (1) Ako je X realan unitaran prostor i, tada je (2) Dokaz. Kada se desne strane jednakosti u ( ) i ( ) zamene odgovarajućim skalarnim proizvodom, i srede, dobijaju se leve strane jednakosti. Teorema (Relacija paralelograma) Neka je X unitaran prostor i. Tada je Dokaz. Prema Definiciji i osobinama skalarnog proizvoda. Pomoću skalarnog proizvoda definiše se ortogonalnost u unitarnom prostoru. Neka je X unitaran prostor i. Ako je, kaţ emo da je x ortogonalan na y, i označavamo sa. Kako iz sledi, to je simetrična relacija. Ako su E i F podskupovi u X i ako je svaki vektor iz E ortogonalan na svaki vektor iz F, kaţ emo da je skup E ortogonalan na skup F, i označavamo sa. Tada je, očigledno, i. Podskup E unitarnog prostora X je ortogonalan ako iz sledi. Ortogonalan skup E je ortonormiran ako je norma svakog elementa iz E jednaka 1. Teorema (Besselova 9 nejednakost). Neka je prostoru X. Tada je ortonormiran skup u unitarnom 9 Friedrich Wilhelm Bessel ( ), nemački matematičar

15 Dokaz. Za svako, neka je. Tada: ( ) 1.5. Hilbert adjungovani operator Teorema Neka su X i Y Hilbertovi prostori i Tada postoji samo jedan operator takav da je za svako i svako. (1) Dokaz. Neka je preslikavanje definisano sa. (2) Tada i na osnovu Rieszove teoreme o reprezentaciji (Ako je f ograničen linearan funkcional na Hilbertovom prostoru X, tada postoji samo jedan vektor takav da je za svako ), postoji samo jedan vektor takav da je Neka je preslikavanje definisano sa. S je linearan operator i zadovoljava uslov ( ). Iz sledi. Dokaţ imo da postoji samo jedan operator koji zadovoljava uslov (1). Ako uslov (1), tada je zadovoljava za svako i svako Za, je za svako, te je za svako Definicija Neka su X i Y Hilbertovi prostori i Operator definisan uslovom (1) Teoreme , označava se sa, i naziva Hilbert adjungovani operator operatora T. Sledeća teorema daje osnovna svojstva Hilbert adjungovanog operatora. Teorema Neka su X, Y i Z Hilbertovi prostori, (i) za svako i svako,. Tada je:

16 (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) ako i samo ako je Teorema Neka su X i Y Hilbertovi prostori i Ako postoji tada postoji i (1) Dokaz. Iz (viii) i (ix) sledi 1.6. Hermitski operator, normalan operator, pozitivan operator, unitaran operator Definicija Neka je X Hilbertov prostor i, Tada: (i) T je normalan operator ako je, (ii) T je samo-konjugovan (hermitski) ako je, (iii) T je unitaran operator ako je. Teorema Operator je samo-konjugovan ako i samo ako je realan broj za svako. Dokaz. Ako je T samo-konjugovan i imamo Prema tome, je realan broj. Obratno, ako je realan broj za svako, tada Tada je, za svako. Ako uzmemo za upravo, dobijamo, pa je. Definicija Neka je X Hilbertov prostor i za svako i tada se pise. Kaze se da je T pozitivan operator ako je Posledica Svaki pozitivan operator je samo-konjugovan. Dokaz. Prema prethodnoj teoremi i definiciji pozitivnog i samo-konjugovanog operatora. Teorema Ako je X Hilbertov prostor i tada je pozitivan operator. Dokaz. Za imamo

17 Definicija Neka je X Hilbertov prostor, A i B samo-konjugovani operatori iz, tada pišemo. Ako je Iz Definicije sledi za svako Lako se pokazuje da je ovako definisana relacija delimično ureďenje, i ono se često naziva uobičajeno delimično ureďenje na skupu svih samo-konjugovanih operatora. Na osnovu Teoreme sledeća definicija ima smisla. Definicija Neka je X Hilbertov prostor, A samo-konjugovan operator iz (1) Brojevi nazivaju se, redom, donja i gornja granica samo-konjugovanog operatora A. Primetimo da je i Teorema Neka je X Hilbertov prostor, A samo-konjugovan operator iz, redom, donja i gornja granica operatora A. Tada (1) Dokaz. Na osnovu Caushy-Schwarzove nejednakosti sledi (2) Prema tome, da dokaţ emo (1) dovoljno je dokazati. Ako za svako x sa normom 1 vaţ i, tada je i dokaz je završen. Mozemo primetiti da za svako imamo Kako je A samo-konjugovan ( ) ( ) Tada je Ako je, tada za iz dobijenog sledi

18 ( ) ( ) ( ) a za, Teorema Neka je X Hilbertov prostor, a S i T samo-konjugovani operatori iz. Tada je ST samo-konjugovani operator ako i samo ako operatori S i T komutiraju. Dokaz. Kako je i kako su po pretpostavci S i T samo-konjugovani to je ekvivalentno sa sledi da S i T komutiraju. Teorema Neka je X Hilbertov prostor, niz samo-konjugovanih operatora iz. Tada je T samo-konjugovan operator. Dokaz. Iz (ii) i (v) sledi Teorema Neka je X Hilbertov prostor i Tada postoje samo-konjugovani operatori tako da je. Operatori A i B su jednoznačno odreďeni operatorom T. Dokaz. Neka je. Tada su A i B samo-konjugovani operatori i Da dokaţ emo jednoznačnost, pretpostavimo da postoje samo-konjugovani operatori, i da je. Tada je samo-konjugovan operator, a to znači da je. Odatle, Definicija Neka je X Hilbertov prostor i oznaci, redom, definišu se kao. Realan i imaginaran deo operatora T, u Teorema Neka je X Hilbertov prostor i (i) T je normalan operator, (ii) su komutativni operatori, (iii) za svako Dokaz. Imamo da je. Sledeći uslovi su ekvivalentni: Sledi da je (i) ekvivalentno sa (ii). Za, imamo ( )

19 Jasno je da dokaz sada sledi iz pokazane jednakosti i (ii) i činjenice da je Definicija Neka je X Hilbertov prostor i niz samo-konjugovanih operatora iz Niz je monotono rastući ako je odnosno, monotono opadajući ako je Niz je monoton ako je ili monotono rastući ili monotono opadajući. Navedimo i teoreme Hahna-Banacha: (1.6.15)Teorema(Hahn 10 -Banach (realna verzija)). Pretpostavimo da je X vektorski prostor nad realnim poljem R. Neka je S potprostor u X i funkcija koja zadovoljava sledeće uslove: (i), (ii) Ako je f linearan funkcional na S (t.j., linearno preslikavanje sa S u R) takav da je tada postoji linearan funkcional takav da je i Teorema (Teorema Hahna-Banach (verzija za normiran prostor)) Pretpostavimo da je X normiran prostor nad realnim ili kompleksnim poljem K, i neka je Y potprostor u X. Ako je tada postoji funkcional takav da je Dokaz. Neka je. Očigledno je za svako i svako. Osim toga, lako se pokazuje da je za svako. Na osnovu Teoreme postoji linearan funkcional takav da je za svako za svako. Zato je a kako je očigledno sledi Posledica Neka je Y potprostor normiranog prostora X nad poljem K. Pretpostavimo da je i da je. Tada postoji funkcional takav da je 10 Hans Hahn ( ), austrijski matematičar

20 Dokaz. Neka je Z lineal nad skupom linearan funkcional na Z definisan sa. Očigledno je za svako. Dokaţ imo da je ograničen funkcional na Z i da je. Neka je. Kako je sledi. Iz definicije broja d sledi da postoji niz takav da Zato, iz sledi Ovim je dokazano da je. Na osnovu prethodne teoreme postoji tako da je Posledica Neka je element normiranog prostora X i. Tada postoji funkcional sa svojstvom Dokaz. Na osnovu Posledice , ukoliko uzmemo Teorema (Teorema o ograničenom inverzu). Neka su X i Y Banachovi prostori i. Ako je preslikavanje A "1-1" i "na" tada postoji. Dokaz. Jasno postoji i je linearan operator. Dokaţ imo da je ograničen operator, ili ekvivalentno da je neprekidno preslikavanje. Ako je G otvoren podskup u X, tada iz i Teoreme o otvorenom preslikavanju (Ako su X i Y Banachovi prostori i A ograničen linearan operator sa X na Y, tada je A otvoreno preslikavanje, tj., A(G) je otvoren podskup u Y za svaki otvoren podskup G u X), sledi A(G) je otvoren podskup u Y. Za preslikavanje kaţ e se da je idempotent ako je. Linearni idempotent naziva se (algebarski) projektor Adjungovani operator Neka su X, Y i Z normirani prostori, Kompozicija operatora A i B, je operator definisan sa. Znamo,. Prema tome, ako je sledi (A1) Neka je preslikavanje definisano sa t.j., (A2) Lako se dokazuje da je linearan operator, a iz (A1) sledi (A3)

21 Definicija Neka su X i Y normirani prostori i Operator definisan uslovom (A2) naziva se adjungovani (dualni, konjugovani) operator operatora A. Ako je tada postoji tako da je Odavde sledi Iz (A2) i, imamo Teorema Neka su X i Y normirani prostori i Tada Dokaz. Na osnovu (A3) dovoljno je da dokaţ emo Neka je. Na osnovu Posledice postoji funkcional takav da je Sada je Kako je, sledi Teorema Neka su X, Y i Z normirani prostori, (i) (ii) (iii) (iv) (v). Tada je: 1.8. Minimalni modul i modul surjektivnosti Definicija Neka su X i Y normirani prostori i. Minimum modul (modul injektivnosti) operatora A, u oznaci, se definiše sa (1) Neposredno iz definicije sledi (i)

22 (ii) (iii) Teorema Neka su X i Y Banachovi prostori. Tada je (1) Dokaz. Pretpostavimo da je. Tada je očigledno. Iz sledi da postoji niz iz X, takav da je. Iz (ii) sledi i niz je Caushyijev. Dakle, postoji tako da je, pa je. Dokazali smo da je, pa sledi S druge strane, ako je, tada je preslikavanje definisano sa, "1-1" i "na". Na osnovu Teoreme o ograničenom inverzu, operator, Sada je Definicija Neka su X i Y normirani prostori i Modul (koeficijent) surjektivnosti operatora A, u oznaci je [ ] [ ] (1) Po dogovoru, uzimamo Sledeća teorema daje drugu formulu za. Lema Neka su X i Y Banachovi prostori i. Tada je { [ ] } [ ] Dokaz. Označimo desnu stranu jednakosti sa. Očigledno je. Dokaţ imo nejednakost " ". Neka je [ ]. Pokaţ imo da je za svako. Kada, tada je Kako, to je. Iz definicije je, a kako je { [ ] } [ ] to je { [ ] }, [ ] što znači da je [ ] [ ] Tada je [ ] [ ] i. [ ] Postoji [ ] tako da je

23 Analogno, za postoji vektor takav da je Nastavljajući postupak, uz korišćenje metoda matematičke indukcije, zaključujemo da postoji niz takav da je gde je.tada je Sledi,. Neka je. Sada iz sledi [ ] [ ] odnosno Posledica Neka su X i Y Banachovi prostori i. Tada je Teorema Neka su X i Y Banachovi prostori, i. Tada je Dokaz. Pretpostavimo da je Tada je Neka je operator definisan sa "1-1" i "na". Na osnovu Teoreme o ograničenom inverzu, operator A),X). Ako je [ ], definišemo funkcional sa Kako je po pretpostavci, to je A 1-1, pa je preslikavanje dobro definisano. Imamo da je i Na osnovu Teoreme Hanha-Banacha postoji ekstenzija funkcionala na Y, sa svojstvom Moţ emo primetiti da je Dakle, i jer je Pokaţ imo da je. Za i, pa je tada

24 Tada je [ ], pa sledi [ ] [ ], odnosno, Da pokaţ emo drugu nejednakost, pretpostavimo da je. Pokazaćemo da je, odakle sledi da je Znamo da vaţ i [ ] [ ]. Dovoljno je dokazati da je, odakle sledi da je Neka je proizvoljno. Za [ ] takvo da vaţ i, iz [ ] [ ], sledi da postoji [ ], tako da je. Tada Sledeća lema pokazuje da su funkcije neprekidne. Lema Neka su X i Y Banachovi prostori, Tada je Dokaz. Ako je, tada odnosno Očigledno je sada, stavljajući umesto, i umesto. Iz Teoreme 1.8.6, Teoreme i dokazane nejednakosti, sledi druga nejednakost Pojam algebre; Banachova algebra Vektorski prostor A nad poljem skalara K je algebra nad ako je definisano preslikavanje sa osobinom da, za svako imamo: (i) (ii) (iii) Očigledno, algebra jeste prsten i odgovarajući pojmovi i rezultati za prstene prenose se na algebre. Kaţ e se da algebra ima jedinicu, ukoliko prsten ima jedinicu, t.j., ako postoji element sa osobinom da je Treba voditi računa da se sa 1 označava i element iz i element iz, i često se kada je jednostavno piše. Ako algebra ima jedinicu, tada se element naziva levo invertibilan u ako postoji tako da je, i u tom slučaju se za

25 kaţ e da je levi inverz elementa. Skup svih levo invertibilnih elemenata iz označava se sa. Analogno, element je desno invertibilan u ako postoji tako da je, i u tom slučaju se za kaţ e da je desni inverz elementa a. Skup svih desno invertibilnih elemenata iz označava se sa. Ako je element i levo i desno invertibilan u, t.j., ako postoje tako da je tada se kaţ e da je invertibilan element u. U tom slučaju je se označava sa i naziva inverz elementa. Skup svih invertibilnih elemenata iz označava se sa. Algebra je komutativna ukoliko je odgovarajući prsten komutativan. Ukoliko je, algebra je realna, a ako je, algebra je kompleksna. Ako je podskup algebre, sa osobinom da je algebra sa istim algebarskim operacijama kao i algebra, tada se kaţ e da je podalgebra u. Potprostor algebre je levi (desni) ideal u ako je za svako i svako. je dvostrani ideal u ako je istovremeno i levi i desni ideal u. Algebre nad istim poljem skalara su izomorfne ako postoji izomorfizam vektorskih prostora takav da je Definicija Za algebru kaţ e se da je normirana algebra ako postoji norma na, t.j., ako je normiran prostor, sa osobinom da je Ako je, tada se za kaţ e da je realna (kompleksna) normirana algebra. Normirana algebra je Banachova algebra ako je Banachov prostor

26 2.Definicija spektra i osobine 2.1. Invertibilnost U ovoj sekciji, a i kasnije, sa označavamo kompleksnu Banachovu algebru sa jedinicom 1 i pretpostavljamo da je. Dokazaćemo osnovna svojstva skupova. Lema Ako je, tada: (i) niz je konvergentan, tj., postoji tako da je (ii) (iii). Dokaz. Kako je, sledi da je red konvergentan, a na osnovu tvrďenja da je normiran prostor X Banachov ako i samo ako je u njemu svaki apsolutno konvergentan red konvergentan, konvergentan je i red.ovim smo dokazali (i). Iz sledi da kad Kako je, to je. Analogno se dokazuje da je. Prema tome,, i dokazali smo (ii). Primetimo da iz (ii) i sledi (iii). Posledica Ako je, tada je Dokaz. Na osnovu Leme 2.1.1, ako uzmemo Posledica Ako je, tada je Dokaz. Iz ( ), na osnovu Leme sledi da je. Kako je, ponovo dva puta primenom Leme imamo

27 Teorema su otvoreni skupovi u. Dokaz. Neka je otvorena kugla u sa centrom u a i poluprečnikom Dokazaćemo da je. Neka je Kako je na osnovu Posledice sledi. Zato je, i dokazali smo da je otvoren podskup u. Dokaţ imo sada da je otvoren podskup u. Ako je tada postoji tako da je. Dokazaćemo da je. Neka je Kako je na osnovu Posledice sledi. Iz sledi Ovim je dokazano da je je otvoren podskup u. Analogno se moţ e dokazati da je otvoren podskup od. Lema Neka je Banachova algebra, niz elemenata iz koji konvergira ka a. Ako je ograničen skup, tada. Dokaz. Neka je i n prirodan broj sa svojstvom. Kako je iz Leme sledi. Prema tome. Posledica Ako je, tada je Dokaz. Ukoliko niz ne konvergira ka, tada postoji realan broj, takav da je, za beskonacno mnogo n. Prema tome, postoji prirodan broj n takav da je. Tada je Iz Posledice i pokazanog sledi. Kako je grupa, sledi. MeĎutim, kako je otvoren podskup u (Teorema 2.1.4) i kako je a po pretpostavci rubna tačka skupa, to. Došli smo do kontradikcije. Sledeća teorema dokazuje da je funkcija neprekidna. Teorema Neka je,. Tada Dokaz. Neka Tada, a iz sledi. Prema tome, Kako, postoji prirodan broj takav da iz, sledi Za tako izabrano, na osnovu dokazanog dela teoreme sledi

28 Sledeća teorema dokazuje da je preslikavanje ) u izvesnom smislu diferencijabilno. Teorema Preslikavanje ) je diferencijabilno na u sledećem smislu: Ako tako da tada je Dokaz. Pretpostavimo da je. Kako je to na osnovu dokaza Teoreme 2.1.4, sledi.iz [ ] i Teoreme sledi 2.2. Spektar i rezolventa Pojam spektra je algebarski, a mnoge njegove osobine izučavaju se metodama analize. Definicija Neka je. Spektar elementa a, u oznaci σ(a), je skup svih kompleksnih brojeva sa svojstvom da nije invertibilan element u A, tj., (i) Levi spektar elementa a, u oznaci, i definiše sa (ii). Desni spektar elementa a, u oznaci i definiše sa (iii). Komplement skupa u oznaci naziva rezolventni skup elementa a. Prema tome (iv). Kako je to se uslov u definiciji spektra elementa a moţ e zameniti uslovom (što se često i radi) Analogna primedba vaţ i za desni i levi spektar elementa a, za rezolventni skup elementa a, i td. Teorema Neka je. Tada je zatvoren i ograničen podskup u. Dokaz. Neka je preslikavanje definisano sa Lako se dokazuje da je f neprekidno preslikavanje na. Kako je i otvoren podskup u (Teorema 2.1.4), sledi ρ(a) je otvoren podskup u. Prema tome, je zatvoren podskup u. Iz Posledice sledi pa je σ(a) je ograničen podskup u

29 Definicija Neka je definisana sa Rezolventna funkcija (rezolventa) elementa a jeste funkcija Očigledno je, i, odnosno Napomenimo da je idempotentni element (idempotent) ako je. Idempotent e je netrivijalan ako je Lema Ako je netrivijalan idempotent, tada je ( ) Lema (Rezolventne jednačine). Neka je (i) (ii).. Tada je Jednačine (i) i (ii) nazivaju se, respektivno, prva i druga rezolventna jednačina. Dokaz. Da dokaţ emo (i), primetimo da za imamo [ ]. Što se tiče uslova (ii), za sledi [ ]. Teorema (i) Ako je tada je (ii) Ako je tada je Dokaz. Iz na osnovu Posledice 2.1.3, znamo da. Kako je, na osnovu Teoreme sledi, tj., dokazali smo (i). (ii) sledi iz Teoreme 2.1.7, Teoreme i Teoreme (i). Posledica Ako je f ograničen linearan funkcional na, tj., tada je Funkcija je diferencijabilna za svako ( ) ( ) i za njen izvod vaţ i formula

30 Dokaz. Na osnovu Teoreme Sledeća teorema daje vaţ no svojstvo spektra. Teorema Za svako spektar elementa a je neprazan i kompaktan podskup u. Dokaz. Pretpostavimo da je prazan skup. Tada je, na osnovu Posledice funkcija je diferencijabilna za svako. Prema tome, na osnovu teoreme Liouvillea 11, koja tvrdi da kompleksna funkcija koja je diferencijabilna na celom skupu, ako je ograničena funkcija jeste konstanta, sledi je konstanta za svako, i Posledice sledi da postoji tako da je i. Zato je ( ), a na osnovu dokazanog dela ove teoreme sledi. Došli smo do kontradikcije. Prema tome nije prazan skup. Da je kompaktan podskup u C sledi iz Teoreme Ako je polinom, tada je element iz definisan sa. Sledeća teorema odreďuje odnos izmeďu. Teorema (Teorema o preslikavanju spektra polinomom). Ako je i p polinom, tada je ( ) ( ) t.j ako i samo ako postoji tako da je Dokaz. Neka je. Tada je i postoje kompleksni brojevi tako da je Kako je i nije invertibilan element sledi nije invertibilan element. Iz q(a) = p(a) p(λ) imamo. Ovim smo dokazali da je Dokaţ imo sada inkluziju. Ako je, tada postoje kompleksni brojevi tako da je Kako je, sledi da postoji tako da. Prema tome,, odnosno. Ovim je dokazano da je σ(p(a)) p(σ(a)). Teorema Neka je. Tada je Dokaz. Neka je i Za, vidimo da iz sledi. Prema tome, Analogno se dokazuje da je. Zato je invertibilan element. Sledećom teoremom, za, odreďuje se odnos izmeďu 11 Joseph Liouville ( ) francuski matematičar

31 Teorema Neka je. Ako je tada je Dokaz. Za imamo 2.3. Spektralni poluprečnik Znamo da je spektar elementa, tj., neprazan i kompaktan podskup skupa kompleksnih brojeva. Od interesa je odrediti zatvorenu kuglu najmanjeg poluprečnika sa centrom u koordinatnom početku koja je nadskup skupa σ(a). Sa tim u vezi je sledeća Definicija Neka je Spektralni poluprečnik elementa a, u oznaci definiše se sa Primetimo da iz Posledice sledi Posledica Ako su, tada je Dokaz. Na osnovu Teoreme Posledica Ako tada je. Dokaz. Iz Posledice sledi. Sledeća teorema je u vezi sa izračunavanjem spektralnog poluprečnika. Teorema Za svako, postoji, i označimo tu graničnu vrednost sa Broj ima sledeća svojstva : (i) { } (ii) (iii) za svako, (iv) za svako, (v) za svaki prirodni broj k, (vi) ako je, tada je (1) Dokaz. Neka je. Dokaţ imo Ako je, tada postoji tako da je. Za svaki prirodni broj n postoje celi brojevi tako da je. Prema tome, imamo (1) Kako kad, iz (1) sledi odnosno (2) Iz za svaki prirodni broj n sledi Zato je

32 (3) Iz (2) i (3) sledi postoji granična vrednost i jednaka je Samim tim dokazan je uslov (i). Uslovi (ii) i (iii) se lako dokazuju. Da dokaţ emo (iv) primetimo da za svaki prirodni broj n imamo odnosno Ako stavimo da imamo. Kada a i b zamene mesta dobijamo drugu nejednakost te je. Iz činjenice da da je sledi za svaki prirodni broj k. Dokaţ imo sada (vi). Iz za svaki prirodni broj n imamo. Prema tome iz (i) sledi. Da dokaţ emo drugu nejednakost u (vi) pretpostavimo da je. Za svaki prirodni broj n imamo ( ) ( ) ( ) odnosno ( ( ) ) (4) Jasno je da za svaki prirodan broj n postoje prirodni brojevi i sa osobinom da je. Sada, iz (4) sledi ( ( ) ) a odatle, koristeći (i) () (5) Kako je ( ) ograničen niz, postoji njegov podniz koji konvergira recimo ka p, gde je 0 p 1. Tada je očigledno. Pretpostavimo prvo da je. Kako je (iz ( )), sledi Ako je p = 0, imamo (6)

33 (7) Sada, za i za, iz (6) i (7) sledi. Analogno se dokazuje. Sada, iz ( ) sledi, odnosno Sledeća teorema daje postupak za izračunavanje spektralnog poluprečnika. Teorema (Teorema o spektralnom poluprečniku). Za svako vaţ i Dokaz. Ako je, tada za svaki prirodan broj n imamo (Teorema 2.2.9). Prema tome, iz Posledice sledi, odnosno. Zato je Ovim smo dokazali da je Ako je, tada je (Posledica 2.1.3). Neka je rezolventna funkcija elementa i, funkcija definisana sa (1) (2) (3) Tada je ( ) ( ) (4) Kako je za svako Loranov 12 red u oblasti funkcija F diferencijabilna, to zbog jedinstvenog razvoja ove funkcije u sledi (5) Za red (5) je konvergentan i sledi (6) Kako je proizvoljan element, na osnovu teoreme o uniformnoj ograničenosti iz (6) sledi Za svaki prirodni broj n, je 12 Pierre Alphonse Laurent ( ), francuski matematičar

34 te je odnosno Iz (3) i (7) sledi (7) Posledica Neka je a, b A. Tada je: (v) (vi) za svaki skalar λ, (vii), za svaki prirodni broj k, (viii) (ix). Dokaz. Na osnovu Teoreme i Teoreme Primedba Iz Teoreme znamo da postoji ; meďutim taj rezultat nismo koristili u dokazu Teoreme 2.3.5, gde je na drugi način dokazana egzistencija pomenute granične vrednosti. Osim toga, Teorema pokazuje da se spektralni poluprečnik r(a), elementa a, koji se definiše pomoću algebarski uvedenog pojma σ(a), opisuje analitički koristeći graničnu vrednost. Ovo je lep primer interakcije algebre i analize. Definicija Ako je, tada se za a kaţ e da je kvazinilpotentan element. Napomenimo da je nilpotentan element ako postoji prirodan broj n sa svojstvom. Očigledno je svaki nilpotentan element i kvazinilpotentan; obrnuto u opštem slučaju ne vaţ i. Sledeći rezultat opisuje svojstva komutativnih kvazinilpotentnih elemenata. Posledica Ako su kvazinilpotentni elementi i, tada su kvazinipotentni elementi. Dokaz. Na osnovu (v) Spektar i podalgebre Neka je prsten ili algebra. Elemenat je levi (desni) delilac nule u ako postoji element takav da je Ako je ili levi ili desni delilac nule u, tada se kaţ e da je a delilac nule u. Nadalje, kao i obično je Banachova algebra sa jedinicom 1. Definicija Elemenat je levi (desni) topološki delilac nule u ako postoji niz iz takav da je za svako n, i. Ukoliko je ili levi ili desni topološki delilac nule u, tada se kaţ e da je a topološki delilac nule u. Ako postoji niz iz, sa svojstvom za svako n, takav da je, tada se kaţ e da je

35 element a dvostrani topološki delilac nule u A. Označimo sa respektivno, skup svih levih topoloških delioca nule, desnih topoloških delioca nule, topoloških delioca nule u. Primetimo da je. Ocigledno je svaki levi (desni) delilac nule u A i levi (desni) topološki delilac nule u A. Da obrnuto uvek ne vaţ i, pokazuje sledeći primer. Primer Neka je [ ] Banachova algebra realnih neprekidnih funkcija na odsečku [ ] sa sup-normom. Tada je element [ ] definisan sa [ ] levi i desni topološki delilac nule u [ ] a nije delilac nule u [ ] Dokaz. Očigledno a nije delilac nule u [ ] Neka je niz u A definisan sa [ ] [ ]. Tada je Lema Neka je je Banachova algebra. Tada: Dokaz. Pretpostavimo Tada postoji tako da je, i postoji niz iz sa svojstvom za svako n, tako da je.kako je dolazimo do kontradikcije. Prema tome. Analogno se dokazuje drugi deo tvrďenja. Teorema Neka je Banachova algebra i rub skupa. Tada, iz sledi je dvostrani topološki delilac nule u. Dokaz. Ako na osnovu Posledice 2.1.6, postoji niz, takav da je Neka je. Iz sledi. Analogno se dokazuje da je Posledica Neka je Tada je dvostrani topološki delilac nule u. Dokaz. Iz λ sledi Prema tome, pa dokaz sledi na osnovu prethodne teoreme. Neka je je Banachova algebra sa jedinicom 1, a Banachova podalgebra u, takoďe sa jedinicom 1. Ako, tada se razmatra spektar elementa a u odnosu na B (označava se sa ), kao i uobičajeni spektar elementa a u odnosu na Neka je r B (a) spektralni poluprečnik elementa a u odnosu na, tj., očigledno je

36 Lema Neka je Banachova algebra sa jedinicom 1, a Banachova podalgebra u, takoďe sa jedinicom 1. Ako, tada je (i) (ii). Dokaz. (i) sledi iz elementarne činjenice. (ii) sledi iz Teoreme Definicija Neka je K kompaktan podskup kompleksne ravni. Komplement skupa K, označava se sa, je otvoren podskup u C, i njegove povezane komponente su otvoreni podskupovi u (jer je lokalno povezan prostor). Kako je separabilan prostor, skup moţ e imati najviše prebrojivo mnogo komponenata. Neka je }. Očigledno postoji samo jedna komponenta skupa koja sadrţ i Ta komponenta je neograničena komponenta skupa. Ostale komponente skupa su ograničene, i nazivaju se rupe u K. Ako ima samo jednu komponentu, (očigledno to je neograničena komponenta skupa ), tada se kaţ e se da skup K nema rupu. Definicija Neka je Banachova algebra sa jedinicom 1, p netrivijalan idempotent u A i Tada je Banachova algebra, sa jedinicom p. Ako je tada se kaţ e da p razlaže a. Za element, kaţ e se da je invertibilan u odnosu na p, ako je sa analognim dogovorom za levu i desnu invertibilnost. Sledeća teorema pokazuje da kada p razlaţ e a, da se invertibilnost u A moţ e ustanoviti preko invertibilnosti u Teorema Neka je Banachova algebra sa jedinicom 1 i p netrivijalan idempotent u. Ako je, tada Dokaz. Ako, tada postoji tako da je. Iz (( ) ( )) (1) sledi je levi inverz elementa u. Kako je je levi inverz elementa Analogno se dokazuje rezultat za desne inverze. Prema tome, dokazali smo u (1). Da dokaţ emo pretpostavimo da postoje tako da je Kako je sledi. Analogno se dokazuje

37 Teorema Neka je Banachova algebra sa jedinicom 1, i p netrivijalan idempotent u. Tada je zatvorena podalgebra u, p je jedinica u, i za svako vaţ i sledeća skupovna jednakost Dokaz. Lako se dokazuje da je podalgebra u sa jedinicom p. Dokaţ imo da je zatvoren podskup u. Neka je niz iz, sa osobinom da je. Tada je, i sledi. Prema tome, je zatvoren podskup u. Neka je. Tada je, i sledi. Iz, na osnovu Teoreme 2.4.9, sledi. Prema tome, dokazali smo Da dokaţ emo inkluziju, pretpostavimo da je Kako je iz Teoreme sledi. Napomenimo da je ideal (levi, desni, dvostrani) u pravi (levi, desni, dvostrani) ideal u ako je. Sledeću teoremu dokazala je Laura Burlando. Teorema (Burlando) Neka je Banachova algebra sa jedinicom 1, i pravi dvostrani ideal u sa jedinicom. Tada je zatvorena podalgebra u, i za svako i svako vaţ i sledeća jednakost Dokaz. Iz pretpostavke teoreme, sledi f je netrivijalan idempotent u. Kako je jedinica u, to je. Prema tome, dokazali smo da je. Na osnovu Teoreme sledi da je zatvorena podalgebra u. Sada, za svako i svako, iz Teoreme 2.2.9, sledi Ponovo, na osnovu Teoreme , imajući u vidu prethodnu jednakost tvrďenje vaţ i B(X) kao Banachova algebra Izučavali smo svojstva opštih Banachovih algebri. Sada detaljnije izučavamo Banachovu algebru ograničenih linearnih operatora na Banachovom prostoru X. Napomenimo da mnogi rezultati koje ovde izlaţ emo, uz adekvatno tumačenje, vaţ e i za operatore iz gde su X i Y Banachovi prostori. Teorema Operator je levo invertibilan, tj., ako i samo ako je preslikavanje T jedan-jedan i postoji projektor sa svojstvom Dokaz. Iz sledi da postoji tako da je. Tada je, i za imamo ). Očigledno je Iz sledi Ovim smo dokazali očigledno T je preslikavanje jedan-jedan. Pretpostavimo sada da je preslikavanje T jedan-jedan, da postoji projektor sa svojstvom i dokaţ imo. Kako je zatvoren potprostor Banachovog prostora X, R(T) je Banachov potprostor. Neka je operator sa X na definisan sa. Očigledno je Sada, na osnovu teoreme o ograničenom inverzu,

38 postoji tako da je Kako je sledi Očigledno je Teorema Operator je desno invertibilan, tj.,, ako i samo ako je i postoji projektor takav da Dokaz. Iz sledi da postoji tako da je. Prema tome,. Dalje, imamo Očigledno je Ako je tada je. Ovim smo dokazali i sledi Primetimo da je projektor i Obrnuto, neka je i projektor sa svojstvom Kako za zatvoren potprostor M Banachovog prostora X postoji potprostor N u X takav da je ako i samo ako postoji projektor sa X na M, sledi da postoji dekompozicija prostora X na zatvorene potprostore tj.,. Neka je T 1 operator sa na X definisan sa. Očigledno je preslikavanje jedan-jedan i Na osnovu teoreme o ograničenom inverzu postoji operator takav da je. Kako je, i restrikcija operatora na identičan operator, sledi. Ovim smo dokazali Posledica Operator je invertibilan ako i samo ako je preslikavanje T 1-1 i Dokaz. Iz Teoreme i Teoreme Iz Teoreme i Teoreme sledi jednostrana invertibilnost elementa iz ostalog, je uslovljena egzistencijom posebnih projektora iz. Naime, ako je element levo (desno) invertibilan tada postoji projektor sa svojstvom izmeďu Definicija Operator je regularan u ako postoji tako da je U tom slučaju se za operator B kaţ e da je uopšteni inverz, ili pseudoinverz za A. Često je u matematici za iste pojmove u upotrebi različita terminologija (zavisno od procene autora, ukusa itd.). Tako pojedini autori za operator B iz Definicije 2.5.4, kaţ u da je unutrašnji inverz operatora A, odnosno da je B - inverz operatora A, i tada se kaţ e da je A - invertibilan operator Ako za operator postoji operator tako da je kaţ e se da je operator S spoljašnji inverz operatora T. Ako za operator postoji operator koji zadovoljava uslove tada, mnogi autori za operator C kaţ u da je -inverz operatora A ili da je C generalizovani inverz operatora A (skraćeno: C je g-inverz operatora A), a za A se kaţ e da je - invertibilan operator, ili samo da je g- invertibilan operator. Sledeća teorema daje karakterizaciju g-invertibilnih operatora. Teorema Neka je T B(X). Sledeći uslovi su ekvivalentni: (i) T je g-invertibilan operator,

39 (ii) i postoje projektori sa svojstvima Dokaz. Pretpostavimo da je T g-invertibilan operator. Tada postoji operator takav da je. Lako se vidi da je. Dalje, ako je imamo i naravno Iz dokaza Teoreme (Teoreme 2.5.2) sledi. Prema tome, iz sledi je zatvoren potprostor u X. Primetimo da je Ovim smo dokazali da iz (i) sledi (ii). Dokaţ imo sada da iz (ii) sledi (i). Iz (ii) imamo:,. Neka je operator sa na definisan sa, Očigledno je bijekcija i Na osnovu teoreme o ograničenom inverzu postoji inverzan operator operatora. Stavimo. Očigledno je. Osim toga, Lako se vidi da svaki, operator T iz ima spoljašnji inverz. U moţ emo uzeti. MeĎutim od interesa je odrediti kada operator ima spoljašnji inverz. Odgovor na ovo pitanje daje sledeća teorema. Teorema Neka je. Tada za operator A postoji spoljašnji inverz takav da je ako i samo ako je. Dokaz. Ukoliko je spoljašnji inverz operatora A, tada je očigledno. Obrnuto, pretpostavimo da je i neka je tako da je. Na osnovu Posledice postoji tako da je. Neka je operator definisan sa Lako se dokazuje. Kako je ( ) sledi B je spoljašnji inverz operatora A. Teorema Neka je Tada: (i) A je levi delilac nule u nije jedan-jedan, (ii) A je desni delilac nule u. Dokaz. (i) Ako je A levi delilac nule u, tada postoji B B(X) tako da je. Neka je. Iz sledi preslikavanje A nije jedan-jedan. Obrnuto, pretpostavimo da preslikavanje A nije jedan-jedan. Tada postoji, tako da je. Na osnovu Posledice , postoji tako da je Definišimo operator B sa. Lako se dokazuje Sledi. Kako je sledi A je levi delilac nule u. (ii) Ako je A desni delilac nule u tada postoji tako da je. Sledi odnosno. Prema tome,. Obrnuto, ako je, postoji i na osnovu Posledice postoji tako da je i za svako Definišimo operator B sa. Lako se dokazuje da je Teorema Neka je Sledeći uslovi su ekvivalentni: (i) A je levi topološki delilac nule u (ii)

40 (iii) Postoji niz iz X, takav da je. Dokaz. Očigledno su uslovi (ii) i (iii) ekvivalentni. Prema tome, dovoljno je dokazati da je (i) ekvivalentno sa (iii). Ako je A levi topološki delilac nule u tada postoji niz iz takav da je za svako n, i da je. Iz sledi postoji niz iz X takav da je i, za svako n. Neka je ( ). Očigledno je, za svako n. Iz sledi (i) (iii). Obrnuto, ako je niz iz (iii), tada na osnovu Posledice postoji tako da je. Definišimo niz tako da je. Lako se dokazuje, za svako n. Iz sledi, i dokazali smo da (iii) (i). Definicija Neka je Stavimo (i), (ii) (iii) Skupovi nazivaju se, respektivno, tačkasti spektar, aproksimativni tačkasti spektar i levi spektar operatora A. Iz Teoreme 2.5.1, Teoreme i Teoreme sledi Kompleksan broj je sopstvena vrednost operatora A ako postoji, sa svojstvom. U tom slučaju se vektor x naziva sopstveni vektor operatora A koji odgovara sopstvenoj vrednosti. Očigledno λ je sopstvena vrednost operatora A ako i samo ako Postoje operatori kod kojih je tačkasti spektar prazan skup. Dokazaćemo, da je aproksimativni tačkasti spektar operatora uvek neprazan podskup u C. Posledica Neka je. Tada ako i samo ako je ispunjen neki od sledećih ekvivalentnih uslova: (i) je levi topološki delilac nule u (ii). (iii) Postoji niz iz X, takav da je. Dokaz. Na osnovu Teoreme i Definicije (ii)