ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ. Teorie şi probleme Florian MUNTEANU Departamentul de Matematici Aplicate, Universitatea din Craiova Al. Cuza 3, 585 Craiova, Dolj, România munteanufm@central.ucv.ro

Cuprins I ALGEBRĂ LINIARĂ Spaţii vectoriale 3. Noţiunea de spaţiu vectorial..................... 3. Liniar dependenţă. Sistem de generatori.............. 5.3 Bază şi dimensiune.......................... 7.4 Coordonatele unui vector relativ la o bază............. 9.5 Subspaţii vectoriale.......................... 3.6 Probleme propuse spre rezolvare.................. Aplicaţii liniare 3. Noţiunea de aplicaţie liniară..................... 3. Aplicaţii liniare injective, surjective şi bijective.......... 5.3 Nucleu şi imagine pentru o aplicaţie liniară............ 6.4 Spaţii vectoriale izomorfe...................... 8.5 Matricea unei aplicaţii liniare.................... 8.6 Subspaţii invariante faţă de un endomorfism............ 33.7 Valori proprii şi vectori proprii pentru un endomorfism...... 34.8 Endomorfisme diagonalizabile.................... 38.9 Probleme propuse spre rezolvare.................. 45 3 Forme biliniare. Forme pătratice 49 3. Noţiunea de formă biliniară..................... 49 3. Noţiunea de formă pătratică..................... 5 3.3 Metoda lui Gauss........................... 53 3.4 Metoda lui Jacobi.......................... 56 3.5 Forme pătratice definite pe spaţii vectoriale reale......... 59 3.6 Probleme propuse spre rezolvare.................. 6 4 Spaţii euclidiene 65 4. Noţiunea de spaţiu vectorial euclidian............... 65 4. Inegalitatea lui Cauchy........................ 67 4.3 Baze ortonormate. Procedeul Gram-Schmidt........... 68 4.4 Complementul ortogonal....................... 7

CUPRINS 4.5 Operatori simetrici: definiţie, proprietăţi.............. 7 4.6 Metoda transformărilor ortogonale................. 78 4.7 Probleme propuse spre rezolvare.................. 79 II GEOMETRIE ANALITICĂ 83 5 Vectori liberi 85 5. Noţiunea de vector liber....................... 85 5. Spaţiul vectorial real 3-dimensional V 3............... 87 5.3 Produse de vectori în V 3....................... 9 5.4 Repere carteziene ortonormate în E 3................ 96 5.5 Probleme propuse spre rezolvare.................. 6 Dreapta şi planul în spaţiu 3 6. Dreapta în spaţiu........................... 3 6.. Reprezentări analitice ale dreptei.............. 3 6.. Distanţa de la un punct la o dreaptă. Unghiul a două drepte5 6..3 Poziţia relativă a două drepte................ 5 6. Planul în spaţiu............................ 6 6.. Reprezentări analitice ale planului............. 6 6.. Distanţa de la un punct la un plan. Unghiul a două plane 8 6..3 Poziţia relativă a două plane................ 9 6..4 Fascicule de plane...................... 6..5 Perpendiculara comună a două drepte necoplanare.... 6.3 Probleme propuse spre rezolvare.................. 4 7 Conice şi cuadrice 7 7. Cuadrice (conice): definiţie, ecuaţii................. 7 7. Intersecţia unei cuadrice (conice) cu o dreaptă........... 8 7.3 Centru pentru o cuadrică (conică)................. 7.4 Planul tangent la o cuadrică..................... 7.5 Reducerea ecuaţiei unei cuadrice (conice)............. 3 7.6 Studiul cuadricelor pe ecuaţia canonică. Sfera........... 3 7.7 Suprafeţe riglate. Suprafeţe de rotaţie............... 35 7.8 Probleme propuse spre rezolvare.................. 38 III GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ 4 8 Curbe în plan şi în spaţiu 43 8. Drumuri parametrizate........................ 43 8. Definiţia curbei. Moduri de reprezentare.............. 47 8.. Curbe în plan......................... 49 8.. Curbe în spaţiu (curbe strâmbe).............. 5

CUPRINS 3 8.3 Tangenta şi normala. Planul normal................ 5 8.3. Cazul curbelor plane..................... 5 8.3. Cazul curbelor în spaţiu................... 54 8.4 Curbură. Torsiune. Triedrul lui Frenét............... 56 8.5 Probleme propuse spre rezolvare.................. 67 8.6 Pânze parametrizate. Suprafeţe................... 7 8.7 Curbe pe o suprafaţă. Curbe coordonate.............. 73 8.8 Plan tangent. Normală........................ 75 8.9 Prima formă fundamentală a unei suprafeţe............ 78 8. A doua formă fundamentală a unei suprafeţe........... 8 8. Probleme propuse spre rezolvare.................. 9 IV PROBLEME REZOLVATE 93

4 CUPRINS

Prefaţă Acest curs este destinat în primul rând studenţilor din anul I, de la Facultatea de Automatică, Calculatoare şi Electronică a Universităţii din Craiova care au prevăzut în planul de învăţământ disciplina fundamentală obligatorie Algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, în semestrul I, anul I. De asemenea cursul este foarte util studenţilor în primul an al facultăţilor cu profil tehnic, economic, matematică-informatică, fizică, chimie, agronomie, horticultură, dar şi tuturor celor care doresc să înveţe şi să aprofundeze cunoştinţe teoretice şi practice de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială a curbelor şi suprafeţelor. Cursul a fost scris după o bogată experienţă în predare şi seminarizare a autorului, dar şi după consultarea unei foarte bogate bibliografii. De asemenea, materialul de faţă este rodul colaborării deosebite dintre autor şi Profesorul Ion Vladimirescu, începând cu anul 998, colaborare pentru care autorul aduce cele mai calde şi sincere mulţumiri Domnului Profesor Universitar Doctor Ion Vladimirescu. Referinţele bibliografice de baza ale acestui acestui curs sunt: monografia [] Matematici speciale, Ion Vladimirescu, Reprografia Universităţii din Craiova, 987, cursul [39] Algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Ion Vladimirescu, Florian Munteanu, Editura Universitaria, Craiova, 7, precum şi culegerile de probleme scrise de autor şi colaboratorii lui ([33], [35], [4]). Cartea are trei părţi principale: Algebră liniară, Geometrie analitică şi Geometrie diferenţială. Prima parte se compune din capitolele:. Spaţii vectoriale;. Aplicaţii liniare; 3. Forme biliniare. Forme pătratice; 4. Spaţii euclidiene. Partea a doua este alcătuită din capitolele: 5. Vectori liberi; 6. Dreapta şi planul în spaţiu; 7. Conice şi cuadrice. A treia parte este formată din capitolele: 8. Curbe în plan şi în spaţiu; 9. Suprafeţe. In final, pentru fiecare capitol se prezintă o bogată listă cu probleme rezolvate. Multe dintre acestea sunt exact problemele lăsate spre rezolvare la finalul fiecărui capitol de teorie. De asemenea, există 8 modele de subiecte de examen şi două anexe în care sunt reprezentate grafic toate tipurile de conice şi cuadrice. Noţiunile teoretice sunt prezentate foarte clar şi sperăm pe înţelesul tuturor studenţilor, fiind însoţite de foarte multe exemple şi exerciţii rezolvate complet. În plus, pentru o mai bună consolidare a noţiunilor, la sfârşitul fiec ărui capitol este lăsat spre rezolvare câte un set de probleme. Pentru cititorul care vrea să parcurgă şi să înţ eleagă conţinutul cărţii sunt necesare noţiuni elementare i

ii CUPRINS de matematică din clasele I-XII, cunoscute la nivel cel puţin satisfăcător, dar mai ales noţiunile de algebră din clasa a XI-a (matrici, determinanţi, sisteme de ecuaţii liniare). De asemenea, mai ales pentru ultima parte a cursului, este nevoie de cunoaş terea unor noţiuni fundamentale ale analizei matematice (derivate par ţiale, teorema funcţiilor implicite) şi a unor noţiuni elementare de topologie (mulţime deschisă, vecinătate a unui punct). Autorul

Partea I ALGEBR ¼A LINIAR ¼A

Capitolul Spaţii vectoriale. Noţiunea de spaţiu vectorial Fie V o mulţime nevid¼a, ale c¼arei elemente le vom nota cu a, b, c,... şi K un corp comutativ (zis şi câmp) cu elementele notate,,,... (exceptând zeroul şi unitatea corpului pe care le vom nota cu, respectiv ). De asemenea, presupunem c¼a pe mulţimea V este de nit¼a relaţia de egalitate a elementelor sale. De niţia.. Spunem c¼a pe mulţimea V avem o structur¼a de spaţiu vectorial (liniar) peste corpul K dac¼a V este dotat¼a cu dou¼a legi de compoziţie: I) O lege de compoziţie intern¼a + : V V! V, numit¼a adunare, în raport cu care V are structur¼a de grup. II) O lege de compoziţie extern¼a s : K V! V, numit¼a înmulţire cu scalari, care satisface urm¼atoarele axiome: i) a + b = a + b, ii) ( + ) a = a + a, iii) () a = (a), iv) a, oricare ar a, b V şi, K. Elementele unui spaţiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului se numesc scalari. Elementul neutru al grupului (V; +) se numeşte vectorul nul (notat ) al spaţiului vectorial V. Un spaţiu vectorial peste corpul numerelor reale R (respectiv complexe C) se numeşte spaţiu vectorial real (respectiv complex). Exemplul.. Mulţimea K n = f(x ; x ; : : : ; x n )jx i K; i = ; : : : ; ng, n, are structur¼a de spaţiu vectorial peste corpul comutativ K, în raport cu operaţiile de adunare, de nit¼a prin x + y = (x + y ; x + y ; : : : ; x n + y n ); 3

4 CAPITOLUL. SPAŢII VECTORIALE oricare ar x = (x ; x ; : : : ; x n ), y = (y ; y ; : : : ; y n ) K n şi înmulţire cu scalari din K, de nit¼a prin x = (x ; x ; : : : ; x n ); oricare ar K şi x = (x ; x ; : : : ; x n ) K n. Spaţiul vectorial (K n ; +; s ) de nit aici se numeşte spaţiul aritmetic. În acest spaţiu vectorul nul este n-uplul = (; ; : : : ; ), iar opusul vectorului x = (x ; x ; : : : ; x n ) este vectorul x = ( x ; x ; : : : ; x n ). În particular, K este spaţiu vectorial peste K, faţ¼a de operaţiile de corp. Exemplul.. Fie I o mulţime nevid¼a şi K un corp comutativ. Mulţimea K I = ffjf : I! K funcţieg are structur¼a de spaţiu vectorial peste K, în raport cu operaţiile de adunare a funcţiilor şi înmulţirea funcţiilor cu scalari din K de nite astfel: - oricare ar f, g K I de nim funcţia f +g prin (f +g)(x) def = f(x)+g(x), pentru orice x I; -oricare ar K, f K I pentru orice x I. În particular, dac¼a I = f; : : : ; mg şi J = f; : : : ; ng, atunci mulţimea K IJ, adic¼a mulţimea matricilor cu elemente din K, având m linii şi n coloane (mulţime notat¼a prin M m;n (K)) are structur¼a de spaţiu vectorial faţ¼a de operaţiile obişnuite de adunare a matricelor şi înmulţirea matricilor cu scalari din K. de nim funcţia f prin (f)(x) def = f(x), Exemplul..3 Mulţimea numerelor complexe are structur¼a de spaţiu vectorial peste corpul numerelor reale în raport cu operaţiile de adunare a numerelor complexe şi înmulţire a numerelor complexe cu numere reale. Exemplul..4 Mulţimea polinoamelor de o nedeterminat¼a, cu coe cienţi din K, K[X], are o structur¼a de spaţiu vectorial peste K, în raport cu adunarea polinoamelor şi înmulţirea polinoamelor cu scalari din K. La fel şi mulţimea polinoamelor de o nedeterminat¼a, cu coe cienţi din K de grad cel mult n, K n [X], este spaţiu vectorial peste K. Exemplul..5 Dac¼a V este spaţiu vectorial peste K, atunci V este spaţiu vectorial peste orice subcorp K al lui K (K K se numeşte subcorp al lui K daca K împreun¼a cu operaţiile de corp de pe K este tot corp). În particular, C este spaţiu vectorial peste R şi peste Q. R este spaţiu vectorial peste Q. Propoziţia.. Fie V un spaţiu vectorial peste K. Atunci, avem: a) x + y = y + x, oricare ar x, y V ; b) Dac¼a K şi x V, atunci x = dac¼a şi numai dac¼a = sau x = ; c) Dac¼a K şi x V, atunci ( ) x = ( x) = (x). Demonstraţie. a) Egalit¼aţile (+)(x+y) = (+)x+(+)y = x+x+y +y şi ( + )(x + y) = (x + y) + (x + y) = x + y + x + y, adev¼arate pentru orice x, y V implic¼a x + x + y + y = x + y + x + y, adic¼a x + y = y + x.

.. LINIAR DEPENDENŢ ¼A. SISTEM DE GENERATORI 5 b) Dac¼a = avem x = x = ( + )x = x + x, pentru orice x V. Atunci x =, pentru orice x V. Dac¼a x =, atunci avem x = = ( + ) = +, oricare ar K. Deci, =. Reciproc, ar¼at¼am c¼a dac¼a x = atunci = sau x =. Într-adev¼ar, dac¼a avem 6=, atunci (x) = = (ţinând cont de cele de mai sus) şi (x) = ( )x) = x = x, de unde rezult¼a c¼a x =. Iar dac¼a =, atunci e clar c¼a x =. c) Mai întâi, din faptul c¼a x + ( )x = ( + ( ))x = x =, rezult¼a c¼a x = ( )x. Acum, pentru orice K şi x V avem ( ) x = (( )) x = (( )) x = (( ) x) = ( x) şi ( ) x = (( )) x = ( )(x) = (x). Corolarul.. i) Dac¼a K n fg şi x, y V, atunci x = y dac¼a şi numai dac¼a x = y. ii) Dac¼a, K, 6= atunci x = x dac¼a şi numai dac¼a x =. În continuare, cu excepţia situaţiilor în care se precizeaz¼a altceva, prin corpul comutativ K vom înţelege c¼a este vorba despre corpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C.. Liniar dependenţ¼a. Sistem de generatori Fie V un spaţiu vectorial peste K şi S = fa i ji Ig V, unde I este o mulţime oarecare de indici. De niţia.. Spunem c¼a vectorul x este o combinaţie liniar¼a de vectori din S dac¼a exist¼a scalarii i K, i I, astfel încât x = X i a i, unde ii mulţimea fi Ij i 6= g este nit¼a. În particular, vectorul x este o combinaţie liniar¼a de vectorii a, a,..., nx a n V dac¼a exist¼a scalarii,, : : :, n K astfel încât x = i a i : De exemplu, vectorul nul este o combinaţie liniar¼a de orice vectori din S, oricare ar S V. De niţia.. Mulţimea L(S) a tuturor combinaţiilor liniare de vectori din S se numeşte acoperirea liniar¼a (sau anvelopa liniar¼a) a lui S. În particular, dac¼a S = fa ; a ; : : : ; a n g, atunci ( n ) X L(S) = L(a ; a ; : : : ; a n ) = i a i ; ; : : : ; n K : i= i=

6 CAPITOLUL. SPAŢII VECTORIALE Exemplul.. În spaţiul aritmetic R, se consider¼a vectorii a = (; a = (; ). Atunci acoperirea liniar¼a a sistemului fa ; a g este ) şi L(a ; a ) = f a + a j ; Rg = f( + ; + )j ; Rg: Vectorul x = (; ) R se scrie ca o combinaţie liniar¼a de vectorii a ; a astfel: x = 3 a + 4 3 a : Propoziţia.. Dac¼a b ; b ; : : : ; b m L(a ; a ; : : : ; a n ), atunci L(b ; b ; : : : ; b m ) L(a ; a ; : : : ; a n ). Demonstraţie. Se ţine cont de faptul c¼a pentru orice j = ; : : : ; m avem nx b j = i j a i, unde i j K, j m, i n. i= Propoziţia.. Dac¼a a L(a ; a ; : : : ; a n ), atunci L(a ; a ; : : : ; a n ) = L(a; a ; a ; : : : ; a n ). În particular, L(a ; a ; : : : ; a n ) = L(; a ; a ; : : : ; a n ). De niţia..3 Sistemul nit de vectori fa ; a ; : : : ; a n g se numeşte liniar dependent dac¼a exist¼a scalarii ; ; : : : ; n K, nu toţi nuli, astfel încât a + a + + n a n =. Se mai spune c¼a vectorii a ; a ; : : : ; a n sunt liniar dependenţi. Dac¼a vectorii a ; a ; : : : ; a n nu sunt liniar dependenţi, atunci spunem c¼a ei sunt liniar independenţi (sau spunem c¼a sistemul fa ; a ; : : : ; a n g V este liniar independent). Altfel spus, vectorii a ; a ; : : : ; a n sunt liniar independenţi dac¼a egalitatea a + a + + n a n = are loc numai pentru = = = n =. Exemplul... Vectorii e = (; ; ), e = (; ; ), e 3 = (; ; ) din spaţiul aritmetic R 3 sunt liniar independenţi. Într-adev¼ar, din e + e + 3 e 3 = rezult¼a ( ; ; 3 ) = (; ; ), adic¼a = = 3 =.. Vectorii a = (; ; ), a = (; ; ), a 3 = (; ; ) din spaţiul aritmetic R 3 sunt liniar dependenţi deoarece a a + a 3 =, adic¼a exist¼a o combinaţie liniar¼a nul¼a de aceşti vectori, în care nu toţi scalarii sunt nuli. De niţia..4 Sistemul arbitrar S = fa i ji Ig de vectori din V se numeşte liniar dependent dac¼a exist¼a I I, nit¼a, astfel ca subsistemul nit S = fa i ji I g s¼a e liniar dependent. În caz contrar, sistemul S se numeşte liniar independent. Exemplul..3 Fie R[X] spaţiul vectorial real al polinoamelor de o nedeterminat¼a cu coe cienţi reali. Sistemul S = fx i ji Ng este liniar independent.

.3. BAZ ¼A ŞI DIMENSIUNE 7 Propoziţia..3 i) Sistemul fag V este liniar independent dac¼a şi numai dac¼a a 6=. ii) Un sistem de vectori ai unui spaţiu vectorial care conţine vectorul nul este liniar dependent. iii) Orice sistem de vectori care conţine un sistem de vectori liniari dependenţi este liniar dependent. iv) Orice sistem de vectori care este conţinut într-un sistem liniar independent este liniar independent. Propoziţia..4 Vectorii a ; a ; : : : ; a n V sunt liniar dependenţi dac¼a şi numai dac¼a cel puţin unul dintre ei se scrie ca o combinaţie liniar¼a a celorlalţi. Demonstraţie. Presupunem c¼a vectorii a ; a ; : : : ; a n sunt liniar dependenţi. Atunci, exist¼a scalarii,..., n K, nu toţi nuli, astfel ca a + a + + np n a n =. Dac¼a, de pild¼a, i 6=, atunci a i = ( j ( i ) )a j. Reciproc, dac¼a a i = np j=; j6=i j=; j6=i j a j, atunci a + + i a i + ( )a i + i+ a i+ + + n a n =, adic¼a a ; a ; : : : ; a n sunt liniar dependenţi (deoarece exist¼a o combinaţie liniar¼a nul¼a de a ; a ; : : : ; a n în care nu toţi scalarii sunt nuli). De niţia..5 Spunem c¼a sistemul S de vectori din V este un sistem de generatori pentru V dac¼a orice vector x V se scrie ca o combinaţie liniar¼a de vectori din S (cu alte cuvinte, dac¼a V = L(S)). În cazul particular S = fa ; a ; : : : ; a n g spunem c¼a vectorii a ; a ; : : : ; a n genereaz¼a spaţiul vectorial V, adic¼a V = L(a ; a ; : : : ; a n ). Observaţia.. i) Orice spaţiu vectorial V posed¼a cel puţin un sistem de generatori, de exemplu chiar V. ii) Dac¼a V = L(S) şi S S atunci V = L(S ). Exemplul..4 Vectorii a = (; ), a = (; ) genereaz¼a spaţiul vectorial aritmetic R, deoarece oricare ar x = (x ; x ) R avem x = a + a, unde = x x 3 şi = x +x 3. Uneori vom folosi convenţia lui Einstein (sau regula indicilor muţi). Astfel, nx în loc de i a i vom scrie i a i, i a i vom scrie i a i, i n sau în loc de X i= ii i I. Atunci când se subînţelege mulţimea valorilor pe care le ia indicele de sumare i vom scrie simplu i a i..3 Baz¼a şi dimensiune Propoziţia.3. Fie a, a,..., a n vectori ai spaţiului vectorial V şi b, b,...,b m L(a ; a ; : : : ; a n ) vectori liniar independenţi. Atunci, m n.

8 CAPITOLUL. SPAŢII VECTORIALE Demonstraţie. Presupunem prin absurd c¼a m > n. Deoarece b, b,...,b m P L(a ; a ; : : : ; a n ), rezult¼a c¼a oricare ar i = ; : : : ; m, avem b i = n j i a j. Consider¼am sistemul de n ecuaţii liniare şi omogene, cu necunoscutele x,..., x m, 8> < x + x + + mx m = x + x + + mx m = ::::::::::::::::::::::::::::::::: >: n x + n x + + n mx m = Din presupunerea c¼a m > n rezult¼a c¼a acest sistem are şi soluţii nebanale (deoarece rangul matricii sistemului este mai mic strict decât num¼arul de necunoscute). Dac¼a ( ; : : : ; m P ) este o astfel de soluţie nebanal¼a, atunci m i b i =! i= mp np i j i a P j = n mp j P i i a j = n a j =. Contradicţie cu liniar i= j= j= i= j= independenţa vectorilor b ; b ; : : : ; b m. Deci, presupunerea facut¼a este fals¼a şi astfel avem m n. j= Corolarul.3. Dac¼a a ; a ; : : : ; a n V, iar b, b,...,b m L(a ; a ; : : : ; a n ) cu m > n, atunci b ; b ; : : : ; b m sunt liniar dependenţi. De niţia.3. Sistemul B de vectori din spaţiul vectorial V se numeşte baz¼a pentru V dac¼a este liniar independent şi sistem de generatori pentru V. Exemplul.3.. Vectorii e = (; ; ), e = (; ; ), e 3 = (; ; ) din spaţiul aritmetic R 3 constituie o baz¼a pentru acest spaţiu vectorial. De asemenea, sistemul B = fe = (; ; : : : ; ); e = (; ; : : : ; ); : : : ; e n = (; ; : : : ; )g este o baz¼a pentru spaţiul aritmetic K n, numit¼a baza canonic¼a (sau natural¼a sau standard) a lui K n.. Sistemul B = f; X; X g constituie o baz¼a pentru spaţiul vectorial al polinoamelor de o nedeterminat¼a, cu coe cienţi reali, de grad cel mult, R [X], iar B = f; X; X ; : : : ; X n ; : : :g este o baz¼a pentru spaţiul vectorial al polinoamelor de o nedeterminat¼a, cu coe cienţi reali, R[X]. 3. Vectorii E ij M m;n (K), i m, j n, unde E ij (k; l) = ; dac¼a (i; j) 6= (k; l) ; dac¼a (i; j) = (k; l) ; oricare ar k = ; : : : ; m, l = ; : : : ; n, constituie o baz¼a pentru spaţiul vectorial M m;n (K) al matricilor cu elemente din K, având m linii şi n coloane. Teorema.3. (de existenţ¼a a bazei) Orice spaţiu vectorial nenul (care nu se reduce doar la vectorul nul) posed¼a cel puţin o baz¼a. Mai exact, din orice sistem de generatori al lui V se poate extrage cel puţin o baz¼a.

.3. BAZ ¼A ŞI DIMENSIUNE 9 Demonstraţie. Vom demonstra teorema numai în cazul când V admite un sistem nit de generatori, adic¼a V este un spaţiu nit generat. În acest sens, e B = fa ; a ; : : : ; a m g un sistem de generatori pentru V. Având în vedere un rezultat din secţiunea precedent¼a putem presupune c¼a toţi vectorii lui B sunt nenuli. Pentru demonstraţie folosim metoda inducţiei matematice, dup¼a m ; num¼arul de vectori din B. Etapa I (veri carea): Pentru m =, este clar c¼a B = fa g este o baz¼a pentru V, deoarece a 6=, adic¼a este a şi liniar independent. Etapa a II-a (demonstraţia): Presupunem c¼a în orice spaţiu generat de m vectori exist¼a cel puţin o baz¼a şi vom demonstra c¼a dac¼a un spaţiu V este generat de m vectori, a ; a ; : : : ; a m, atunci acesta admite cel puţin o baz¼a. Avem dou¼a situaţii: a) a ; a ; : : : ; a m sunt liniar independenţi şi atunci a ; a ; : : : ; a m formeaz¼a o baz¼a pentru V, sau b) a ; a ; : : : ; a m sunt liniar dependenţi şi atunci cel puţin unul dintre ei se poate scrie ca o combinaţie liniar¼a de ceilalţi m vectori. Astfel, V este generat de m vectori şi conform ipotezei de inducţie, rezult¼a c¼a V admite cel puţin o baz¼a. Teorema.3. (bazei) Toate bazele unui spaţiu vectorial sunt formate din acelaşi num¼ar de vectori. Demonstraţie. Fie B = fa ; a ; : : : ; a n g şi B = fb ; b ; : : : ; b m g dou¼a baze ale unui spaţiu vectorial V. Presupunem c¼a m > n. Aplicând corolarul de mai sus rezult¼a c¼a b ; b ; : : : ; b m sunt liniar dependenţi. Absurd şi prin urmare presupunerea facut¼a este fals¼a. Deci, m n. Analog, dac¼a presupunem m < n şi aplic¼am acelaşi corolar obţinem c¼a n m. În concluzie m = n. Acum are sens urm¼atoarea de niţie: De niţia.3. Spunem c¼a spaţiul vectorial V are dimensiunea nit¼a n (şi scriem dim V = n) dac¼a exist¼a o baz¼a a lui V format¼a din n vectori. În caz contrar, spunem c¼a spaţiul vectorial V are dimensiunea in nit¼a şi scriem dim V =. Spaţiul nul V = fg are, prin de niţie, dimensiunea zero. Când este pericol de confuzie, scriem dim K V = n, pentru V un spaţiu vectorial peste K. A se vedea c¼a dim C C =, iar dim R C =. Exemplul.3.. Spaţiul aritmetic R 3 are dimensiunea 3, iar dim K n = n, pentru orice corp comutativ K.. dim R n [X] = n +, iar R[X] este un spaţiu vectorial de dimensiune in nit¼a. 3. dim C C n = n, dim R C n = n. 4. dim M m;n (K) = mn, iar dim C M m;n (C) = mn, dim R M m;n (C) = mn.

CAPITOLUL. SPAŢII VECTORIALE De acum înainte când vom spune c¼a un spaţiu vectorial are dimensiunea n înţelegem c¼a n este nit. Observaţia.3. Conform propoziţiei.3. avem ca dac¼a dim V = n, atunci orice sistem din V format cu n + sau mai mulţi vectori este liniar dependent..4 Coordonatele unui vector relativ la o baz¼a Teorema.4. Fie V un spaţiu vectorial şi B = fa ; a ; : : : ; a n g V. Atunci B este baz¼a a lui V dac¼a şi numai dac¼a orice vector x V se poate scrie în mod unic ca o combinaţie liniar¼a de vectorii lui B, a ; a ; : : : ; a n. Demonstraţie. Fie B = fa ; a ; : : : ; a n g o baz¼a a lui V. Atunci, pentru orice vector x V, exist¼a scalarii x,..., x n K astfel încât x = x a + + x n a n. Dac¼a ar mai exista şi alţi scalari y,..., y n K astfel încât x = y a + +y n a n, atunci avem x a + + x n a n = y a + + y n P a n sau n (x i y i )a i =. Din liniar independenţa sistemului B rezult¼a x i = y i, pentru orice i = ; : : : ; n, adic¼a scrierea lui x ca o combinaţie liniar¼a de vectorii bazei B este unic¼a. Reciproc, dac¼a orice vector x din V se scrie în mod unic ca o combinaţie liniar¼a de vectorii sistemului B = fa ; a ; : : : ; a n g, atunci este evident c¼a B este un sistem de generatori pentru V. R¼amâne de aratat c¼a B este şi sistem liniar independent. Pentru aceasta, dac¼a consider¼am combinaţia liniar¼a nul¼a a + a + + n a n = şi dac¼a ţinem cont de ipotez¼a şi de faptul c¼a avem şi a + a + + a n =, rezult¼a = = = n =. Deci, B este o baz¼a a lui V. Aşadar, dac¼a B = fa ; a ; : : : ; a n g este o baz¼a a lui V atunci orice vector x V se poate scrie în mod unic ca o combinaţie liniar¼a de vectorii lui B, adic¼a exist¼a şi sunt unici scalarii x ; x ; : : : ; x n K astfel ca x = x a + x a + + x n a n : De niţia.4. Scalarii x ; x ; : : : ; x n unic determinaţi de vectorul x se numesc coordonatele vectorului x în raport cu baza B. Pentru simplitatea scrierii, în loc de x = x a + x a + + x n a n vom scrie x B = (x ; x ; : : : ; x n ) sau ex B = (x ; x ; : : : ; x n ) t sau, mai ales în relaţiile x x matriceale ex B = B C @. A. x n Când nu este pericol de confuzie vom scrie x = (x ; x ; : : : ; x n ) sau ex = (x ; x ; : : : ; x n ) t. i=

.4. COORDONATELE UNUI VECTOR RELATIV LA O BAZ ¼A Exemplul.4.. În spaţiul vectorial aritmetic R 3, relativ la baza canonic¼a B = fe = (; ; ); e = (; ; ); e 3 = (; ; )g, orice vector x = (x ; x ; x 3 ) are drept coordonate chiar componentele sale x, x, x 3, deoarece x = x e +x e + x 3 e 3. Atunci, vectorul y = (; ; 7), de exemplu, are coordonatele,, 7 relativ la baza canonic¼a B. Scriem ex B = @ A. 7. Dac¼a P = 3X + X R [X], atunci, 3, sunt coordonatele lui P relativ la baza B = f; X; X g a lui R [X]. 3. Coordonatele polinomului P = X X R[X], relativ la baza B = f; X; X ; : : : ; X n ; : : :g, sunt,,,,...,.... Teorema.4. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n. Atunci, orice sistem de m < n vectori din V, liniar independenţi, se poate completa pân¼a la o baz¼a a lui V. Demonstraţie. Fie B = fa ; a ; : : : ; a n g o baz¼a a lui V şi b ; b ; : : : ; b m vectori liniar independenţi în V. Este clar c¼a sistemul format cu vectorii b, b,..., b m, a, a,..., a n este un sistem de generatori pentru V, care este liniar dependent (m + n > n = dim V ). Atunci, cel puţin unul dintre ei se scrie ca o combinaţie liniar¼a de restul vectorilor din sistem. Cum b ; b ; : : : ; b m sunt liniar independenţi, avem c¼a un astfel de vector nu se poate alege dintre b ; b ; : : : ; b m. Fie a i primul vector dintre b, b,..., b m, a, a,..., a n, care se scrie ca o combinaţie liniar¼a de ceilalţi. Atunci, avem c¼a V = L(b ; b ; : : : ; b m ; a ; a ; : : : ; a n ) = L(b ; b ; : : : ; b m ; a ; : : : ; a i ; a i+ ; : : : ; a n ) şi sunt posibile dou¼a situaţii: ) b ; b ; : : : ; b m ; a ; : : : ; a i ; a i+ ; : : : ; a n sunt liniar independenţi şi atunci ei formeaz¼a baza cautat¼a, sau ) b ; b ; : : : ; b m ; a ; : : : ; a i ; a i+ ; : : : ; a n sunt liniar dependenţi şi atunci se reia procedeul de mai sus eliminând pe rând câte unul dintre vectorii a i+ ; : : : ; a n pân¼a când se obţine un sistem de generatori ai lui V care conţine vectorii b ; b ; : : : ; b m şi este şi sistem liniar independent (este limpede c¼a trebuie eliminaţi m vectori dintre a ; a ; : : : ; a n ). Aceasta este baza cautat¼a, obţinut¼a prin completarea sistemului liniar independent b ; b ; : : : ; b m. Propoziţia.4. Fie V un spaţiu vectorial peste K, de dimensiune nit¼a n şi S = fa ; a ; : : : ; a n g V. Atunci urm¼atoarele a rmaţii sunt echivalente: a) S este o baz¼a a lui V ; b) S este un sistem de generatori pentru V ; c) S este un sistem liniar independent. Teorema.4.3 Condiţia necesar¼a şi su cient¼a ca m vectori ai unui spaţiu vectorial V de dimensiune n (m n) s¼a e liniar independenţi este ca rangul matricei formate (pe coloane) cu coordonatele acestor vectori într-o baz¼a oarecare a spaţiului s¼a e egal cu m.

CAPITOLUL. SPAŢII VECTORIALE Demonstraţie. Fie B = fa ; a ; : : : ; a n g o baz¼a a lui V, iar b ; b ; : : : ; b m vectori ai lui V (m n) astfel încât b j = i j a i oricare ar j = ; : : : ; m. i=! P Dac¼a m np mp j b j =, cu,..., m K, atunci j i j a i = şi cum j= P B este un sistem liniar independent rezult¼a c¼a m i j j =, oricare ar i = ; : : : ; n. Obţinem astfel un sistem omogen de n ecuaţii liniare cu m necunoscute,..., m care are numai soluţia banal¼a ( ; : : : ; m ) = (; : : : ; ) dac¼a şi numai dac¼a rangul matricei sale este egal cu m. i j i=;n; j=;m În continuare, consider¼am dou¼a baze B = fa ; a ; : : : ; a n g şi B = fb ; b ; : : : ; b n g P ale unui spaţiu vectorial V peste K, iar oricare ar i = ; n, avem b i = n j i a j P şi oricare ar k = ; n, avem a k = n i P kb i. Atunci b i = n np j i k j b k, oricare i= j= k= np ar i = ; n. Prin urmare, j i k j = k ; dac¼a i = k i = j= ; dac¼a i 6= k sau BA = I n, unde A = i j M i=;n; j=;n n(k) este matricea pe ale c¼arei coloane avem coordonatele vectorilor bazei B în raport cu baza B, iar B = i j i=;n; j=;n M n (K) este matricea pe ale c¼arei coloane avem coordonatele vectorilor bazei B în raport cu baza B.. De niţia.4. Matricea A, format¼a ca mai sus, se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza B. Propoziţia.4. Cu notaţiile de mai sus avem B = A. Mai mult, pentru orice x V avem ex B = Aex B sau n P i= j= j= j= ex B = A ex B : () Demonstraţie. Din BA = I n este clar c¼a B = A. Dac¼a x = x = n P j= n P i= x i a i şi y j P b j atunci, din a i = n j i b j şi din unicitatea scrierii lui x, avem j= c¼a y j P = n j i xi, pentru toţi i = ; n, ceea ce înseamn¼a c¼a (y ; : : : ; y n ) t = i= B(x ; : : : ; x n ) t sau ex B = A ex B. Relaţia () se numeşte formula de schimbare a coordonatelor unui vector când se trece de la baza B la baza B. Exemplul.4. În spaţiul vectorial aritmetic R 3 se consider¼a baza canonic¼a B = fe ; e ; e 3 g şi baza B = fa ; a ; a 3 g, unde a = (; ; ), a = (3; ; ), a 3 = (; ; ). Matricea de trecere de la baza B la baza B este

.4. COORDONATELE UNUI VECTOR RELATIV LA O BAZ ¼A 3 A = @ 3 A, iar matricea de trecere de la baza B la baza B este A. Dac¼a x = (; ; 7), atunci ex B = A ex B = A @ 7 Fie V un spaţiu vectorial real n-dimensional şi H = fb V jb baz¼a a lui V g. De niţia.4.3 Spunem c¼a bazele B, B H sunt la fel orientate (sau au aceeaşi orientare şi scriem B B ) dac¼a determinantul matricii de trecere de la baza B la baza B este pozitiv. Propoziţia.4.3 Relaţia binar¼a este o relaţie de echivalenţ¼a pe H. Demonstraţie. a) Cum determinatul lui I n este pozitiv avem c¼a B B, oricare ar B H, adic¼a este re exiv¼a. b) Dac¼a B B şi matricea de trecere de la baza B la baza B este A, atunci B B deoarece determinantul matricii de trecere A, de la baza B ). Astfel, relaţia este simetric¼a. c) Fie B, B, B 3 H astfel c¼a B B şi B B 3, iar A este matricea de trecere de la baza B la baza B şi B este matricea de trecere de la baza B la baza B 3. Atunci B B 3, deoarece matrice de trecere de la baza B la baza B 3 este chiar AB, iar det(ab) = det A det B >. Rezult¼a c¼a este o relaţie tranzitiv¼a. Deci este o relaţie de echivalenţ¼a pe H. la baza B, este tot pozitiv (det A = det A A. Propoziţia.4.4 Mulţimea factor H = are dou¼a elemente. Demonstraţie. Fie B, B H astfel ca B B. Fie B H astfel încât B B. Dac¼a A este matricea de trecere de la baza B la baza B şi B este matricea de trecere de la baza B la baza B, atunci matricea de trecere de la baza B la baza B este AB. Cum det A < si det B <, avem c¼a det AB > şi astfel B B. Cele dou¼a clase de echivalenţ¼a care formeaz¼a mulţimea factor H = se numesc orient¼ari ale spaţiului vectorial V. De niţia.4.4 Spunem c¼a spaţiul vectorial real V este orientat dac¼a am xat o orientare pe V, adic¼a o clas¼a de echivalenţ¼a de baze la fel orientate pe care le vom numi baze pozitiv orientate. Bazele din cealalt¼a clas¼a de echivalenţ¼a se vor numi baze negativ orientate (în raport cu orientarea xat¼a).

4 CAPITOLUL. SPAŢII VECTORIALE.5 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste K şi V o submulţime nevid¼a a lui V. De niţia.5. V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dac¼a, împreun¼a cu operaţiile spaţiului vectorial V, are o structur¼a de spaţiu vectorial peste K. Propoziţia.5. V este subspaţiu vectorial al lui V dac¼a şi numai dac¼a x + y V, pentru orice, K şi orice x, y V. Demonstraţie. Dac¼a V este subspaţiu vectorial al lui V, atunci din buna de nire a operaţiilor de spaţiu vectorial pe V rezult¼a c¼a x + y V, 8, K, x, y V. Reciproc, dac¼a avem c¼a x + y V, 8, K, x, y V, atunci pentru = şi = obţinem c¼a x y V, 8x, y V, adic¼a (V ; +) este un subgrup al lui (V; +) şi prin urmare este grup. Apoi axiomele i)-iv) din II) din de niţia spaţiului vectorial sunt veri cate în mod evident şi pentru vectorii din V. În concluzie, V este spaţiu vectorial peste K, în raport cu operaţiile spaţiului vectorial V. Exerciţiul.5.. Ar¼ataţi c¼a pentru orice sistem de vectori S din V avem c¼a L(S) este subspaţiu vectorial al lui V.. Dac¼a a ; a ; : : : ; a m V, atunci ar¼ataţi c¼a dim L(a ; a ; : : : ; a m ) m. Pentru orice sistem S V, L(S) se mai numeşte subspaţiul generat de sistemul de vectori S. În particular, L(a ; a ; : : : ; a m ) se numeşte subspaţiul generat de vectorii a ; a ; : : : ; a m. Exemplul.5.. Spaţiul nul fg şi spaţiul vectorial V sunt subspaţii vectoriale ale lui V, numite subspaţii improprii ale lui V.. Mulţimea V = f(x ; x ; x 3 ) R 3 jx = g este un subspaţiu vectorial al lui R 3. 3. Mulţimea V = f(x ; x ; x 3 ) R 3 jx = ; x 3 = g este un subspaţiu vectorial al lui R 3. 4. În spaţiul vectorial M n (K) mulţimea matricilor diagonale este un subspaţiu vectorial. 5. Mulţimea matricilor p¼atratice de ordin n care sunt simetrice şi mulţimea matricilor antisimetrice sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului M n (R). 6. R n [X] = fp R[X]j grad P ng este subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial real R[X]. Propoziţia.5. Fie V un subspaţiu vectorial al lui V, de dimensiune nit¼a n. Atunci, dim V dim V.

.5. SUBSPAŢII VECTORIALE 5 Demonstraţie. Fie m = dim V. Presupunem prin absurd c¼a m > n. Din de niţia dimensiunii lui V rezult¼a c¼a exist¼a în V o baz¼a format¼a din m vectori. Dar V V, ceea ce înseamn¼a c¼a în V exist¼a m vectori liniar independenţi, iar m > dim V = n. Contradicţie cu de niţia dimensiunii lui V. Atunci, presupunerea f¼acut¼a este fals¼a şi deci, m n. Fie V, V subspaţii vectoriale ale lui V. De nim urm¼atoarele submulţimi ale lui V : V + V = fx V j9x V şi x V astfel ca x = x + x g = = fx + x jx V şi x V g, V \ V = fx V jx V şi x V g: Propoziţia.5.3 V + V şi V \ V sunt subspaţii vectoriale ale lui V. Demonstraţie. Fie x = x + x şi y = y + y din V + V, iar, K. Atunci x+y = (x +x )+(y +y ) = (x +y )+(x +y ) V +V, adic¼a V + V este subspaţiu al lui V. Cu uşurinţ¼a se poate proba c¼a V \ V este subspaţiu vectorial al lui V. V + V se numeşte suma subspaţiilor V şi V, iar V \ V se numeşte intersecţia subspaţiilor V şi V. Exemplul.5.. Dac¼a în spaţiul vectorial aritmetic R 3 consider¼am subspaţiile vectoriale V = f(x ; x ; x 3 ) R 3 jx = g şi V = f(x ; x ; x 3 ) R 3 jx = ; x 3 = g, atunci suma lor este V + V = R 3, iar intersecţia lor este V \ V = fg: a. Fie V = ja R şi V = jb R submulţimi b în M (R). Este clar c¼a V şi V sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial a M (R) şi suma lor este V +V = ja; b R, iar intersecţia V b \V este subspaţiul nul al lui M (R). Exerciţiul.5.. Ar¼ataţi c¼a, în general, reuniunea a dou¼a subspaţii, V [V, nu este un subspaţiu vectorial al lui V. Mai mult, ar¼ataţi c¼a V [V este subspaţiu vectorial dac¼a şi numai dac¼a V V sau V V.. Ar¼ataţi c¼a V + V = L(V [ V ), oricare ar subspaţiile V, V. De niţia.5. Spunem c¼a suma V +V este sum¼a direct¼a dac¼a orice vector x V + V se scrie în mod unic sub forma x = x + x, cu x V şi x V. Vom scrie V V în loc de V + V. Propoziţia.5.4 Fie V, V dou¼a subspaţii vectoriale ale lui V. Atunci, urm¼atoarele a rmaţii sunt echivalente: a) V \ V = fg; b) suma subspaţiilor V, V este sum¼a direct¼a.

6 CAPITOLUL. SPAŢII VECTORIALE Demonstraţie. a))b) Fie x V + V astfel încât x = x + x şi x = y + y, cu x, y V şi x, y V. Atunci, x +x = y +y, adic¼a x y = y x. Cum x y V, y x V, rezult¼a c¼a x y, y x V \V = fg. Prin urmare x = y şi x = y, adic¼a scrierea este unic¼a şi astfel V + V = V V. b))a) Fie x V \ V. Atunci x = x + V V şi x = + x V V. Din unicitatea scrierii lui x, rezult¼a c¼a x =. Prin urmare V \ V fg. Cum incluziunea fg V \ V este evident¼a, rezult¼a c¼a V \ V = fg. De niţia.5.3 Subspaţiile vectoriale V, V se numesc suplimentare (sau complementare) dac¼a V = V V. În acest caz, V se numeşte suplimentul lui V în V, iar V se numeşte suplimentul lui V în V. Exemplul.5.3 În spaţiul vectorial aritmetic R 3 subspaţiile V = f(x ; x ; x 3 ) R 3 jx = g şi V = f(x ; x ; x 3 ) R 3 jx = ; x 3 = g sunt suplimentare. Teorema.5. Fie V un spaţiu vectorial peste K, de dimensiune nit¼a n şi V, V dou¼a subspaţii vectoriale ale lui V. Atunci, V = V V dac¼a şi numai dac¼a sunt îndeplinite condiţiile: i) V \ V = fg; ii) dim V = dim V + dim V. Demonstraţie. Dac¼a V V = V, atunci V \ V = fg, conform propoziţiei anterioare. R¼amâne de ar¼atat c¼a are loc a doua condiţie. Fie B = fa ; : : : ; a p g o baz¼a a lui V şi B = fb ; : : : ; b q g o baz¼a a lui V. Fie B = fa ; : : : ; a p ; b ; : : : ; b q g V. Vom ar¼ata c¼a B este o baz¼a pentru V şi astfel dim V = p + q = dim V + dim V. Fie a + + p a p + b + + q b q =. Ţinând cont de unicitatea scrierii vectorului nul din V, = + V V = V rezult¼a c¼a a + + p a p = şi b + + q b q =.Cum B şi B sunt, în particular, sisteme liniar independente, avem c¼a = = p = şi = = q =. Astfel, B este sistem liniar independent. Fie x V. Atunci exist¼a x V şi x V astfel ca x = x + x. Dar P x = p i P a i şi x = q j P b j. Rezult¼a c¼a x = p i P a i + q j b j, adic¼a B este i= j= sistem de generatori pentru V. În concluzie, B este baz¼a pentru V. Reciproc, dac¼a presupunem îndeplinite condiţiile i) şi ii), atunci pentru a ar¼ata c¼a V = V V este su cient s¼a ar¼at¼am c¼a V = V + V, deoarece condiţia i) ne asigur¼a c¼a suma subspaţiilor V şi V este sum¼a direct¼a. Dac¼a B = fa ; : : : ; a p g o baz¼a a lui V şi B = fb ; : : : ; b q g o baz¼a a lui V, atunci B = fa ; : : : ; a p ; b ; : : : ; b q g este un sistem liniar independent în V, P pentru c¼a din p i P a i + q j P b j = sau p qp i a i = j b j, avem c¼a atât i= j= i= i= j= j=

.5. SUBSPAŢII VECTORIALE 7 pp i a i i= cât şi qp j P b j fac parte din V \ V = fg, adic¼a p i a i = şi j= qp j b j = ceea ce implic¼a = = p = şi = = q =. j= Din faptul c¼a dim V = p + q şi B este un sistem liniar independent format din p + q vectori, rezult¼a c¼a B este o baz¼a pentru V. Prin urmare, pentru orice x V exist¼a ; : : : ; p, ; : : : ; q K astfel încât x = i a i + j b j, i p, j q, adic¼a pentru orice x V exist¼a x = i a i V şi x = j b j V astfel ca x = x + x. Deci, V = V + V. Fie V, V dou¼a subspaţii vectoriale ale lui V astfel încât V = V V. Fie x V. Atunci, exist¼a şi sunt unici vectorii x V şi x V astfel ca x = x + x. Vectorul x din aceast¼a scriere se numeşte proiecţia lui x pe V de-a lungul lui V, iar vectorul x se numeşte proiecţia lui x pe V de-a lungul lui V. i= Exemplul.5.4 Dac¼a x = (3; ; ) R 3 şi consider¼am subspaţiile suplimentare V = f(x ; x ; x 3 ) R 3 jx = g şi V = f(x ; x ; x 3 ) R 3 jx = ; x 3 = g, atunci proiecţia lui x pe V de-a lungul lui V este x = (; ; ), iar x = (3; ; ) este proiecţia lui x pe V de-a lungul lui V. Acum prezent¼am (doar ca enunţ) un rezultat foarte util în aplicaţii: Teorema.5. (Formula lui Grassman) Fie V un spaţiu vectorial peste K, de dimensiune nit¼a şi V, V dou¼a subspaţii vectoriale ale sale. Atunci dim(v + V ) = dim V + dim V dim(v \ V ): Exerciţiul.5.3 Fie V un spaţiu vectorial peste K, de dimensiune nit¼a n şi V, V dou¼a subspaţii vectoriale ale sale de dimensiuni p, respectiv q. Ar¼ataţi c¼a dac¼a p + q > n, atunci V şi V au în comun cel puţin un vector nenul. Observaţia.5. Mulţimea H a tuturor soluţiilor unui sistem de m ecuaţii liniare omogene cu n necunoscute, cu coe cienţi din K, formeaz¼a un subspaţiu vectorial al spaţiului aritmetic K n. Mai mult, dim H = n ranga, unde A este matricea sistemului omogen. Demonstrarea acestor a rmaţii nu este complicat¼a. Totuşi, este mult mai clar şi mai util s¼a o ilustr¼am pe exemple concrete. Exemplul.5.5 În spaţiul aritmetic R 4 se d¼a mulţimea V = x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) R 4 x + x x 3 + x 4 = ; x + x x 3 + x 4 = : a) Ar¼ataţi c¼a V este un subspaţiu vectorial al lui R 4 ; b) Determinaţi o baz¼a pentru V şi dim V ; c) Ar¼ataţi c¼a sistemul

8 CAPITOLUL. SPAŢII VECTORIALE B = fa = (; ; ; ); a = (; ; ; ); a 3 = (; ; ; ); a 4 = (; ; ; )g este o baz¼a pentru R 4 şi g¼asiţi coordonatele vectorului x = (; ; ; ) relativ la noua baz¼a B ; d) G¼asiţi un supliment V pentru subspaţiul V în R 4. Rezolvare: a) Fie ; R şi x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ), y = (y ; y ; y 3 ; y 4 ) V, arbitrar xate. Atunci: (x + y ) + (x + y ) (x 3 + y 3 ) + (x 4 + y 4 ) = (x + x x 3 + x 4 ) + (y + y y 3 + y 4 ) = + = şi analog x + y = (x + y ; x + y ; x 3 + y 3 ; x 4 + y 4 ) veri c¼a şi a doua ecuaţie din sistemul omogen. Prin urmare x + y V şi astfel V este subspaţiu vectorial al lui R 4. b) Matricea sistemului este A = şi are rangul : Atunci, dim V = 4 ranga =. O baz¼a a lui V este format¼a cu dou¼a soluţii particulare ale sistemului omogen, care s¼a e liniar independente. Notând x 3 = şi x 4 = obţinem, x + x = x + x = şi de aici soluţia general¼a x = (; ; ; ), ; R sau x = (; ; ; ) + (; ; ; ). Dac¼a not¼am b = (; ; ; ) şi b = (; ; ; ), rezult¼a c¼a V = L( b ; b ). Deoarece f b ; b g este sistem liniar independent (vezi rang B @ C A = ) rezult¼a c¼a B = f b ; b g este baz¼a pentru V. c) Rangul matricei A, pe ale c¼arei coloane avem coordonatele vectorilor din B, în raport cu baza canonic¼a B = fe i ji = ; 4g a lui R 4, A = B @ este 4. Prin urmare B este sistem liniar independent în spaţiul 4-dimensional R 4 şi astfel este baz¼a pentru R 4. Coloana cu coordonatele lui x = (; ; ) relativ la baza B se g¼aseşte din relaţia ~x B = A ~x B, A ind matricea de trecere de la baza B la baza B. Inversa matricei A este = = = = A = B = = = = C @ = = = = A C A

.5. SUBSPAŢII VECTORIALE 9 şi astfel ~x B = A (; ; ; )t = ( ; ; ; ) t sau x = a + a a 3 + a 4. d) Complet¼am baza lui V, B = f b ; b g, pân¼a la o baz¼a a lui R 4 cu vectorii b3 = (; ; ; ); b 4 = (; ; ; ). Într-adev¼ar, rangul matricei B @ este 4 şi astfel f b ; b ; b 3 ; b 4 g este baz¼a. Consider¼am subspaţiul vectorial generat de b 3 şi b 4, V = L( b 3 ; b 4 ). Atunci, dim V + dim V = + = 4 = dim R 4. Cum R 4 = L( b ; b ; b 3 ; b 4 ) rezult¼a c¼a pentru orice vector x din R 4, exist¼a scalarii reali i, (i = ; 4), astfel încât x = b + b + 3 b 3 + 4 b 4 şi prin urmare orice vector x se poate scrie x = x + x cu x = b + b V şi x = 3 b 3 + 4 b 4 V. Deci, R 4 = V + V. Din aceast¼a relaţie şi din faptul c¼a dim V + dim V = dim R 4 rezult¼a c¼a V V = R 4. Prin urmare, V este un supliment al lui V în R 4. Exemplul.5.6 În spaţiul aritmetic R 4 se dau subspaţiile vectoriale 8 8 9 < V = : x = < x + x + 3x 3 x 4 = = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) 3x + x x 4 = : 3x + x + 9x 3 x 4 ; = V = x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) 6x 9x x 3 = x + x 4 = a) Ar¼ataţi c¼a V V = R 4 ; b) Determinaţi proiecţia vectorului x = (; ; ; ) pe subspaţiul V de-a lungul subspaţiului V. Rezolvare: a) Matricea primului sistem liniar omogen, A = C A @ 3 3 3 9 are rangul şi soluţia sa este de forma x = (3; 9 + ; ; ), (; R) sau x = a + a, unde a = (3; 9; ; ) şi a = (; ; ; ) sunt dou¼a soluţii liniar independente. Deci V = L(a ; a ) şi dim V = cu B = fa ; a g baz¼a. Matricea celui de-al doilea sistem liniar omogen, 6 9 A = are rangul şi soluţia sa este de forma x = ( 6 3 ; ; ; ), (; R) sau x = 6 a 3 + a 4, unde a 3 = (; ; 6; ) şi a 4 = ( 3; ; ; ) sunt dou¼a soluţii A

CAPITOLUL. SPAŢII VECTORIALE liniar independente. Deci, V = L(a 3 ; a 4 ) şi dim V = cu B = fa 3 ; a 4 g baz¼a. Deoarece rangul matricei 3 3 B 9 C @ 6 A este 4, rezult¼a c¼a B = fa ; a ; a 3 ; a 4 g este o baz¼a a lui R 4. Astfel, R 4 = V +V. Se mai poate ar¼ata c¼a V \ V = fg. Într-adev¼ar, dac¼a x = a + a = 3 a 3 + 4 a 4 V \ V, atunci avem a + a 3 a 3 4 a 4 = şi de aici obţinem = = 3 = 4 = sau x =. Deci V V = R 4. b) Conform punctului a), avem scrierea unic¼a: x = x + x cu x V şi x V. Proiecţia lui x = (; ; ; ) pe V de-a lungul lui V este x = a + a. Pentru a g¼asi pe x, lu¼am x = 3 a 3 + 4 a 4 şi determin¼am scalarii i ; i = ; 4 din relaţia (; ; ; ) = (3; 9; ; ) + (; ; ; ) + 3 (; ; 6; ) + 4 ( 3; ; ; ) sau (; ; ; ) = 3 + 3 3 4 ; 9 + 4 ; + 6 3 ; + 4. Rezolv¼am sistemul liniar 8 >< >: 3 + 3 3 4 = 9 + 4 = + 6 3 = + 4 = şi obţinem = 9 5 ; = 8 5 ; 3 = 6 5 ; 4 = 4 5, de unde x = 9 5 a + 8 5 a = 5 (57; 43; 9; 8)..6 Probleme propuse spre rezolvare. Fie mulţimea V = fa + b p + c p 3 + d p 5ja; b; c; d Qg. Ar¼ataţi c¼a pe V se poate introduce o structur¼a de spaţiu vectorial peste corpul numerelor raţionale Q, în raport cu adunarea numerelor reale şi în raport cu înmulţirea cu numere raţionale a numerelor reale. Cât este dim Q V? Dar dim Q R?. Fie V = (; ). Dac¼a de nim legea de compoziţie intern¼a pe V, x y def = xy şi legea de compoziţie extern¼a pe V, cu scalari din R (sau Q), x def = x, atunci ar¼ataţi c¼a (V; ; ) este un spaţiu vectorial peste R (sau Q). Cât este dim Q V? Dar dim R V? 3. Stabiliţi care dintre urm¼atoarele sisteme de vectori din spaţiul vectorial aritmetic R 3 sunt liniar independente: a) fa = (; ; 3); a = (; 3; ); a 3 = (3; ; )g; b) fb = (; 3; ); b = (; ; ); b 3 = ( 3; ; )g.

.6. PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE 4. Fie fv ; v ; v 3 g R 3, v = (; ; ), v = (; ; ), v 3 = (; ; ), R. a) S¼a se a e R astfel încât S = fv ; v ; v 3 g s¼a formeze o baz¼a în R 3 ; b) Pentru = p s¼a se extrag¼a din S o baz¼a S a subspaţiului vectorial L(v ; v ; v 3 ): 5. S¼a se determine R astfel ca vectorii a = e e +4e 3, b = e 3e +e 3, c = e + e + e 3 s¼a e liniar dependenţi în spaţiul vectorial aritmetic R 3, unde fe ; e ; e 3 g este baz¼a canonic¼a a lui R 3. 6. În spaţiul vectorial real aritmetic R 3 se dau vectorii a = ( 4; 9; 7), b = (; ; 5), c = (; ; ). a) Pentru ce perechi de numere reale (; ) sistemul fa; b; cg formeaz¼a o baz¼a a lui R 3? b) Pentru ce perechi de numere reale (; ) subspaţiul generat de a; b; c are dimensiunea? 7. S¼a se arate c¼a sistemele de vectori S = f(; ; ), (; ; )g şi respectiv S = f(9; ; 5); (7; ; 4)g din R 3, genereaz¼a acelaşi subspaţiu vectorial. 8. În spaţiul vectorial aritmetic R 3 se dau vectorii v = (3; ; ), v = (6; 3; ), v 3 = (; 3; 5). Se cere: a) S¼a se arate c¼a v ; v ; v 3 formeaz¼a o baz¼a în spaţiul R 3 ; b) S¼a se g¼aseasc¼a coordonatele vectorilor bazei canonice B = fe ; e ; e 3 g în noua baz¼a B = fv ; v ; v 3 g. 9. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi u, v, w trei vectori liniari independenţi. Studiaţi liniar independenţa vectorilor u + v, v + w, w + u în cazul în care corpul K este a) R; b) C; c) f; g.. Fie M s;n (R) = fa M n (R)jA = A t g mulţimea matricilor simetrice de ordinul n şi M as;n (R) = fa M n (R)jA = A t g mulţimea matricilor antisimetrice de ordinul n. a) Ar¼ataţi c¼a M s;n (R), M as;n (R) sunt subspaţii vectoriale ale lui M n (R). b) Ar¼ataţi c¼a dim M s;n (R) = n(n+) n(n ), M as;n (R) =. c) Este adev¼arat c¼a M s;n (R) M as;n (R) = M n (R)? 3 d) Determinaţi proiecţia matricei A = M 4 (R) pe M s; (R) de-a lungul lui M as; (R).. Fie V un spaţiu vectorial real de dimensiune n 3 şi B = fu ; u ; :::; u n g o baz¼a pentru V. Se consider¼a vectorii v = u ; v = u ; v k = u k + k u + k u ; pentru k = 3; :::; n;

CAPITOLUL. SPAŢII VECTORIALE unde coe cienţii reali k, k (k = 3; :::; n) sunt xaţi arbitrar, în prealabil. Ar¼ataţi c¼a sistemul de vectori B = fv ; v ; :::; v n g formeaz¼a o baz¼a pentru V. Scrieţi matricea de trecere de la baza B la baza B. a b. Fie a, b, a, b numere reale astfel încât rangul matricii a b este. Dac¼a se consider¼a subspaţiile vectoriale ale lui R, V = f(x ; x )jax + bx = g şi V = f(x ; x )ja x +b x = g s¼a se arate c¼a V V = R. Ce se poate spune despre submulţimile lui R, W = f(x ; x )jax +bx = g, W = f(x ; x )ja x + b x = g? 3. Fie sistemul omogen de ecuaţii liniare 8 < x + x x 3 = x x + x 3 + x 4 = : x + x 4 = : (*) Dac¼a V este mulţimea soluţiilor (x ; x ; x 3 ; x 4 ) pentru sistemul (*), atunci: a) Ar¼ataţi c¼a V este un subspaţiu vectorial al lui R 4. b) Determinaţi o baz¼a a lui V şi dim V. c) G¼asiţi un supliment W pentru V în R 4. d) Determinaţi proiecţia vectorului x = (; ; ; 3) pe V de-a lungul lui W; g¼asit la c). 4. Ce condiţii trebuie s¼a satisfac¼a numerele reale a, b, c pentru ca vectorii x = (; a; a ), y = (; b; b ), z = (; c; c ) s¼a formeze o baz¼a pentru R 3? Dac¼a a =, b =, c = s¼a se scrie vectorul u = (; 7; ) ca o combinaţie liniar¼a de vectorii x; y; z. 8 9 < x y = 5. Fie M = : A = @ z A jx; y; z R. S¼a se arate c¼a M este un ; x + y subspaţiu vectorial al lui M 3; (R). G¼asiţi o baz¼a pentru M şi dim M, precum şi coordonatele matricei 8 U = @ 3 A relativ la baza g¼asit¼a. 9 6. Fie n N şi R n [X] spaţiul vectorial real (n + )-dimensional al polinoamelor de grad cel mult n cu coe cienţi reali, în nedeterminata X. a) Ar¼ataţi c¼a B = f; ( + X); ( + X) ; :::; (n + X) n g este o baz¼a pentru R n [X]. b) Pentru n = 3, determinaţi matricea de trecere de la baza canonic¼a B c = f; X; X ; :::; X n g la baza B. c) Pentru n = 3, determinaţi coordonatele polinomului Q = X 3 + relativ la baza B.

Capitolul Aplicaţii liniare. Noţiunea de aplicaţie liniar¼a. Operaţii cu aplicaţii liniare Fie V, W dou¼a spaţii vectoriale peste K. De niţia.. Funcţia f : V! W se numeşte aplicaţie liniar¼a (sau mor- sm de spaţii vectoriale sau operator liniar) dac¼a a) f este aditiv¼a, adic¼a f(x + y) = f(x) + f(y), 8x; y V ; b) f este omogen¼a, adic¼a f(x) = f(x), 8 K,8x V. Dac¼a V = W, atunci spunem c¼a f este un endomor sm al spaţiului vectorial V (sau operator liniar al lui V ). Propoziţia.. Funcţia f : V! W este aplicaţie liniar¼a dac¼a şi numai dac¼a c) f(x+y) = f(x)+f(y), 8; V, 8x; y V (adic¼a, f este liniar¼a) Demonstraţie. Evident, din a) şi b) rezult¼a c). Reciproc, din c) rezult¼a a) pentru = = şi din c) rezult¼a b) pentru =. Exemplul... Aplicaţia nul¼a : V! W, (x) =, 8x V, este o aplicaţie liniar¼a, numit¼a aplicaţia nul¼a sau mor smul nul.. Aplicaţia V : V! V, V (x) = x, 8x V, este o aplicaţie liniar¼a, numit¼a aplicaţia identic¼a sau endomor smul identic. 3. Aplicaţia f : R n! R n, de nit¼a prin f(x) = (x + x ; x 3 ; : : : ; x n ), 8x = (x ; x ; : : : ; x n ) R n, este o aplicaţie liniar¼a. 4. Dac¼a V, V sunt dou¼a subspaţii vectoriale ale lui V astfel încât V = V V şi p i : V! V i, de nit¼a prin p i (x) = x i, 8x = x + x V, x i V i (i = ; ), atunci aplicaţiile p, p numite proiecţia lui V pe V de-a lungul lui V, respectiv proiecţia lui V pe V de-a lungul lui V sunt aplicaţii liniare. 3

4 CAPITOLUL. APLICAŢII LINIARE 5. Funcţia f : R 3 [X]! R [X], de nit¼a prin f(p ) = P, pentru orice P R 3 [X] (unde P este polinomul asociat derivatei funcţiei polinomiale asociate polinomului P ), este o aplicaţie liniar¼a. Vom nota prin Hom(V; W ) = ff : V! W jf aplicaţie liniar¼ag şi End(V ) = Hom(V; V ). Propoziţia.. Dac¼a f : V! W este o aplicaţie liniar¼a, atunci avem: pp a) f i P x i = p i f(x i ), 8 i K, 8x i V (i = ; p), 8p N ; i= i= b) f() = şi f( x) = f(x), 8x V. Demonstraţie. a) Se foloseşte metoda inducţiei matematice dup¼a p. b) Din f() = f( + ) = f() + f(), rezult¼a f() =. Evident, f( x) = f(( )x) = ( )f(x) = f(x), pentru orice x V. În continuare vom de ni pe Hom(V; W ) dou¼a legi de compoziţie: una intern¼a, numit¼a adunarea aplicaţiilor liniare şi una extern¼a, numit¼a înmulţirea aplicaţiilor liniare cu scalari din K. i) oricare ar f; g Hom(V; W ), de nim aplicaţia f + g prin (f + g)(x) = f(x) + g(x); 8x V ; ii) oricare ar K, f Hom(V; W ), de nim aplicaţia f prin (f)(x) = f(x); 8x V: Propoziţia..3 Dac¼a f; g Hom(V; W ) şi K, atunci f + g, f Hom(V; W ). Mai mult, Hom(V; W ) are o structur¼a de spaţiu vectorial peste K faţ¼a de operaţiile de adunare a aplicaţiilor liniare şi înmulţirea aplicaţiilor liniare cu scalari din K. Demonstraţie. Fie ; K şi x; y V. Atunci, (f + g)(x + y) = = f(x+y)+g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = (f(x)+g(x))+ +(f(y) + g(y)) = (f + g)(x) + (f + g)(y) şi (f)(x + y) = f(x + y) = (f(x) + f(y)) = (f(x)) + (f(y)) = = ()f(x) + ()f(y) = ()f(x) + ()f(y) = (f(x)) + (f(y)) = = (f)(x) + (f)(y). Vectorul nul al spaţiului Hom(V; W ) este aplicaţia nul¼a, iar opusul lui f este f, adic¼a ( )f. Dac¼a V, W, Z sunt trei spaţii vectoriale peste K şi f Hom(V; W ), g Hom(W; Z), atunci compunerea lor (numit¼a şi produsul) g f, de nit¼a prin (g f)(x) = g(f(x)), 8x V, este tot o aplicaţie liniar¼a de la V la Z (veri carea este foarte simpl¼a!). Mai mult, cu uşurinţ¼a se poate veri ca c¼a End(V ) este un inel faţ¼a de operaţiile de adunare şi compunere a aplicaţiilor liniare, unitatea inelului ind chiar aplicaţia identic¼a V, iar zeroul inelului este aplicaţia nul¼a. Inversul unui element f din End(V ), dac¼a exist¼a, este chiar inversa lui f, ca funcţie.