13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY

13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY Naše štúdium vektorových priestorov sa doteraz nieslo prevažne v algebraickom duchu a bolo vedené takmer výlučne algebraickými prostriedkami. Geometria bola v tomto poňatí zredukovaná väčšinou len na otázky rovno- či rôznobežnosti a pretínania lineárnych a afinných podpriestorov, t. j. na tzv. štruktúru incidencie. Popri tom však geometrický názor bol pre nás dôležitým zdrojom prvotných motivácií alebo dodatočných ilustrácií mnohých pojmov. To bolo umožnené hlavne tým, že hoci sme sa zaoberali vektorovými priestormi nad ľubovoľným poľom, ako typické príklady sme si pod nimi väčšinou predstavovali vektorové priestory malej dimenzie nad poľom reálnychčíselavektoryvnichakoorientovanéúsečky(spočiatkomvbode0),ktorémajú určitú dĺžku, smer a orientáciu. Inak povedané, lineárnu algebru sme často vedome a ešte častejšie podvedome zasadzovali do rámca elementárnej geometrie roviny alebo priestoru. Prísne vzaté nám však len samotná štruktúra vektorového priestoru(ani keby sme saobmedziliibanaprípadpoľa R)neumožňujevôbechovoriťodĺžke takýtopojem v doterajšom kontexte nemá žiadny zmysel. Pritom práve dĺžka, a spolu s ňou tiež uhol sú základnými kvantitatívnymi veličinami elementárnej euklidovskej geometrie. Naplnenie lineárnej algebry geometrickým obsahom teda v prvom rade vyžaduje dať práve týmto pojmom určitý dobre zakotvený význam, ktorý hoci by sa neopieral lenonášgeometrickýnázor bolbysnímvdobrejzhode.vtejtokapitolesaoto pokúsime vo vektorových priestoroch nad poľom R. Ukazuje sa, že celú základnú geometrickú štruktúru, vrátane dĺžok a uhlov, možno odvodiť z jedinej kladne definitnej symetrickej bilineárnej formy na takomto priestore. 13.1. Skalárny súčin Skalárnym alebo tiež vnútorným súčinom na reálnom vektorovom priestore V rozumieme ľubovoľnú kladne definitnú, symetrickú bilineárnu formu na V. Hodnotu tejto formynavektoroch x,y V budemeznačiť x,y. Nezávisle na znalosti uvedených pojmov možno skalárny súčin na V definovať ako binárnuoperáciu V V R,ktorákaždejdvojici(x,y)vektorovzV priradíreálne číslo x,y také,žeprevšetky x,y,x 1,x 2 V aľubovoľné c Rplatí: x 1 + x 2,y = x 1,y + x 2,y (aditivita), cx, y = c x, y x, y = y, x x 0 x,x >0 (homogenita), (symetria), (kladnádefinitnosť). Spojenie aditivity a homogenity skalárneho súčinu dáva jeho linearitu ako funkcie prvej premennej(pri pevnej druhej premennej). Vďaka symetrii z toho vyplýva aj 1

2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA linearita skalárneho súčinu ako funkcie druhej premennej(pri pevnej prvej premennej), t. j. rovnosti x,y 1 + y 2 = x,y 2 + x,y 2, x,cy =c x,y, prevšetky x,y 1,y 2 V a c R.Z(bi)linearitytakistovyplývanasledujúcipodrobnejší rozpis podmienky kladnej definitnosti x,x 0& ( x,x =0 x=0 ) prekaždé x V.Prváčasťtejtopodmienkynámumožňujedefinovaťnormualebo dĺžku vektora x rovnosťou x = x,x. Výraz x 2 trebazatiaľchápaťlenakoinéoznačenieprekvadratickúformu x,x indukovanúskalárnymsúčinom.ooprávnenostinázvu dĺžka akoajoďalšíchvlastnostiach normy podrobnejšie pojednáme až v paragrafe 13.3. Euklidovským priestorom nazývame ľubovoľný konečnorozmerný reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom. Hoci sa v tejto kapitole hodláme sústrediť práve na euklidovské priestory, všetky pojmy a výsledky, v ktorých konečnosť dimenzie nehrá podstatnú úlohu, sa budeme snažiť formulovať tak, aby zahŕňali všetky(teda i nekonečnorozmerné) priestory so skalárnym súčinom. 13.1.1. Príklad. Náš čitateľ sa už na strednej škole v rámci analytickej geometrie, prípadnevrámcifyziky,asistretolsoskalárnymsúčinom x,y =x 1 y 1 +x 2 y 2 vrovine R 2 asoskalárnymsúčinom x,y =x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 vpriestore R 3.Ľahkosamožno presvedčiť,žerovnakáformulkafungujeprekaždé n,t.j.pre x = (x 1,...,x n ) T, y=(y 1,...,y n ) T jepredpisom n x,y =x T y= x i y i definovanýskalárnysúčinnastĺpcovomvektorovompriestore R n.vprípaderiadkovéhopriestoru R n máme n x,y =x y T = x i y i pre x=(x 1,...,x n ), y=(y 1,...,y n ).Takýtoskalárnysúčinbudemenazývaťštandardnýmskalárnymsúčinomna R n.štandardnýskalárnysúčinvektorov x,y R n (čiužideoriadkovéalebostĺpcovévektory)saobvykleznačí x y.dĺžkavektora x vzhľadom na štandardný skalárny súčin je x = ( n 1/2 x x= xi) 2. V rámci analytickej geometrie sa pre nenulové vektory x, y dokazuje známy vzťah i=1 i=1 i=1 x y= x y cos α, ktorýzväzuještandardnýskalárnysúčinvr 2 čivr 3 sdĺžkoupríslušnýchvektorov a nimi zvieraným uhlom α.

13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY 3 13.1.2. Príklad. Nech V označuje vektorový priestor C a, b všetkých spojitých reálnychfunkciídefinovanýchnauzavretomintervale a,b,kde a < bsúreálnečísla, prípadne jeho ľubovoľný lineárny podpriestor. Pre f, g V položme f,g = b a f(x)g(x) dx. Z komutatívnosti násobenia v R a aditivity a homogenity integrálu vyplýva, že f, g je symetrická bilineárna forma na V (podrobne si premyslite ako). Na dôkaz kladnej definitnostisistačí uvedomiť,že pre f 0 (t.j. f nie identicky rovné nule), je f 2 (x) 0prekaždé x a,b.zospojitostifunkcie f (atedatiež f 2 )vyplýva existencianejakéhonetriviálnehouzavretéhopodintervalu a 1,b 1 a,b takého,že f 2 (x) >0prevšetky x a 1,b 1.Keďže fna a 1,b 1 nadobúdaminimum,máme f,f = b a f 2 (x)dx b1 a 1 f 2 (x)dx (b 1 a 1 ) min a 1 x b 1 f(x) >0. Tedapredpisom(f,g) f,g jedefinovanýskalárnysúčinna C a,b akoajnajeho ľubovoľnomlineárnompodpriestore,napr.napriestorochpolynómov R[x], R (n) [x], n N,uvažovanýchakospojitéfunkciena a,b.vprípadepriestorov C a,b,či R[x] ide o skalárny súčin na nekonečnorozmerných vektorových priestoroch. Norma spojitejfunkcie f: a,b Rpotomje f = ( b 1/2 f,f = f (x)dx) 2. a 13.2. Gramova matica a Cauchyho-Schwartzova nerovnosť Nech α = (u 1,...,u k ) je ľubovoľná usporiadaná k-tica vektorov vo vektorovom priestore V so skalárnym súčinom. Takmer všetky podstatné informácie o týchto vektoroch sú ukryté v tzv. Gramovej matici G(α)=G(u 1,...,u k )= ( u i,u j ) k k vektorov u 1,...,u k.determinantgramovejmatice u 1,u 1... u 1,u k det G(α)= G(u 1,...,u k ) =....... u k,u 1... u k,u k sanazývagramovýmdeterminantomvektorov u 1,...,u k.

4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 13.2.1.Tvrdenie. Nech u 1,...,u k súľubovoľnévektoryvovektorovompriestore V so skalárnym súčinom. Potom (a) G(u 1,...,u k )jekladnesemidefinitnásymetrickámatica; (b)vektory u 1,...,u k súlineárnenezávisléprávevtedy,keď G(u 1,...,u k )jekladne definitná. Dôkaz. Označme G=G(u 1,...,u k ). (a) Symetria matice G je priamym dôsledkom symetrie skalárneho súčinu. Zostáva dokázať,žepreľubovoľnývektor c=(c 1,...,c k ) R k platí c G c T 0.Položme v=c 1 u 1 +...+c k u k.potomzbilinearityakladnejdefinitnostiskalárnehosúčinu vyplýva k k c G c T = c i c j u i,u j = v,v 0. i=1 j=1 (b)ak u 1,...,u k súlineárnenezávislé,taktvoriabázulineárnehopodpriestoru S=[u 1,...,u k ] V.Zúženieskalárnehosúčinu x,y napodpriestor Sjeskalárny súčin(t. j. kladne definitná symetrická bilineárna forma) na S. G je maticou tejto formyvzhľadomnabázu u 1,...,u k,tedakladnedefinitnámatica. Ak u 1,...,u k súlineárnezávislé,takvr n existujevektor c=(c 1,...,c k ) 0 taký,že v= c 1 u 1 +...+c k u k =0.Potompodľa(a) teda G nie je kladne definitná. c G c T = v,v = 0,0 =0, Práve dokázané tvrdenie má spolu s vetou 12.2.4 nasledujúci dôsledok. 13.2.2.Dôsledok. Preľubovoľné u 1,...,u k V platí G(u 1,...,u k ) 0. Pritom G(u 1,...,u k ) =0právevtedy,keďvektory u 1,...,u k súlineárnezávislé. Špeciálnepreľubovoľnédvavektory u,v V platí G(u,v) = u,u v,u u,v v,v = u,u v,v u,v v,u = u 2 v 2 u,v 2 0, pričom rovnosť nastane práve vtedy, keď vektory u, v sú lineárne závislé. Tým sme dokázali nasledujúci vzťah, známy ako Cauchyho-Schwartzova nerovnosť. 13.2.3.Tvrdenie. Preľubovoľnévektory u,v V vpriestore V soskalárnymsúčinom platí u,v u v, pričom rovnosť nastane práve vtedy, keď vektory u, v sú lineárne závislé.

13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY 5 13.3. Dĺžka vektora a uhol dvoch vektorov Normou na reálnom vektorovom priestore V rozumieme ľubovoľné zobrazenie V R, ktoré vektoru x V priradí reálne číslo x, nazývané normou alebo tiež dĺžkou vektora x,také,žeprevšetky x,y V aľubovoľné c Rplatí x + y x + y cx = c x x =0 x=0 (trojuholníková nerovnosť), (pozitívna homogenita), (oddeliteľnosť). Zuvedenýchpodmienokvyplývanezápornosťnormy,t.j. x 0prekaždé x V. Keďževďakapozitívnejhomogeniteplatí 0 =0a x = x,spoužitímtrojuholníkovej nerovnosti naozaj dostávame x = 1 2 ( x + x ) 1 2 x x =1 2 0 =0. Navyše,vďakaoddeliteľnostimáme x >0prekaždé0 x V;inakpovedané, každýnenulovývektormôžemepomocoujehonormy oddeliť odnulovéhovektora. Reálny vektorový priestor s normou nazývame normovaný priestor. Intuitívne sa na normovaný priestor dívame ako na vektorový priestor, v ktorom možno merať dĺžky vektorov. Tri definujúce podmienky pre normu zaručujú, že takéto meranie dĺžok, t. j. priradenie x x, má rozumné vlastnosti, aké od dĺžok očakávame. Vzdialenosťou bodov x, y vo vektorovom priestore V s normou nazývame dĺžku vektora x y,t.j.číslo x y.pomocouvzdialenostíbodovmožnotrojuholníkovú nerovnosť vyjadriť iným, ekvivalentným spôsobom, ktorý vari ešte názornejšie osvetľuje jej názov: x y + y z x z prevšetky x,y,z V. Všeobecnou problematikou normovaných priestorov sa v tomto kurze nebudeme zaoberať. Obmedzíme sa len na normy, ktoré pochádzajú od skalárnych súčinov. 13.3.1. Tvrdenie. Nech V je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom. Potom rovnosťou x = x,x jedefinovanánormana V. Dôkaz. Zvoľme x,y V. S použitím bilinearity a symetrie skalárneho súčinu a Cauchyho-Schwartzovej nerovnosti dostávame x+y 2 = x+y,x+y = x,x + x,y + y,x + y,y = x 2 +2 x,y + y 2 x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. To dokazuje trojuholníkovú nerovnosť. Jednoduchý dôkaz ďalších dvoch podmienok prenechávame čitateľovi.

6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Z Cauchyho-Schwartzovej nerovnosti vyplýva, že pre ľubovoľné nenulové vektory x, y vo vektorovom priestore so skalárnym súčinom platí 1 x,y x y 1. Pretoexistujejedinéreálnečíslo αtaké,že0 α πa cos α= x,y x y. Číslo αnazývameuhlomalebotiežodchýlkouvektorov x, yaznačímeho α= (x,y). Zosymetrieskalárnehosúčinuvyplýva (x,y)= (y,x),toznamená,žeideoneorientovaný uhol. Pri takejto definícii uhla dvoch nenulových vektorov zostáva vzťah x,y = x y cos (x,y), platnýpreštandardnýskalárnysúčinvr 2 a R 3,zachovanývľubovoľnompriestore so skalárnym súčinom. Treba si však uvedomiť, že z logického hľadiska postupujeme obrátene ako v stredoškolskej analytickej geometrii. Tam totiž vopred vieme(či aspoň sataktvárime),čosútodĺžkyauhlyvektorov,apomocounichdefinujemeskalárny súčinuvedenýmvzťahom,prípadnerovnosťou x y= x i y i,kedymusímeuvedený vzťah dokázať. Pri našom postupe vychádzame z pojmu skalárneho súčinu a pomocou neho definujeme dĺžky a uhly vektorov tak, že platnosť klasických poučiek analytickej geometrie zostáva zachovaná, ba dokonca ju rozširujeme na vektorové priestory ľubovoľnej konečnej i nekonečnej dimenzie vybavené skalárnym súčinom. Hovoríme, že vektory x, y V sú(navzájom) kolmé alebo tiež ortogonálne, označenie x y,ak x,y =0. Teraz uvedieme niekoľko bezprostredných dôsledkov našich definícií. Ich jednoduché dôkazy prenechávame ako cvičenie čitateľovi. 13.3.2. Tvrdenie. Nech V je vektorový priestor so skalárnym súčinom. Potom pre ľubovoľnénenulovévektory x,y V platí: (a) (x,y)=0 ( c R)(c >0&x=cy); (b) (x,y)=π ( c R)(c <0&x=cy); (c) (x,y)=π/2 x y; (d) ( x, y)= (x,y), ( x,y)= (x, y)=π (x,y). Pokračujeme štyrmi poučkami klasickej analytickej geometrie. 13.3.3. Tvrdenie. Nech V je vektorový priestor so skalárnym súčinom. Potom pre ľubovoľnénenulovévektory x,y V platí: (a)(kosinová veta) x+y 2 = x 2 + y 2 +2 x y cos (x,y), x y 2 = x 2 + y 2 2 x y cos (x,y); (b)(pytagorova veta) x y x+y 2 = x y 2 = x 2 + y 2 ;

(c) (pravidlo rovnobežníka) x+y 2 + x y 2 =2 ( x 2 + y 2) ; (d)(uhlopriečky kosoštvorca sú na seba kolmé) x = y x+y x y. 13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY 7 (Samozrejme, tvrdenia(b),(c),(d) platia aj bez predpokladu nenulovosti vektorov x, y vidnotoiznášhodôkazu.) Dôkaz. (a)akosmeukázalivdôkazetvrdenia13.3.1,preľubovoľné x,y V máme x+y 2 = x 2 + y 2 +2 x,y. Z toho už okamžite vyplýva prvá podoba kosinovej vety; jej druhú podobu dostaneme zprvejnazáklade13.3.2(d). (b) Pytagorova veta je zvláštnym prípadom kosinovej vety. (c) Pravidlo rovnobežníka dostaneme sčítaním oboch verzií kosinovej vety. (d)priamovyplývazidentity x+y,x y = x 2 y 2. 13.4. Ortogonálne a ortonormálne bázy Usporiadaná k-tica α=(u 1,...,u k )vektorovzvektorovéhopriestorusoskalárnym súčinom V,sanazývaortogonálna,ak u i u j prevšetky1 i<j k.voľne tiežhovoríme,ževektory u 1,...,u k sú(navzájom)ortogonálnealebokolmé.usporiadaná k-tica(u 1,...,u k )sanazývaortonormálna,akjeortogonálnaa u i =1pre všetky i k.taktiežhovoríme,ževektory u 1,...,u k tvoriaortonormálnysystém. Podobne možno definovať pojmy ortogonálnosti a ortonormálnosti aj pre nekonečné postupnosti(u k ) k=0vektorovzv,prípadnepremnožiny X V. Nasledujúce tvrdenie je bezprostredným dôsledkom našich definícií. 13.4.1. Tvrdenie. Nech V je vektorový priestor so skalárnym súčinom. Potom pre ľubovoľnú k-ticu α=(u 1,...,u k ) V k platí: (a) α je ortogonálna práve vtedy, keď jej Gramova matica G(α) je diagonálna; (b) αjeortonormálnaprávevtedy,keď G(α)=I k. Z posledného tvrdenia a dôsledku 13.2.2 priamo vyplýva 13.4.2.Dôsledok. Ak u 1,...,u k V súnavzájomkolménenulovévektory,špeciálne,ak u 1,...,u k tvoriaortonormálnysystém,taksúlineárnenezávislé. Vpriestore R n soštandardnýmskalárnymsúčinomkanonickábáza ε=(e 1,...,e n ) je zrejme ortonormálna a v zhode s posledným dôsledkom možno ľahko nahliadnuť rovnosť G(ε)=I n.ortogonálneaortonormálnebázyvšakexistujúvľubovoľných euklidovských priestoroch. 13.4.3. Veta. Každý euklidovský priestor má ortonormálnu bázu. Dôkaz. Nech V je euklidovský priestor. Keďže skalárny súčin je kladne definitná, symetrická bilineárna forma na konečnorozmernom reálnom priestore V, na základevety11.3.5,dôsledku12.1.3atvrdenia12.2.1existujetakábáza βpriestoru V,

8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA vzhľadomnaktorúmátentosúčinjednotkovúmaticu.inakpovedané, G(β)=I n, čiže β je ortonormálna báza. Nasledujúce tvrdenie zhŕňa niekoľko užitočných vlastností ortonormálnych báz v euklidovskom priestore. Podmienka(c), rovnako ako istý jej nekonečnorozmerný variant, sa nazýva Parsevalova rovnosť. 13.4.4.Tvrdenie. Nech α=(u 1,...,u n )jeortonormálnabázaeuklidovskéhopriestoru V.Potompreľubovonévektory x,y V platí: (a) x= n i=1 x,u i u i, t.j. (x) α = ( x,u 1,..., x,u n ) T ; (b) x,y = n i=1 x,u i u i,y ; (c) x 2 = n i=1 x,u i 2. Dôkaz. (a)keďže αjebáza, xmožnovyjadriťvtvare x= n i=1 c iu i prejednoznačne určenékoeficienty c 1,...,c n.zortonormálnostivektorov u 1,...,u n vyplýva x,u j = n c i u i,u j =c i i=1 prekaždé1 j n. (b) Ak α je ortonormálna báza, tak matica skalárneho súčinu vzhľadom na bázu αje G(α)=I n.preto x,y =(x) T α (y) α prevšetky x,y V.Potrebnýzáver vyplývaz(a). (c) je špeciálnym prípadom(b). Preistotueštesiešterazzopakujme,čovyplývaztvrdenia13.4.1,vety13.4.3a tvrdenia 13.4.4: V ľubovoľnom n-rozmernom euklidovskom priestore V skalárny súčin vektorov x,y V splývasoštandardnýmskalárnymsúčinomvr n x,y = n x i y i =(x) α (y) α i=1 ich súradníc (x) α = (x 1,...,x n ) T, (y) α = (y 1,...,y n ) T vzhľadom na ľubovoľnú ortonormálnubázu α=(u 1,...,u n )priestoru V.Podmienka(a)poslednéhotvrdenianámnavyšeudávaexplicitnýtvartýchtosúradníc: x i = x,u i, y i = y,u i. Teraz popíšeme algoritmus, ktorý umožňuje zostrojiť ortonormálne bázy, známy ako Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces. Nech V jevektorovýpriestorsoskalárnymsúčinomau 1,...,u n V súlineárne nezávislevektory.chcemezostrojiťortogonálnevektory v 1,...,v n tak,abyprekaždé k nplatilo [v 1,...,v k ]=[u 1,...,u k ]. Akpoložíme v 1 = u 1,taksamozrejme[v 1 ]=[u 1 ].Vektor v 2 [u 1,u 2 ]=[v 1,u 2 ] budemehľadaťvtvare v 2 = av 1 + bu 2,kde a,b R.Akmávšakplatiť[v 1,v 2 ]= [u 1,u 2 ],musíbyť b 0.Tonajjednoduchšiedosiahnemevoľbou b=1.navyševektor v 2 = u 2 + av 1 mábyťkolmýnavektor v 1,t.j. 0= v 2,v 1 = u 2,v 1 +a v 1,v 1.

13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY 9 Odtiaľ dostávame a= u 2,v 1 v 1,v 1. Predpokladajme,že2 k naužsmezostrojiliortogonálnevektory v 1,...,v k 1 také,žeprekaždé1 i k 1platí[v 1,...,v i ]=[u 1,...,u i ].Poučeníprípadom k =2budemevektor v k [u 1,...,u k 1,u k ]=[v 1,...,v k 1,u k ]hľadaťvtvare v k = u k + a 1 v 1 + +a k 1 v k 1,kde a 1,...,a k 1 R.Navyševektor v k musíbyť kolmýnakaždýzvektorov v i pre1 i k 1,čiže k 1 0= v k,v i = u k,v i + a j v j,v i = u k,v i +a i v i,v i, lebopodľanášhopredpokladu v j,v i =0pre j i.ztohodôvodu Tým sme dokázali nasledujúcu vetu. j=1 a i = u k,v i v i,v i. 13.4.5.Veta. Nech V jevektorovýpriestorsoskalárnymsúčinomau 1,...,u n V súlineárnenezávislevektory.vektory v 1,...,v n V definujemerekurziou: v 1 = u 1 a v k = u k k 1 i=1 u k,v i v i,v i v i, pre1 < k n.potom v 1,...,v n súortogonálnevektoryaprekaždé1 k nplatí [v 1,...,v k ]=[u 1,...,u k ]. Špeciálne, ak u 1,...,u n je báza priestoru V, tak v 1,...,v n je ortogonálna báza priestoru V;potomvektory v 1 1 v 1,..., v n 1 v n tvoriaortonormálnubázupriestoru V. Poznámka. Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces funguje aj pre nekonečné postupnosti(u k ) k=0 lineárnenezávislýchvektorovvnekonečnorozmernomvektorovom priestore so skalárnym súčinom V. Rekurziou cez množinu všetkých prirodzených čísel v 0 = u 0 a v k = u k k 1 i=0 u k,v i v i,v i v i, pre k >0,jeivtomtoprípadedefinovanáortogonálnapostupnosť(v k ) k=0 taká,že [v 0,...,v k ]=[u 0,...,u k ] prekaždé k N.Ztohoužvyplývalineárnanezávislosťpostupnosti(v k ) k=0.ak (u k ) k=0 bolabázou V,tak(v k) k=0 jeortogonálnaa( v k 1 v k ) k=0 ortonormálna bázavo V.

10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 13.4.6. Príklad. Na základe Sylvestrovho kritéria(veta 12.2.4) ľahko nahliadneme, že symetrická matica A= 2 1 1 1 2 0 R 3 3 1 0 3 je kladne definitná. To znamená, že predpisom x,y =x T A y je definovaný skalárny súčin na (stĺpcovom) priestore R 3. Aplikáciou Gramovho- Schmidtovhoortogonalizačnéhoprocesunakanonickúbázu(e 1,e 2,e 3 )zostrojíme ortogonálnubázu(v 1,v 2,v 3 )priestoru R 3 suvedenýmskalárnymsúčinom: v 1 = e 1 =(1,0,0) T, v 2 = e 2 e 2,v 1 v 1,v 1 v 1= e 2 1 2 v 1=( 1/2,1,0) T, v 3 = e 3 e 3,v 1 v 1,v 1 v 1 e 3,v 2 v 2,v 2 v 2= e 3 + 1 2 v 1 1 3 v 2=(2/3, 1/3,1) T, keďže e 2,v 1 =1, v 1,v 1 =2, e 3,v 1 = 1, e 3,v 2 =1/2a v 2,v 2 =3/2.Ak eštedopočítame v 3,v 3 =7/3,dostanemedĺžkyjednotlivýchvektorov v 1 = 2, v 2 = 3/2, v 3 = 7/3.Príslušnáortonormálnabázajepotomtvorenávektormi 1 v 1 = 1 1 0, 2 2 0 2 3 v 2= 1 6 1 2 0, 3 7 v 3= 1 2 1. 21 3 13.4.7. Príklad. Na vektorovom priestore R[x] všetkých reálnych polynómov v premennej xjedanýskalárnysúčin f,g = 1 1 f(x)g(x)dx(pozripríklad13.1.2).postupnosť(x n ) n=0všetkýchmocnínpremennej xtvoríbázuvr[x].gramovou-schmidtovoumetódouznejzostrojímeortogonálnubázu ( L n (x) ) priestoru R[x] jej n=0 prvky sa niekedy nazývajú Legendreove polynómy. Ak si uvedomíme, že x m,x n = 1 1 postupne dostaneme L 0 (x)=1, [ x x m x n m+n+1 dx= m+n+1 L 1 (x)=x x,l 0 L 0,L 0 L 0(x)=x, ] 1 1 = { 2 m+n+1, L 2 (x)=x 2 x2,l 0 L 0,L 0 L 0(x) x2,l 1 L 1,L 1 L 1(x)=x 2 1 3, ak m+njepárne, 0, ak m+njenepárne, L 3 (x)=x 3 x3,l 0 L 0,L 0 L 0(x) x3,l 1 L 1,L 1 L 1(x) x3,l 2 L 2,L 2 L 2(x)=x 3 3 5 x,

13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY 11 atď.vidíme,že L n (x) = x n... jepolynóm n-téhostupňa,ktorýprepárne n obsahujelenpárnemocninypremennej xaprenepárne nlennepárnemocniny x. S trochou námahy možno odvodiť explicitné vyjadrenie L n (x)= n! (2n)! d n dx n(x2 1) n. V literatúre sa Legendreovými polynómami zvyčajne nazývajú násobky P n (x)= 1 2 n ( ) 2n L n (x)= 1 n 2 n n! d n dx n(x2 1) n polynómov L n (x),normovanétak,abyprekaždé nplatilo P n (1)=1. Gramovu-Schmidtovu ortogonalizáciu možno alternatívne vykonať len vhodnými úpravamiistýchmatíc.ak α=(u 1,...,u n )jelineárnenezávislá n-ticavektorov v priestore so skalárnym súčinom V, tak podľa tvrdenia 13.2.1(b) jej Gramova matica G(α) je kladne definitná a je to matica skalárneho súčinu zúženého na lineárny podpriestor S=[u 1,...,u n ] Vvbáze α.podľavety12.2.3jumožnovýlučneúpravami typu(1 + )upraviťnadiagonálnytvar D=diag(d 1,...,d n )skladnýmiprvkamina diagonále. Elementárne stĺpcové operácie zodpovedajúce týmto úpravám postupne vykonanénamatici I n násprivedúkhornejtrojuholníkovejmatici P=(p ij ) R n n sjednotkaminadiagonále,t.j. p ii =1ap ij =0prekaždé i naj < i.akpoložíme α P= β=(v 1,...,v n ), tak P= P α,β,t.j. P jematicouprechoduzbázy βdobázy α(pozriparagraf7.5). Potom Djematicouskalárnehosúčinuzúženéhonapodpriestor Svbáze β,teda G(β)=D,takže βjeortogonálnabáza S.Navyše,vzhľadomnatvarmatice P,platí k 1 v 1 = u 1 a v k = u k + p ik u i, i=1 pre1 < k n,zčohomožnoľahkonahliadnuťrovnosti [v 1,...,v k ]=[u 1,...,u k ] prevšetky k n.taktiežnormyvektorov v k simožnoprečítaťpriamozmatice D.Platítotiž d k = v k 2 prekaždé k n.tedapríslušnáortonormálnabázaje tvorenávektormi(1/ d 1 )v 1,...,(1/ d n )v n.tentoposlednýkrokmožnosamozrejme realizovať úpravami typu(4) matice G(β) a príslušnými ESO na matici P (pozri paragraf 11.3). Ak V = R m sakýmkoľvek(t.j.nienutneštandardnýmskalárnymsúčinom),tak postotožneníbázy αsmaticou,ktorejstĺpcesúvektorytejtobázy,možnokbáze β dospieťpriamo(t.j.bezmatice P),vykonanímpríslušnýchESOnamatici α.

12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 13.4.8. Príklad. Prepočítajme si ešte raz príklad 13.4.6 práve opísanou metódou. Uvedená matica A je zároveň Gramovou maticou G(ε). Najprv pomocou prvku na mieste(1, 1) vynulujeme ostatné prvky prvého riadku i stĺpca. Potom pomocou prvku namieste(2,2)vynulujemeprvkynamiestach(2,3)a(3,2): G(ε)= 2 1 1 1 2 0 1 0 3 2 0 0 0 3/2 1/2 0 1/2 5/2 2 0 0 0 3/2 0 =G(β). 0 0 7/3 Zrejmešlooúpravytypu(1 + ).VykonanímpríslušnýchESOnajednotkovejmatici dostaneme I 3 = 1 0 0 1 1/2 1/2 1 1/2 2/3 0 1 0 0 1 0 0 1 1/3 =β. 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Čitateľ by si mal samostatne premyslieť detaily výpočtu. Vidíme, že výsledné matice sa presne zhodujú s výsledkom príkladu 13.4.6. 13.4.9. Príklad. Vráťme sa ešte k príkladu 13.4.7. Bez podrobnejšieho komentára zortogonalizujemesystém(1,x,x 2,x 3 )prvýchštyrochmocnín xvr[x].postupnými úpravamitypu(1 + )Gramovejmatice G(1,x,x 2,x 3 )dostaneme 2 0 2/3 0 2 0 0 0 G(1,x,x 2,x 3 )= 0 2/3 0 2/5 0 2/3 0 2/5 2/3 0 2/5 0 0 0 8/45 0 0 2/5 0 2/7 0 2/5 0 2/7 2 0 0 0 0 2/3 0 0 =G(L 0 0 8/45 0 0,L 1,L 2,L 3 ). 0 0 0 8/175 Príslušné ESO vykonané na jednotkovej matici dávajú 1 0 0 0 1 0 1/3 0 1 0 1/3 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3/5 I 4 = =P. 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Potom (L 0,L 1,L 2,L 3 )= ( 1,x,x 2,x 3) P= (1, x, 13 + x2, 35 x+x3 ), rovnakoakovpríklade13.4.7.pohľadnamaticu G(L 0,L 1,L 2,L 3 )námnavyšeprezradínormypolynómov L n (x)pre n 3: L 0 = 2 8 2 8 2 2, L 1 = 3, L 2 = 45 =2 3 5, L 3 = 175 =2 5 7. PrenormyLegendreovýchpolynómov P n (x), n 3,ztohovyplýva P 0 = 2 2 2 2, P 1 = 3, P 2 = 5, P 3 = 7.

13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY 13 13.4.10.Príklad. Veuklidovskompriestore R 4 soštandardnýmskalárnymsúčinom je daný lineárny podpriestor S generovaný stĺpcami matice α= 0 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 0 Nájdeme nejakú ortonormálnu bázu podpriestoru S. Zrejme stĺpce matice α sú lineárnenezávislé,teda αjebázou S.JejGramovumaticu G(α)=α T αupravíme pomocouúpravtypu(1 + )nasňoukongruentnýdiagonálnytvar G(α)= 3 1 2 1 4 1 3 0 0 0 11/3 1/3 3 0 0 0 11/3 0 =G(β). 2 1 3 0 1/3 11/3 0 0 40/11 Príslušnými ESO na matici α dostaneme α= 0 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 2/3 4/3 1 4/3 2/3 1 2/3 2/3. 0 1 12/11 1 2/3 14/11 1 4/3 6/11 1 2/3 8/11 =β. Ortonormálna báza podpriestoru S je potom tvorená stĺpcami matice β vynásobenými prevrátenými hodnotami druhých odmocnín príslušných diagonálnych prvkov matice G(β), teda vektormi 1 3 0 1 1 1, 1 3 3 2/3 = 1 2, 11 4/3 33 4 2/3 2 11 40 12/11 14/11 = 1 6/11 110 8/11 6 7 3 4. 13.5. Ortogonálne matice Videli sme, že z vyjadrenia súradníc vektorov v euklidovských priestoroch vzhľadom na ortonormálne bázy vyplývajú dodatočné výhody, aké nám bázy, ktoré nespĺňajú túto podmienku, neposkytujú. Bude preto zaujímavé preskúmať, ako vyzerajú matice prechodu medzi takýmito bázami. Odpoveď na naznačenú otázku je prekvapivo jednoduchá. Matica A R n n sanazývaortogonálna,akplatí A T A=I n, alebo,čojetoisté, A 1 = A T.Uvedommesi,žeprvápodmienkavlastnehovorí,že stĺpcematice Atvoriaortonormálnubázueuklidovskéhopriestoru R n soštandardným skalárnymsúčinom.potomtiežplatí A A T = I n,tedatakistoriadkymatice Atvoria ortonormálnubázuvr n.ztýchdôvodovbybolovaripriliehavejšienazývaťtakéto matice ortonormálnymi. Budeme sa však držať zaužívanej terminológie.

14 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 13.5.1. Veta. Nech V je n-rozmerný euklidovský priestor, α je ortonormálna a β je ľubovoľná báza priestoru V. Potom báza β je ortonormálna práve vtedy, keď matica prechodu P α,β zbázy βdobázy αjeortogonálna. Inak povedané, každá matica prechodu medzi ortonormálnymi bázami je ortogonálna, a tiež naopak, každá ortogonálna matica je maticou prechodu medzi ortonormálnymi bázami. Dôkaz. Označme α=(u 1,...,u n ), β=(v 1,...,v n )ap = P α,β.podľadefinície maticeprechoduzparagrafu7.5atvrdenia13.4.4(a)pre i nplatí s i (P)=(v i ) α = ( v i,u 1,..., v i,u n ) T, teda P= ( v i,u j ).Keďžebáza αjeortonormálna,podľatvrdenia13.4.4(b)má n n (i,k)-typrvokmatice P T Ptvar s i (P) T s k (P)= n v i,u j u j,v k = v i,v k. j=1 Tedamatica P jeortogonálna,t.j. P T P= I n,právevtedy,keď v i,v k =δ ik pre všetky i,k n,t.j.právevtedy,keď βjeortonormálnabáza. Ortogonálne matice možno tiež charakterizovať ako matice, násobenie ktorými zachovávava štandardný skalárny súčin resp. euklidovskú dĺžku vektorov. 13.5.2.Veta. Nech R n jestĺpcovýeuklidovskýpriestorsoštandardnýmskalárnym súčinomaa R n.potomnasledujúcepodmienkysúekvivalentné: (i) A je ortogonálna matica; (ii)prevšetky x,y R n platí A x,a y = x,y ; (iii)prevšetky x R n platí A x = x. Dôkaz. (i) (ii)nech Ajeortogonálnaax,y R n.potom A x,a y =(A x) T (A y)=x T (A T A ) y= x T I n y= x,y. (ii) (i)zpodmienky(ii)prevektory x=e i, y= e j,kde i,j n,vyplýva s i (A) T s j (A)= s i (A),s j (A) = A e i,a e j = e i,e j =δ ij, teda A T A=I n,čiže Ajeortogonálna. (ii) (iii)platítriviálnea(iii) (ii)jedôsledkomrovnosti x,y = 1 2( x+y 2 x 2 y 2). Podrobnejší popis štruktúry ortogonálnych matíc nám umožnia až niektoré ďalšie poznatky o spektrálnych vlastnostiach matíc a lineárnych zobrazení, ktoré si začneme zadovažovať počnúc kapitolou 18. Ortogonálne matice rádu n 2 však možno preskúmať celkom elementárnymi prostriedkami. Čísla ±1 sú zrejme jediné dve ortogonálne matice rozmeru 1 1. Prvý netriviálny prípadtedanastávapre n=2.

13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY 15 13.5.3.Veta. Nech A R 2 2.Potom Ajeortogonálnaprávevtedy,keďjematicou rotácie okolo počiatku, t. j. ( ) cos α sin α A= = R sin α cos α α pre nejaké α R, alebo maticou osovej súmernosti podľa osi prechádzajúcej počiatkom,t.j. ( ) cos2β sin2β A= = S sin2β cos2β β prenejaké β R. Dôkaz. Nech A= ( ) a b.potom c d ( ) ( ) A T a c a b A= = b d c d ( ) a 2 + c 2 ab+cd ba+dc b 2 + d 2, tedapodmienka A T A=I 2,jeekvivalentnásrovnosťami a 2 + c 2 =1, ab+cd=0, b 2 + d 2 =1. Prváznichjeekvivalentnásexistenciou α Rtakého,že a=cos α, c=sinα,atretia sexistenciou β Rtakého,že b=sinβ, d=cos β.podľadruhejrovnicemusíprene platiť cos αsinβ+sinαcos β=sin(α+β)=0, t.j. α+β = kπ,kde k Z.Pre kpárneztohodostávame b=sinβ = sin α, d=cos β=cos α,teda Amátvar ( ) cos α sin α A= = R sinα cos α α. Pre knepárnemáme b=sin β=sin α, d=cos β= cos α,čovedienamaticutvaru ( ) cos α sin α A= = S sin α cos α α/2. Substitúciou(teraz už iného) β = α/2 dostávame tvar uvedený v znení vety.