Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36

Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni erijuhud)................................ 8.2.2 Kombinatoorika elemendid....................... 9.2.3 Tõenäosuse omadused......................... 0.2.4 Tinglikud tõenäosused..........................3 Sõltumatud sündmused ja katsed....................... 3.3. Sõltumatud sündmused........................ 3.3.2 Liitkatsed, nende sõltumatus...................... 4.3.3 Bernoulli valem............................. 6 2 Diskreetsed juhuslikud suurused 7 2. Diskreetse juhusliku suuruse mõiste ja jaotus................ 7 2.2 Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus................... 8 2.3 Tuntumad diskreetsed jaotused........................ 20 2.3. Bernoulli ehk kahepunktiline jaotus.................. 20 2.3.2 Geomeetriline jaotus.......................... 20 2.3.3 Binoomjaotus.............................. 2 2.3.4 Poissoni jaotus............................. 22 3 Üldised juhuslikud suurused 24 3. Jaotusfunktsioonid............................... 24 3.2 Näiteid pidevatest jaotustest.......................... 26 3.2. Ühtlane jaotus............................. 26 3.2.2 Eksponentjaotus............................ 27 3.2.3 Normaaljaotus............................. 28 3.3 Mitmemõõtmelised juhuslikud suurused................... 30 3.3. Mitmemõõtmelised pidevad jaotused................. 34 3.3.2 Kahemõõtmeline normaaljaotus.................... 35 3.3.3 Sõltumatute pidevate juhuslike suuruste summa jaotus....... 35 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36

4. Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)............... 36 4.2 Tsentraalne piirteoreem............................ 38 4.3 Monte-Carlo meetod keskväärtuste ja integraalide arvutamiseks...... 39 2

Sissejuhatus Juhuslikkus on inimeste igapäevaelu lahutamatu osa juhuslikud kohtumised, öeldud sõnad, ilmataadi vembud jms on paljude inimeste elus mänginud väga olulist rolli. Kuigi inimese poolt kontrollimatuid sündmuseid ja situatsioone tuleb paratamatult ette, on juhuslikkusel tihti üsna selge struktuur ning seda arvestades on võimalik oma riske vähendada või eduvõimalusi suurendada. Kõige ilmekamalt tuleb juhuslikkuse struktuuri ehk erinevate sündmuste tõenäosuste teadmise kasulikkus ilmsiks kõikvõimalikes õnnemängudes, seetõttu ei ole üllatav, et tõenäosusteooria arengu algus on seotud just mitmesuguste täringu- ja kaardimängudest tulenevate probleemidega. Kuigi õnnemängudede ajalugu on arvatavasti peaaegu sama pikk, kui kogu inimkonna ajalugu, hakati tõenäosuste arvutamistega tõsisemalt tegelema alles kuueteistkümnendal sajandil. Esimene teadaolev tõenäosuste süstemaatilise arvutamisega tegelev raamat on Gerolamo Cardano (50-576) Liber de Ludo Aleae ("Raamat õnnemängudest"), mis avaldati alles pärast tema surma (aastal 663). Tõenäosusteooria kui matemaatilise distsipliini arengu alguseks võib aga lugeda prantsuse aadliku ja mänguri Chevalier de Méré poolt püstitatud ülesannete lahendamisest Blaise Pascali ja Pierre de Fermat poolt aastal 654. Esimene nendest oli täringumänguga seotud probleem. Nimelt oli de Méré märganud, et nelja täringuviskega on vähemalt ühe kuue saamise tõenäosus suurem kui 2. Tehes aga panuseid sellele, et täringupaari viskamisel 24 korda tuleb vähemalt üks kord kuute paar, hakkas talle aga tunduma, et võidu tõenäosus on väiksem kui 2. Seetõttu tahtis ta teada, mitu viset on vaja selleks, et vähemalt ühe kuuepaari tulemise tõenäosus oleks vähemalt. Pascal näitas, et selleks läheb vaja 25 viset. 2 Teine ülesanne oli keerulisem. Tegemist oli küsimusega, kuidas ausalt jagada raha juhul, kui panused olid tehtud mängude seeria võitmise peale ning mingil põhjusel ei olnud võimalik seeriat lõpetada. Näitena võib mõelda situatsioonile, kus mängijad on panustanud kumbki 32 krooni ning kogu summa saab see, kelle valitud mündipool jääb esimesena kolmandat korda pealmiseks. Lahendamist nõudvaks probleemiks on see, et kuidas jagada panustatud summa, kui mäng jääb pooleli näiteks situatsioonis, kus on sooritatud kolm viset, millest kahe tulemuseks oli "vapp"ja ühe tulemuseks "kiri". Sellele küsimusele oli pakutud mitmeid võimalikke vastuseid, kuid korrektse vastuse leidsid Pascal ja Fermat omavahelise diskussiooni käigus, kusjuures kumbki lahendas selle küsimuse täiesti erinevat arutelu kasutades. Järgnevalt arendasid tõenäosusteooriat mitmed kuulsad matemaatikud (Huygens, Bernoulli, Moivre, Laplace, Tšebõšov, von Mises, Markov), kuid kulus veel palju aega, kuni leiti võimalus tõenäosuse rakenduste jaoks piisavalt üldiseks defineerimiseks. Matemaatiliselt korrektse käsitluse järele oli aga suur vajadus, kuna ilma selleta oli võimatu leida rahuldavat seletust mitmetele tõenäosusteooria paradoksidele. Üheks paradoksi näiteks on järgmine nn Bertrandi paradoks. Vaatleme võrdkülgset kolmnurka koos ümberringjoonega. Ülesandeks on leida tõenäosus, 3

et selle ringjoone juhuslikult valitud kõõlu pikkus on suurem kui kolmnurga küljepikkus. Paradoks seisneb selles, et kõõlu juhuslikuks valikuks on mitmeid võimalusi, mis annavad erinevad tulemused. Näiteks: Kõõl on määratud oma otspunktidega. Kui valime kõõlu, valides juhuslikult tema otspunktid, siis saame otsitavaks tõenäosuseks 3. Kõõl on määratud oma keskpunktiga. Kui valime juhuslikult tema keskpunkti ringi sees, siis saame otsitavaks tõenäosuseks 4. Kõõl on määratud temaga risti oleva raadiuse punktiga. Kui valime juhuslikult raadiuse ning sellel juhuslikult ühe punkti, siis saame otsitavaks tõenäosuseks 2. Milline on õige vastus? Tuleb välja, et ühte õiget vastust polegi, kuna ülesandepüstitus on puudulik. Üsna palju segadust on tekitanud ka järgmine situatsioon. Oletame, et olete osalenud mingis telemängus ning võitnud auhinna. Auhinna saamiseks peate valima kahe ümbriku vahel, mille kohta on teada, et mõlemas on rahasumma, kusjuures ühes ümbrikutest on täpselt kaks korda suurem summa kui teises. Oletame, et olete valite ümbriku, avate selle ja näete, et seal on 000 krooni. Pärast avamist pakutakse teile võimalust vahetada oma ümbrik (koos rahaga!) teise vastu. Tundub, et seda on kasulik teha: kui teie ümbrik oli suurema summaga, siis vahetades kaotate 500 krooni; kui aga käesolev ümbrik sisaldas väiksemat summat, siis võidate 000 krooni. Ning mõlemad võimalused tunduvad olevat võrdtõenäosed, seetõttu peaks vahetamisega keskmiselt võitma. Kui aga eelnev arutelu on õige, siis on alati kasulik vahetada, st alati peaks olema kasulik võtta hoopis teine ümbrik! Aga miks siis mitte kohe teine ümbrik võtta? Kaasaegse tõenäosusteooria käsitluse rajajaks võib pidada Kolmogorovit, kes 933. aastal lõi tõenäosuse aksiomaatilise käsitluse. 4

Peatükk Sündmused ja tõenäosused. Sündmused Definitsioon Juhuslik katse on igasugune tegevus, mille tulemus ei ole antud tingimustes üheselt määratud. Juhuslikul katsel on rohkem kui üks võimalik tulemus, kusjuures me eeldame, et katsetulemused on üksteist välistavad võimalikest tulemustest realiseerub ainult üks. Definitsioon 2 Juhusliku katse võimalikke tulemusi nimetatakse elementaarsündmusteks, mida tähistame kujul ω, ω, ω 2,.... Antud katse kõigi elementaarsündmuste hulka nimetatakse elementaarsündmuste ruumiks, mida tähistatakse sümboliga Ω. Elementaarsündmused sõltuvad sellest, mida katse tulemusena kirja pannakse. Seega võib sama reaalse katse (näiteks täringuvise) korral vaadelda erinevaid elementaarsündmuste ruume. Toome mõned näited juhusliku katse kohta. Näide 3 Mündivise, kus tavaliselt vaadeldakse olukorda Ω = {vapp, kiri}. Sõltuvalt katse sooritamise viisist, eesmärgist ja kasutatavast mündist võib mõnikord olla vajalik ka vaadelda olukorda, kus võimalikeks elementaarsündmusteks on Ω = {vapp, kiri, serva peal} või Ω = {lapiti, serva peal}. Viimasel juhul huvitab meid ainult see, kas münt jääb serva peale seisma või mitte. Näide 4 Täringuvise. Tavaliselt Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}, kuid kui täringut kasutatakse näiteks mündi asendajana, siis võib võtta ka Ω = {paaris, paaritu}. Näide 5 Mündivise esimese vapi tulekuni. Sel juhul on elementaarsündmusi loenduv hulk ning Ω = {v, kv, kkv, kkkv,...}, kus v = vapp ja k = kiri. Näide 6 Juhuslikult valitud inimese pikkus meetrites. Sel juhul võib võtta näiteks Ω = [0, 3] ning elemetaarsündmuste ruum on kontiinumi võimsusega. Näide 7 Aktsiahinna käitumine järgneva kuu jooksul. Sel juhul on elementaarsündmuseks aktsiahinna võimalik trajektoor. Sageli ei huvita meid mitte katsetulemus otseselt, vaid ainult mingi väite kehtimine katsetulemuse kohta (näiteks see, et aktsiahind oleks kuu aja pärast tõusnud vähemalt 0%). Lihtsustatult võibki öelda, et sündmus on teatud väite kehtimine katsetulemuse korral. 5

Kuna igale väitele vastab elementaarsündmuste ruumi Ω selline alamhulk, kuhu kuuluvate elementaarsündmuste ω korral see väide kehtib, siis võib sündmusi samastada ka hulga Ω alamhulkadega. Kuna aga mitteloenduvate elementaarsündmuste ruumide korral ei pruugi olla võimalik kõigi Ω alamhulkade korral isegi katsetulemuse sinna kuulumist kindlaks teha, siis ei ole sageli mõistlik (ning tõenäosuse arvutamise seisukohalt võimalik) nimetada sündmusteks ruumi Ω kõiki alamhulki. Osutub, et sobiv alamhulkade komplekt peab rahuldama mitmeid loomulikke omadusi. Definitsioon 8 Elementaarsündmuste ruumi Ω alamhulkade süsteemi F nimetatakse σ- algebraks (loe: sigma-algebra), kui ta rahuldab järgmisi nõudeid: ) F sisaldab tühihulka ja koguhulka, st, Ω F; 2) kui A i F, i =, 2,..., siis ka A i F (süsteem F on kinnine loenduva ühendi võtmise suhtes); i= 3) kui A F, siis Ā = Ω \ A F (süsteem F on kinnine täiendi võtmise suhtes). Definitsioon 9 Sündmusteks nimetatakse σ-algebra F elemente. Lemma 0 Olgu A ja B mingi σ-algebra elemendid. Siis ka hulgad A B, A B ja A\B kuuluvad sinna σ-algebrasse. Tõestus. Harjutus lugejale. Definitsioon Öeldakse, et sündmus A toimub antud katses, kui katse tulemus ω sisaldub hulgas A, st ω A. Sündmust nimetatakse võimatuks sündmuseks ning sündmust Ω F nimetatakse kindlaks sündmuseks. Definitsioon 2 Tehted sündmustega: Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust A B, mis tähendab sündmuse A, sündmuse B või mõlema toimumist. Sündmuste A ja B korrutiseks nimetatakse sündmust A B, mis tähendab nii sündmuse A kui ka B toimumist. Sündmuste A ja B vaheks nimetatakse sündmust A \ B, mis tähendab sündmuse A toimumist, kuid B mittetoimumist. Sündmuse A vastandsündmuseks Ā nimetatakse sündmuse A mittetoimumist, Ā = Ω \ A. Definitsioon 3 Kui A B =, siis sündmusi A ja B nimetatakse teineteist välistavateks. Mõnikord on kasulik sündmuste σ-algebrast mõelda ka kui komplektist sellistest Ω alamhulkadest, millesse kuulumist suudab vaatleja temale antava (sageli osalise) informatsiooni põhjal kindlaks teha. Mida rohkem informatsiooni vaatleja katsetulemuse kohta saab, seda rohkem hulki sisaldab ka vastav σ-algebra. Näide 4 Kui me vaatleme mündiviset situatsioonis, kus münt servale ei saa jääda (st Ω = {v, k}, siis on võimalik defineerida kaks erinevat sündmuste σ-algebrat: F = {, Ω} 6

ja F = {, Ω, {v}, {k}}. Esimene neist on nn triviaalne (ehk ebahuvitav) σ-algebra, mis vastab sellele, et vaatlejale edastatakse ainult teade, et katse toimus. Teine σ-algebra vastab juhule, kus vaatlejale teatatakse mündiviske tulemus (st täielik info katsetulemuse kohta) ning seetõttu on võimalik teha kindlaks katsetulemuse suvalisse Ω alamhulka kuulumine, st F 2 on ruumi Ω kõigi alamhulkade hulk (F 2 = 2 Ω ). Näide 5 Täringuviske korral Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}. Kui vaatleja saab teada viske tulemuse, siis F = 2 Ω = {, {}, {2},..., {6}, {, 2}, {, 3},..., {5, 6},..., Ω}, seega F = 2 Ω = 2 6 = 64. Näide 6 Kui punkti juhuslikul valimisel lõigust [0, ] meile öeldakse, kas tulemus oli väiksem, võrdne või suurem kui 2, siis vastav σ-algebra on F = {, [0, 2 ), { 2 }, ( 2, ], [0, 2 ], [ 2, ], [0, 2 ) (, ], [0, ]}. 2 Näide 7 Tihti pakub huvi väikseim σ-algebra, mis sisaldab mingit fikseeritud sündmuste komplekti. Sel juhul öeldakse, et vastav σ-algebra on indutseeritud vaadeldava sündmuste komplekti poolt. Olgu Ω = [0, ] ning A = [0, 3 4 ), B = [ 2, ]. Siis sündmuste A ja B poolt indutseeritud σ-algebraks on F = {, [0, 2 ), [ 2, 3 4 ), [3 4, ], A, B, [0, 2 ) [3, ], Ω}. 4 Punkti juhuslikul valimisel lõigust [0, ] on loomulik lugeda sündmusteks valitud punkti sattumist osalõikudesse [a, b] (kus a b). Seega pakub suurt huvi ka vähim σ-algebra, mis sisaldab kõiki osalõike. Definitsioon 8 Lõigu [0, ] Boreli σ-algebraks nimetatakse vähimat σ-algebrat, mis sisaldab lõikusid [a, b], kus 0 a b ning tähistastatakse kujul B[0, ]. Hulga B[0, ] elemente nimetatakse Boreli hulkadeks. Näiteid Boreli hulkadest: Ühepunktised hulgad {a} B[0, ] (kus a [0, ]), sest {a} = [a, a]. Kõik lõigu [0, ] lõplikud ja loenduvad osahulgad, sh kõigi ratsionaalarvude hulk Q [0, ]. Iga poollahtine interval (a, b] [0, ], kuna Iga lahtine interval (a, b) [0, ]. (a, b] = [a, b] \ {a} = [a, b] ([0, ] \ {a}). Cantori hulk, mis on saadud nii, et lõigust [0, ] eemaldatakse keskmine kolmandik ( 3, 2 3 ), seejärel allesjäänud osadest eemaldatakse keskmised kolmandikud jne. Kokkuvõttes võib öelda, et Boreli hulkade süsteem on väga rikkalik. Saab näidata, et kõikide Boreli hulkade süsteem on kontiinumi võimsusega. Kuna hulga [0, ] kõikide alamhulkade võimsus on kontiinumist suurema võimsusega, siis leidub tohutult palju selliseid alamhulki, mis ei ole Boreli hulgad. Analoogiliselt võime defineerida Boreli σ-algebra reaalteljel IR. 7

Definitsioon 9 Reaaltelje IR Boreli σ-algebraks nimetatakse vähimat σ-algebrat, mis sisaldab kõiki lõikusid [a, b], kus < a b <. Definitsioon 20 Paari (Ω, F) nimetatakse sündmuste ruumiks (mõõtuvaks ruumiks)..2 Tõenäosus Aastal 933 võttis vene matematik Andrei Kolmogorov 300 aastat kestnud tõenäosusteooria arengud kokku järmise aksiomaatilise definitsiooniga. Definitsioon 2 Tõenäosuseks (ehk tõenäosusmõõduks) sündmuste ruumil (Ω, F) nimetatakse funktsiooni, mis igale sündmusele A F seab vastavusse lõpliku arvu P (A) ning rahuldab nõudeid P. P (A) 0 A F (mittenegatiivsus); P2. P (Ω) = (normeeritus); ( ) P3. kui A i F (i =, 2,...) ja A i A j =, i j, siis P A i = P (A i ) i= i= (σ-additiivsus). Definitsioon 22 Kolmikut Ω, F, P nimetatakse tõenäosusruumiks..2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni erijuhud) Tõenäosusteooria rakendamiseks peab olema eelnevalt defineeritud sobiv tõenäosusruum, st sündmuste σ-algebra ning tõenäosusmõõt; praktilise situatsiooni jaoks sobiva mõõdu valimine ei ole tõenäosusteooria ülesanne ning võib osutuda küllalt keeruliseks probleemiks. Teatud juhtudel on aga olemas mingi "loomulik"tõenäosusmõõt. Tuntuimad juhud on järgmised.. Klassikaline tõenäosus. Oletame, et Ω koosneb n võrdvõimalikust elementaarsündmusest ning olgu F mingi Ω alamhulkade σ-algebra (tavaliselt võetakse F = 2 Ω ). Siis suvalise sündmuse A F tõenäosust arvutatakse valemiga P (A) = n A n, kus n A = A (sündmusele A vastava hulga elementide arv). 2. Geomeetriline tõenäosus. Punkti valimisel lõigust tuleb sageli ette olukord, kus valitava punkti sattumine lõigu [a, b] mingisse osalõiku on proportsionaalne selle osalõigu pikkusega. Sel juhul on loomulik võtta F = B[a, b] ning arvutada hulga A F tõenäosust valemiga P (A) = l A b a, kus hulga a "pikkuse"l A definitsiooniks on l A = inf A i [a i,b i ] (b i a i ). Mitmemõõtmelisel juhul tuleb geomeetrilise tõenäosuse arvutamisel kasutada pikkuse asemel pindala (kahemõõtmeliste piirkondade korral) või ruumala. i 8

3. Statistiline tõenäosus. Sageli ei ole võimalik kasutada ei klassikalist, ega ka geomeetrilist tõenäosust. Sel juhul on küllalt levinud tõenäosuste arvutamise viisiks juhusliku katse kordamine, mille tulemusena saadakse sündmuse A nn statistiline tõenäosus P (A) = N A N, kus N A on vaadeldava sündmuse esinemiskordade arv ning N on katsete arv. Selge on see, et statistiline tõenäosus sõltub samuti juhusest ning ei pruugi alati olla väga lähedane tegelikule tõenäosusele. Siit tuleneb oluline ja huvitav küsimus, et kui suur peaks olema katsete arv N, et me võiksime olla piisavalt kindlad selles, et statistiline tõenäosus oleks hea hinnang tegelikule tõenäosusele..2.2 Kombinatoorika elemendid Sageli ei ole mingile sündmusele vastavate elementaarsündmuste arvu leidmine väga lihtne, sarnaste ülesannete lahendamise vajadus on andnud põhjuse terve matemaatikaharu kombinatoorika tekkele. Käesolevas kursuses läheb meil vaja ainult mõningaid elementaarteadmisi kombinatoorikast. Kombinatoorika põhireegel.kui me moodustame k-elemendilist järjestatud kogumit, kusjuures esimesele kohale on võimalik valida n elemendi vahel, pärast esimese elemendi valimist on teisele kohale alati võimalik valida n 2 elemendi vahel,... ja pärast eelviimase elemendi valimist on meil viimasele kohale alati võimalik valida n k elemendi vahel, siis on kokku võimalik saada n n 2 n k erinevat järjestatud kogumit. Selle reegli abil on võimalik tuletada mitmeid tuntud valemeid: k-elemendiliste järjestatud komplektide moodustamisel n erinevast elemendist nii, et kordused on lubatud, on võimalik saada n k erinevat komplekti. Näiteks kolm korda täringut visates on erinevaid tulemuste kolmikuid (kus ka järjekord on fikseeritud) 6 3. n elemendi kõikvõimalikke järjestusi ehk permutatsioone on n!, kuna esimesele kohale saame paigutada suvalise nendest n elemendist, teisele kohale tuleb paigutada üks ülejäänud (n )-st elemendist jne. Näiteks 5 õpilast võivad reastuda 5! = 20 erineval moel. Variatsioonideks n elemendist k kaupa nimetatakse k elemendiliste järjestatud (kordusi mittesisalduvate) komplektide moodustamist n erinevast elemendist. Kombinatoorika põhireegli kohaselt on nende arvuks V k n = n (n ) (n k + ) = n! (n k)!. Näiteks kuue võistkonnaga turniiri korral on esemese kolme koha jagunemiseks V 3 6 = 20 erinevat võimalust (eeldusel, et kohta jagama ei saa jääda). Kuna n-elemendilise hulga k-elemendilisele alamhulgale vastab k! erinevat k-elemendilist järjestatud ilma kordusteta komplekti, siis neid hulki ehk kombinatsioone n elemendist k kaupa on kokku C k n = ( ) n = V n k k k! = n! k! (n k)!. Näiteks 52 mängukaardi abil saab moodustada C 3 52 = 52! 3! 39! erinevat 3-kaardilist bridžikätt. 9

.2.3 Tõenäosuse omadused Lemma 23 Olgu (Ω, F, P ) mingi tõenäosusruum. Siis kehtivad järgnevad omadused:. P ( ) = 0; 2. kui A i F, i =, 2,..., n on vastastikku välistavad, st A i A j =, i j, siis kehtib võrdus n n P ( A i ) = P (A i ); 3. P (Ā) = P (A); 4. kui A, B F, A B, siis P (A) P (B) (monotoonsus). i= 5. P (A \ B) = P (A) P (A B) A, B F; 6. P (A) A F; 7. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) A, B F; n n P ( A i ) = P (A i ) P (A i A j ) + i= i= i<j n i= i<j<k n ( ) n P (A A 2... A n ), A i F, i =, 2,..., n; 8. P (A B) P (A) + P (B) A, B F; P ( A i ) P (A i ), A i F, i IN; i= i= 9. Tõenäosuse pidevus: P (A i A j A k )... + A i F, i IN, A A 2 A 3... lim n P (A n ) = P ( i= A i); A i F, i IN, A A 2 A 3... lim n P (A n ) = P ( i= A i); Tõestus. Harjutus lugejale. 0

Näide 24 Leiame tõenäosuse, et kahe hästi segatud kaardipaki kaartide laotamisel lauale üksteise alla satub vähemalt üks kaart kohakuti (st näiteks ruutu seitse ülemisest pakist ja ruutu seitse alumisest pakist satuvad kohakuti). Selleks olgu A i sündmus, et i-ndas positsioonis olevad kaardid on kohakuti, siis sündmus vähemalt ühe kaardi kohakuti sattumise sündmus A on esitatav kujul A = seega tõenäosuse 7.-nda omaduse kohaselt Kuna P (A) = 52 i= P (A i ) i<j 52 i= A i, P (A i A j ) +... P (A A 2... A 52 ). P (A i ) = 5! 52!, P (A ia j ) = 50! 52!,..., P (A A 2... A 52 ) = 0! 52! ning arvestades, et erinevaid k sündmuse korrutisi on C k 52, saame P (A) = 52 k= ( ) k+ 52! k!(52 k)! (52 k)! 52! = 52 k= ( ) k+. k! Pannes tähele, et e x = xk k= ( )k+ k!, võime öelda, et P (A) e 0, 632..2.4 Tinglikud tõenäosused Definitsioon 25 Olgu antud sündmus B, mille tõenäosus ei ole null (P (B) > 0). Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel, et B on toimunud, nimetatakse suhet P (AB) P (B) ning seda tähistatakse kujul P (A B). Osutub, et kui me igale sündmusele A seame vastavusse tema tingliku tõenäosuse P (A B), siis me saame uue tõenäosusmõõdu. Lemma 26 Olgu (Ω, F, P ) mingi tõenäosusruum ning B F selline, et P (B) > 0. Defineerime kujutuse Q : F IR valemiga Q(A) = P (A B) A F. Siis Q on tõenäosusmõõt sündmuste ruumil (Ω, F). Tõestus. Harjutus lugejale. Otse tingliku tõenäosuse definitsioonist järelduvad järgnevad reeglid sündmuste korrutiste tõenäosuste arvutamiseks. Lemma 27 (Tõenäosuste korrutamise reegel) Kehtivad valemid P (AB) = P (B)P (A B) = P (A)P (B A) ja P (A A 2... A n ) = P (A )P (A 2 A )... P (A n A A 2... A n ).

Näide 28 Kaardipakist valitakse kolm kaarti. Leiame tõenäosuse, et need on võtmise järjekorras risti emand, poti kümme ning viimasena mingi punase masti kaart. Selleks tähistame sündmused A = esimesena võetakse risti emand, B = teisena võetakse poti kümme ning C = kolmandana võetakse punane kaart. Siis P (ABC) = P (A)P (B A)P (C AB) = 52 5 26 50 = 500. Mõnikord on loomulik sündmuste ruum Ω jagada üksteist paarikaupa välistavateks osadeks B, B 2,..., B n, st sellisteks osadeks B i, i =,..., n, et kehtivad omadused n P (B i ) 0, i =, 2,..., n; B i B j =, i j; B i = Ω. (.) Selliste sündmuste komplekti B i, i =,..., n nimetatakse sündmuste täissüsteemiks. Sel juhul on võimalik kasutada tinglike tõenäosuseid suvalise sündmuse A tõenäosuse arvutamisel. Lemma 29 (Täistõenäosuse valem). Rahuldagu sündmused B i F, i =,..., n tingimusi (.). Siis iga sündmuse A F korral kehtib võrdus Tõestus. Harjutus lugejale. P (A) = n P (B i )P (A B i ). i= Märkus. Täsitõenäosuse valemi kehtimiseks ei pea sündmused B i tingimata moodustama täissüsteemi, vaid piisab sellest, et sündmused A B i oleks vastastikku välistavad ning et A n i= B i. Näide 30 Oletame, et meil on rahakotis kolm münti, millest kaks on ausad, kuid kolmandal on kirja tulemise tõenäosus 0, 6. Leiame kirja tulemise tõenäosuse juhuslikult valitud mündi viskamisel. Selleks olgu A sündmus, et tuleb kiri; B sündmus, et valiti aus münt ning B 2 sündmus, et valiti ebaaus münt. Täistõenäosuse valemi kohaselt siis P (A) = P (B )P (A B ) + P (B 2 )P (A B 2 ) = 2 3 2 + 3 i= 3 5 = 8 5. Eelneva näite korral võib huvi pakkuda ka küsimus, et mida me saame öelda ebaausa mündi valimise tõenäosuse kohta mündiviske tulemuse põhjal. Selle jaoks sobib nn. Bayesi valem. Lemma 3 (Bayesi valem) Olgu B i, i =,..., n tingimusi (.) rahuldav sündmuste täissüsteem. Siis kehtib valem P (B j A) = Tõestus. Definitsiooni põhjal saame P (B j )P (A B j ) n i= P (B, j {, 2,..., n}, A F. i)p (A B i ) P (B j A) = P (AB j) P (A). Kasutades tõenäosuste korrutamise reeglit ning täistõenäosuse valemit, saame n P (AB j ) = P (B j )P (A B j ), P (A) = P (B i )P (A B i ), i= 2

seega kehtib lemmas toodud võrdus. Märkus. Sageli on kasulik ka Bayesi valemi lihtsustatud (ilma sündmuste täissüsteemita) versioon P (B)P (A B) P (B A) =. P (A) Näide 32 Arvutame näites 30 toodud tingimustel tõenäosuse, et visati ebaausat münti tingimusel, et viske tulemusena saadi kiri. Bayesi valemi kohsaselt P (B 2 )P (A B 2 ) P (B 2 A) = P (B )P (A B ) + P (B 2 )P (A B 2 ) = 3 0, 6 8 = 3 8. 5 Siin kasutasime teadmist, et nimetajas olev summa on tegelikult sündmuse A tõenäosus, mis on näites 30 juba arvutatud..3 Sõltumatud sündmused ja katsed Väga sageli on intuitiivselt selge, et ühe sündmuse toimumine või mittetoimumine ei mõjuta kuidagi teise sündmuse toimumist või mittetoimumist; samuti on erinevate katsete korral mõnikord selge, et ühe katse tulemus on täiesti sõltumatu teise katse tulemusest. Tõenäosusteooriaga tegelemisel on aga vaja sõltumatuse mõiste matemaatilist definitsiooni..3. Sõltumatud sündmused Definitsioon 33 Sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuteks, kui P (AB) = P (A)P (B). Sündmuste komplekti A i, i =, 2,..., n nimetatakse täielikult sõltumatuteks, kui iga arvu k {2, 3,..., n} ja iga võrratusi i < i 2 <... < i k n rahuldava indeksite komplekti korral kehtib võrdus P (A i A i2... A ik ) = P (A i )P (A i2 )... P (A ik ). Järeldus 34 Kolm sündmust A, B ja C on täielikult sõltumatud, kui kehtivad võrdused P (AB) = P (A)P (B), P (AC) = P (A)P (C), P (BC) = P (B)P (C), P (ABC) = P (A)P (B)P (C). Näide 35 Visatakse kolm korda ausat münti. Olgu sündmused A, B ja C defineeritud järgnevalt: A= esimesel ja teisel viskel tuleb kokku täpselt üks kull ; B= esimesel ja kolmandal viskel tuleb kokku täpselt üks kull ; C= teisel ja kolmandal viskel tuleb kokku täpselt üks kull ; Sel juhul A = {Kkk, KkK, kkk, kkk}, B = {KKk, Kkk, kkk, kkk}, C = {KKk, kkk, KkK, kkk}, seega P (A) = P (B) = P (C) = 2 ning P (AB) = A B Ω = {Kkk, kkk} 8 = 4 P (AC) = = P (A)P (C), 4 = P (A)P (B), P (BC) = 4 = P (B)P (C), 3

mistõttu sündmuste paarid A ja B, A ja C ning B ja C on kõik sõltumatud. Kuna aga A B C = (st ABC on võimatu sündmus), siis P (ABC) = 0 P (A)P (B)P (C) ning järelikult sündmused A, B ja C ei ole täielikult sõltumatud. Lemma 36 Sündmused A ja B (kus P (B) > 0) on sõltumatud parajasti siis, kui kehtib võrdus P (A B) = P (A) (või P (A)>0 ja P (B A) = P (B)). Tõestus. Olgu A ja B sõltumatud, siis P (A B) = P (AB) P (B) P (A)P (B) = = P (A). P (B) Vastupidi, kehtigu P (A B) = P (A). Kuna tõenäosuste korrutamise reegli kohaselt siis P (AB) = P (B)P (A B) = P (A)P (B), on sel juhul sündmused A ja B definitsiooni kohaselt sõltumatud. Sageli informatsioon ühe sündmuse toimumise kohta suurendab või vähendab teise sündmuse toimumise tõenäosust. Sel juhul on tegemist sõltuvate ehk korreleeritud sündmustega. Definitsioon 37 Sündmusi A ja B nimetatakse positiivselt korreleerituteks, kui P (A B) > P (A) ning negatiivselt korreleerituteks, kui P (A B) < P (A). Näide 38 Visatakse kaks korda münti. Olgu A sündmus, et tuli kaks kulli, B sündmus, et tuli vähemalt üks kull ning B 2 sündmus, et esimesel viskel tuli kiri. Kuna P (A B ) = P (AB ) P (B ) = P (A) P (B ) = 4 = 3 > 4 = P (A), siis A ja B on positiivselt korreleeritud (sündmuse B toimumine suurendab A toimumise tõenäosust). Et A ja B 2 on teineteist välistavad sündmused, siis 3 4 P (A B 2 ) = P (AB 2) P (B 2 ) = 0 < P (A), siis A ja B 2 on negatiivselt korreleeritud sündmused..3.2 Liitkatsed, nende sõltumatus. Sageli vaadeldakse situatsiooni, kus katse koosneb mitmest alamkatsest, mis toimuvad korraga või järjest (näiteks katse koosneb kolmest mündiviskest). Sel juhul tekib küsimus, kuidas on liitkatse sündmused loomulik siduda alamkatsete sündmustega ning mis tingimused on täidetud juhul, kui alamkatsed on üksteisest sõltumatud. Vaatleme juhtu, kus liitkatse koosneb n (n 2) alamkatsest, millele vastavad tõenäosusruumid (Ω i, F i, P i ), i =, 2,..., n. Enamasti on sel juhul mõistlik võtta liitkatse elementaarsündmuste ruumiks Cartesiuse korrutis Ω = Ω Ω 2... Ω n = {(ω, ω 2,..., ω n ) : ω i Ω i, i =, 2,..., n}. Selge on see, et nii defineeritud hulk Ω rahuldab elementaarsündmuste ruumile vastavaid nõudeid, kuigi võib sisaldada mõnel juhul ka võimatuid katsetulemusi. Samuti on intuitiivselt selge see, et kui A i F i on sündmused osakatsete jaoks, siis A i A 2... A n peaks olema sündmus liitkatse jaoks (kui me suudame iga i korral teha i-nda osakatse tulemuse 4

kohta saadava info põhjal öelda, kas sündmus A i toimus, siis suudame ka teha kindlaks, kas vastavate sündmuste korrutis toimus liitkatse korral). Ostub, et selliste korrutistena saadud hulkade kollektsioon F F 2... F n = {A A 2... A n : A i F i, i =, 2,..., n} ei rahulda σ-algebra nõudeid, seetõttu võetakse liitkatsete korral enamasti sündmuste σ- alebraks vähimat σ-algebrat, mis selliseid korrutisi sisaldab, st F = σ(f F 2... F n ) Osutub, et liitkatse sündmuste ruumil (Ω, F) saab defineerida lõpmatult palju tõenäosusmõõte P, mis on kooskõlas osakatsete tõenäosusmõõtudega P i, st mille korral kehtib P (Ω... Ω i A Ω i+... Ω n ) = P i (A) A F i. Samuti saab näidata, et leidub täpselt üks tõenäosusmõõt P, mis rahuldab tingimusi P (A A 2... A n ) = P (A ) P 2 (A 2 ) P n (A n ) A i F i, i =, 2,..., n. Definitsioon 39 Kui liitkatse tõenäosusmõõt rahuldab tingimust P (A A 2... A n ) = P (A ) P 2 (A 2 ) P n (A n ) A i F i, i =, 2,..., n, siis katseid nimetatakse sõltumatuteks. Seda definitsiooni kasutatakse kahte moodi: kui mingite kaalutluste põhjal on selge, et liitkatse osakatsed on sõltumatud, siis definitsiooni kohaselt teame me tõenäosusmõõtu liitkatse sündmuste ruumil; kui meil on teada tõenäosusmõõt liitkatsete sündmuste ruumil, siis definitsioonis toodud tingimuse kontrollimise teel saame me teha kindlaks, kas osakatsed on sõltumatud või mitte. Lisaks sõltumatute katsete juhule on üheks levinud mooduseks liitkatsele vastaval sündmuste ruumil tõenäosuse arvutamiseks (ja ka defineerimiseks) korrutisreegli kasutamine. Nimelt võime samastada i-ndal osakatsel toimuva sündmuse A i liitkatse sündmusega Sel juhul esitub sündmus kujul ning tõenäosuse korrutisreegli kohaselt à i = Ω... Ω i A i Ω i+... Ω n. à = A A 2... A n à = ÃÃ2... Ãn P (Ã) = P (Ã)P (Ã2 à )... P (Ãn Ã... Ãn ). Kui katse iseloomu põhjal on toodud tinglikud tõenäosused määratud, siis on määratud ka vastava liitkatse sündmuse à tõenäosus. Ning jällegi saab näidata, et kui korrutisreeglit kasutades on võimalik arvutada kõikvõimalike sündmuste A... A n, kus A i Ω i, tõenäosused, siis see määrab üheselt tõenäosuse liitkatse sündmuste ruumil (Ω, F). 5

.3.3 Bernoulli valem Tihti vaadeldakse liitkatset, mis koosneb sama katse n sõltumatust kordamisest (näiteks viis täringuviset), kusjuures jälgitakse mingi fikseeritud osakatse tulemuse kohta käiva sündmuse kordumiste arvu. Sel juhul kehtib järgmine tulemus. Lemma 40 Olgu fikseeritud mingi sündmus A, mille toimumise tõenäosus ühel katsel on p. Sel juhul tõenäosus, et see sündmus toimub täpselt k korda katse n sõltumatul sooritamisel, on antud valemiga Tõestus. Harjutus lugejale. P n,p (k) = C k np k ( p) n k, k = 0,,..., n. 6

Peatükk 2 Diskreetsed juhuslikud suurused 2. Diskreetse juhusliku suuruse mõiste ja jaotus Olgu meil antud tõenäosusruum (Ω, F, P ). Definitsioon 4 Diskreetseks juhuslikuks suuruseks nimetatakse funktsiooni X : Ω IR, mis rahuldab tingimusi. X omab ülimalt loenduva arvu erinevaid väärtusi, st. X(ω) {x i, i I}, kus I < (tavaliselt I = {, 2,..., n}) või I = IN; 2. iga väärtuse x i, i I originaal on sündmus, st A i = {ω Ω : X(ω) = x i } F. Lemma 42 Olgu g : IR IR suvaline funktsioon ning X mingi diskreetne juhuslik suurus. Siis on ka võrdusega Y (ω) = g(x(ω)) ω Ω defineeritud funktsioon Y : Ω IR diskreetne juhuslik suurus. Tõestus. Kuna Y väärtuste hulk on esitatav ülimalt loenduva ühendina üheelemendilistest hulkadest (V = i I {g(x i )}), siis on see lõplik või loenduv hulk. Olgu z V suvaline Y väärtuste hulga element, siis {ω Ω : Y (ω) = z} = i I : g(xi )=z{ω Ω : X(ω) = x i } F, kuna X on juhuslik suurus ning σ-algebra F on kinnine lõplike ja loenduvate ühendite suhtes. Seega on Y samuti juhuslik suurus. Definitsioon 43 Diskreetse juhusliku suuruse X jaotuseks nimetatakse paaride komplekti (x i, p i ), kus {x i : i I} on juhusliku suuruse X väärtuste hulk ning p i = P ({ω : X(ω) = x i }). Lemma 44 Kui (x i, p i ), i I on mingi juhusliku suuruse X jaotus, siis kehtib võrdus p i =. i I Tõestus. Olgu A i = {ω Ω : X = x i }, siis A i A j =, i j ning Ω = i I A i. Seega = P (Ω) = P ( i I A i ) = i I P (A i ) = i I p i. 7

Diskreetse juhusliku suuruse jaotust esitatakse kas tabelina (kui väärtusi on suhteliselt vähe) või valemi kujul. Näide 45 Olgu urnis 5 valget ja 3 punast kuuli. Urnist valitakse korraga 3 kuuli, X on saadud valgete kuulide arv. Kuna P ({X = i}) = suuruse X jaotustabeliks on x i 0 2 3 p i 56 5 56 5 28 Ci 5 C3 i 3, i = 0,, 2, 3, siis juhusliku C8 3 Näide 46 Vaatleme mündiviskeid esimese vapi tulekuni, olgu X sooritatud visete arv. Siis juhusliku suuruse X jaotuseks on antud valemine 5 28 P ({X = i}) =, i =, 2,.... 2i+ 2.2 Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus. Olgu antud diskreetne juhuslik suurus X väärtuste hulgaga {x i : i I} ja tõenäosustega p i = P ({X = x i }). Definitsioon 47 Olgu diskreetne juhuslik suurus X selline, et i I x i p i <. Sel juhul on juhuslikul suurusel X keskväärtus, mis on defineeritud summana EX = i I x i p i. Näide 48 Näites 45 toodud juhusliku suuruse X keskväärtuseks on EX = 0 56 + 5 56 + 2 5 28 + 3 5 28 = 5 8. Lemma 49 Olgu X keskväärtust omav diskreetne juhuslik suurus. Siis kehtivad järgnevad omadused:. Kui P ({X = c}) = mingi c IR korral, siis EX = c. 2. Kui g : IR IR on selline funktsioon, et juhuslikul suurusel g(x) on keskväärtus, siis Eg(X) = g(x i )P ({X = x i }) = g(x i )p i. i I i I 3. Kui X 0, siis EX 0. 4. Suvalise konstandi c IR korral E(X + c) = EX + c. 5. Keskväärtus rahuldab võrratusi inf ω Ω X(ω) EX sup X(ω). ω Ω 6. Konstandi võib keskväärtuse arvutamisel välja tuua: E(cX) = cex c IR. 8

7. Kui X ja Y on keskväärtust omavad diskreetsed juhuslikud suurused, siis Tõestus. Harjutus lugejale. E(X + Y ) = EX + EY. Lisaks keskväärtusele pakub praktilisest seisukohast enamasti suurt huvi ka hajuvus keskväärtuse ümber. Selle mõõtmiseks on mitmeid arvsuuruseid, kõige enamkasutavamad on dispersioon ja standardhälve. Definitsioon 50 Keskväärtust omava juhusliku suuruse dispersiooniks nimetatakse suurust DX = E[(X EX) 2 ]. Lemma 5 Kehtib võrdus DX = E(X 2 ) (EX) 2. Tõestus. Harjutus lugejale. Dispersiooni numbriline väärtus ei ole üldjuhul hästi interpreteeritav, seda eriti juhul, kui juhuslikul suuruse X väärtusel on mingi loomulik ühik (näiteks Euro aktsiaturul investeerimise korral). Samas aga ruutjuur dispersioonist on juhusliku suurusega X samasuguse ühikuga suurus. Definitsioon 52 Juhusliku suuruse X standardhälbeks nimetatakse suurust σ X = DX. Dispersiooni mõningad lihtsamad omadused on toodud järgnevas lemmas. Lemma 53 Olgu X keskväärtust omav juhuslik suurus ning c IR mingi konstant. Siis kehtivad järgnevad tulemused.. Kui P ({X = c}) =, siis DX = 0. 2. Konstandi liitmine ei muuda dispersiooni: D(X + c) = DX. 3. D(cX) = c 2 DX. Sageli arvutatakse juhuslike suuruste korral ka X k, k 3 väärtuseid, neil on oma nimi. Definitsioon 54 Juhusliku suuruse X k-ndat järku momendiks nimetatakse arve m k = E(X k ). Seega keskväärtus on esimest järku moment m ning dispersioon avaldub kujul DX = m 2 m 2. Momentide arvutamisel kasutatakse sageli ka järgmist tulemust. Lemma 55 Defineerime juhusliku suuruse X momente genereeriva funktsiooni kujul M X (t) = E(e tx ), kus t omab reaalarvulisi väärtuseid. Kui see funktsioon eksisteerib t = 0 mingis ümbruses, siis k-s moment avaldub selle funktsiooni k-ndat järku tuletise kaudu kujul m k = M (k) X (0). Tõestus tugineb sellele, et toodud eeldustel võib diferentseerimisega minna keskväärtuse alla ning seega M (k) X (t) = E(Xk e tx ) M (k) X (0) = E(Xk ) = m k. 9

2.3 Tuntumad diskreetsed jaotused Selleks, et arvutada juhusliku suuruse väärtuste abil defineeritud sündmuste tõenäosusi, ei pea me teadma elementaarsündmuste ruumi Ω, sellel defineeritud σ-algebrat F ja tõenäosusmõõtu P, vaid piisab vaadeldava juhusliku suuruse X jaotuse teadmisest. Seetõttu tõenäosusteooria vahendite rakendamisel enamasti ei alustata tõenäosusruumi defineerimisest, vaid tehakse eeldused huvipakkuvate juhuslike suuruste jaotuse kohta. Konkreetse juhusliku suuruse jaoks sobiva jaotuse valimisel on aga suureks abiks tüüpsituatsioonidele vastavate jaotuste ning nende arvkarakteristikute (keskväärtus, dispersioon) teadmine. 2.3. Bernoulli ehk kahepunktiline jaotus Definitsioon 56 Juhuslik suurus X on Bernoulli jaotusega, kui tema võimalikeks väärtusteks on 0 ja. Tähistame siis p = P ({X = }), q = ( p) = P ({X = 0}), EX = 0 q + p = p, DX = EX 2 (EX) 2 = 0 q + p p 2 = p( p) = pq. Bernoulli jaotusega juhusliku suuruse näiteks on vappide arv mündiviskel. 2.3.2 Geomeetriline jaotus Geomeetriline jaotus vastab juhule, kus sõltumatuid katseid sooritatakse kuni vaadeldava sündmuse A (toimumistõenäosusega p = P (A)) esimese toimumiseni. Juhuslikuks suuruseks on seejuures katsete arv, võimalikeks väärtusteks kõik naturaalarvud ning P ({X = k}) = P (Ā }. {{.. Ā } A) = ( p) k p, k IN. k korda Definitsioon 57 Diskreetne juhuslik suurus X on Geomeetrilise jaotusega, kui tema väärtuste hulgaks on naturaalarvude hulk ning jaotus on mingi p (0, ] korral antud valemiga ning seda tähistatakse kujul X G(p). P ({X = k}) = p( p) k, k =, 2,... Keskväärtuse ja dispersiooni arvutamiseks kasutame momente genereerivat funktsiooni. Definitsiooni kohaselt M X (t) = E(e tx ) = Tähistades q = p, z = e t saame M X (t) = k= p( p) k e tk. k= pq k z k = pz (qz) k. k= 20

Kasutades teadmist, et geomeetrilise rea summa avaldub kujul i=0 x i =, x <, x saame tingimusel qz < (ehk tingimusel t < ln( p)) võrduse M X (t) = pet qe t. Siit leiame seega M X(t) = pe t ( qe t ) 2, M X(t) = pet ( + qe t ) ( qe t ) 3, EX = M X(0) = p, EX2 = M X(0) = 2 p p 2, DX = E(X 2 ) (EX) 2 = p p 2. 2.3.3 Binoomjaotus Binoomjaotus vastab juhule, kus juhuslikuks suuruseks on mingi konkreetse sündmuse toimumiste arv n sõltumatu katse teostamisel. Varasemast teame, et vastavad tõenäosused on antud Bernoulli valemiga. Definitsioon 58 Diskreetne juhuslik suurus X on binoomjaotusega parameetritega n ja p (X B(n, p)), kui tema väärtuste hulgaks on hulk {0,, 2,..., n} ning kehtib võrdus P ({X = k}) = C k np k ( p) n k, k =, 2,..., n. Kasutame keskväärtuse ja dispersiooni leidmiseks jällegi momente genereerivat funktsiooni. Keskväärtuse omaduste põhjal M X (t) = E(e tx ) = n Cnp k k ( p) n k e tk = k=0 n Cn(e k t p) k ( p) n k. k=0 Newtoni binoomvalemi põhjal seega kehtib võrdus Järelikult n (a + b) n = Cna k k b n k k=0 M X (t) = (e t p + p) n. EX = M X(0) = n(e t p + p) n e t p t=0 = np, E(X 2 ) = M X(0) = n(n )(e t p + p) n 2 (e t p) 2 t=0 + n(e t p + p) n e t p t=0 = n(n )p 2 + np, DX = E(X 2 ) (EX) 2 = np( p). 2

2.3.4 Poissoni jaotus Küllalt sageli pakuvad huvi täisarvulised juhuslikud suurused, mille väärtus ei ole ülevalt piiratud mingi konkreetse arvuga, nagu näiteks külastajate arv poes mingi fikseeritud ajavahemiku jooksul, ruuterisse saabuvate võrgupakettide arv, aasta jooksul toimuvate kindlustusjuhtumite arv jms. Saab näidata, et teatud tingimustel on sellised juhuslikud suurused Poissoni jaotusega. Definitsioon 59 Juhuslik suurus on Poissoni jaotusega (X P(λ)), kui tema väärtuste hulgaks on kõigi mittenegatiivsete täisarvude hulk ning kehtivad võrdused P ({X = k}) = λk k! e λ, k 0. Selle jaotsega tegelemisel on kasulik teada, et kehtib võrdus e x = k=0 Leiame seekord vahelduse mõttes keskväärtuse ja dispersiooni ilma momente genereerivat funktsiooni kasutamata. Keskväärtuse omaduste põhjal EX = k=0 = e λ λ k=0 k λk k! e λ = i=0 x k k!. k= λ i i! = e λ λe λ = λ, E(X 2 ) = k 2 λk k! e λ = = λ k (k )! e λ λ k k (k )! e λ k= λ k ( + (k )) (k )! e λ k= = EX + k=2 = λ + λ 2 e λ = λ + λ 2, λ k (k 2)! e λ i=0 λ i i! DX = E(X 2 ) (EX) 2 = λ. Sama tulemuseni jõuaks ka momente genereerivat funktsiooni kasutades. Harjutus Näidata, et Poissoni jaotusega juhusliku suuruse X momente genereerivaks funktsiooniks on M X (t) = e λet λ. Järgneva teoreemi kohaselt on sageli otstarbekas kasutada Poissoni jaotust ka juhul, kui juhusliku suuruse X väärtused on tegelikult tõkestatud mingi suure arvuga. 22

Teoreem 60 (Poissoni piirteoreem) Olgu X n B(n, p n ) selline binoomjaotusega juhuslike suuruste jada, et EX n = np n λ > 0. Siis binoomjaotuse tõenäosused koonduvad Poissoni jaotuse tõenäosusteks: n ( ) n P ({X n = k}) = p k k n( p n ) n k λ k n k! e λ. Näide 6 0000-pealisest linnuparvest on rõngastatud 00. Aasta jooksul püüavad ornitoloogid vaatluse eesmärgil paarvest 200 lindu (ükshaaval, lastes hiljem tagasi). Leiame tõenäosused, et püütud lindude hulgas on 0 rõngastatut, rõngastatud, 2 rõngastatut, 3 rõngastatut, 4 rõngastatut, 5 rõngastatut. Kui me eeldame, et vaatlused on sõltumatud, siis on tegemist binoomjaotusega ning valemi P n,p (k) = C k np k ( p) n k kohaselt saame juhul p = 0.0, n = 200 tabeli k 0 2 3 4 5 p k 0,3398 0,27067 0,27203 0,836 0,09022 0,03572. Arvestades eelnevat piirteoreemi võime vastavate tõenäosuste arvutamisel kasutada ka Poissoni jaotust parameetriga λ = 200 0, 0 = 2, sel juhul saame k 0 2 3 4 5 p 0,3534 0,27067 0,27067 0,80447 0,09022 0,03609. Nagu näga, on saadud tõenäosused tõepoolest väga lähedased. 23

Peatükk 3 Üldised juhuslikud suurused Olgu meil antud tõenäosusruum (Ω, F, P ). Sageli pakuvad meile huvi sündmused, mis on seotud katsetulemustest sõltuvate funktsioonide (ehk juhuslike suuruste) väärtustega. Definitsioon 62 Funktsiooni X : Ω IR nimetatakse juhuslikuks suuruseks, kui {ω Ω : X(ω) x} F iga reaalarvu x korral. Küllalt lihtne on näidata, et lõpliku või loenduva arvu võimalike väärtustega funktsiooni X korral on siintoodud definitsioon samaväärne diskreetse juhusliku suuruse definitsiooniga (harjutus!). Tihti pakuvad ka huvi juhuslike suuruste funktsioonid (näiteks X 2 ). Oluline on teada, et üsna üldistel eeldustel on ka need juhuslikud suurused. Lemma 63 Olgu g : IR IR tükiti pidev funktsioon ning X juhuslik suurus. Siis on ka Y = g(x) juhuslik suurus. See lemma tõestatakse näiteks Tõenäosusteooria II kursuses. 3. Jaotusfunktsioonid Juhusliku suuruse definitsioon garanteerib, et hulgad {ω Ω : X(ω) x} (ehk lühemalt hulgad {X x}) on sündmused, seega saame arvutada ka nende tõenäosusi. Definitsioon 64 Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F (x) = P ({X x}), x IR. Näide 65 Vaatleme katset, mis seisneb ausa mündi viskamises kolm korda. Olgu juhuslikuks suuruseks X vappide arv katses. Siis on juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks 0, kui x < 0, 8 kui 0 x <, F (x) = 8 + 3 8 = 2 kui x < 2, 2 + 3 8 = 7 8 kui 2 x < 3, kui x 3. 24

Näide 66 Vaatleme katset, mis seisneb punkti valikus ühiklõigust [0, ]. Olgu juhuslikuks suuruseks X selle punkti koordinaat ning olgu tegemist geomeetrilise tõenäosuse juhuga. Siis on juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks 0, kui x < 0, F (x) = x, kui 0 x <, kui x. Kõikidel jaotusfunktsioonidel on mitmeid ühiseid omadusi. Lemma 67 Olgu X juhuslik suurus ning F tema jaotusfunktsioon. Siis kehtivad järgnevad omadused.. 0 F (x) iga x IR korral. 2. F on monotoonselt kasvav: kui x < x 2, siis F (x ) F (x 2 ). 3. Kehtivad piirväärtused lim F (x) = 0, lim x F (x) =. x 4. F on paremalt pidev: lim F (x) = F (a) x>a,x a a IR. 5. Kehtib võrdus P ({X = a}) = F (a) lim F (x). x<a,x a 6. Kehtib võrdus P ({a < X b}) = F (b) F (a). Tõestus. Harjutus lugejale. Eelnevast lemmast järeldub, et kui jaotusfunktsioon on pidev punktis a, siis P ({X = a}) = 0. Lihtne on näha, et diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on tükiti konstantne, omades katkevusi ainult punktides x i, i I, kusjuures nendes punktides jaotusfunktsiooni väärtus suureneb suuruse p i = P ({X = x i }) võrra. Seetõttu on jaotusfunktsioon määratud paaridega (x i, p i ). Mittediskreetsetest juhuslikest suurustest on kõige lihtsam tegeleda sellistega, mille jaotusfunktsioonid on esitatavad integraali kujul. Definitsioon 68 Juhuslikku suurust X nimetatakse pidevaks, kui tema jaotusfunktsioon on esitatav kujul F (x) = x f(s) ds mingi funktsiooni f korral. Funktsiooni f nimetatakse juhusliku suuruse X tihedusfunktsiooniks. Kuna integraal ülemise raja funktsioonina on pidev, siis pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev funktsioon. Saab näidata, et vastupidine ei kehti: leidub pidevaid jaotusfunktsioone, mis ei ole definitsioonis toodud kujul integraalina esitatavad. Jaotusfunktsiooni omadustest järelduvad tihedusfunktsiooni järgnevad omadused: 25

Lemma 69 Olgu X pidev juhuslik suurus tihedusfunktsiooniga f. Siis kehtivad järgnevad omadused:. tihedusfunktsioon on mittenegatiivne: f(x) 0. Täpsemalt, pideva juhusliku suuruse korral saab alati valida tihedusfunktsiooniks sellise funktsiooni f, mis on mittenegatiivne ning samuti saab näidata, et kui f on (kas paremalt või vasakult) pidev punktis x, siis kehtib f(x) 0. 2. Kehtib võrdus f(x) dx =. 3. Kui F on diferentseeruv punktis x, siis võime võtta tihedusfunktsiooni väärtuseks selles punktis f(x) = F (x), 4. suvaliste reaalarvude a b korral kehtivad võrdused P ({X (a, b)}) = P ({X [a, b)}) = P ({X (a, b]}) = P ({X [a, b]}) = b a f(x) dx. Definitsioon 70 Olgu X pidev juhuslik suurus tihedusfunktsiooniga f X, mille korral x f X(x) dx <. Siis juhuslikul suurusel X on lõplik keskväärtus, mis on defineeritud integraaliga EX = x f X (x) dx. Praktilisteks keskväärtuse arvutamiseks on hea teada, et tegelikult piisab meil juhusliku suuruse (ja ka tema funktsioonide) keskväärtuse arvutamiseks tema jaotusfunktsiooni teadmisest. Lemma 7 Olgu X juhuslik suurus ning F tema jaotusfunktsioon. Kui g on selline tükiti pidev funktsioon, mille korral juhuslik suurus g(x) on mõõdu P suhtes integreeruv, siis E[g(X)] = g(x) df (x). Eelnevas lemmas olevat integraali võib mõista järgmiselt: lõpliku lõigu [a, b] korral jagame lõigu osadeks punktidega a = x 0 < x <... < x n = b ning mõistame integraali b a g(x) df (x) all summa n i= g(x i )(F (x i ) F (x i )) piirväärtust juhul, kus n ja maksimaalne lõigupikkus läheneb samaaegselt nullile. Üle lõpmatu piirkonna integreerimiseks leiame täiendavalt piirväärtuse, kus a ja b. 3.2 Näiteid pidevatest jaotustest 3.2. Ühtlane jaotus Definitsioon 72 Öeldakse, et juhuslik suurus X on ühtlase jaotusega lõigul [a, b] (tähistatakse X U(a, b), kui tema tihedusfunktsioon avaldub kujul { f(x) = b a, kui x [a, b] 0 mujal. 26

Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse jaotusfunktsioon avaldub kujul 0, kui x < a, F (x) = x a b a, kui a x < b kui x b. Keskväärtus on definitsiooni põhjal EX = x f(x) dx = ning dispersioon avaldub valemina DX = E[(X EX) 2 ] = b a b a x b a dx = x 2 2(b a) b x=a = a + b 2 (x a + b 2 )2 b a 2 )3 a+b (x dx = 3(b a) b a = (b a)2. 2 Kuna tihedusfunktsioon on sümmeetriline punkti x = a+b 2 suhtes, siis on ühtlase jaotusega juhusliku suuruse mediaaniks (st arvuks, mille korral F X (m) = a+b 2 ) lõigu keskpunkt 2 (sama tulemuseni jõuame võrrandi F (x) = 2 lahendamisega). 3.2.2 Eksponentjaotus Definitsioon 73 Öeldakse, et juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ (λ > 0, tähistatakse kujul X Exp(λ)), kui tema tihedusfunktsiooniks on { 0, kui x < 0, f(x) = λ e λx, kui x 0. Eksponentjaotusega juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks on { 0, kui x < 0, F (x) = e λx, kui x 0. Ositi integreerides saame keskväärtuseks ning dispersiooniks EX = DX = EX 2 (EX) 2 = 0 x λ e λx = λ, 0 x 2 λ e λx dx λ 2 = λ 2. Ositi integreerimisest pääseb keskväärtuse ja dispersiooni arvutamisel, kui kasutada momente genereerivat funktsiooni. Harjutus 2 Näidata, et juhusliku suuruse X Exp(λ) momente genereerivaks funktsiooniks on M X (t) = λ λ t. Võrrandi F (x) = 2 lahendamisel saame leida mediaani: e λx = 2 x = ln 2 λ. Lemma 74 Kui X U(0, ), siis juhuslik suurus Y = ln( X) λ on jaotusega Exp(λ). 27

3.2.3 Normaaljaotus Definitsioon 75 Juhuslik suurus X on normaaljaotusega parameetritega µ IR ja σ > 0 (tähistatakse X N(µ, σ)), kui tema tihedusfunktsioon avaldub kujul f(x) = σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x IR. Parameetritega µ = 0, σ = normaaljaotust nimetatakse standardseks normaaljaotuseks. Veendume kõigepealt, et definitsioonis antud funktsioon sobib jaotusfunktsiooniks. Selleks peame kontrollima, integraal temast on. Tähistame siis muutujavahetust s = x µ σ Seega I 2 = 2π e s2 2 I = kasutades saame ds I = f(x) dx, 2π e s2 2 ds. e t2 2 dt = 2π 2π e s 2 +t 2 2 ds dt. Kasutades kahekordses integraalis üleminekut polaarkoordinaatidele s = r cos θ, t = r sin θ saame 2π I 2 = 2π e r 2 2π 2 r dr dθ = dθ e r2 r 2 2 d( 2π 2 ) =. 0 0 Kuna I > 0, siis siit järeldub võrdus I =, seetõttu on tõepoolest iga µ ja σ > 0 korral tegemist tihedusfunktsiooniga. Järgnevalt näiteme, et jaotusega N(µ, σ) juhusliku suuruse keskväärtuseks on µ ja dispersiooniks σ 2. Arvutame kõigepealt keskväärtuse. Definitsioonist lähtuvalt saame EX = = σ 2π x f(x) dx = (x µ) = σ 2π ( e (x µ)2 = µ. σ 2 2σ 2 ) x= 0 (x µ + µ)f(x) dx e (x µ) 2 2σ 2 dx + µ + µ 0 f(x) dx Dispersiooni arvutamisel tuleb kasutada ositi integreerimist: DX = E[(X EX) 2 ] = σ 2π = σ [ x µ (x µ) 2π σ 2 = σ (x µ)( e (x µ)2 2σ 2 ) 2π = 0 + σ 2 f(x) dx = σ 2. (x µ) 2 e (x µ)2 2σ 2 ] e (x µ) 2 2σ 2 dx x= + σ 2π dx e (x µ)2 2σ 2 dx 28

Normaaljaotuse jaotusfunktsioon ei ole esitatav elementaarfunktsioonide kaudu, seetõttu tema väärtuste arvutamiseks tuleb kasutada numbrilisi meetodeid või tabeleid. Standardse normaaljaotuse jaotusfunktsiooni väärtuste tabelid on laialdaselt saadaval ning järgnev lemma võimaldab suvaliste parameetritega normaaljaotusega juhusliku suuruse X väärtuse mingisse vahemikku kuulumise tõenäosust taandada standardse normaaljaotuse jaotusfunktsiooni kasutamisele. Lemma 76 Normaaljaotusega juhuslikul suurusel on järgnevad omadused omadused.. Olgu X pidev juhuslik suurus jaotusega N(µ, σ). Siis juhuslik suurus Y = X µ σ standardse normaaljaotusega. on 2. Standardse normaaljaotuse jaotusfunktioon Φ rahuldab seost Φ( x) = Φ(x) x. Tõestus. Paneme tähele, et juhusliku suuruse Y jaotusfunktsioon avaldub kujul F Y (y) = P ({Y y}) = P ({ X µ σ y}) = P ({X σy + µ}) = F X (σy + µ), seega Y on pidev juhuslik suurus ning tema tihedusfunktsioon avaldub kujul f Y (y) = F Y (y) = d dy (F X(σy + µ)) = f X (σy + µ) σ = 2π e (σy+µ µ)2 2σ 2 = 2π e y2 2. Kuna Y tihedusfunktsiooniks on standardse normaaljaotuse tihedusfunktsioon, siis oleme sellega näidanud, et Y N(0, ). Teise omaduse näitamiseks kasutame standardse normaaljaotuse tihedusfunktsiooni omadust f X (x) = e x2 2 = fx ( x). 2π Selle põhjal Φ( x) = Lemma on tõestatud. = x x = Φ(x). f X (s) ds = f X (τ) dτ = x τ= s f X ( τ) ( dτ) f X (τ) dτ x f X (τ) dτ Näide 77 Olgu X N(, 3). Leiame P ({0 < X 3}). Selleks defineerime Y = X 3 ning paneme tähele, et seetõttu {0 < X 3} = { 0 3 < Y 3 3 }, P ({0 < X 3}) = P ({ 3 < Y 2 3 ) = Φ(2 3 ) Φ( 3 ), kus Φ on standardse normaaljaotuse jaotusfunktsioon. Kuna standardse normaaljaotuse tihedusfunktsioon on sümmeetriline nullpunkti suhtes, siis kehtib valem Φ( x) = Φ(x) x IR, seega võime tulemuse esitada ka kujul P ({0 < X 3}) = Φ( 2 3 ) + Φ( 3 ). 29

Tabelitest leiame Φ( 2 3 ) 0.74857, Φ( 3 ) 0.62930, seega on otsitav tõenäosus ligikaudu 0,37787. 3.3 Mitmemõõtmelised juhuslikud suurused Sageli määratakse ühes katses mitme juhusliku suuruse väärtused (näiteks inimese pikkus ja kaal). Sellisel juhul ei aita paljude huvipakkuvate sündmuste tõenäosuste arvutamiseks nende juhuslike suuruste jaotustest, vaid on vaja informatsiooni selle kohta, kuidas need juhuslikud suurused koos käituvad. Definitsioon 78 Juhuslikku vektorit (X, Y ) nimetatakse diskreetseks, kui X ja Y on diskreetsed juhuslikud suurused. Diskreetse juhusliku suuruse korral nimetatakse kolmikuid (x i, y j, p ij ), i I, j J, kus p ij = P ({X = x i, Y = y j } ning {x i : i I} ja {y j : j J} on vastavalt juhuslike suuruste X ja Y väärtuste hulgad, juhusliku vektori (X, Y ) jaotuseks ehk juhuslike suuruste X ja Y ühisjaotuseks. Näide 79 Kaardipakist (52 kaarti) võetakse ilma tagasipanekuta 2 kaarti, juhusliku suuruse X väärtuseks on saadud potide arv ning Y väärtuseks on saadud musta masti kaartide arv. Leiame juhusliku vektori (X, Y ) jaotuse. Kuna P ({X = 0, Y = 0}) = C2 26 C 2 52 P ({X = 0, Y = 2}) = C2 3 C 2 52 P ({X =, Y = 2}) = 3 3 C 2 52 = 25 26 3, P ({X = 0, Y = }) = 02 C52 2 = 26 02, = 6 3 26, P ({X =, Y = }) = 02 C52 2 = 26 02, = 3 02, P ({X = 2, Y = 2}) = C2 3 C 2 52 = 6 02 ning kõikide ülejäänud paaride tõenäosused on nullid, siis on X ja Y ühisjaotus antud X\Y 0 2 tabeliga 25 0 02 26 02 6 02 3 02 26 0 02 6 2 0 0 02 Diskreetse juhusliku vektori jaotusest on lihtne leida komponentideks olevate juhuslike suuruste jaotusi ning nagu ikka, õigete arvutuste tunnuseks on see, et tõenäosused summeeruvad üheks. Juhusliku vektori (X, Y ) käsitlemisel nimetatakse juhuslike suuruste X ja Y jaotusi marginaaljaotusteks. Lemma 80 Juhusliku vektori (X, Y ) jaotuse {(x i, y j, p ij ) : i I, j J} korral kehtivad võrdused p ij = P ({Y = y j }), p ij = P ({X = x i }), p ij =. i I j J i I, j J Tõestus. Harjutus lugejale. Diskreetse juhusliku vektori funktsioonist keskväärtuse leidmist hõlbustab järgnev tulemus. 30