1. Predavanje October 4, 016 1 Uvod izika danas poznaje četiri interakcije: gravitacionu, elektroagnetnu, slabu nuklearnu i jaku nuklearnu. Usled gravitacione interakcije planete kruže oko sunca, zvezde kruže oko centra galaksije, itd. Takod e usled gravitacionog dejstva esec-zelja javlja se pojava plie i oseke, ali je i stabilisana sopstvena osa rotacije zelje što ia za posledicu relativno stabilnu kliu u toku dugog vreenskog perioda. Celokupni život na zelji je onakav kakav izgleda veliki delo zbog dejstva gravitacionog polja zelje. Da bi se živo biće kretalo u gravitaciono polju ora savladavati ovu silu. Elektroagnetna interakcija odgovorna je za foriranje heijskih veza, pojavu unja i groova. Zbog elektroagnetne interakcije foriraju se čvrsta, tečna i gasovita faza. Usled elektroagnetne interakcije neoguće je da prod eo kroz zid. Spoznajo zakona elektroagnetne interakcije u ogućnosti so da konstruišeo razne aparate od praktičnog značaja od kojih najveće dostignuće u sislu kopleksnosti konstrukcije zauziaju ured aji sa ikroprocesoria (računari, obilni telefoni itd.). Slaba nuklearna sila odgovorna je za transforacije konstituenata jezgra atoa: neutroni se transforišu u protone i obrnuto. Slaba nuklearna interakcija izvor je sunčeve energije. Zahvaljujući izučavanju nuklearnih sila u ogućnosti so da transforišeo nuklearnu energiju u toplotu, odnosno u ehaničku i električnu. Jaka nuklearna sila drži na okupu takozvane čestice kvarkove od kojih su sačinjeni protoni i neutroni, a njen rezidualni deo drži na okupu neutrone i protone u jezgru. izika je egzaktna nauka koja foruliše svoje zakone uz odgovarajuće ateataatičke relacije. U procesu nalaženja zakonitosti podrazueva eksperientalna i teorijska istraživanja. orulisanje opštih zakonitosti fizike oguće je objasniti pojedinačne fenoene. Najtačniju teoriju gravitacije dao je Albert Ajnštajn koja se naziva opšta teorija relativnosti. Sa druge strane, elektroagnetna interakcija, slaba nuklearna i jaka nuklearna objašnjavaju se jedno teorijo zasnovano na zakonia kvantne fizike koja se naziva standardni odel. Proble pronalaženja jedinstvene teorije koja će obuhvatiti sve četiri interakcije zadatak je koji fizičari još nisu rešili. Dosta jasna slika o savreeni istraživanjia u fizici i ogući iplikacijaa na budući razvoj tehnologije ože se naći u odgovarajućoj popularnoj literaturi. Savreeni inženjeri upućeni su problee koji se bavi oderna fizika bar na popularno nivou ako ne u toku studiranja onda kada za to bude vreena. Pre svega, u cilju da stekneo osećaj o značaju ali i težini spoznaje zakona fizike ovde ćeo krenuti od Njutnovog zakona gravitacije. 1
Njutnov zakon gravitacije Proble gravitacije nas uči već od našeg detinjstva kada so prvi put saznali da je zelja okrugla. Kako to da na suprotnoj strani zelje žive ljudi naopačke??? Med uti odgovor na ovo pitanje nije uopšte jednostavno dati. Satra se da je prva ozbiljna istraživanja o gravitaciono dejstvu radio Galileo Galilej (1564-164). Puštajući kugle identičnih dienzija ali različitih asa da slobodno padaju ustanovio je da u blizini zeljine površine sva tela padaju jednaki ubrzanje. Ovaj ogled nije bio izvršen pred javnošću na krivo tornju u Pizi, već su kugle puštane na stroj ravni, pri čeu je kretanje razlagao na horizontalnu i vertikalnu koponentu (Slika ). Bez obzira, ovi eksperienti su nagovestili da u odsustvu sile otpora vazduha ukoliko se dva tela različitih asa puste sa iste visine, vree padanja će biti jednako. Ubrzanje koje Zelja saopštava svi telia u blizini površine iznosi približno g = 9, 81/s.? Slika 1. Gravitacija zelje privlači sva tela ka njeno centru.? gsin 7 gsin y g gcos x Slika.Galilejev žleb. Puštajući kuglice različitih asa pri različiti uglovia oguće je zaključiti da ubrzanje kuglica zavisi sao od ugla stre ravni. Za pune kugle pooću Njutnovih zakona sledi da je ubrzanje: a = 5 7g sin α, gde je g ubrzanje zeljine teže, a α ugao stre ravni. Pooću ovih ogleda Galileo je našao da je pred eni put s pri konstantno ubrzanju srazeran kvadratu vreena s t. Iz kineatike je danas vrlo dobro poznata relacija za pred eni put s = at. Na alo odelu zeljine kugle u obliku jedne etalne lopte, ukoliko se postave tela sva će skliznuti i pasti na zelju. Gravitacija ispoljava vidljivo dejstvo sao kad su u pitanju vrlo asivni objekti. Na osnovu ovih jednostavnih eksperienata gotovo ništa se više nije oglo reći o osobini gravitacione interakcije. Da je kretanje planeta oko sunca posledica gravitacionog dejstva odnosno iste one sile koja ože uzrokovati pad jabuke na tlo utvrdio je Isak Njutn (1643-177). Med uti bez otkrića durbina i njegove upotrebe za posatranje astronoskih pojava Njutn nebi ogao da foruliše zakon gravitacije. Danski astrono Tiho Brahe izvršio je veliki broj erenja o putanjaa planeta oko sunca. Ove rezultate obradio je njegov asistent Johan Kepler i uspeo da foruliše tri zakona koja se odnose na kretanje planeta oko sunca. Ovi zakoni nazivaju se Keplerovi zakoni. I Planete se kreću po eliptični putanjaa u čijoj se jednoj žiži nalazi sunce. ŽIŽA 1 ŽIŽA planeta sunce Slika 3. Uz prvi Keplerov zakon.
II Linija koja spaja sunce i planete prebriše u jednaki vreenski intervalia t jednake površine S. S 1 = S ; t 1 = t s t sunce planeta s 1 t 1 Slika 4. Uz drugi Keplerov zakon. III Kvadrat perioda obilaska T bilo koje planete oko sunca proporcionalan je treće stepenu velike poluose a. T = const. a 3 a velika poluosa planeta ala poluosa b sunce Slika 5. Uz treći Keplerov zakon. U vree Keplera bili su poznati podaci o srednje rastojanju planeta oko sunca i periodi njihovih obilaska koji su dati u Tabeli 1. Kao što se vidi u četvrtoj koloni tabele rezultati su saglasni sa treći keplerovi zakono. Tabela 1 Srednja rastojanja planeta-sunce r data su u odnosu na rastojanje Zelja-Sunce. Period obilaska T je dat u godinaa. Srednje rastojanje Zelje od Sunca iznosi r = 1, 496 10 8 k. Podaci o putanjaa planeta Planeta r T T /r 3 Merkur 0,387 0,41 1,000 Venera 0,73 0,615 1,000 Zelja 1,000 1,000 1,000 Mars 1,54 1,881 1,001 Jupiter 5,03 11,86 1,001 Saturn 9,539 9,46 1,001 Ovi podacia raspolagao je i Isak Njutn. Da bi napravio konciznu teoriju nebeske ehanike Isak Njutn je u ožda najveće delu svih vreena Mateatički principi prirodne filozofije razvio ateatički aparat koji danas nazivao ateatičko analizo. U ovo delu definisao je tri Njutnova zakona. Prvi se odnosi na princip inercije i vrlo je apstraktan. I Svako telo ostaje u stanju irovanja ili ravnoernog pravolinijskog kretanja sve dok ga druga tela ne nateraju da to stanje proeni Na Zelji zakon je uočljiv pri iniizaciji sila trenja. Na prier klizač na ledu gotovo neprietno enja brzinu priliko pravolinijskog kretanja. Sveirska sonda koja se kreće u ed uplanetarno prostoru nea uključene otore jer je stekla odgovarajuću brzinu, a nea trenja koje se suprotstavlja kretanju. 3
II Ovaj zakon uspostavlja vezu ized u ase tela (era inertnosti), ubrzanja tela a i rezultantne sile R = i : a = i Ubrzanje i sila su vektorske veličine, što znači da su odred ene ne sao brojno vrednosšću nego i pravce i intenziteto. Ukoliko se kretanje posatra duž jednog pravca vektorske oznake se ogu izostaviti. Na slici 6 ilustrovan je uticaj ase na kretanje. Pri dejstvu iste sile na tela različitih asa, ubrzanja će biti različita. Masivnija tela pri dejstvu iste sile dobijaju anje ubrzanje. 1 a 1 a a 3 3 Slika 6. Uz drugi Njutnov zakon. S obziro na ase 1 < < 3 slede odnosi ized u ubrzanja: a 1 > a > a 3. III Ako neko telo deluje na drugo telo neko silo onda će i drugo telo delovati na prvo telo silo jedakog intenziteta ali suprotnog sera. Obično se uzročna sila naziva silo akcije A, a posledična sila silo reakcije R. A = R Ovaj zakon ožeo ilustrovati na prieru knjige koja stoji na horizontalnoj ravni stola (Slika 7). Na knjigu deluje gravitaciona sila usled čega ona pritiska podlogu silo koja se naziva težina tela Q i jednaka je gravitacionoj sili. Težina tela ovde je sila akcije A = Q. Saglasno zakonu akcije i reakcije, onda i sto deluje na knjigu silo rekacije R koja je jednaka po intenzitetu sili akcije ali suprotnog sera. Jasno je da na knjigu deluju dve sile. Sila gravitacije i sila reakcije podloge R koje se poništavaju i u vertikalno pravcu nea kretanja, tj. knjiga iruje na stolu. Da nea reakcije podloge knjiga bi propala kroz sto. R A Slika 7. Uz treći Njutnov zakon. Uvodeći silu akcije i reakcije, jasan je uslov ravnoteže tela. Kobinujući tri Njutnova zakona i tri Keplerova zakona Njutn je forulisao opšti zakon gravitacije u fori: 1 = γ 1 r r 0 Gravitaciona sila 1 kojo asa 1 deluje na srazerna je proizvodu njihovih asa, a obrnuto je proporcionalna kvadratu njihovih ed usobnih rastojanja r. Znak inus ovde ukazuje da je sila uvek privlačna. Vektor r 0 se naziva ort, nea dienzije, služi sao da definiše referentni pravac i ser. Konstanta proporcionalnosti je obeležena sa γ i naziva se univerzalna gravitaciona konstanta. 4
1 1 1 r 0 r Slika 8. Uz Njutnov zakon gravitacije. orulacija Njutnovog zakona u vektorskoj fori oogućava na da odredio pravac i ser sile. Kao što se vidi na Slici 8 sila kojo asa 1 deluje na asu, 1 ia pravac koji spaja centre ovih asa i userena je od prea 1. Sila kojo asa deluje na 1 istog je intenziteta ali suprotnog userenja saglasno III Njutnovo zakonu za akciju i reakciju. 1 = γ 1 r r 0 Ukoliko želio da izračunao sao intenzitet gravitacione sile, onda se vektorske oznake ogu izostaviti: = γ 1 r Njutnov zakon oogućava da izračunao gravitacionu silu ne sao ized u tačkastih objekata nego i ized u sferno sietričnih raspodela asa. Gravitaciona sila ia svojstvo aditivnosti, što znači da ukoliko iao više tačkastih asa ukupnu gravitacionu silu na jednu asu nalazio vektorski zbiro svih gravitaionih sila koje deluju na tu asu. Ovo se ože napisati u vidu forule: R = i i, a princip je prienljiv na izračunavanje ukupne sile za tela nepravilnih oblika. Princip je ilustrovan na Slici 9. 1 R r 1 1 M r 3 r 3 3 a) b) Slika 9. Princip aditivnosti gravitacione sile. a) Ukupna sila koja deluje na asu računa se kao vektorski zbir svih gravitacionih sila koje potiču od asa 1, i 3. b) Ukupna gravitaciona sila na asu od tela nepravilnog oblika ase M računa se tako što se nepravilno telo izdeli na nogo alih tela koje se ogu satrati tačkasti. Veća tačnost postiže se ukoliko se nepravilno telo izdeli na što više anjih tela. Takod e znao da se naš sunčev siste sastoji iz više planeta, tako da za tačan opis putanje zelje oko sunca ne ožeo razatrati sao ed usobno gravitaciono privlačenje ized u zelje i sunca, već se u cilju postizanja boljih tačnosti treba uzeti u obzir i prisustvo ostalih planeta. Njutnov zakon je opšti zakon gravitacije. Dakle govori da ized u svih tela konačnih asa postoji privlačna sila. Ovo nagoveštava da univerzalna gravitaciona konstanta γ ia veoa alu vrednost, jer se gravitaciono dejstvo ized u lakih objekata ne uočava. Njutn nije znao koliko tačno iznosi ova konstanta. Tek kasnije genijalni Henri Kevendiš (1731-1810) uspeo je da sisli način da izeri gravitacionu konstantu. Jasno je iz Njutnovog zakona gravitacije da je za njeno odred ivanje potrebno izeriri silu ized u dve sferno sietrično raspodeljene ase, njihovo ed usobno rastojenje, a zati i njihove pojedinačne ase. γ = r 1 5
Sila je erena pooću takozvane torzione vage (Slika 10). Na tanku nit obešena je polugica na čiji krajevia se nalaze dva anja tela ase. U prisustvu fiksiranih asa M usled gravitacionih sila dolazi do uvrtanja niti. Na osnovu ugla skretanja niti oguće je izeriti gravitacionu silu. Tačnije erene su ale oscilacije uzrokovane prisustvo velikih asa M. Danas je poznato da vrednost gravitacione konstante iznosi γ = 6, 67 10 11 N. Interesantno je da od kg Kevendišovog erenja, univerzalna gravitaciona konstanta nije nogo bolje izerena. Naie Kevendiš je dobio rezultat γ = 6, 75 10 11 N što je za oko 1% veće od vrednosti koja se danas uzia. Razlog što gravitaciona kon- kg stanta nije bolje izerena je usled neogućnosti izolovanja gravitacionoh uticaja zelje. Takod e kao što je rečeno u uvodu, gravitacija još uvek nije dovedena u vezu sa ostali interakcijaa u prirodi. M M Slika 10. Torziona vaga za odred ivanje gravitacione konstante. PRIMER 1 Njutnov zakon gravitacije u potpunosti je u saglasnosti sa Galilejevi principo da zelja svi telia saopštava isto ubrzanje. Posatrajo neko telo ase koje se nalazi na visini h u odnosu na površinu zelje (Slika 11). Ako poluprečnik zelje obeležio sa R, asu zelje sa M Z, prea Njutnovo zakonu gravitacije sledi izraz za silu: = γ M Z (R+h) g h Slika 11. Slobodan pad tela sa visine h u gravitaciono polju zelje. Sa druge strane, prea II Njutnovo zakonu ukoliko znao asu tela i silu koja deluje na to telo (u ovo slučaju to je gravitaciona sila), ožeo odrediti ubrzanje tog tela: a = Uobičajno je da se ubrzanje usled gravitacionog polja obeležava sa g, tj. a = g. Ako izjednačio prethodna dva izraza nakon skraćivanja ase nalazio: g = γ M Z (R+h) Kao što se vidi ubrzanje koje telia saopštava zelja uopšte ne zavisi od njihovih asa. Sa druge strane, gravitaciono ubrzanje opada sa visino. Med uti prosečan poluprečnik zelje je R = 6371k, tako da i na Mont Everestu(visina oko h = 9k) planinari ne osećaju slabljenje gravitacionog ubrzanja. 6
PRIMER Njutnov zakon gravitacije ora biti u saglasnosti i sa Keplerovi zakonia. Najjednostavnije je dokazaati saglasnost sa III keplerovi zakono. U tu svrhu razatrao neku planetu koja kruži oko sunca. U cilju jednostavnosti satrao da je putanja kružnica poluprečnika r, a ne elipsa (u stvarnosti putanje planeta vrlo alo odstupaju od kružne putanje). Prea Njutnovo zakonu gravitacije sila koja deluje na planetu je: = γ M S M P r, gde je M S asa sunca, a M P asa planete. Usled ove sile planeta se kreće po kružnici. U to slučaju planeta nea linijsko ubrzanje već takozvano centripetalno. Ovo ubrzanje uvek je usereno ka centru kružnice i sao enja pravac vektora brzine ali ne i intenzitet. Dakle opet kobinujući II Njutnov zakon sa zakono gravitacije nalazio: M P v a cp r M Slika 1. Planeta koja se kreće po kružnoj putanji oko sunca. S M P a cp = γ M S M P r, pri čeu so sa a cp obeležili centripetalno ubrzanje. kinetaike: a cp = v r, Izraz za centripetalno ubrzanje poznat je iz gde je v brzina kojo se telo kreće po kružnici, a r rastojanje tela od centra kružnice. Kobinujući navedene izraze nalazio: v = γ M S r. Saznajeo da brzina rotacije planete oko sunca zavisi sao od ase sunca i rastojanja planete od sunca. Period rotacije T planete oko sunca je vree potrebno da planeta obid e pun krug oko sunca. Rastojanje koje pri toe planeta pred e jednako je obiu kružnice s = πr. Sledi da se brzina ože napisati preko rastojanja planete od sunca r i perioda rotacijet : Ako sada zaenio izraz za brzinu nalazio: v = s T = πr T 4 π r T odnosno nakon sred ivanja, sledi treći Keplerov zakon: = γ M S r, T = 4π γm S r 3. Pored enje sa originalni III Keplerovi zakono vidio da konstanta koja u njeu figuriše zavisi od univerzalne gravitacione konstante i ase sunca const. = 4π γm S. Očigledno u drugi sunčevi sisteia Keplerova konstanta ia druge vrednosti. Njutnov zakon gravitacije nije poslednja reč fizike o gravitacionoj interakciji. Neko bi ogao postaviti pitanje: a koliko se brzino prostire dejstvo gravitacje ized u dva asivna objekta? Na to pitanje Njutnova teorija nea odgovor. Početko dvadesetog veka (1915), Albert Ajnštajn je objavio Opštu Teoriju Relativnosti koja bolje opisuje gravitacione efekte. Ajnštajn je dao svoju teoriju ne izvodeći niti jedan eksperient. Interesantno je i da u vree kada je objavio svoju teoriju uopšte nije bilo interesa niti sunje da treba naći bolju teoriju od Njutnove. Shodno toe, kako zbog ateatičke složenosti i nogih kontraverznih rezultata koja je ona davala, dugo vreena je prošlo dok teorija nije bila dokazana i opšte prihvaćena. Ova teorija ia značaj kada se tela nalaze u 7
blizini vrlo jakih gravitacionih polja. Na prier Merkur je planeta najbliža suncu i za tačan opis njene putanje ora se uzeti u obzir Teorija Opšte Relativnosti. Astronoi su raspolagali vrlo precizni podacia o Merkurovoj orbiti. Njutnova teorija nije ogla da objasni rezultate sa zadovoljavajućo tačnosšću, ali Ajnštajnova da. Vrlo skoro prvi put su detektovani gravitacioni talasi koje predvid a teorija opšte relativnosti. Ova teorija takod e pokazuje da časovnici ne kucaju isto brzino ukoliko se nalaze na različiti visinaa u odnosu na površinu zelje. Gotovo nakon sto godina od Ajnštajnovog otkrića ovaj rezultat je našao svoju prienu u sinhronizaciji časovnika potrebnih u sisteu satelita za globalno pozicioniranje (GPS). U fizici važi princip korespondencije. Naie, ne ože se reći da Njutnova teorija nije tačna. Iz Ajnštajnove teorije ože se dobiti Njutnova ukoliko se razatraju slabiji gravitacioni efekti. Opšta teorija relativnosti je sao tačnija teorija od Njutnove. Med uti danas je jasno čak da ni Ajnštajnova teorija nije konačna. Teorija Opšte Relativnosti ne ože da da odgovor o gravitacioni efektia na vrlo ali dienzijaa. Ovaj proble je uočen pri istraživanju efekata u astro-objektia tzv. crni rupaa. Pronalaženje teorije gravitacije koja je prienljiva i na vrlo ale objekte predet je istraživanja savreene fizike. Zadaci za saostalni rad: 1.1; 1.; 1.3; 1.4. Literatura: Tehnička izika, Ana Kozidis Petrović. Zbirka zadataka iz fizike - ašinski odsek, Ljuba Budinski-Petković, Ana Kozidis- Petrović, Milica Vučinić Vasić, Ivana Lončarević, Aleksandra Mihailović, Dušan Ilić, Robert Lakatoš. TN Izdavaštvo, Novi Sad. 8