UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY IZOPERIMETRICKÉ NEROVNOSTI A DISKRÉTNE ANALÓGIE BAKALÁRSKA PRÁCA 1 Zosia Oavcová

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZYKY A INFORMATIKY IZOPERIMETRICKÉ NEROVNOSTI A DISKRÉTNE ANALÓGIE BAKALÁRSKA PRÁCA Študijný pogam: Študijný odbo: Školiace pacovisko: Vedúci páce: Ekonomická a finančná matematika 1114 Aplikovaná matematika Kateda aplikovanej matematiky a štatistiky pof. RND. Daniel Ševčovič, CSc. Batislava 1 Zosia Oavcová

457517 Univezita Komenského v Batislave Fakulta matematiky, fyziky a infomatiky ZADANIE ZÁVEREČNEJ PRÁCE Meno a piezvisko študenta: Zosia Oavcová Študijný pogam: ekonomická a finančná matematika (Jednoodboové štúdium, bakalásky I. st., denná foma) Študijný odbo: 9.1.9. aplikovaná matematika Typ záveečnej páce: bakaláska Jazyk záveečnej páce: slovenský Názov: Cieľ: Vedúci: Izopeimetické neovnosti a diskétne analógie Cieľom páce je analyzovať spojité i diskétne analógie izopeimeteických neovností, ktoé súvisia s optimalizačnou otázkou minimalizácie obvodu pi zachovaní obsahu ovinného útvau. Dátum zadania: 16.1.11 Dátum schválenia: 7.1.11 pof. RND. Daniel Ševčovič, CSc. doc. RND. Magaéta Halická, CSc. gaant študijného pogamu študent vedúci

Poďakovanie a Ďakujem svojmu školiteľovi pof. RND. Danielovi Ševčovičovi, CSc. za cenné ady, ktoé mi poskytol pi tvobe tejto bakaláskej páce.

Abstakt v štátnom jazyku Oavcová, Zosia : Izopeimetické neovnosti a diskétne analógie [Bakaláska páca], Univezita Komenského v Batislave, Fakulta matematiky, fyziky a infomatiky, Kateda aplikovanej matematiky a štatistiky; vedúci: pof. RND. Daniel Ševčovič, CSc., Batislava, 1, 54 s. V páci sa zaobeáme izopeimetickým kvocientom ôznych ovinných uzavetých kiviek. Na úvod uvádzame niektoé základne poznatky matematickej analýzy. V pvej časti počítame izopeimetický kvocient pe hladké kivky pomocou eliptických paametických integálov. Odvodzujeme si vzoce na výpočet elementánej oblasti a dĺžky pe nie hladké kivky, pomocou ktoých následne počítame ich kvocient. Odvozujeme si pedpis na výpočet kvocientu pe hypocykloidu. Na začiatku duhej časti dokážeme izopeimetickú neovnosť. Nasleduje numeické počítanie izopeimetických kvocientov pe snehové kyštály (vločky). Na výpočty používame matematický softwé Matlab. Kľúčové slová: Izopeimetický kvocient, Eliptické integály, Hypocykloida, Vločky

Abstact Oavcová, Zosia : Isopeimetic inequality and discete analogies [Bachelo Thesis], Comenius Univesity in Batislava, Faculty of Mathematics, Physics and Infomatics, Depatment of Applied Mathematics and Statistics; Supeviso: pof. RND. Daniel Ševčovič, CSc., Batislava, 1, 54 p. In this wok we deal with isopeimetic quotient of diffeent plane closed cuves. At intoduction, we summaize some fundamentals of mathematic analysis. In the fist pat we compute isopeimetic quotient fo smooth closed cuves, using an eliptic paametic integals. We deduce some fomulas which help us to compute an aea enclosed by a closed, not smooth cuve, and length of this cuve. We also deduce fomula fo computation isopeimetic quotient fo hypocycloid. At the beginning of the second pat we pove an isopeimetic inequality. Than we calculate izopeimetic quotient fo snow cystals (snowflakes). To calculation we using mathematical softwae Matlab. Key wods: Isopeimetic quotient, Eliptic paametic integals, Hypocycloid, Snowflakes

Obsah Úvod 8 1 Izopeimetická neovnosť, izopeimetický kvocient 1 Spojité kivky 1.1 Elipsa.................................... 13. Hypocykloida................................ 17..1 Asteoida.............................. 17.. Hypocykloida(pe = 1)...................... 19.3 Cassiniho ovál................................ 4.3.1 Lemniskáta............................. 5.3. Piškóta............................... 8 3 Diskétne Analógie 3 3.1 Dôkaz izopeimetickej neovnosti..................... 33 3. Vločky.................................... 39 Záve 51 Zoznam použitej liteatúy 53 7

Úvod Izopeimetický poblém, esp. izopeimetická úloha je známa ľudstvu už po tisícočia. Zo slova izopeimetický (izo -ovnaký, peimete -obvod) možno vytušiť, že ide o úlohu maximalizácie obsahu pi zachovaní obvodu. Pvé počiatky izopeimetického poblému siahajú do antického Gécka, a síce k píbehu káľovnej Dido a jej poblému s vytýčením haníc. Podľa povesti, Dido utiekla z mesta Tyos (dnešný Sú) do Afiky, po tom, čo jej bat z lakomosti zavaždil manžela. Za poklady svojho muža, ktoé vzala so sebou, mala možnosť kúpiť od libyjského káľa toľko zeme, koľko sa dá ohaničiť byvoľou kožou. Dido dala ozezať byvoliu kožu na čo najtenšie púžky, aby mohla ohaničiť čo najväčší kus zeme. Keďže sa nachádzala na pobeží, ozhodla sa pe polkuh. Keby sme sa vátili do staoveku a čias obvodovej výmey, ktoou sa evidovali pozemky, ýchlo by sme si asi všimli, že náš obdĺžnikový pozemok je ozlohou menší než susedov štvocový, hoci obvod a teda aj výmea je ovnaká. Piodzene by sme teda pišli k otázke: Spomedzi všetkých útvaov s ovnakým obvodom, existuje nejaký, ktoý má väčší obsah, než všetky ostatné? Bees, then, know just this fact which is useful to them, that the hexagon is geate than the squae and the tiangle and will hold moe honey fo the same expenditue of mateial in constucting each. But we, claiming a geate shae of wisdom than the bees, will investigate a somewhat wide poblem, namely that, of all equilateal and equiangula plane figues having the same peimete, that which has the geate numbe of angles is always geate, and the geatest of them all is the cicle having its peimete equal to them. Včely, vedia len tento fakt, ktoý je užitočný pe ne, že hexagón je väčší ako štvoec (obsahovo) a väčší ako tojuholník a udží viac medu pi ovnakých nákladoch na konštukciu. Ale my tvdíme, že si vieme zobať väčší podiel z tejto múdosti ako včely, a síce, že zo všetkých pavidelných mnohouholníkov majúcich ovnaký obvod, je vždy väčší (mysliac obsahovo) ten, ktoý ma väčší počet uhlov a najväčší z nich je kuh. 1 a Pappus of Alexandia (ca 3 A.D) 1 Pozn. Vyššie uvedený, voľne paafázovaný text si vykladáme nasledovne. Nákladmi na konštuciu máme na mysli mateiál, ktoý včely minú na vytvoenie jednej zložky plástu, čiže jedného plášťa hanola so štvouholníkouvou, tojuholníkovou esp. šesťuholníkovou podstavou. 8

Môžeme teda povedať, že izopeimetický poblém, indikuje úlohu maximalizácie obsahu plochy, ohaničenej kivkou, pi zachovaní obvodu, alebo tiež minimalizácie obvodu pi zachovaní obsahu, pičom už intuitívne tušíme, že iešením je kužnica. Existuje veľa zovšeobecnení izopeimetickej neovnosti do viacozmeného piestou, ako napíklad sféicka izopeimetická neovnosť, ktoá poovnáva dĺžku jednoduchej uzavetej kivky na povchu guľovej plochy s obsahom, ktoý na tejto zakivenej ploche ohaničuje. Taktiež existuje zovšeobecnenie neovnosti na povch v tojozmenom euklidovskom piestoe, a síce spomedzi všetkých jednoduchých uzavetých plôch s daným obsahom povchu, uzatváa oblasť maximálneho objemu páve guľa. Analogické tvdenie platí pe Euklidovské piestoy akejkoľvek dimenzie. V našej páci sa však týmito zovšeobecneniami zaobeať nebudeme. Pedkladaná bakaláska páca pozostáva z úvodu, 3 kapitol a záveu. V pvej kapitole si povieme o pechode izopeimetického poblému k izopeimetickej neovnosti. Hlavne nás však bude zaujímať izopeimetický kvocient, ktoý pislúcha jednotlivým typom kiviek a ako sa mení spolu s kivkou. Budú nás zaujímať ako spojité, tak i diskétne analógie, a teda nie hladké kivky a ich kvocienty. Ukážeme, že iešenie izopeimetického poblému pe nie hladké kivky je pavidelný mnohouholník. Izopeimetická neovnosť je pojem veľmi šioký, existuje veľa zovšeobecnení do viacozmeného piestou. V našej páci sa však budeme zaobeať výhadne izopeimetickou neovnosťou v dvojozmenom piestoe, teda v ovine. Je to vezia neovnosti s ktoou sa stetávame v každodennom živote. Záme páce je piblížiť ľuďom bez matematického vzdelania jednoduchý matematický poznatok, ktoý sa vôkol nás vyskytuje a aplikuje neustále. Ako napíklad v pípade včelích plastov, píoda sa skátka sama zaiadi tak, aby to bolo pe ňu enegeticky najvýhodnejšie. 9

1 Izopeimetická neovnosť, izopeimetický kvocient V úvode sme už uviedli, že izopeimetický poblém je úloha nájsť útva, ktoý pi danom obvode maximalizuje svoj obsah. Rovnako sme spomenuli, že existuje iešenie tejto úlohy a tým iešením je kužnica, ako neskô ukážeme. Od izopeimetického poblému k izopeimetickej neovnosti pejdeme jednoducho. Ak kivka maximalizujúca obsah, pi danom obvode je kužnica s dĺžkou L, tak obsah maximálnej oblasti je A = π = π( L π ) = L 4π. Pe každú inú uzavetú kivku dĺžky L platí A L, teda platí neovnosť 4πA L 4π a analogicky aj neovnosť L 4πS. Pe kužnicu a ňou ohaničený kuh platí ovnosť. Kedže je to jediné iešenie, ako neskô ukážeme, platí ovnosť vtedy a len vtedy, ak ide o kužnicu. Teaz už vieme, že izopeimetická neovnosť poovnáva duhú mocninu dĺžky kivky s obsahom ohaničeným danou kivkou. Izopeimetický poblém môžeme intepetovať tomi spôsobmi. Pvá možnosť : hľadáme spomedzi všetkých uzavetých jednoduchých kiviek s ovnakým obvodom tú, ktoá ohaničuje maximálny obsah. Duhá možnosť je pozieť sa na to opačne, teda hľadáme spomedzi všetkých uzavetých kiviek s ovnakým obsahom takú, ktoá ma minimálny obvod. Nakoniec je tu možnosť tetia, nahadiť izopeimetický poblém analytickou neovnosťou. 4πA L Na základe doteajších skúseností odvodíme pojem izopeimetický kvocient. Začneme tadičnou otázkou: Ktoý spomedzi všetkých tvaov jednoduchých uzavetých kiviek, pi danom obvode dáva najväčší obsah? Aby sme mohli poovnávať tvay kiviek s ôznymi obvodmi, obvod každej kivky naškálujeme na hodnotu 1, tak, že týmto obvodom pedelíme jej lineány ozme. Keďže obsah je piamo umený štvocu lineánej dimenzie, obsah ohaničený kivkou s upaveným obvodom je povôdný obsah pedelený duhou mocninou pôvodného obvodu, asíce A. Teda, pome obsahu a duhej mocniny obvodu je obsah, ktoý by mala daná kivka, ak by jej obvod bol 1. L Ak to spavíme so všetkými kivkami, tak kivka, ktoá bude mať tento pome najväčší je odpoveďou na našu otázku. Keďže my už ale odpoveď tušíme, maximálna hodnota pomeu bude pe kužnicu, pe ktoú platí: 1

A L = Odkiaľ dostávame pome : Q = 4πA, ktoý tiež nazývame izopeimetický kvocient. Bude platiť 4πA L menší obsah ako kužnica. π (π) = L π 4π = 1 4π 1, teda všetky ostatné kivky ohaničujú pi ovnakom obvode, Izopeimetický kvocient možme tiež definovať ako pome oblasti ohaničenej uzavetou jednoduchou kivkou a oblasti ohaničenej kužnicou. Pe kužnicu je tento pome 1, pe útva, ktoý nemá takme žiadny obsah je tento pome takme nula. Takže čím je kvocient bližšie k jednotke, tým bližšie má tva kivky ku kužnici, tým je útva plnší a zas naopak čím bližšie je kvocient k nule, tým je kivka členitejšia esp. útva, ktoý sebou vykesľuje je chudší. Pe ilustáciu vypočítame izopeimetický kvocient pe obdĺžnik, so stanami a,b (a, b R; a b) jedným aj duhým spôsobom. Pe obvod a obsah daného obdĺžnika platí : L = (a + b) ; A = a.b Pvý spôsob : cez odvodený pome. Duhý spôsob : cez pome obsahov Q = 4πA L = 4πab 4(a + b) = πab (a + b) Aby sme mohli poovnávať obsahy potebujeme kuh s ovnakým obvodom ako je náš obdĺžnik, teda musí platiť : L = (a + b) = π Z toho vyplýva = a + b π ( ) a + b Takže pe obsah platí : S = π = π = A teda pome obsahov je : A S = ab (a + b) π π (a + b) π = πab (a + b). 11

Spojité kivky Teaz už vieme, že izopeimetický kvocient nám hovoí o tom, na koľko pecent sa daný útva pibližuje k iešeniu izopeimetického poblému. Do akej miei maximalizuje svoj obsah. V kapitole Spojité kivky sa pozieme na niekoľko známych uzavetých kiviek a analyticky spočítame ich izopeimetické kvocienty. Z poznatkov matematickej analýzy viaceých pemenných si pipomenieme niekoľko definícií a tvdení, ktoé budeme neskô pi výpočtoch používať. Definícia.1 (Definícia eguláneho zobazenia) Nech g : Ω R N Ω R M g 1 (y 1, y,... y N ) g (y 1, y,... y N ) g(y) =.. g M (y 1, y,... y N ) je posté zobazenie, pičom g(ω ) = Ω. Označme Jakobiho maticu g 1 g y 1 (y) 1 g y (y)... 1 y N (y) g g g (y) = y 1 (y) g y (y)... y N (y)... g M g y 1 (y) M g y (y)... M y N (y) kde g i y j (y), je paciálna deivácia funkcie g i podľa y j v bode y. Nech I g (y) je deteminant z hoeuvedenej matice Jakobiho matice, t.j Jakobián. Ak I g (y) hovoíme, že zobazenie g je eguláne. Poznamenajme, že v takom pípade je n n matica g (y) invetovateľná. Veta. Nech f je Riemannovsky integovateľná funkcia na oblasti Ω a nech g : Ω R N Ω R N je C 1 difeomofizmus (t.j g je eguláne). Ak x = g(y) Ω, tak f(x)dx = f(g(x)) I g (y) dx Ω Ω kde I g (y) je deteminant Jakobiho matice zobazenia g, t.j Jakobián. 1

Z vlastností integálu vieme, že 1dx = Ω, teda ak za f(x) dosadíme jednotku Ω budeme počítať obsah oblasti Ω. Tansfomácie súadníc vo všeobecnosti veľmi uľahčujú výpočet niektoých zložitejších integálov. V našej páci budeme najviac využívať najznámešiu a najpoužívanejšiu tansfomáciu do polánych súadníc. Tansfomácia pomocou polánych súadníc na oblasti G : ρ >, < ϕ < π, je daná pedpisom x = ρ cos(ϕ), y = ρ sin(ϕ) Definícia.3 Nech x 1, x : I R sú spojité funkcie, kde I R je inteval. Kivkou v ovine R nazývame množinu Γ = {x(t) = (x 1 (t), x (t)), t I }. Definícia.4 Kivka Γ = {x(t), t I}, kde I = [a, b], sa nazýva uzavetá, ak platí x(a) = x(b). Definícia.5 Kivka Γ = {x(t), t I} sa nazýva C 1 hladká, ak x : I R je spojité difeencovateľné zobazenie. Veta.6 Nech je daná kivka Γ = {x(t), t I} R a nech x i = x i (t) sú C 1 difeencovateľné funkcie také, že existuje integál x 1 + x dt < I Potom kivka Γ má konečnú dĺžku Γ (t.j je ektifikovateľná).1 Elipsa Γ = x 1 + x dt < I Teaz, keď už máme v ukách akési nástoje na počítanie integálov zátame izopeimetický kvocient pe elipsu. Zobeieme kanonickú ovnicu elipsy: 13

x a + y b = 1 ; kde a, b R Bez ujmy na všeobecnosti môžme pedpokladať, že b-hlavná poloos, a-vedľajšia poloos, teda platí a b. Na výpočet obsahu použijeme tansfomáciu do polánych súadníc: x = a cos ϕ y = a sin ϕ, Jakobián zobazenia je J = ab; pe (, 1), ϕ (, π ) A = 1 J ddϕ = 1 abddϕ = ab dϕ = ab π = πab Pe výpočet dĺžky elipsy L použijeme vzoec z vety 3.6. Použijeme paametizáciu: x = a cos ϕ ; y = b sin ϕ pe ϕ (, π ) L = 4 x + y dϕ = 4 a sin ϕ + b cos ϕdϕ a = 4 a sin ϕ + b (1 sin ϕ)dϕ = 4 abc = 4b 1 ( b a ) sin ϕdϕ = 4b b b (b a ) sin ϕdϕ 1 k sin ϕdϕ Výpočtom sme sa dopacovali k paametickému integálu, kde k = 1 a < 1. b Pozn1.Paametickým integálom ozumieme : F (y) = f(x, y)dx Ω Definícia.7 Eliptické paametické integály : 1.duhu : ϕ du 1 k sin u = F (k, ϕ) du 1 k sin u = F (k) pe ϕ = π 14

.duhu : ϕ 1 k sin udu = E(k, ϕ) 1 k sin udu = E(k) pe ϕ = π F (k, ϕ) sa nazýva neúplný eliptický paametický integál 1.duhu E(k, ϕ) sa nazýva neúplný eliptický paametický integál.duhu F (k) sa nazýva úplný eliptický paametický integál 1.duhu E(k) sa nazýva Euleov paametický integál. V našom píklade o elipse, vyšla dĺžka kivky ovná násobku Euleovho eliptického integálu v bode k, kde k závisí od pomeu hlavnej a vedľajšej poloosi. Tento integál sa dá počítať len numeicky, je tabulovaný pe ôzne hodnoty paameta k. My sa pozieme, ako bude vyzeať izopeimetický kvocient v haničných pípadoch. 1.pípad : Chudá elipsa Pozieme sa na elipsu, pe ktoú platí, že pome hlavnej a vedľajšej poloosi sa blíži k nekonečnu. Teda, uvažujeme pípad : x a + y b = 1 a b b a Gaficky s astúcim pomeom, sa elipsa naťahuje do výšky a zužuje zo šíky. Pe koeficient k dostávame : k = 1 a k 1 b Hodnota Euleovho paametického integálu sa vtedy blíži k E(1) : E(1) = 1 sin ϕdϕ = Z pikladu o elipse vieme: cos ϕdϕ = cos ϕdϕ = [sin ϕ] π = 1 L = 4b 1 k sin ϕdϕ = 4bE(k) 4bE(1) = 4b 15

A = πab Teda pe izopeimetický koeficient dostávame: Q = 4πA L = 4π ab 8b = π a b keďže b a ; ; Q. a b Ukázali sme, že pe elipsu, ktoej sa dĺžka hlavnej poloosi blíži k nekonečnu a dĺžka vedľajšej poloosi ostáva konštantná, sa izopeimetický kvocient blíži ku Q =. Kivka, má limitne nulový obsah pi nekonečnom obvode. Teda v poovnaní s kužnicou, takáto elipsa sa spáva pesne opačne ako kužnica, na daný obvod minimalizuje svoj obsah..pípad : Okúhla elipsa V tomto pípade sa pozieme na elipsu, ktoej pome vedľajšej a hlavnej poloosi je limitne blízko jednotke. Zobeieme teda dĺžku vedľajšej poloosi a, pibližujúcu sa zdola k dĺžke hlavnej poloosi b. x a + y b = 1 a b b = a a b ; a b a b 1 ; a b 1 k = 1 a b Teda : E(k) E() = π L = 4bE(k) 4bE() = bπ A = πab Teda pe izopeimetický kvocient dostávame : Q = 4πA L = 4π ab 4π b = a b b = a Q 1, Q sa zdola pibližuje k jednotke. Na tomto píklade sme si ukázali, ako neskô dokážeme, že naozaj platí: Ak sa kivka pibližuje ku kužnici, jej izopeimetický kvocient sa pibližuje k jednotke. Ukázali sme to apoximáciou elipsy ku kužnici, kde nám vyšlo, že ak pe vedľajšiu 16

poloos platí, že sa pibližuje svojou dĺžkou k hlavnej, tak z analytického výpočtu nám vyjde, že ak budeme pibližovať do nekonečna, izopeimetický kvocient bude v nekonečne ovný 1, teda kivka maximalizuje svoj obsah. Týmto sme akoby uobili skúšku spávnosti k doteajším poznatkom o izopeimetickom kvociente.. Hypocykloida Ďaľšia kivka, ktoou sa budeme zaobeať je hypocykloida. Kivka hypocykloidy vznikne ako dáha bodu kužnice s polomeom, ktoá sa kotúľa zvnúta po pevnej kužnici s polomeom R. Paametické vyjadenie hypocykloidy: x = (R ) cos ϕ + cos R ϕ y = (R ) sin ϕ sin R ϕ Ob.1: Hypocykloidy Na Ob. 1, môžeme vidieť jednotlivé hypocykloidy pe ôzne hodnoty polomeu R, pi fixnom polomee = 1. Polome fixujeme, aby sme dostali nepesekajúcu sa kivku, petože máme v úmysle počítať iba s takými...1 Asteoida Asteoida je kivka z tiedy hypocykloíd a na Ob.1 ju spoznávame ako duhú v poadí. Jej paametické vyjadenie je : x = 3 cos ϕ + cos 3ϕ y = 3 sin ϕ sin 3ϕ 17

My ju však poznáme skô z kateziánskeho tvau : x 3 + y 3 = a 3 kde a je vzdialenosť pisečníka kivky s osou x esp. y (keďže kivka je symetická) od počiatku. Najpv si vypočítame obsah tejto kivky. Vo výpočte použijeme jej kateziánske vyjadenie. Obsah asteoidy vypočítame klasicky cez dvojný integál. x (, a) y (, (a 3 x 3 ) 3 ) Počítame 1 4 obsahu : a 3 (a 3 x 3 ) a = 3a dxdy = a a (a 3 x 3 ) 3 dx = x = a sin 3 t dx = 3a sin t cos tdt = 3a (a 3 a 3 sin t) 3 sin t cos tdt = 3a (cos t) 3 cos t sin tdt a = 3a (cos 4 t cos 6 t)dt ( ) 1 + cos t využijeme poznatok : cos t = ( 1 16 + 1 ) cos 4t cos t dt 8 16 1 8 cos3 tdt = I 1 I sin t Pvý z ozdielu integálov I 1, je tiviálny na výpočet, cos t sa zinteguje na a cos 4t analogicky, teda po zintegovaní a dosadení haníc dostávame: I 1 =a 3a π 3. Duhý z ozdielu integálov I, sa tiež spočíta jednoducho a síce cez substitúciu sin t = a. Po zintegovaní a dosadení haníc dostávame, že I =. Teda pe obsah asteoidy dostávame: A = 3a π. 8 Pe výpočet dĺžky asteoidy si tansfomujeme súadnice x a y nasledovne : x = a cos 3 ϕ ; y = a sin 3 ϕ x = 3a cos ϕ sin ϕ ; y = 3a sin ϕ cos ϕ Podľa vety (3.6) vieme, že dĺžku kivky môžme počítať : abcl = I x 1 + x dt = 4 9a cos 4 ϕ sin ϕ + 9a sin 4 ϕ cos ϕdϕ 18

abcla abc = 1a cos ϕ sin ϕdϕ = 1a [ x = 1a a ] 1 = 6a Použili sme substitúciu cos ϕ = x ; sin ϕdϕ = dx cos ϕ sin ϕ = cos ϕ. sin ϕ ; petože obe funkcie sú na intevale Teda pe izopeimetický kvocient dostávame: 1 cos ϕ sin ϕ dϕ = 1a xdx (, π ) kladné. Q = 4πA L = π 4 =.411 < 1 Mohli by sme teda povedať, že asteoida sa k iešeniu izopeimetického poblému pibližuje na 41 %. Čím máme na mysli, že obsah ohaničený daným obvodom by mohol byť až 9a π, zatiaľ čo je 3a π. 8.. Hypocykloida(pe = 1) Teaz si vypočítame izopeimetický kvocient pe ľubovoľnú hypocykloidu, ktoej polome = 1. V podstate ukážeme, ako sa dá všeobecne vypočítať obsah a obvod hypocykloidy s polomeom = 1. Na to si však budeme musieť pipomenúť definície a tvdenia z matematickej analýzy. Definícia.8 (Definícia kivkového integálu.duhu) Nech je daná hladká ektifikovateľná kivka Γ = {x(t), t I = [a, b]}. Nech F : M R R je spojitá vektoová funkcia. Potom hodnota Riemannovho integálu b a [F 1(x 1 (t), x (t)).x 1(t)+F (x 1 (t), x (t)).x (t)]dt nezávisí na paametizácii x : I R kivky Γ oientovanej v smee z bodu A = x(a) do bodu B = x(b) a vyjaduje hodnotu tzv. kivkového integálu.duhu 19

F 1 (x 1, x )dx 1 + F (x 1, x )dx = b Γ a vektoovej funkcie F = (F 1, F ) po oientovanej kivke Γ. [F 1 (x 1 (t), x (t))x 1(t) + F (x 1 (t), x (t))x (t)]dt Veta.9 Vzťah medzi kivkovým integálom.duhu a dvojným integálom. F 1 dx 1 + F dx = Γ Ω ( F F ) 1 dx 1 dx (1) x 1 x Majme uzavetú ( kivku ohaničujúcu oblasť Ω hanicou Γ. Zobeme za vektoovú funkciu F = 1 x, 1 ) x 1 podľa vzťahu (1) dostávame : 1 x 1 dx x dx 1 = 1dx 1 dx A Γ Ω Pozn. Dostávame nový vzoec na výpočet obsahu oblasti ohaničenej kivkou : A = 1 x 1 dx x dx 1 Γ Poďme teda vypočítať obsah oblasti A, ohaničenej kivkou hypocykloidy. Zvolíme substitúciu : x = (R ) cos ϕ + cos R ϕ y = (R ) sin ϕ sin R ϕ Deivácie súadníc x a y podľa paameta ϕ : dx = (R ) sin ϕ (R )(sin R ϕ) dy = (R ) cos ϕ (R )(cos R ϕ) Teda pe obsah dostávame : a A = 1 xdy ydx Vyjadime si ozdiel :

xdy ydx = ((R ) cos ϕ + cos R ϕ)((r ) cos ϕ (R )(cos R ϕ)) a + ((R ) sin ϕ sin R ϕ)((r ) sin ϕ + (R )(sin R ϕ)) Z duhej a štvtej zátvoky možno vyňať (R ), teda tak spavíme a (R ) pôjde von ped integál, keďže je to ozdiel skaláov. Následne po oznásobení zátvoiek dostávame: xdy ydx = (R ) cos ϕ - (R ) cos R ϕ cos ϕ + cos R ϕ cos ϕ a (cos R ϕ) a a a a + (R ) sin ϕ + (R ) sin R (sin R ϕ) ϕ sin ϕ sin R ϕ sin ϕ = (R ) (R )(cos R ϕ cos ϕ sin R ϕ sin ϕ) + (cos R Zo súčtových vzocov vieme : cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y Teda : cos R ϕ cos ϕ sin R Naspäť k nášmu ozdielu : ϕ cos ϕ sin R ϕ sin ϕ) ϕ sin ϕ = cos( R ϕ + ϕ) = cos Rϕ xdy ydx = (R ) (R )(cos R ϕ) + (cos R ϕ) a = (R )(1 cos R ϕ) + (cos R ϕ 1) a = (R )(1 cos R ϕ) Naspäť k nášmu integálu: A = 1 xdy ydx = 1 (R ) (R )(1 cos Rϕ)dϕ a = 1 (R )(R ) (1 cos Rϕ)dϕ = 1 (R )(R )π Poslednú úpavu sme spavili nasledovne. Po ozdelení integálu dostávame dva, pvý π integál je 1dϕ = π. Duhý integál, πr π cos R ϕ dϕ sa po substitúcií : R cos t dt, a teda dostávame integál R π cos t dt. 1 = t ; Rdϕ = dt, pevedie na integál

Vieme, že π cos t dt =, teda tento integál celkom vypadne. Teda pe obsah hypocykloidy, pe ktoú platí = 1, dostávame: A = 1 (R 1)(R )π Poďme teaz spočítať dĺžku L takejto kivky. Podľa vzoca z vety 3.7 vieme: Vyjadíme si súčet: L = x + y dϕ x + y = (R ) sin ϕ + (R ) (sin( R a a + (R ) cos ϕ + (R ) (cos( R = (R ) + (R ) + (R ) (sin( R a = (R ) + (R ) ( cos R ϕ) a = (R ) (1 cos R ϕ) Naspäť k integálu: a L = ϕ)) + (R ) sin R ϕ sin ϕ ϕ)) + (R ) cos R ϕ cos ϕ ϕ) cos( R ϕ)) (R ) (1 cos Rϕ)dϕ = (R ) 1 cos Rϕdϕ = (R ) sin R ϕdϕ = (R ) sin R ϕ dϕaaaaa = (R 1) R Rπ sin t dt = (R 1) R R sin t dt = 8(R 1) Od pvého iadku k duhému sme pešli na základe poznatku sin α = 1 cos α. Pi pechode z duhého iadku do tetieho sme spavili hneď dve úpavy. Pvá úpava spočívala v dosadení = 1. Duhá úpava spočívala v substitúcií sin Rϕ = t ; R dϕ = dt. Poslednú úpavu sme π spavili zo znalosti sin t dt =. Teaz, keď sa nám podailo vyjadiť si vzoce na dĺžku hypocykloidy a obsah oblasti,

ktoú ohaničuje, vieme vypočítať izopeimetický kvocient, pe ľubovoľnú kivku hypocykloidy, pe ktoú platí = 1. Ako pvé si odskúšame spávnosť našich vzocov na asteoide, ktoú sme už az spočítali. Z našich výpočtov o asteoide: A = 3a π 8 L = 6a kde a je vzdialenosť piesečníka kivky asteoidy s osou x od počiatku. Pe nájdenie tohto piesečníka dosadíme ϕ =, = 1 do paametického vyjadenia x = (R ) cos ϕ + cos R ϕ. Dostávame ovnosť a = R. Teda pe asteoidu: R = 4 A = 3a π = 3.4.π 8 8 L = 6a = 4 Z nových vzocov: = 6π A = 1 (R 1)(R )π = 1 (4 1)(4 )π = 6π L = 8(R 1) = 8.3 = 4 Naše vzoce pešli skúškou spávnosti. Možme ich aplikovať na ostatné hypocykloidy. A ukázať ako sa mení izopeimetický kvocient ak sa R zvyšuje. Z Ob.1, očakávame, že so zvyšujúcim R sa bude kvocient zvyšovať, nakoľko sa nám zdá, že sa útva vtedy pibližuje ku kužnici. Izopeimetický kvocient : Q = 4πA L = 4π 1 (R 1)(R )π = π (R ) (8(R 1)) 16(R 1) Hypocykloida(R=3;=1) Q 3 = π (3 ) 16(3 1) = π 3 =.384 Hypocykloida(R=4;=1) Q 4 = π (4 ) 16(4 1) = π 4 =.411 Hypocykloida(R=5;=1) Q 5 = π (5 ) 16(5 1) = 3π 64 =.466 3

Hypocykloida(R=6;=1) Q 6 = π (6 ) 16(6 1) = π =.4935 Hypocykloida(R=7;=1) Q 7 = π (7 ) 16(7 1) = 5π 96 =.514 Hypocykloida(R=1;=1) Q 1 = π (1 ) 16(1 1) =.616 Hypocykloida(R=;=1) Q = π ( ) 16( 1) =.6165 Ako sme si mohli všimnúť konvegencia sa spomaľuje. Pe limitu tohto izopeimetického kvocientu platí: lim Q π (R ) n = lim n n 16(R 1) = π 16 =.6168 Teda izopeimetický kvocient s astúcim R konveguje k π 16. Môžeme povedať, že hypocykloida s R astúcim do nekonečna, bude maximalizovať svoj obsah takme na 61.6 pecenta..3 Cassiniho ovál V poslednej časti kapitoly Spojité kivky, sa pozieme na Cassiniho ovál. Táto kivka nesie názov po fancúzskom astonómovi Giovannim Domenicu Casisinim, objaviteľovi štyoch Satunových pstencov. V oku 168 popísal ovál ako domnelú dáhu pohybu Zeme okolo Slnka, pičom Slnko sa nachádza v jednom ohnisku. Nech F, G sú dva body v ovine a k je konštanta. Potom Cassiniho ovál s ohniskami F a G je definovaný ako množina takých bodov X, pe ktoé platí, že súčin vzdialenosti bodu X od ohniska G, a bodu X od ohniska F, je ovný štvocu konštanty. 4

y 6 4 y 4 6 6 4 4 6 x Ob.: Cassiniho ovál pe k =.6e,.8e, e, 1.e, 1.4e, 1.6e F, G ohniská ; k = konšt. Cassiniho ovál je množina bodov, vyhovujúcich ovnici: F x. Gx = k vzdialenosť ohnísk : F G = e ; vzdialenosť ohniska od počiatku je e. Rovnica Cassiniho oválu v kateziánskych súadniciach je nasledovná : (x + y ) + e (y x ) + e 4 = k 4, kde [x,y] su súadnice bodu X. Po pepísaní do polánych súadnic s počiatkom [, ] dostávame: e cos θ = k 4 e 4.3.1 Lemniskáta 6 4 4 6 6 4 4 6 x Ob.3 : Lemniskata 5

Teaz sa pozieme na špeciálnu kivku Cassiniho oválu, lemniskátu. Pe lemniskátu platí e = k a teda jej ovnica vyzeá : Kateziánsky : (x + y ) = e (x y ) Poláne : 4 = e cos θ Keďže sa budeme zaobeať kivkami Cassiniho oválu, pe poovnanie výsledkov by sme chceli pacovať s paametom definujúcim danú kivku, ktoý je pi každej kivke iný. Keď sa pozieme na gafické vyjadenie analytického pedpisu kivky v ob., všimneme si, že vzdialenosť ohnísk sa nemení, a teda e sa ako najvhodnejší poovnávací znak nejaví. Čo sa ale mení, je piesečník kivky s x-ovou osou. Poďme si teaz všeobecne vyjadiť tento piesečník : Rovnica Cassiniho oválu: (x + y ) + e (y x ) + e 4 = k 4 Nech y = x 4 e x + e 4 k 4 = x 1, = e ± 4e 4(e 4 k 4 ) x = ± e ± k Pe lemniskátu dostávame : k= e teda x= ;± e = e ± k Náš hľadaný paamete, vzdialenosť piesečníka od počiatku, je a = e, teda si pepíšeme ovnicu lemniskáty, e nahadíme a čiže dostávame : (x + y ) = a (x y ) a z toho paametické vyjadenie : = e cos ϕ = a cos ϕ; kde = f(ϕ) Pozn.3 Uvedieme si vzoce na výpočet obsahu elementánej oblasti a dĺžky kivky, pe uzaveté kivky dané paameticky. Obsah : P = 1 β α f (ϕ)dϕ 6

Dĺžka : L = β α f (ϕ) + [f (ϕ)] dϕ, kde ϕ (α, β) Pomocou daných vzocov a nášho pedpisu teaz vypočítame obsah lemniskáty. f (ϕ) = a cos ϕ ; kde ϕ (, π 4 ), teda pe 1 4 P dostaváme : 1 4 f (ϕ)dϕ = 1 Teda pe obsah P : P = 4 1 4 a = a 4 a cos ϕdϕ = 1 a 4 cos ϕdϕ = 1 [ ] π sinϕ 4 a = 1 4 a Ak chceme počítať dĺžku lemniskáty, podľa vzoca z Pozn.3, potebujeme zistiť f (ϕ). f (ϕ) = (ϕ) = a cos ϕ (ϕ) = a cos ϕ / zdeivujeme obe stany podla ϕ (ϕ) (ϕ) = a sin ϕ = a sin ϕ A teda platí : + ( ) = a cos ϕ + a4 sin ϕ a = a a cos ϕ = = a cos ϕ a 4 cos ϕ + a 4 sin ϕ = a Počítajme dĺžku L : β α f (ϕ) + (f (ϕ)) 4 dϕ = 4 a = 4a 4 a 4 dϕ = 4a cos ϕ 1 1 sin ϕ dϕ 1 cos ϕ sin ϕ dϕ V tomto tvae na základe Pozn. spoznávame Eliptický paametický integál 1.duhu, a teda pe dĺžku lemniskáty platí : L = 4aF (, π 4 ) A teda pe izopeimetický kvocient lemniskáty dostávame : 7

y y Q = 4πA L = 4πa 16a F (, π 4 ) = π 4F (, π 4 ) =.4594 Môžeme teda povedať, že lemniskáta maximalizuje svoj obsah pibližne na 46 pecent..3. Piškóta 6 6 4 4 4 4 6 6 4 4 6 x 6 6 4 4 6 x Ob.4 : Piškóta pe k = 1.e, 1.4e V tejto časti podkapitoly Cassiniho oválu, sa pozieme na kivku, ktoá svojím tvaom pipomína piškótu. Táto kivka vznikne ak, paamete k má hodnotu pibližne z intevalu [e, 1.5e]. My sa pozieme na Cassiniho ovál pe k = 1.e. Jeho ovnica v kateziánskom tvae : (x + y ) + e (y x ) + e 4 (1.e) 4 = Odvodíme si tva v polánych súadniciach : x = cos ϕ y = sin ϕ Po dosadení do kateziánskeho tvau : 4 e cos ϕ 1.736e 4 = 1, = e cos ϕ ± 4e 4 cos ϕ + 4e 4 1.736 = e (cos ϕ ± cos ϕ + 1.736) > = e (cos ϕ + cos ϕ + 1.736), kde ϕ [, π] Poďme teda spočítať obsah P : 8

1 4 P = 1 = e aaaa = e [ Pvý integál I 1 = e sin ϕ výpočtoch bez neho. I = e =.736 e 4 ϕdϕ = 1 e (cos ϕ + cos ϕ + 1.736)dϕ cos ϕ + 1 sin ϕ + 1.736)dϕaaaaaaaa cos ϕdϕ + e ] π.736 sin ϕdϕ = I 1 I = ; a teda zo súčtu vypadne a my pokačujeme vo.736 sin ϕ = u ϕdϕ = dϕ = du = e.736 sin udu 4 1 sin u.736 du P =.736e 1 E(, π).736 Ako sme už spomínali pi lemniskáte, budeme sa snažiť izopeimetický pome vyjadiť cez a, kde a je vzdialenosť piesečníka kivky s x-ovou osou od počiatku. Teda si obsah, dodatočne vyjadíme cez a. Všeobecne sme vypočítali, v časti lemniskáta, že a = e ± k. a = e ± 1. e a > takže a = e + 1. e =.44e e = Pe obsah teda platí: P =.736 a.44 E( 1, π).736 a.44 Páve sme vypočítali obsah oblasti ohaničenej cassiniho oválom pe hodnotu paameta k = 1.e. Keďže by neskô bude zaujímať ako sa mení izopeimetický kvocient pe ôzne kivky cassiniho oválu, pozieme sa teaz na výpočet obsahu oblasti ohaničenej cassiniho oválom pe kivku, pe ktoú platí, že k = p.e, kde p (1, 1.6) Výpočet bude analogický, čiže : Rovnica v kateziánskom tvae : (x + y ) + e (y x ) + e 4 (p.e) 4 = x = cos ϕ y = sin ϕ Tva v polánych súadniciach: 9

4 e cos ϕ (p 4 1)e 4 = = e (cos ϕ + cos ϕ + (p 4 1)), kde ϕ [, π ] Teda pe obsah dostávame : 1 4 P = 1 ϕdϕ = 1 = e P = p e E e (cos ϕ + cos ϕ + (p 4 1))dϕ p4 sin ϕdϕ = p e 4 ( ) ( 1 p, π = p a 1 p + 1 E p, π ) a 1 sin ϕ dϕa p 4 Teaz by sme adi spočítali dĺžku L cassiniho oválu. Najpv sa pokúšame ju spočítať vzocom z Pozn.3, na výpočet dĺžky kivky danej paameticky, analogicky ako v pípade lemniskáty, no dostávame sa k veľmi nepíjemnému výazu s ktoým ďalej nevieme pohnúť: ( + ( ) 4 cos 4 ϕ + (8b + 4) cos ϕ + 4b + 8 cos 3 ϕ ) cos = e ϕ + b 4(cos ϕ + b)(cos ϕ + cos ϕ + b) a ( 8b cos ϕ cos + e ϕ + b + 4b + 4 sin ϕ sin 4ϕ ) cos ϕ + b + sin 4ϕ 4(cos ϕ + b)(cos ϕ + cos ϕ + b) kde b = 1.736. Duhý spôsob ako spočítať dĺžku L je cez vzoec z vety 3.7, pomocou ktoého sme spočítali dĺžku kivky hypocykloidy a elipsy, nedostávame sa však ku kajšiemu výazu: ( x + y 4 sin ϕ cos ϕ + (16 + 4b) sin ϕ + 16 sin ϕ ) cos = e ϕ + b (cos ϕ + b)(cos ϕ + cos ϕ + b) ( cos 4 ϕ + 3b cos ϕ + cos 3 ϕ cos +e ϕ + b + b cos ϕ ) cos ϕ + b + b (cos ϕ + b)(cos ϕ + cos ϕ + b) Akokoľvek skúšame použiť súčtové vzoce a známe vzťahy medzi sin x a cos x nedaí sa nám ani jeden z výazov upaviť, tak aby sme z jeho odmocniny vedeli vypočítať integál. 3

Piškóta numeicky Keďže sa nám nepodailo spočítať piškótu analyticky, spočítame si ju v matlabe numeicky. Vpodstate by sa nám nepodailo piškótu spočítať exaktne, aj keby sme ju átali cez integály, nakoľko by nám opäť vyšiel len eliptický paametický integál, ktoého hodnoty sú tabulované. Teda počítané numeicky. Postup počítania v Matlabe, spočíva v označení dostatočného počtu bodov v obázku kivky, ktoý je pesne vygeneovaný matlabovskou funkciou a upavený do spávnych ozmeov, tak aby x-ová a y-ová os mali ovnakú mieku. Následne sa pomocou daných hodnôt spočíta obsah a obvod útvau, a z toho izopeimetický kvocient. Viac o tomto postupe si povieme v podkapitole Vločky, kvôli ktoej bol celý postup pôvodne zavedený. Teaz si spočítame izopeimetický kvocient pe dve piškóty. Piškóta pe k = 1.e Podľa neskô spomenutých funkcií obvodu a obsahu, sme obvod a obsah zátali nasledovne: L = 84.8181 A = 4447 A teda izopeimetický kvocient je: Q = 4πA L =.794 Piškóta pe k = 1.5e L = 189. A = 8635 Izopeimetický kvocient je: Q = 4πA L =.9146 Teda tak ako by sme očakávali s astúcim k astie izopeimetický pome Q a piškóta sa svojim tvaom pibližuje ku kužnici. 31

3 Diskétne Analógie V tejto kapitole sa zameiame na n-uholníky. Odvodíme si vzoce na výpočet ich obvodu a obsahu, cez ktoé budeme počítať izopeimetické kvocienty. Ukážeme izopeimetickú neovnosť pe nie hladké kivky, a tiež, že optimálny útva maximalizujúci obsah n-uholníka je páve pavidelný n-uholník, ktoý pe n konveguje ku kužnici. Nakoniec sa pozieme na izopeimetické kvocienty snehových vločiek, ktoým pislúcha k veľkému obvodu malý obsah. Majme n-uholník s bodmi x i = (x i1, x i ) T R, teda n-uholník je daný množinou dobov X = (x 1, x,... x n ) R n, pičom platí : x n+i = x i, aby bola splnená podmienka uzavetosti kivky. Vieme, že vzdialenosť dvoch bodov je noma ich ozdielu, a teda pe dĺžku n-uholníka dostávame jednoduchý vzoec : n 1 L(x) = x i+1 x i i=1 Z Pozn. naväzujúcej na vetu 3.9 z podkapitoly o hypocykloide vieme, že obsah oblasti ohaničenej kivkou, možeme počítať: A = 1 x 1 dx x dx 1 Γ Teda pe obsah elementánej oblasti A platí : A = 1 x 1 dx x dx 1 = 1 x 1 dx 1 Γ Γ x dx dt = 1 n 1 x i,1 x i+1,1 x i,1 i=1 x i, x i+1, x i, a = 1 n 1 det(x i, x i+1 x i ) = 1 n 1 a 1 b 1 det(x i, x i+1 ), kde det(a, b) = a b i=1 i=1 Pozn.4 Od integálu k sume sme pešli, petože pechádzame do nespojitého piestou (vieme, že integál je vlastne spojitá suma) a posledný kok sme uobili úpavou deteminantu. 3

Teaz si spočítame izopeimetický kvocient pe pavidelný n-uholník, ktoý neskô použijeme v dôkaze izopeimetickej neovnosti. ( π Z obázku č.5 počítame: tan n) Ob.5 : n-uholník = a v v = ( π tan n) a Teda pe jednu n-tinu obsahu dostávame : S = a v = a ( π obsah n-uholníka A = 4 tan n) na ( π ; obvod L = na 4 tan n) Izopeimetický kvocient pe pavidelný n-uholník : Q = 4πA L = π ( π n tan n) 3.1 Dôkaz izopeimetickej neovnosti Dôkaz izopeimetickej neovnosti spavíme v dvoch kokoch. V pvom koku budeme hľadať n-uholník, ktoý má pi danom obsahu minimálny obvod a ukážeme, že je to pavidelný n-uholník. V duhom koku ukážeme, že všetky ostatné n-uholníky majú menší izopeimetický kvocient, a že pe kvocient pavidelného n-uholníka platí, že je menší ako jedna. Nakoniec ukážeme, že pe n je izopeimetický kvocient 1, inak je vždy menší, čím 33

dokážeme izopeimetickú neovnosť. Najpv si však pipomenieme pojmy z matematickej analýzy. Definícia 3.1 (Definícia viazaného extému) Nech f : D(f) R N R, a nech g : D(g) D(f) R N R je väzba. Pod viazaným lokálnym maximom (esp.minimom) ozumieme bod x M = {x, g(x) = } pe ktoý platí : f(x) f(x) (esp.f(x) f(x)) pe x O M, kde O je nejaké okolie bodu x. Definícia 3. (Definícia Lagangeovej funkcie) Nech f : D(f) R N R, a nech g : D(g) D(f) R N R je väzba. Pod Lagangeovou funkciou definovanou na (D(g), R) ozumieme : Tvdenie Pe uzavetú kivku platí: L(x, λ) = f(x) λg(x) 4πA L 1 kde A je obsah oblasti ohaničenej danou kivkou a L je dĺžka tejto kivky. Dôkaz Vieme : 4πA L 1 L 4πA 1 keďže A aj L sú kladné čísla. Teda si môžme vybať, ktoú neovnosť chceme dokazovať. My si vybeieme duhú neovnosť tzv. anizopeimetickú neovnosť. L Teda chceme dokázať 4πA 1. 1.časť Hľadajme n-uholník, ktoý má pi danom obsahu minimálny obvod. Úloha : min L(X) ; A(X) = const. Dostávame úlohu na viazaný extém, kde minimalizujeme funkciu L(x) pi danej väzbe A(x). 34

Zostojíme si Lagangeovu funkciu :L(X, λ) = L(X) λa(x) kde X je vekto bodov n-uholníka: X = (x 1, x,... x n ) R n ; kde x i = (x i1, x i ) T R Pe hľadanie extému položíme deiváciu Lagangeovej funkcie ovnú nule. L (X, λ) = L (X) λa (X) = Poďme deivovať dĺžku L(X) podľa x j. Pozieme sa, kde v L(X) sa vyskytuje x j. L(X) = n 1 i=1 x i+1 x i V celej sume sa x j vyskytuje len vo výazoch x j x j 1 a x j+1 x j. Teda deivácia bude spočívať len v zdeivovaní súčtu týchto výazov. Pacujeme s euklidovskou nomou, teda : x j x j 1 + x j+1 x j = (x j,1 x j 1,1 ) + (x j, x j 1, ) a + (x j+1,1 x j,1 ) + (x j+1, x j, ) Deivujme: L(X) x j,1 = x j,1 x j 1,1 x j x j 1 + x j,1 x j+1,1 x j+1 x j L x j = L(X) x j, = x j, x j 1, x j x j 1 + x j, x j+1, x j+1 x j ( xj x j 1 x j x j 1 + x ) ( j x j+1 xj+1 x j = x j+1 x j x j+1 x j x ) j x j 1 x j x j 1 Poďme deivovať obsah A(X) podľa x j. Pozieme sa, kde v A(X) sa vyskytuje x j. A(X) = 1 n 1 i=1 det(x i, x i+1 x i ) V celej sume sa x j vyskytuje len v dvoch výazoch. Vo výaze det(x j 1, x j x j 1 ) a det(x j, x j+1 x j ) Teda deivácia bude spočívať len v zdeivovaní súčtu týchto výazov. Najp si ich ale upavme: det(x j 1, x j x j 1 ) = x j 1,1 x j 1, x j,1 x j 1,1 x j, x j, a = x j 1,1 (x j, x j 1, ) + x j 1, (x j,1 x j 1,1 ) a = x j 1,1 x j, x j 1, x j,1 35

x j,1 x j+1,1 x j,1 det(x j, x j+1 x j ) = x j, x j+1, x j, a = x j,1 (x j+1, x j, ) + x j, (x j+1,1 x j,1 ) a Teda súčet: = x j,1 x j+1, x j, x j+1,1 det(x j 1, x j x j 1 ) + det(x j, x j+1 x j ) = x j 1,1 x j, x j 1, x j,1 a Deivujme: + x j,1 x j+1, x j, x j+1,1 A(X) x j,1 = 1 ( x j 1, + x j+1, ) A x j = 1 ( xj 1, + x j+1, x j 1,1 x j+1,1 ) A(X) x j, = 1 (x j 1,1 x j+1,1 ) = 1 ( xj+1, x j 1, (x j+1,1 x j 1,1 ) ) = 1 (x j+1 x j 1 ) Poslednú úpavu sme spavili na základe poznatku : (a, b) = ( b, a) L (X, λ) =, teda pe y R platí L (X, λ)y = L (X, λ)y = L x j y λa x j y = ( L xj+1 x j (X, λ)y = x j+1 x j x ) j x j 1 x j x j 1, y + λ ((x j+1 x j 1 ), y) = Pozieme sa na to po zložkách, pe y = (1, ) T a y = (, 1) T Pe j = 1,...n 1 platí : x j+1 x j x j+1 x j x j x j 1 x j x j 1 = λ (x j+1 x j 1 ) R Nech T j = x j+1 x j x j+1 x j, kde T j = 1 T j T j 1 = λ (x j+1 x j 1 ) Nech vekto T j T j 1 = (a, b), sa skladá zo zložiek a a b. Nech vekto (x j+1 x j 1 ) = (c, d), sa skladá zo zložiek c a d. Teda vekto (x j+1 x j 1 ) = ( d, c), sa skladá zo zložiek d a c. Nech y = (1, ) T, po zložkách dostávame: 36

Na ľavej stane ovnice dostávame pvú zložku vektoa T j T j 1 na pavej pvú zložku vektoa (x j+1 x j 1 ) teda ovnosť: a = λ c Analogicky pe y = (, 1) T beieme len duhé súadnice vektoovej ovnice. Teda dostávame ovnosť : b = λ d Zobazme si situáciu, ktoú ozobeáme, obázkom. Ob.6 : Ilustácia situácie Pozime sa na skalány súčin (T j T j 1, x j+1 x j 1 ). (T j T j 1, x j+1 x j 1 ) = a( d) + bc = λ c( d) + λ dc = Skalány súčin vyšiel nula, z toho vyplýva, že dané vektoy sú na seba kolmé, teda musí platiť x j 1 x j = x j x j+1, a teda x j+1 x j 1 x j = x j x j+1 x j 1 teda náš hľadaný útva je naozaj pavidelný n-uholník. Ale je to naozaj minimum? Našli sme kandidáta na extém, teba ešte oveiť, že je to 37

naozaj minimum. Vieme si pedstaviť, že maximum to byť nemôže, petože ho funkcia nenadobúda, pi konštantnom obsahu by sme mohli zväčšovať obvod do nekonečna, ako keby sme naťahovali do šíky obdĺžnik. Ak teda existuje minimum, existuje ich nekonečne veľa, každý pavidelný n-uholník s ľubovoľným otočením a posunutím. Otočenia a posunutia sa možme zbaviť tak, že budeme naviac pedpokladať väzbu x 1 = (, ) a napíklad x, =, teda, že n-uholník má jeden vchol v počiatku a ameno x 1 x je v osi x. Tieto dve nové podmienky nezmenia nutnú podmienku viazaného minima v ostatných bodoch, ktoé nesusedia s x 1 a x. S týmito dvoma novými podmienkami bude zejmé, že infimum L(x) sa dosahuje v nejakej veľkej guli v R n obsahujúcej počiatok. (Spoom ak by nie tak potom dĺžka by musela íst do nekonečna pi pevnej ploche, čo nie je minimum ako sme už vyššie spomínali). Táto guľa v pieniku a väzbou A(x) = const je potom kompaktná množina v R n a L(x) je spojitá funkcia na tejto množine a peto nadubúda minimum na tejto množine. Teda naozaj náš pavidelný n-uholník je nami hľadaným minimom..časť Ak pe pavidelný n-uholník ukážeme, že 1 tak dokážeme túto neovnosť pe 4πA všetky ostatné n-uholníky, petože pe pavidelný je L(X) minimálne, teda aj hodnota zlomku na ľavej stane je minimálna, teda pe všetky ostatné n-uholníky je väčšia. Z nášho výpočtu o pavidelnom n-uholníku vieme: π Q n = n tan( π) L 4πA = n tan( π) n π n n tan( π) n = 1 + n tan( π) π n π π Chceme dokázať, že n tan( π) π n π uholníky. L je kladné, čím ukážeme platnosť n tan( π n CH.D : ) π > n tan( π) n > 1 tan( π n π π ) > π n Pi dôkaze si pomôžeme obázkom jednotkovej kužnice. L 4πA 1 pe n- 38

Ob.7 : Jednotková kužnica Celá kužnica má obvod π teda dĺžka nášho oblúku na obázku je π. Z obázku vidíme, n že obsah výseku je menší ako obsah tojuholníka. Keďže vieme, že obsah celej kužnice, teda obsah pislúchajúci obvodu π je π = π, vieme si cez piamu úmeu vypočítať obsah x pislúchajúci dĺžke oblúku π n nasledovne: π x π = n π x = π n Keďže obsah výseku je menší ako obsah tojuholníka platí: π n < tan π.1 n π n < tan π. n Na záve si ukážeme, že pe n n-uholník apoximuje ku kužnici a hodnota sa ovná jednej. n tan( π lim ) tan( π n = lim ) n n π n π 3. Vločky n = 1 Unde the micoscope, I found that snowflakes wee miacles of beauty a Wilson Bentley L 4πA Wilson Bentley, famásky samouk pilákal koncom 19.stoočia pozonosť ľudstva svojou piekupníckou pácou v oblasti mikofotogafie. Po okoch pokusov a omylov sa stal v oku 1885 pvým človekom, ktoému sa podailo odfotiť snehovú vločku. Za celý život sa mu podailo zozbieať 5 snímok snehových vločiek, z ktoých žiadne dve neboli ovnaké. V oku 1931 vychádza publikácia Snow Cystals (Snehové Kyštály), v ktoej sa nachádza 4 fotogafií snehových vločiek. 39

Ob.8 : Bentleyho vločky V tejto záveečnej podkapitole sa pozieme na izopeimetické kvocienty snehových vločiek, ktoé sú špecifické svojim malým obsahom k danému obvodu. Izopeimetický 4

kvocient budeme počítať numeicky a na výpočty budeme používat matematický softvé Matlab. Ako pvé si vyhliadneme vločky, s ktoými budeme pacovať, tak aby sme pokyli čo najväčšiu epezentatívnu množinu. Keďže pi bližšom pozoovaní snehových vločiek si možme všimnúť isté píbuzenske vzťahy, podobné štukúy a vetvenia, vybeieme vločky, čo možno najôznejšie. V našej páci spočítame izopeimetický kvocient pe vybaných osem snehových vločiek. Postup spočíva v učnom označení bodov X(x, y) v obázku mikofotogafie a následným počítaním s týmito hodnotami. Páca v matlabe: Načítame obázok do Matlabu. Do Command Window zadáme píkaz: >>data = imead( vlocka1.jpg ); Na zobazenie obazku a následne načítanie hodnôt z neho, použijeme nasledovné píkazy: >>figue(88); >>clf; >>h = imagesc(data); >>axis image; >>[x, y] = ginput(6); Píkaz [x, y] = ginput(n) načíta súadnice (x, y) každého bodu na ktoý myšou v obázku klikneme. Postupne teda označíme, čo najpesnejšie, n bodov po obvode vločky, čím dostaneme vekto [x, y] R n, tvoiacich n-uholník, ktoý je petansfomovaním hladkej kivky do nehladkej, s čo možno najmenšou odchýlkou od pôvodného obvodu, obsahu. Podľa zložitosti členitosti obvodu vločky volíme hodnoty pe n. 41

Vločka.č.1 Ob.9 : Vločka.č.1 Pvá vločka je dosť členitá, a peto po pá pokusoch zvolíme dosť vysoký počet bodov, n = 6. Aby sme na opísanie jedného zo šiestich amien mali pibližne 1 bodov. Vyššie spomínaným postupom vytvoíme vekto X[x, y]. Tento vekto bodov je pe našu vločku epezentatívny, ďalšie výpočty budeme obiť s ním. Ako pvé si spočítame dĺžku takto učenej uzavetej kivky. Z odvodeného vzoca na výpočet dĺžky kivky: n 1 L(x) = x i+1 x i i=1 napogamujeme v Matlabe algoitmus na výpočet obvodu n-uholníka cez body [x, y] vektoa X[x, y]. Jednoducho budeme k sebe pipočítavať vzdialenosti dvoch vedľa seba ležiacich bodov. Používať budeme Euklidovskú nomu: Noma vektoa x = (a, b) R, x = a + b >> function [L] = obvod (x,y,n)} Definujeme funkciu obvod (x,y,n) so vstupnými agumentami X[x, y] a N, a výstupným agumentom L. >> A=[x ;y ]; 4

Vytvoíme si maticu A, ktoej pvý iadok bude vekto x-ových a duhý y-ových súadníc bodov X[x, y]. >> L=; Položíme počiatočnú dĺžku nulovú. >>fo i=1:n-1 if i == N-1 a = A(:,i); b = A(:,1); else a = A(:,i); b = A(:,i+1); end z = b-a; c = nom(z); L = L+c; end L Náš n-uholník sa skladá zo 6 vcholov X 1, X,.. X n 1 ; X n 1 = X 6. Keďže pedpokladáme uzavetosť kivky, platí X 1 = X n. Pincíp spočíva vo vytvoení jednotlivých bodov X 1 až X n 1 a následne vytvoení jednotlivých vektoov X i+1 X i, ktoých súčet euklidovských noiem je naša hľadaná dĺžka kivky, eps. obvod 6-uholníka. Náš pogam pacuje nasledovne, pe i = 1,,... n sa vo fo cykle iadi vetvou else: V pvom koku ak i = 1, a = X 1, b = X, píastok k celkovej dĺžke pedstavuje c = X X 1. Analogicky postupujeme aj v ďaľších kokoch, až pídeme po i = n odkiaľ dostaneme c = X n X n 1. Ostalo nám pipočítať posledný vekto spájajúci posledný bod X n 1 s pvým X 1, čo vykoná podmienka if, kde a = X n 1 a b = X 1. Teda pogam postupne pipočítava aktuálnu dĺžku hany n-uholníka, na ktoej sa nachádza pi danom i k súčtu pedošlých, až vyčepá všetky hany a váti výstup L. Zavoláme funkciu obvod (x,y,n), kde N = 61, keďže n - 1 = 6. >> obvod (x,y,61); 43

>> L = 3.867e+3; Teda pe obvod dostávame L = 3, 867.1 3. Pe zistenie obsahu n-uholníka použijeme funkciu zabudovanú v Matlabe polyaea(x,y). Táto funkcia spája postupne za sebou nami zadané body X(x, y), X 1 s X, následne X s X 3, atď., až uzavie celý n-uholník. Teda body teba označovať poiadne v poadí. >>polyaea(x,y) >>A =,3879e+4 Pe obsah dostávame A =, 3879.1 3. Izopeimetický kvocient pe vločku.č.1 je: Q = 4πA L =, 7 Pedpokladáme, že odchýlka od skutočného izopeimetického kvocientu vločky, spôsobená konečným počtom bodov, nie je signifikantná, petože sme zvolili dostatočne veľký počet bodov. Teda možme svoje tvdenia o 6-uholníku peniesť na vločku. Vločka.č.1 má izopeimetický kvocient,7. Vločka.č. Vločka č. má tiež bohate ozvinuté amená, tak ako Vločka.č.1, ktoá ich má tochu kostnatejšie. Naozdiel od Vločky.č.1 sa nám už ukazuje aj viac ozvinutý sted vločky, ktoý u pvej nevznikol. Pe vločku.č. vybeáme po pá pokusoch n = 7 bodov. Čiže na opis jedného amena pibližne 1 bodov. Analogicky použijeme nami odvodený algoitmus obvod (x,y,n) a matlabovskú funkciu polyaea(x,y) na zistenie obvodu a obsahu nami skonštuovaného 7-uholníka. 44

Ob.1 : Vločka.č. >>obvod (x,y,71) >>L = 5.9964e+3 >>polyaea(x,y) >>A = 7.898e+4 Pe obvod dostávame L = 5.9964.1 3, pe obsah A = 7.898.1 4. Teda izopeimetický kvocient pe vločku.č. je Q = 4πA L =,74. Vločka.č.3 Tetia vločka v poadí je ovnako ako jej pedchodkyne na amenách dosť členitá, avšak opäť iným spôsobom, peto sme si ju pe výpočet vybali. Tak ako pi vločke.č. aj tu sa nám vytvoil akýsi sted, ktoý bude pidávať obsah na daný obvod, teda zvyšovať izopeimetický kvocient. Tak ako pi pvej vločke aj na opis vločky.č.3 použijeme 6 bodov, teda 1 bodov na opis jedného amena. 45

Výpočet obvodu a obsahu danej vločky: >>obvod (x,y,61) >>L = 3.3973e+3 >>polyaea(x,y) >>A = 1.778e+4 Ob.11 : Vločka.č.3 Teda pe vločku č.3 nám vyjde izopeimetický kvocient: Q = 4πA L =,186 Vločka.č.4 Ob.1 : Vločka.č.4 46

Vločka č.4 je opäť menej členitá na amenách v poovnaní s pedošlými vločkami. Menej obsahu zbiea na amenách a viac kumuluje svoj obsah v stede, kde vytvaá pekný obazec. Po pá pokusoch s označovaním bodov zistíme, že na opis tejto vločky nám bude stačiť 3 bodov, teda na jedno ameno pipadne pibližne 5 bodov. Výpočet obvodu a obsahu danej vločky: >>obvod (x,y,31) >>L =.697e+3 >>polyaea(x,y) >>A = 4.9983e+4 Teda pe vločku č.4 dostávame izopeimetický kvocient: Q = 4πA L =,1466 Vločka.č.5 Ob.13 : Vločka.č.5 Vločka.č.5 je úplne iná ako pedošlé, zatiaľ čo ony boli skô chudšie, až na vločku.č.4, ktoá už začala obsah kumulovať do stedu viac ako na amenách. Našu v poadí piatu vločku by sme adili najskô k plnším. Táto vločka svojím jednoduchým vzhľadom pipomína kvietok so šiestimi kásne symetickými lupeňmi. Pe jej jednoduchosť a takme žiadnu členitosť nám stačí na jej opis 1 bodov, čo je cca bodov na jedno ameno. Výpočet obvodu a obsahu danej vločky: 47

>>obvod (x,y,31) >>L =.41e+3 >>polyaea(x,y) >>A = 6.9378e+4 Teda pe vločku č. 5 dostávame izopeimetický kvocient: Q = 4πA L =,1511 Vločka.č.6 Ob.14 : Vločka.č.6 Vločka č.6 je opäť niečím odlišná od pedošlých. Mohli by sme povedať, na základe toho čo sme tu zatiaľ mali, že je stedne členitá, niečo medzi pvou a piatou vločkou. Čím sa líši od pedošlých a pečo sme si ju vybali na výpočet je, že väčšinu obsahu ma viditeľne páve v amenách. Pe danú vločku volíme počet opisných bodov n= 3, čiže pibližne 5 bodov na jedno ameno. Výpočet obvodu a obsahu : >>obvod (x,y,31) >>L =.8355e+3 >>polyaea(x,y) >>A = 7.536e+4 Teda izopeimetický kvocient vločky.č.6 je: Q = 4πA L =,1178 48

Vločka.č.7 Ob.15 : Vločka.č.7 Siedma vločka je zaujímavá, petože z pvého pohľadu nám nie je celkom jasné, kde končí sted a začínajú amená. Táto vločka je jednoznačne najplnšia, spomedzi spomínaných ped ňou, v zmysle, že na daný obvod vyzeá, že vypĺňa najviac obsahu. Teda tak tochu tušíme, že táto vločka by mala mať najväčší izopeimetický kvocient. Pe vločku č.7 po pá pokusoch, volíme počet bodov opisu n = 18. Nakoľko nie je piveľmi členitá bude nám pe opis jedného amena stačiť 3 bodov. Výpočet obvodu a obsahu : >>obvod (x,y,31) >>L = 1.9348e+3 >>polyaea(x,y) >>A = 6.149e+4 Izopeimetický kvocient vločky.č.7 je: Q = 4πA L =,49 49

Vločka.č.8 Ob.16 : Vločka.č.8 Ako poslednú vločku si spočítame vločku.č.8, ktoá je sama o sebe špecifická, štuktúou síce pipomína vločku.č.7, no je oveľa koplikovanejšia, dokonca najkomplikovanejšia zo všetkých, aké sme doposiaľ spočítali. Výpočet obvodu a obsahu : >>obvod (x,y,31) >>L = 4.596e+3 >>polyaea(x,y) >>A = 1.975e+5 Izopeimetický kvocient vločky.č.8 je: Q = 4πA L =,1173 5

Záve V našej páci sme sa zaobeali izopeimetickým kvocientom Q uzavetých kiviek, ktoý môžeme chápať ako pome obsahu oblasti ohaničenej danou kivkou a obsahu kužnice s ovnakým obvodom. Tento pome môžeme intepetovať ako pecentuálne vyjadenie maximalizácie obsahu danej kivky. Nakoľko daná kivka, využíva potenciál svojho možného obsahu. Koľko pecent obsahu kužnice s ovnakým obvodom, tvoí obsah oblasti ohaničenej našou kivkou. Ukázali sme si, ako možno Q spočítať pe ôzne kivky ôznymi spôsobmi. Na začiatku páce sme sa zameali na hladké uzaveté kivky, v kapitole Spojité kivky. Hneď v úvode tejto kapitoly sme si vypočítali Q pe elipsu. Najpv sme si zobali tzv. Chudú elipsu, pe ktoú sa pome hlavnej a vedľajšej poloosi blíži k nekonečnu. Ukázali sme si, že jej Q sa blíži k nule. Teda ak budeme zväčšovať obvod do nekonečna pi konštantnom obsahu, je to pesný opak iešenia izopeimetickej úlohy maximalizovať obsah pi danom obvode. Ako duhú elipsu sme zobali tzv. Okúhlu elipsu, ktoej polome hlavnej a vedľajšej poloosi sa blíži k jednotke, teda elipsa sa tvaom blíži k iešeniu izopeimetického poblému, asíce ku kužnici. Q sa v tomto pípade pibližuje k jednotke. Ďalej sa nám v tejto kapitole podailo spočítať Q pe ľubovoľnú kivku Hypocykloidy, ktoej polome = 1. Ukázali sme, že pe R sa Q limitne blíži k π 16, a teda Hypocykloida už pe R 1 maximalizuje svoj obsah pibližne na 61, 6%. Nakoniec sme sa v tejto kapitole pozeli na Cassiniho ovál, kde sme si vytíčili cieľ vypočítať ako sa mení spolu s tvaom kivky jej izopeimetický kvocient. Čiže vypočítať Q pe ľubovoľnú kivku Cassiniho oválu. Podailo sa nám všeobecne cez paamete, ktoý odzkadľuje zmenu kivky, vypočítať obsah oblasti ohaničenej takouto kivkou. Avšak napiek veľkej snahe sa nám už nepodailo vyjadiť si dĺžku tejto kivky, kvôli koplikovaným integálom. A tak sme sa ozhodli spočítať kivku Cassiniho oválu numeicky, tak ako sme počítali nie hladké kivky v podkapitole Vločky. V páci sme uviedli výpočty pe dve piškóty s paametom k = 1, a k = 1, 5. Môžme to vidieť gaficky, ovnako výpočtom sme potvdili, že so zvyšujúcim sa k, sa zvyšuje Q. Už pe paamete k = 1, 5 nadobúda izopeimetický kvocient hodnotu.9146, teda táto piškóta maximalizuje svoj obsah už na vyše 91 %. V poslednej podkapitole Vločky sme si dokázali izopeimetickú neovnosť. Pozeli sme sa na izopeimetické kvocienty ôznych vločiek, ktoé sme átali numeicky v ma- 51