2 Jordanova forma 2 Nilpotentni operatori Definicija Neka je V vektorski prostor Operator N P LpV q je nilpotentan indeksa p (p P N) ako vrijedi N p, N p Propozicija Ako je e P V takav da je N p e, onda je tn p e,, Ne, eu linearno nezavisan skup Korolar Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor, dim V n Ako je N P LpV q nilpotentan indeksa ind N n i ako je e P V takav da je N n e, onda je pn n e,, Ne, eq baza prostora V Zovemo ju ciklička baza za operator N i u njoj N ima matricu Uočimo N 2 peq N peq,, N n peq Propozicija Ako je N P LpV q nilpotentan indeksa ind N n dim V i ako je A P LpV q takav da je AN NA, onda postoji polinom ppλq P K rλs takav da je A ppn q (Dakle, svi operatori koji komutiraju s N su polinomi od N) Propozicija Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor nad K, dim V n (a) Ako je N P LpV q nilpotentan indeksa p, onda je k N pλq p q n λ n, µ N pλq λ p, σpn q tu (b) Ako je K C i ako za N P LpV q vrijedi σpn q tu, onda N mora biti nilpotentan Korolar Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor, dim V n Ako je N P LpV q nilpotentan indeksa p, onda je p n, tj uvijek je ind N dim V Zadatak V konačno-dimenzionalan vektorski prostor, dim V n Ako je A P LpV q nilpotentan i ind A n, dokažite da ne može postojati B P LpV q za koji bi vrijedilo B 2 A Zadatak 2 V konačno-dimenzionalan vektorski prostor, N P LpV q nilpotentan, ind N p Definirajmo operator T P LpLpV qq formulom T paq : NA AN, A P LpV q Dokažite da je T nilpotentan indeksa ind T 2p n n
Zadatak 3 Neka operator B P LpV q ima u bazi peq pe, e 2, e 3 q od V matrični prikaz Bpeq 3 5 9 9 3 9 3 Dokažite da je B nilpotentan operator indeksa 3 i nad ite jednu cikličku bazu za operator B Zadatak 4 V konačno-dimenzionalan vektorski prostor, dim V n Neka je N P LpV q nilpotentan, ind A n i neka je A P LpV q, AN NA Dokažite da je detpa N q det A Zadatak 5 Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q nilpotentan Odredite indeks nilpotentnosti operatora A ako je ind A 3 4, ind A 2 5 Teorem (osnovni teorem o redukciji nilpotentnog operatora indeksa manjeg od dim V ) Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor nad K, N P LpV q nilpotentan, ind N p n dim V Tada postoje potprostori V,, V m V takvi da je dim V dim V dim V m koji su N-invarijantni (tj NV i V i ) i takvi da vrijedi V V V m Inducirani operatori N i : N Vi su nilpotentni i pri tome vrijedi ind N i dim V i Ako se u navedenom rastavu k-dimenzionalan potprostor pojavljuje n k puta, onda je n k rpn k q rpn k q 2rpN k q 2dpN k q dpn k q dpn k q 2d k d k d k, @k P N Ukupan broj potprostora u navedenom rastavu je m dpn q Uočimo: n p rpn p q rpn p q 2rpN p q jer N p i N p Dakle, u gornjem rastavu se pojavljuje p-dimenzionalan potprostor Uzmemo li u potprostoru V j ciklički vektor e j i pomoću njega izgradimo bazu N dim V j j e j, N dim V j 2 j e j,, N j e j, e j prostora V j (uočite da je to isto što i N dim V j e j, N dim V j 2 e j,, Ne j, e j ), dobivamo da za nilpotentan operator N postoji baza peq od V takva da je N peq kvazidijagonalna matrica Na dijagonali blok matrice N peq nalaze se elementarne Jordanove klijetke reda dim V j, tj matrice oblika dim V j dim V j
Tu bazu nazivamo Jordanova baza nilpotentnog operatora N Kvadratnu matricu J zovemo Jordanovom klijetkom ako je J dijagonalna blok-matrica s elementarnim klijetkama na dijagonali Pored toga, redovi klijetki koju su u J na dijagonali ne rastu kada idemo po dijagonali iz lijevog gornjeg kuta u desni donji kut matrice Matrica J ima sve elemente jednake nuli osim možda nekih elemenata na gornjoj sporednoj dijagonali koju su jednaki Na gornjoj sporednoj dijagonali u J dolazi najprije dim V jedinica, pa jedna nula, onda dim V 2 jedinica, pa jedna nula, i tako dalje do dim V m jedinica Primjer (n 5, m 2; dim V 3, dim V 2 2) Zadatak 6 Operator B P LpC 4 q zadan je svojim matričnim prikazom u bazi peq sa Bpeq 2 2 2 2 Pokažite da je B nilpotentan, odredite mu indeks i Jordanovu klijetku Zadatak 7 Operator N P LpC 4 q zadan je svojim matričnim prikazom u kanonskoj bazi peq sa N peq Pokažite da je N nilpotentan, odredite mu indeks, Jordanovu klijetku i jednu njegovu Jordanovu bazu Opći postupak za pronalaženje Jordanove baze nilpotentnog operatora indeksa p: KerN p KerN p u,, u a KerN p KerN p 2 Nu,, Nu a v,, v b KerN p 2 KerN p 3 N 2 u,, N 2 u a Nv,, Nv b w,, w c KerN 2 KerN N p 2 u,, N p 2 u a N p 3 v,, N p 3 v b N p 4 w,, N p 4 w c y,, y d KerN tu N p u,, N p u a N p 2 v,, N p 2 v b N p 3 w,, N p 3 w c Ny,, Ny d z,, z e Jordanova baza izgleda ovako: N p u, N p 2 u,, Nu, u,, N p u a,, Nu a, u a,, Ny, y,, Ny d, y d, z,, z e (
Primjer N dpn q m 4 (ukupno 4 bloka); dim V 4, dim V 2 3, dim V 3, dim V 4 KerpN 4 q KerpN 3 q f 4 KerpN 3 q KerpN 2 q f 3 f 7 KerpN 2 q KerpN q f 2 f 6 KerpN q tu f f 5 f 8 f 9 Prvo nad emo f 4 ; f 3 Nf 4, f 2 Nf 3, f Nf 2 tf 3, f 7 u baza od KerpN 3 q KerpN 2 q; f 6 Nf 7, f 5 Nf 6 Skup tf, f 5 u nadopunimo vektorima f 8 i f 9 do baze prostora KerN Primjer Koristeći se ovim postupkom možemo odrediti Jordanovu bazu operatora B iz Zadatka 6 Bpeq 2 2 2 2 Mi smo pronašli JpBq Zadatak 8 Neka je A P LpC 4 q zadan svojim matričnim prikazom u kanonskoj bazi peq za C 4 Apeq Dokažite da je A nilpotentan i odredite mu indeks nilpotentnosti Nadalje, odredite broj i dimenziju cikličkih potprostora, te odredite Jordanovu formu od A i jednu Jordanovu bazu Zadatak 9 Pretpostavimo da je N P LpC 7 q nilpotentan operator za koji vrijedi ind N 3, rpn q rpn 2 q 5 Ispitajte je li Jordanova forma od N jednoznačno odred ena, te ju, ako jest, odredite
22 Jordanova forma operatora Teorem (o Jordanovoj formi) Neka je V konačno-dimenzionalni vektorski prostor nad algebarski zatvorenim poljem, dim V n Neka A P LpV q ima karakteristični polinom i minimalni polinom k A pλq p q n pλ λ q k pλ λ r q kr µ A pλq pλ λ q p pλ λ r q pr Tada postoje potprostori V,, V r V invarijantni s obzirom na operator A takvi da je V V r V, dim V j k j, za j,, r, te da za inducirani operator A j P LpV j q na potprostoru V j vrijedi A j λ j I Vj N j, pri čemu je N j P LpV j q nilpotentni operator indeksa p j, za j,, r p q Nadalje, za svaki j P t,, ru postoje potprostori X j,, X jmj V j invarijantni s obzirom na operator N j i takvi da je X j X jmj V j te da za inducirani operator N ji P LpX ji q na potprostoru X ji vrijedi ind N ji dim X ji, za i,, m j Drugim riječima, postoji baza prostora V (tzv Jordanova baza) u kojoj operator A ima matricu sljedećeg oblika (tzv Jordanovu formu): Apeq λ I N λ 2 I N 2 λ r I N r n n, gdje je λ j I N j λ j I N j λ j I N j2 λ j I N jmj i λ j I N ji λ j λ j λ j λ j dim X ji dim X ji k j k j temeljni Jordanov blok ili (elementarna) Jordanova klijetka pridružena skalaru λ j Činjenice: tλ,, λ r u σpaq Zbroj dimenzija svih klijetki pridruženih skalaru λ j je jednak k j
Broj klijetki pridruženih skalaru λ j jednak je dpa λ j Iq, tj geometrijskoj kratnosti svojstvene vrijednosti λ j Najveća klijetka pridružena skalaru λ j ima dimenziju p j Broj klijetki pridruženih skalaru λ j koje imaju dimenziju l P N jednak je n pλ j q l 2dppA λ j Iq l q dppa λ j Iq l q dppa λ j Iq l q Napomena Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor nad algebarski zatvorenim poljem Operatori A, B P LpV q su slični (tj postoji T P GLpV q takav da je B T AT ) ako i samo ako imaju iste Jordanove forme (do na poredak blokova) Uvedimo oznaku d pλ j q l : dppa λ j Iq l q Zadatak Linearni operator A P LpC 4 q zadan je u kanonskoj bazi od C 4 matricom A 2 3 3 2 3 2 3 2 Nad ite minimalni polinom i Jordanovu formu operatora A Zadatak 2 Označimo s P 3 vektorski prostor polinoma nad C stupnja 3 u varijabli t Kanonska baza prostora P 3 je p, t, t 2, t 3 q Linearni operator A P LpP 3 q definiran je sa Apptq : 2 ppqp tq ppqp tq 2 p2 pqp3t 2 t 3 q 6 p3 pqpt 2 t 3 q Napišite matricu operatora A u kanonskoj bazi od P 3 te mu nad ite minimalni polinom i Jordanovu formu Zadatak 3 Neka za operator A P LpV q vrijedi k A pλq pλ qpλ 2q 3 Kako sve može izgledati µ A pλq? Možemo li za svaki od mogućih rezultata za µ A jednoznačno (do na poredak blokova) odrediti Jordanovu formu operatora A? Zadatak 4 Koliko najviše elemenata može imati skup operatora S LpC 3 q takav da za svaki T P S vrijedi σpt q t2, 3u i nikoja dva operatora nisu slična? Zadatak 5 Operator A P LpC 7 q u nekoj bazi pf q za C 7 ima matrični prikaz A 3 3 3 Nad ite σpa 3Iq, k A pλq, geometrijsku kratnost svojstvene vrijednosti, detpa pa 2Iqq, µ A pλq i trpa Iq
Zadatak 6 Napišite Jordanovu formu operatora A P LpC 7 q ako je poznato da vrijedi: (a) rpaq 4, rpa 2 q, rpa 3 q (b) σpaq t 2, 2u, stupanj od µ A je 2, trpaq 6 (c) k A pλq pλ 3q 3 µ A pλq, pµ A pλqq 4 pλ 3q 9 k A pλq L A TEX-irala: Martina Stojić martinastojic@gmailcom http://webmathhr/~stojic rujan i studeni 24