Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Keti Martinić. Fourierovi redovi.

Transcript

1 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel a matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Keti Martinić Fourierovi redovi Završni rad Osijek, 7.

2 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel a matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Keti Martinić Fourierovi redovi Završni rad Mentor: iv. prof. dr. sc. Krešimir Burain Osijek, 7.

3 Sažetak U ovom radu ćemo proučiti pojam Fourierovog reda i Fourierovih koeficijenata. Potom ćemo analiirati vrste konvergencija Fourierovog reda Konvergencija po točkama, uniformna konvergencija, konvergencija u smislu -norme te definirati kompleksni oblik Fourierovog reda i Fourierovih koeficijenata. Takoder ćemo definirati i Fourierovu transformaciju koja se koristi a procesiranje signala te je pružila veliki doprinos u tehničkim nanostima i medicini. U adnjem poglavlju ćemo navesti dva primjera primjene Fourierovog reda, provodenje topline i valna jedadžba. Ključne riječi: trigonometrijska funkcija, Fourierov red, Fourierovi koeficijenti, konvergencija, Fourierov integral, Fourierova transformacija, parcijalne diferencijalne jednadžbe Summary In this paper we will study the terms Fourier series and Fourier coefficients. Then we will analye the types of convergence of Fourier series pointwise convergence, uniform convergence, convergence in -norm and define the complex form of Fouriers series. We will also define Fourier transform which is used to process the signal and has contributed greatly to technical sciences and medicine. In the last section, there are two examples of the application of the Fourier series, heat conduction and wave equation. Keywords: trigonometric function, Fourier series, Fourier coefficients, convergence, Fourier integral, Fourier transform, partial differential equations

4 Sadržaj Uvod 4 Fourierovi redovi 5 3 Konvergencija Fourierovih redova 3. Konvergencija po točkama Konvergencija u smislu -norme Uniformna konvergencija Kompleksni oblik Fourierovog reda 4 5 Fourierova transformacija 6 6 Primjena Fourierovih redova 8 6. Provodenje topline Valna jednadžba

5 Uvod U ovom radu bavit ćemo se dijelom Fourierove analie ponat pod naivom Fourierov red. Fourierova analia je moćan alat a rješavanje mnogih problema kao što su parcijalne diferencijalne jednadžbe u području nanosti i inženjerstva. Fourierova analia proiašla je i ideje da svaku periodičku funkciju možemo apisati kao sumu kosinusnih i sinusnih funkcija raličitih amplituda, faa i frekvencija. Takva suma naiva se Fourierov red. Matematičar Jean Baptiste Joseph Fourier , slika, došao je na tu ideju tako što je postavio problem rješavanja parcijalne diferencijalne jednadžbe provodenja topline. Sve svoje teorije o danom problemu i Fourierovim redovima objavio je u svom radu Analitička teorija topline 8. godine. Danas su Fourierove teorije dalje ravijene, poput Fourierove transformacije koju ćemo spomenuti kasnije. Tome su pridonijeli kasnije i Dirichlet i Riemann. Slika : Jean Baptiste Jospeh F ourier 4

6 Fourierovi redovi Kao što smo spomenuli u uvodu, Fourierovi redovi omogućit će nam prika periodične funkcije u obliku reda trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus. Prije nego definiramo Fourierov red, uvest ćemo nekoliko korisnih pojmova i relacija. Definicija Ni funkcija ove se osnovni trigonometrijski sustav., cos x, sin x, cosx, sinx,.... ema Osnovni trigonometrijski sustav je ortogonalan na [, ] u sljedećem smislu: integral na [, ] produkta dviju raličitih funkcija sustava je nula, dok je integral kvadrata svake funkcije sustava raličit od nule. Doka. U stvari, vrijede sljedeće jednakosti: coskxdx =,. sinkxdx =,.3 sinkx sinnxdx =, a k n,.4 coskx cosnxdx =, a k n,.5 sinkx cosnxdx =,.6 sin nxdx =,.7 cos nxdx =,.8 dx =.9 Dokaat ćemo tvrdnje.4-.8 pomoću adicijskih formula i formula a umnožak sinusa i kosinusa. 5

7 .4 sinkx sinnxdx = cosk nx cosk + nxdx = cosk nxdx cosk + nxdx.5 = sink nx k n k + n sink + nx = = coskx cosnxdx = Doka dalje analogno kao gore..6 sinkx cosnxdx = = k + n = k n = + = = cosk nx + cosk + nxdx sink + nx + sink nx dx cosk + nx + cosk nx k n coskx cosnx sinkx sinnx k + n coskx cosnx + sinkx sinnx k + n k n k + n k n k + n k n coskx cosnx sinkx sinnx Zadnja jednakost u dokau slijedi i parnosti funkcije kosinus. cosk cosn cos k cos n 6

8 .7 sin nxdx = cos nxdx = dx + cosnx dx = x x cosnxdx = 4n sinnx = = Doka a kosinus provodimo analogno: cos nxdx = + cosnx dx = = 4n sinnx = = cosnxdx Definicija Neka je f : R R periodična i integrabilna na [, ]. Tada red fx = a + a k coskx + b k sinkx ovemo trigonometrijski red, dok je f N x = a N + a k coskx + b k sinkx njegova N+-va parcijalna suma. Sada nas anima kako igledaju koeficijenti a, a k, b k. Integracija reda član po član nam omogućava jednostavan ivod formula a računanje koeficijenata reda. Trenutno nećemo ulaiti u pitanje pod kojim je uvjetima takav postupak korektan, nego ćemo kasnije dati uvjete na f pod kojima formalno dobiveni red konvergira. Da bi dobili koeficijente a, integrirajmo red član po član i iskoristimo da je sinkxdx = coskxdx =. 7

9 Tada dobivamo sljedeće: fxdx = a dx = a a = fxdx. Kako bi dobili koeficijente a n, pomnožimo s cosnx te ponovno integriramo član po član i iskoristimo.,.5,.6 i.8. fx cosnxdx = a n cos nxdx = a n a n = fx cosnxdx. Ukoliko pomnožimo sa sinnx te ponovimo postupak kao gore, dobivamo koeficijente b n fx sinnxdx = b n sin nxdx = b n b n = fx sinnxdx. Red ove se Fourierov red funkcije f, dok se koeficijenti a = fxdx, a n = fx cosnxdx, b n = fx sinnxdx. ovu Fourierovi koeficijenti funkcije f. Uočimo, ako je funkcija f parna f x = fx, onda Fourierov red ne sadrži sinusne članove jer je b k =. Dakle, Fourierov red parne funkcije glasi a + a k coskx, a ako je funkcija f neparna f x = fx, onda Fourierov red ne sadrži kosinusne članove jer je a k = te glasi b k sinkx. Pokažimo da se funkcije mogu raviti u Fourierov red na bilo kojem simetričnom intervalu [, ], >. Neka je funkcija f, perioda, adana na intervalu [, ]. Definirajmo linearnu funkciju ϕ : [, ] [, ] a koju vrijedi ϕ =, ϕ =. Tada možemo iračunati 8

10 funkciju h : [, ] R definiranu s h = f ϕ. S obirom da je ϕ linearna funkcija koja glasi ϕx = ax + b, možemo iračunati njeine koeficijente. ϕ = a + b = ϕ = a + b = b =, a = Dakle, funkcija ϕx glasi ϕx = x. Sada funkciju hx možemo raviti u Fourierov red, ali prvo iračunajmo njeine Fourierove koeficijente. a = hxdx = fϕxdx ξ = ϕx = dξ = ϕ xdx = dx dx = dξ = = a k = Analogno dobijemo da je fξdξ hx coskxdx = = ξ = x x = ξ = = fξ cos b k = fξ cos kξ dξ. fξ sin fξ dξ fϕx coskxdx kξ dξ kξ dξ. Kako vrijedi hx = f ϕx = fϕx, a ξ = ϕx, te bog činjenice da funkciju hx možemo raviti u Fourierov red, dobivamo fξ = hx = a + a k cos kξ + b k sin Ukoliko promjenimo naiv varijable funkcije f u x imamo fx = a + a k cos kx + b k sin kξ. kx,. 9

11 s koeficijentima a = fxdx, a k = b k = fx cos fx sin kx dx, kx dx.. Neka je F periodičko proširenje funkcije f definirane na [a, b], s periodom proširenja T = b a. Definirajmo linearnu funkciju ϕ : [, ] [a, b] sa ϕx = cx + d, pri čemu vrijedi ϕ = a, ϕ = b. Iračunajmo njeine koeficijente ϕ = a c + d = a c = a d ϕ = b c + d = b d = a + b, c = b a ϕx = b a x + a + b Tada možemo iračunati funkciju g : [, ] R definiranu sa g = F ϕ. Sada analognim ivodom kao ranije dobivamo: F x = a + kx kx a k cos + b k sin,.3 b a b a a = b fxdx, b a a a k = b a b k = b a b a b a fx cos kx dx, b a kx fx sin dx. b a.4 Za svaku funkciju f a koju postoji fxdx možemo odrediti Fourierove koeficijente, pa ako red konvergira, dobivamo pridruživanje x Sx = a + a k coskx + b k sinkx. Medutim, općenito ne možemo ijednačiti fx sa Sx, te se nameće pitanje pod kojim uvjetima formalno dobiveni red predstavlja polanu funkciju. Time ćemo se baviti u idućem poglavlju.

12 Primjer Ravijte u Fourierov red funkciju fx = x na intervalu [, ]. Odredimo Fourierove koeficijente: a = a n = x dx = 4 3 x cosnxdx = x cosnxdx cosnxdx Prvi integral onačimo s I i riješimo ga pomoću parcijalne integracije gdje je u = x, dv = cosnx. Tada dobivamo sljedeće: I = x n sinnx x n sinnxdx = n x sinnxdx Ponovno primjenimo parcijalnu integraciju gdje je u = x, dv = sinnx, i dobivamo I = x n n cosnx + n = cosn + n n n sinnx = 4 cosn n = 4 n n, n. Drugi integral je jednak nuli, pa imamo a n = 4 n n, n. cosnxdx Kako je x sinnx neparna funkcija, onda je b n =, n. Stoga Fourierov red funkcije fx ima oblik ˆfx = n cosnx n

13 3 Konvergencija Fourierovih redova Jedan od osnovnih problema u teoriji Fourierovih redova je odredivanje uvjeta na funkciju f pod kojima red a + nx nx a n cos + b n sin, gdje su a n = b n = fx cos fx sin nx dx, n, nx dx, n, konvergira ka funkciji f. Činjenica da Fourierov red konvergira ne povlači da on konvergira ka funkciji f. Ralikujemo tri tipa konvergencije Fourierovog reda: konvergencija po točkama, uniformna konvergencija i konvergencija u smislu norme. Da bi Fourierov red konvergirao na odredeni način, funkcija f treba adovoljavati neke uvjete. Krenimo od konvergencije po točkama. 3. Konvergencija po točkama Najprije definirajmo neke pojmove koji će nam biti potrebni kasnije. Definicija 3 Za funkciju f : [a, b] R kažemo da je po dijelovima neprekidna na [a, b], ako je neprekidna svugdje osim u konačno mnogo točaka u kojima ima prekid prve vrste. Nadalje, a po dijelovima neprekidnu funkciju f : [a, b] R kažemo da je po dijelovima glatka na [a, b], ako ima derivaciju f definiranu i neprekidnu svuda osim u konačno mnogo točaka u kojima f ima konačan lijevi i desni limes u rubnim točkama segmenta [a, b] pretpostavljamo da ima konačne limese. Dakle, a po dijelovima glatku funkciju f : [a, b] R imamo konačno mnogo točaka a = x < x <... < x n = b u kojima f eventualno ima prekid dok f nije definirana, ali postoje: fx +, f x +, fx n+, f x n+ fx i +, fx i, f x i +, f x i a i n. 3. ema Ako je f : [a, b] R po dijelovima glatka, onda je b lim fx sinαxdx =. α a Doka. Rastavimo segment [a, b] na podsegmente [x i, x i+ ] kao gore. Sada su f i f neprekidne na svakom intervalu [x i, x i+ ], a bog 3. restrikcije od f i f na x i, x i+ možemo

14 proširiti na segment [x i, x i+ ], i =,,..., n jer su rubne točke uklonjivi prekidi. Kako je b a fx sinαxdx = n x i+ i= x i fx sinαxdx, dovoljno je pokaati da je lim α x i+ x i fx sinαxdx =, i n. Zbog neprekidnosti proširenja od f i f na [x i, x i+ ] možemo provesti parcijalnu integraciju u = fx, dv = sinαx te dobivamo x i+ x i fx sinαxdx = fx cosαx α x i+ x i + + α x i+ x i f x cosαxdx. I činjenice da su f i f omedene na [x i, x i+ ], postoje konstante M i M takve da vrijedi fx < M, f x < M, x [x i, x i+ ]. Sada dobivamo ocjenu integrala kao ograda a cosαx je x i+ i koje a α slijedi tvrdnja. x i fx sinαxdx M α + M x i+ x i, α Sada ćemo iskaati uvjete koji nam garantiraju konergenciju po točkama Fourierovog reda. Teorem Ako je f : [, ] R po dijelovima glatka funkcija, onda njen Fourierov red konvergira u svakoj točki x [, ], pri čemu a sumu reda vrijedi:. Sx = fx, ako je f neprekidna u točki x, ;. Sx = fx++fx, ako je x, točka prekida; 3. S = S = f++f Doka. Promatrajmo periodičko proširenje funkcije f, koje onačavamo takoder s f, i neka je S n x = a n + a k coskx + b k sinkx parcijalna suma Fourierova reda. Pokažimo da kada n 3

15 fx + fx+ S n x. 3. Zbog. imamo S n x = fξdξ + n fξ[coskξ coskx + sinkξ sinkx]dξ = [ ] n fξ + coskξ x dξ = x [ ] n fx + + cosk d. x 3.3 pri čemu smo koristili supstituciju = ξ x. Onačimo faktor u uglatoj agradi sa Pomnožimo li σ n s sin σ n = n + cosk., dobivamo σ n sin = sin + = sin + = sin n cosk sin [ n sin n + k + sin ] k Uvrštavanjem u 3.3 dobivamo σ n = n + cosk = sin n +. sin S n x = = x x sin n + fx + d sin sin fx + sin n + d 3.4 4

16 Kako je σ n = slijedi odnosno, bog parnosti integranda sinn + / d = sin sinn + d = sin sinn + sin d =, sinn + d = sin. 3.5 Pomnožimo prvu jednakost u 3.5 s fx, a drugu s fx+, atim ih brojimo i dobivamo {fx + fx+} = + fx sinn + d sin fx+ sinn + d. sin 3.6 Sada je S n x fx + fx+ = + {fx + fx } sinn + d sin {fx + fx+} sinn + d, sin 3.7 stoga je dovoljno dokaati da integrali na desnoj strani teže k nuli a n. Drugi integral onačimo s I n, te ga napišimo kao I n = δ + δ = I n + I n, < δ < i ocijenimo I n i I n. Neka je ε >. Pokažimo da a prikladno odabrani δ vrijedi I n < ε, n =,,... i I n < ε a dovoljno velike n. Kako je 5

17 a dovoljno malen δ > vrijedi fx + fx+ lim + = f x+, Nadalje, fx + fx+ < f x+ +,, δ lim sin pa a dovoljno malen δ > i, δ imamo =, < sin <. S obirom da je funkcija sinus ograničena s, a I n imamo sljedeću ocjenu: I n δ δ fx + fx+ sin sin n + d { f x+ + }d = δ { f x+ + }. Ukoliko odaberemo dovoljno malen δ > tako da osim gornje nejednakosti vrijedi i dobivamo δ { f x+ + } < ε, I n < ε, n =,,... Za tako odabrani δ ocijenimo i I n te ga najprije apišimo u obliku 6

18 I n = fx + fx+ sin sin n + d. δ Prvi faktor integranda je po dijelovima glatka funkcija na [δ, ], δ > jer je naivnik na tom segmentu raličit od nule. Prema emi. I n a n, pa dakle N ε takav da n > N ε povlači Time smo ocijenili I n, jer vrijedi I n < ε. I n I n + I n < ε + ε = ε. Kako a prvi integral od 3.7 vrijedi analogna ocjena, time smo dokaali 3., tj. s n fx + fx+ S n x. I dokaanog slijedi tvrdnja teorema. Prvo smo vidjeli da red konvergira u svakoj točki x [, ], a atim da u točkama u kojima je f neprekidna imamo fx = fx+ = fx, pa imamo S n x fx tj. Sx = fx, a to je ustvari tvrdnja. I iraa 3. vidimo da treba biti S = S, što je prema 3. jednako aritmetičkoj sredini desnog limesa f+ u lijevom rubu i lijevog limesa f u desnom rubu funkcije f. Time je doka teorema gotov. Primjer Nadite Fourierov red funkcije, 5 x <, fx = 3, x < 5 Period ove funkcije je očito. Prema tome imamo:. a = 3 a n =, a n b n = 5 5 nx 3 sin dx = 5 nx 5 cos 5 5x 5 = 3 cosn n = 3 n n, n Ako je n paran, tada je b n =. Ako je n neparan, tj. n = k+, tada je b k+ = 6, k k+. Prema tome, Fourierov red adane funkcije je ˆfx = k= k + sin 7 k + x. 5

19 3. Konvergencija u smislu -norme U slučajevima kada Fourierov red ne konvergira po točkama, on još uvijek može konvergirati u nešto slabijem smislu, kao što je konvergencija u smislu norme. Definicija 4 Za funkciju f : [, ] C kažemo da je kvadratno integrabilna ako je f xdx <. Kvadratno integrabilne funkcije tvore prostor koji onačavamo s [, ]. Istaknimo da nejednakost fx + fx povlači da je svaka kvadratno integrabilna funkcija ujedno i integrabilna. Nadalje, i nejednakosti fxgx fx + gx slijedi da je i produkt dviju kvadratno integrabilnih funkcija integrabilna funkcija. Takoder, i f ± g = f ± fg + g slijedi da, ako su f, g [, ], onda su im i broj i ralika u [, ]. Osim toga, a f [, ] je i kf [, ] a svaku konstantu k, stoga možemo aključiti da je [, ] vektorski prostor nad R ili C. Na tom vektorskom prostoru adan je skalarni produkt kao f, g = fxgx dx, a norma je f = f, f = fx dx. Neka je V = [, ], a V N potprostor raapet skupom vektora {, cosx, sinx,..., cosnx, sinnx}. Tada vektor u potprostoru V N ima oblik c + N c k coskx + d k sinkx, c k, d k C. Pretpostavimo da je f V i neka je N f N x = a + a k coskx + b k sinkx V N parcijalni Fourierov red, pri čemu su a k i b k Fourierovi koeficijenti. S obirom da su ti koeficijenti dobiveni ortogonalnom projekcijom funkcije f na potprostor raapet funkcijama coskx i sinkx, funkcija f N je ortogonalna projekcija funkcije f na potprostor V N. Osim toga, f N je funkcija u potprostoru V N koja je najbliža funkciji f u smislu, tj. f f N = min g V N f g Sada iskažimo teorem koji nam govori o konvergenciji u prostoru [, ] te koji takoder vrijedi i a kompleksne Fourierove redove. 8

20 Teorem Neka je f [, ], te neka je f N x = a + N a k coskx + b k sinkx, pri čemu su a k i b k Fourierovi koeficijenti funkcije f. Tada ni funkcija f N konvergira prema funkciji f u prostoru [, ]. Drugim riječima, Istaknimo još dvije važne nejednakosti. lim f N f =. N Teorem 3 Besselova nejednakost Neka je f : [, ] R kvadratno integrabilna funkcija. Ako Fourierovi koeficijenti a n i b n funkcije f postoje, onda vrijedi a + a n + b n f xdx. Doka. Neka je Tada je S N x = a + N a n cos fx S N x dx nx + b n sin nx. = f x I definicije Fourierovih koeficijenata dobivamo fxs N xdx = fx [ = a a + fxs N xdx + a + N a n cos N a n a n + b n b n a N = + a n + b n. S Nxdx. nx + b n sin nx ] dx

21 Koristeći relacije ortogalnosti dobivamo S Nxdx = = a S N x a = [ a + N S N xdx + + N a n cos [ N a n + b n. a n Supstitucijom u 3.8 dobivamo a nx + b n sin S N x cos a f xdx + N nx ] dx nx ] nx dx + b n S N x sin dx N + a n + b n a n + b n Kako nejednakost 3. vrijedi a svaki N, aključujemo da je a N + a n + b n 3. f xdx. 3. f xdx. Može se pokaati da a kvadratno integrabilne funkcije vrijedi Parsevalova jednakost a + a n + b n = fx dx. Napomena normu nekog signala obično interpretiramo kao njegovu energiju. U takvu fiikalnu interpretaciju, kvadrati Fourierovih koeficijenata nekog signala mjere energiju odgovarajućih harmonika sinusoidalni doprinos odredene frekvencije ukupnom periodičnom gibanju, odnosno frekvencijskih komponenti. Prema tome, fiikalna interpretacija Parsevalove jednakosti govori da je ukupna energija signala jednaka broju energija njegovih harmonika.

22 3.3 Uniformna konvergencija U mnogim primjena Fourierovog reda je poželjno da red uniformno konvergira. To se posebno može vidjeti kod rješavanja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi metodom separacije varijabli. Najprije se podsjetimo, kažemo da ni funkcija F n x konvergira uniformno prema funkciji F x ako ε > n N koji ne ovisi o x, takav da je F n x F x < ε x, n n. Dakle, Fourierov red funkcija f uniformno konvergira prema fx ako ni parcijalnih suma S n = a n + a k coskx + b k sinkx uniformno konvergira prema fx kada n. Prije nego iskažemo teorem o uniformnoj konvergenciji Fourierovog reda, iskaat ćemo jedan bitan reultat pod naivom Cauchy Schwar Buniakowsky nejednakost. Propoija Neka su i, w i kompleksni brojevi a i n. Tada je n i w i n i n w i. i= i= Sada iskažimo i dokažimo teorem o uniformnoj konvergenciji Fourierovog reda na intervalu [, ], R. Teorem 4 Neka je f neprekidna, po dijelovima glatka i periodična funkcija s temeljnim periodom. Tada Fourierov red konvergira uniformno ka f na [, ]. i= Doka. Neka je S n x = a N + a n cos nx nx + b n sin N-ta parcijalna suma Fourierovog reda funkcije f, i neka je N f n x = b n sin nx n a n cos nx, s koeficijentima A n = B n = B = f x sin f x cos f xdx =. nx dx, nx dx,

23 S obirom da je f neprekidna na [, ], po Teoremu vrijedi Stoga je fx S N x = lim S Nx = fx, N n=n+ x [, ]. nx nx a n cos + b n sin a nx nx n cos + b n sin a n + b n, x [, ]. n=n+ n=n+ 3. Ako pokažemo da su redovi a n i b n konvergentni, tada će uniformna konvergencija slijediti i relacije 3.. Parcijalnom integracijom koeficijente a n možemo prevesti na oblik a n = = = fx cos nx dx u = fx nx dv = cos nx n fx sin = n Analogno dobijemo da je Dakle, f x sin = n A n, n. b n = n f x cos nx dx f x nx n sin dx nx dx = n B n, n. a n = n A n i b n = n B n, n. 3.3 Sada pokažimo da redovi A n n i B n n konvergiraju. Prema C-S-B nejednakosti, a svaki N N, vrijedi N n A n N N A n n N A n jer je n =. Analogno dobijemo 6 N n B n N Bn

24 Derivacije funkcije f je po dijelovima neprekidna što povlači da je f kvadratno integrabilna na [, ] pa i Besselove nejednakosti slijedi A n + Bn f x < pri čemu smo ueli u obir da je B =. Odavde slijedi da su redovi A n i B n konvergentni pa i relacija 3.4 i 3.5 slijedi da je n A n A n 6 n B n Bn. 6 Sada relacija 3.3 povlači da redovi a n i b n konvergiraju jer je a n A n 6 b n Bn. 6 Konačno, i relacije 3. aključujemo da Fourierov red konvergira uniformno jer Time je tvrdnja dokaana. lim sup fx S N x N x lim N n=n+ a n + b n =. 3

25 4 Kompleksni oblik Fourierovog reda Promotrimo kompleksne funkcije realne varijable f : S R C, tj. funkcije oblika fx = ϕx + iψx 4. Funkcija f je kvadratno integrabilna na [a, b] ukoliko postoji b ffdx. Nadalje, kažemo da a su f i f ortogonalne obirom na [a, b] ukoliko je b f a xf xdx =, dok a sustav {f k } kažemo da je ortogonalan obirom na [a, b] ako vrijedi b a f j f k dx = { > a j = k a j k Koeficijenti Fourierova reda funkcije f po takvom ortogonalnom sustavu glase c k = b f k a fxf k xdx, k =,, pri čemu se norma definira kao f = b ffdx. dok je pripadni Fourierov red. Poslužimo se sustavom fx = a c k f k x 4.3 f k x = e ikx, k =, ±, ±, koji je ortogonalan na [, ]. Uvrštavanjem f k u 4. dobivamo Fourierove koeficijente a sustav 4.4 koji glase dok je c k = fxe ikx dx, k =, ±, ±, fx = k= c k e ikx 4.6 Fourierov red funkcije f. Koeficijent c trivijalno dobijemo da je jednak a. Sada nam još preostaje vidjeti kako igledaju c k a k =,,... te k =,,..., pri čemu ćemo koristiti Eulerove formule cos ϕ = eiϕ + e iϕ, sin ϕ = eiϕ e iϕ. i 4

26 Za poitivne k-ove imamo c k = a a negativne c k = fxe ikx dx = fxe ikx dx = fxcoskx i sinkxdx = a k ib k, fxcoskx + i sinkxdx = a k + ib k. Sada red možemo apisati kao k= c k e ikx c + c k e ikx + c k e ikx = a + = a + a k ib k e ikx + e ikx + e ikx a k a k + ib k e ikx + b k e ikx e ikx = a + a k coskx + b k sinkx. Primjer 3 Promotrimo pravokutni impuls visine h i širine ε. I tog impulsa igradimo periodičku funkciju f s frekvencijom v. Funkcija f ima period P = = P > ε. v Ω Fourierovi koeficijenti u kompleksnom obliku glase c k = P P P = h P k i fxe P dx = P ε ε he ikωx dx = h P ikω e ikωx ε P [coskωε i sinkωε coskωε i sinkωε] ik = h sinkωε, k = ±, ±,... k ε S obirom da je c = εh P = lim k h k sinkωε, onda možemo pisati fx = h k= sinkωε e ikωx. k 5

27 5 Fourierova transformacija Fourierova transformacija ima važnu ulogu u konstrukciji filtera kojeg možemo shvatiti kao crnu kutiju koja uima ulani signal, procesira ga i vraća ilani signal koji je promijenjen. Jedan primjer filtra je uredaj koji uklanja šum i signala. Naime, s matematičkog stajališta, signal je funkcija f : R C koja je po dijelovima neprekidna, a filter je transformacija koja signal f preslika u novi signal ˆf. Stoga pogledajmo što je točno Fourierova transformacija. Najprije definirajmo Fourierovu integralnu formulu i Fourierov integral. Do sada smo promatrali kako raviti periodičnu funkciju f definiranu na intervalu [, ] u Fourierov red. No, ukoliko pustimo da teži u beskonačno, tj. f : R R, onda Fourierov red prelai u Fourierov integral. Fourierova integralna formula ima oblik fx = dλ fξ cos λx ξdξ, 5. pri čemu se ira na desnoj strani ove Fourierov integral. Da bi se funkcija f : R R mogla prikaati formulom 5., funkcija f treba biti po dijelovima glatka na svakom konačnom segmentu i apsolutno integrabilna na R tj. vrijedi fx dx <. Kao što smo imali kompleksni oblik Fourierovog reda, tako imamo i kompleksni oblik Fourierovog integrala koji je dan s Zapišimo 5. kao fx = fx = dλ e iλx dλ fξe iλx ξ dξ. 5. fξe iλξ dξ, i onačimo s tada dobivamo ϕλ = fx = fξe iλξ dξ, 5.3 ϕλe iλx dλ. 5.4 Preslikavanje f ϕ definirano s 5.3 ove se Fourierova transformacija, a funkcija ϕ ove se spektralna funkcija, spektar ili Fourierov transformat od f. Prijela od ϕ na f definiran sa 5.4 ove se inverna Fourierova transformacija. Primjer 4 Odredimo Fourierovu transformaciju pravokutnog vala,, x, fx =, inače 6

28 Slika : Pravokutni val prikaanog na Slici. Očito je fξe iλx = fξcosλξ i sinλξ. S obirom da je f parna funkcija, a fξ sinλξ je neparna, pa je njein integral po skupu R jednak nuli. Zbog toga je Fourierova transformacija funkcije f jednaka ϕλ = fξ cosλξdξ = cosλξdξ = sinλ λ. Fourierova transformacija ϕλ mjeri amplitudu frekvencijske komponente od f koja titra s frekvencijom λ. U ovom primjeru, f je po dijelovima konstantna funkcija. Kako konstantna funkcija ima frekvenciju nula, očekujemo da ϕλ poprima najveće vrijednosti kada je parametar λ bliu nule, što i vidimo s grafa transformacije ϕλ prikaanom na Slici 3. Slika 3: Transformacija ϕλ 7

29 6 Primjena Fourierovih redova 6. Provodenje topline Joseph Fourier je u svojoj raspravi Theorie analytique de la chaleur Analitička teorija topline, idanoj 8. godine, objavio rad o provodenju topline. U središtu rasprave nalai se Newtonov akon hladenja: protok topline imedu susjednih molekula proporcionalan je ekstremno maloj ralici njihove temperature. U ovom poglavlju ćemo proučiti problem provodenja topline na štapu. Naravno, štap može imati ugraden ivor topline, ali mi ćemo vidjeti što se dogada na potpuno ioliranom štapu gdje nema nikakve ramjene topline s okolinom. Neka je štap predstavljen intervalom [, ] i neka je temperatura u točki x u vremenu t onačena s u = x, t. Pretpostavimo da je tok topline od toplijih područja prema hladnijim takav da je brina protoka proporcionalna gradijentu temperature te da ima suprotan smjer. Uvjet da toplina neće prijeći rubne točke je, matematičkim riječima, da je gradijent temperature jednak nuli na rubovima. Ukoliko temperaturu štapa u početnom trenutku onačimo s fx tada imamo sljedeći problem: u xx = u t, < x < ; 6. u x, t = u x, t =, t > ; 6. ux, = fx, < x <. 6.3 Prvo potražimo rješenje homogenog potproblema Koristit ćemo se metodom separiranih varijabli, pa pretpostavimo da je ux, t = XxT t, pri čemu funkcije X i T ovise samo o varijablama x i t redom, te uvrstimo u 6. : T t T t = X x Xx Ira na lijevoj strani ovisi samo o varijabli t, a ira na desnoj strani ovisi samo o varijabli x, pa možemo aključiti da su oba iraa jednaka nekoj konstanti λ, λ R. X x λxx =, T t λt t =, pri čemu treba vrijediti X = X = da bi se adovoljilo 6. be da je u =. To nas dovodi do sljedećeg rubnog problema a X: X x + λxx =, < x < ; X = X =. Imamo 3 slučaja: λ = Tada je Xx = Ax + B i X x = A. I uvjeta X = X = slijedi = X = A, = X = A A =. 6.4 I u, t = XT t = X = i toga slijedi da je B konstanta. Zaključujemo da λ = svojstvena vrijednost s vlastitom funkcijom f x = 8

30 λ > Tada je Xx = Ae λx + Be λx i X x = A λe λx B λe λx. Ukoliko primjenimo uvjete X = X = dobivamo = X = A λ B λ A = B = X = A λe λ B λe λ Uvrštavanjem A = B u drugu jednadžbu, dobivamo A = B = jer je λ >. Opet smo dobili trivijalno rješenje. 3 λ = k Ovaj slučaj će nam dati netrivijalno rješenje. Sada je Xx = A coskx+b sinkx i X x = Ak sinkx+bk coskx. Opet primjenimo uvjete X = X = i dobivamo X = Bk = B = X = Ak sink = sink = k = n n, λ n = kn = n =,,... Dakle, rješenja su dana u obliku nia X n x = A n cosk n x, n =,,... Rješenje a jednadžbu T t λt t = je T n t = C n e k n t. Sada možemo aključiti, pomoću principa superpoicije i konvergencije Fourierovog reda, da je rješenje a početni problem ni oblika gdje je u n x, t = a + X n xt n t = a + a n = A n C n = fx = ux, = a + fx cos nx a n e λnt cos nx dx nx a n e λnt cos. 6.5 Primjetimo da rješenje 6.5 ima svojstvo da, ukoliko t, svi osim prvog člana će težiti nuli. To je sukladno intuiciji da će se temperatura štapa stabiliirati nakon nekog vremena. 9

31 6. Valna jednadžba Valna jednadžba opisuje oscilacije žice, longitudinalne oscilacije štapa i torijske oscilacije štapa. Riješimo problem oscilacije žice. Zamislimo žicu, npr. violine ili gitare, rastegnutu imedu i na x-osi. Točka s koordinatom x u trenutku t ima položaj koji odstupa od ravnoteže a ux, t. Ukoliko je žica homogena, njene vibracije su male, i uimamo da atvaraju pravi kut s osi x, gravitaciju anemarimo, a masu, duljinu i vrijeme prikladno odaberemo tako da funkcija u adovoljava valnu jednadžbu u najjednostavnijem obliku u xx = u tt. I činjenice da je žica pričvršćena na krajevima slijedi u, t = u, t =. U početnom trenutku tj. kad je t = svaka točka na žici ima odreden položaj i odredenu brinu kretanja. Želimo pronaći ux, t, a t > i x,. To je predstavljeno početno-rubnim problemom: u xx = u tt, < x <, t > ; 6.6 u, t = u, t =, t > ; 6.7 ux, = fx, < x < ; 6.8 u t x, = gx, < x < ; 6.9 Sada, kao i kod provodenja topline, koristimo separaciju varijabli kako bi pronašli rješenje našeg problema. Dakle, pretpostavimo ux, t = XxT t i čega slijedi: X x + λxx =, 6. X = X = ; 6. T t + λt t =. 6. Znamo da jednadžba 6. ima netrivijalno rješenje a λ = n, n, odnosno a višekratnike od X n x = sinnx, a rješenje jednadžbe 6. a λ = n, n, je T n t = a n cosnt + b n sinnt. Zbog homogenosti dobivamo sljedeće rješenje potproblema : ux, t = X n xt n t = Ukoliko u 6.8 uvrstimo t = slijedi a n cosnt + b n sinnt sinnx. 6.3 fx = ux, = a n sinnx. Daljnjim diferenciranjem u odnosu na t i uvrštavanjem t = dolaimo do početnog uvjeta 6.9 te dobivamo da je gx = u t x, = nb n sinnx. Ako odaberemo a n tako da bude sinusni koeficijent funkcije f, te odaberemo b n takav da je nb n odgovarajući koeficijent funkcije g, onda ni 6.3 predstavlja traženo rješenje. Sumu 6.3 možemo apisati u obliku A n sinnt + α n sinnx koja u glabi ima načenje n-tog djelomičnog tona kojeg emitira oscilacija žice. Ukoliko je n = tada imamo ton nan kao osnovni ton. Pitagora je uočio sljedeće: ako je duljina žice prepolovljena i vibrira na isti način kao što bi vibrirala cijela, tada ton čujemo a oktavu više. 3

32 iteratura [] M.Braun: Differential Equations and Their Applications, Springer [] I. Ivanšić: Fourierovi redovi, Diferencijalne jednadžbe, Odjel a matematiku, Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku, Osijek. [3] Saša Krešić-Jurić: Parcijalne diferencijalne jednadžbe, Skripta, Odjel a matematiku, Prirodoslovno-matematički fakultet, Split 4. [4] A.Vretblad: Fourier Analysis and Its Applications, Springer, New York 6. [5] 3