X. gimzij Iv Supek Zgre, Klićev 7. lipj 000. godie Mturl zdć iz mtemtike Rješej zdtk. ) Riješi jeddžu 7 Rješeje: Njprije se tre riješiti psolutih vrijedosti tko d z svki izrz uutr psolute vrijedosti odredimo z koje e R je pozitiv z koje egtiv. Primjetimo d su uutr psolutih vrijedosti lieri izrzi (izrzi olik k l ) te je dovoljo ći ul-točke tih izrz te osovu roj k odrediti itervle z koje su izrzi pozitivi odoso egtivi. Nime, zog svojstv liere fukcije f() k l, ko je k egtiv, lieri izrz je pozitiv z sve < 0, egtiv z > 0, dok je z k > 0 pošje lierog izrz suproto. k < 0 f() > 0 f() < 0 f() k l 0 ul-točk k > 0 f() < 0 f() > 0 Dkle jprije riješimo tri jeddže: ) 0 ) 7 0 ) 0 0 0 0 7 0 te osovu ul-točki i pošj liere fukcije zključujemo: izrz (k ) izrz 7 (k -) izrz (k ) eg. ( - ) poz. ( ) poz. ( ) poz. ( ) 0 7 poz. ( ) poz. ( ) poz. ( ) eg. ( - ) 0 7 eg. ( - ) eg. ( - ) poz. ( ) poz. ( ) 0 7 S ozirom d se put mijej predzk ekog od izrz uutr psolute vrijedosti, ko želimo jeddžu s psolutim vrijedostim pisti ez psolutih vrijedosti, mort ćemo riješiti sustv tip ejeddž jeddž: ) < 0 ) 0 < < - 7 (- ) 7 (- ) < < 7 > 7 ) 7 ( ) ) - 7 ( ) Ovkvi sustvi se rješvju tko d se riješi jeddž, te se provjeri je li jeo rješeje uutr itervl koji se odosi ejeddž. Ako je, to rješeje je rješeje počete jeddže. Rješvjem sustv tko doijemo:
) < 0 ) 0 < < - 7 (- ) 7 (- ) - - -7 - - - 7 - - -7 - -7 7/ (ije rješeje) 7/ (ije rješeje ) < < 7 > 7 ) 7 ( ) ) - 7 ( ) 7 7 / (ije rješeje) / (ije rješeje) S ozirom d i jed sustv e dje rješeje, zključujemo d zd jeddž em rješej!. ) Riješi ejeddžu * 0 Rješeje: Ekspoecijlu ejeddžu u kojoj se ekspoecijle fukcije zrjju (oduzimju) pokušmo dovesti u olik u kojem te ekspoecijle fukcije imju istu zu i isti ekspoet jer se jedio tko dvije ili više potecij zrjjem (oduzimjem) mogu svesti jedu poteciju. Stog ćemo primjeom prvil * y y, li utrg t.j. y * y, izrz rstviti ko *, p š ejeddž poprim slijedeći olik: * * 0 i dlje, *. * 0. Sd ko izlučivj doivmo: ( ) 0. S ozirom d lijevoj stri immo umožk koji tre iti egtiv, fktor je uvijek pozitiv roj (svojstvo ekspoecijle fukcije f() > 0, z sve rele rojeve ), zključujemo d drugi fktor mor iti 0. Dkle, š ekspoecijl ejeddž se svel rješvje kvdrte ejeddže. Podsjetimo se - kvdrt ejeddž c < 0, c > 0 se rješv u tri kork: Riješimo pripdu kvdrtu jeddžu c 0. N osovu rješej i jeddže i koeficijet skicirmo grf pripdjuće kvdrte fukcije f() c Iz grf pročitmo rješeje ejeddže Primjeimo ovj postupk kvdrtu ejeddžu 0: Rješimo jeddžu 0. (, - ) Skicirjmo grf ( > 0) - - os
Sd pročitmo rješeje slijedeći či: - đemo grfu točke čij je y koordit mj ili jedk uli ( y 0). ( šem grfu to su oe točke koje su iscrte plvom ojom) - rješeje ejeddže su -evi tih točk s grf (crve oj)!!! Rješeje ejeddže: e [-, ].. c) Riješi jeddžu si * cos si cos Rješeje: Njprije tre sve izrze preciti lijevu stru jeddže: si * cos - si - cos 0 Nko tog su moguć dv slučj ili se cijel lijev str može rstviti fktore ili e. Zdtk koji je pred m udi mogućost rstv fktore metodom grupirj, pr.. i. čl ( i si) te. i. čl (si*cos i cos). P učiimo to: si si * cos - cos 0 Prv dv čl pretvorimo u jed fiktivim izlučivjem roj, iz. i. čl izlučimo cos (- je it kko i i u zgrdi ko izlučivj doili izrz idetič oome kojeg tvore prv dv čl: Što je isto ko i ( si) cos( -si ) 0 ( si) cos( si ) 0 Sd možemo izlučiti ( si) ko čeg jeddž poprim olik: ( si) * ( cos) 0 Zhvljujući uspješo provedeom postupku fktorizcije i svojstvu umošk koje kže: ko je * 0 od je ili 0 ili 0, š jeddž se svodi rješvje dviju elemetrih trigoometrijskih jeddži: I) si 0 II) cos 0 t. j. si i cos os cosius os sius Broj osi sius se istovremeo lzi i trigoometrijskoj kružici u točki л/ p je rješeje prve jeddže do s л/ k л. Broj osi cosius se istovremeo lzi i trigoometrijskoj kružici u točki 0 p jprije vrijedi 0 k л, te kočo, ko dijeljej s, 0 k л. Kometr: Vžo je pri rješvju zti d roj s dese stre jeddže tržimo rojevom prvcu koji predstvlj zdu trigoometrijsku fukciju, rgumet fukcije (,,...) izjedčvmo s odgovrjućom vrijedosti rojevoj kružici koj pripd roju s rojevog prvc. Ako rojč vrijedost s prvc ije istovremeo i rojevoj kružici td se vrijedost rojevoj kružici određuje tko d :
- vučemo okomicu rojevi prvc koji predstvlj trigoometrijsku fukciju (z si i cos) - vučemo prvc kroz ishodište (z tg i ctg). Pojsimo to slijedećim primjerim: Riješimo jeddže: ) si(k l) / ) cos(k l) / c) tg(k l) d) ctg(k l) / / os cotges os tges Njprije tržimo vrijedosti osi fukcije (/ i ). Ztim kroz tu točku vučemo prvc ili okomito os fukcije (jeddže s si i cos) ili kroz ishodište (jeddže s tg i ctg). N gorjim slikm, plvi, iscrtki prvc pokzuje kko se, ko određivj položj roj rojevom prvcu koji predstvlj os trigoometrijske fukcije, isprv či određuju točke trigoometrijskoj kružici - zk, oviso o tome je li jeddž zd fukcijm si i cos ili tg i ctg ). Kočo rješeje se doije tko što se riješi jeddž k l položj ()k л Kokreto, rješeje jeddže: si ( л/) / doijemo slijedeći či: iz tlic trigoometrijskih vrijedosti očitmo d su položj vrijedosti л/ i л/. riješimo jeddže л/ л/ k л i л/ л/ k л te doijemo rješej - л/ k л, л/ k л (rješvmo dvije jeddže jer točke kružici isu dijmetrlo suprote dijele kružicu dv luk ejedke duljie). S druge stre, rješeje jeddže tg ( л/) / doijemo slijedeći či: iz tlic trigoometrijskih vrijedosti očitmo d su položj vrijedosti л/ i л/. riješimo jeddžu л/ л/ k л te doijemo rješeje - л/8 k л/. (rješvli smo smo jedu jeddžu, li smo dodli k л umjesto k л zto jer su točke kružici dijmetrlo suprote dijele kružicu dvije polukružice). d) Riješi jeddžu log ( - ) log (- ) Rješeje: Njprije mormo vidjeti uz koje uvjete vrijlu ov logritmsk jeddž uopće postoji. Nime pozto je kko logritm postoji smo ko su zdovolje uvjet:. rgumet > 0. z > 0. z
Stog jprije postvljmo uvjete jeddžu: > 0 (rgumet. logritm i z. logritm) (z. logritm) rješeje uvjet glsi: > & Sd tre kreuti u rješvje sme jeddže. Vlj uočiti prolem ze logritm isu jedke! Tj prolem m rješv prvilo koje omogućv d z i rgumet logritm zmijee mjest: log /log primjeom ovog prvil š logritmsk jeddž poprim slijedeći olik: log ( ) / log (-) Ako uzmemo u ozir čijeicu d je log (-) log (-) / * log (-) jeddž poprim olik: log ( ) 0.*log(-) Rdi jedostvosti uvedimo zmjeu log (-) t p jeddž glsi: t /t Iz čeg, možejem s t lgo doijemo t t, odoso t t 0. Rješvjem ove kvdrte jeddže doijemo rješej t, t -, te pomoću jih dvije jeddže olik: log (-) i log (-) - No,to su elemetre logritmske jeddže olik log z (rgumet) ekspoet koje se, po defiiciji logritm, pretvrju u jeddže olik Primjejeo šu jeddže doijemo: - - - / rgumetz ekspoet Još tre pogledti zdovoljvju li t rješeje uvjete s početk zdtk t.j. je li > i je li. S ozirom d / zdovoljv zde uvjete to je ujedo rješeje počete jeddže, dok ije rješeje.. ) Dvije strice trokut imju duljie 8 i i ztvrju kut od 98 0 '. Kolik je dulji težišice treće strice? Zdtk je moguće riješiti dv či. D Prvi či koristi čijeicu d su u trokutu ABC pozt elemet, p je koristeći poučk o siusim i kosiusov poučk moguće izrčuti i ostle elemete (pr. stricu i kut α). No, td su i u trokutu ABD pozt tri elemet p je moguće izrčuti stricu BD to je / težišice p smim time zmo i duljiu cijele težišice.
Drugi či je efektiji jer se do težišice može doći smo jedom primjeom kosiusovog poučk. No, prije tog tre tržeu težišicu produžiti z vlstitu duljiu pri čemu stje četverokut ABCE. To je četverokut kojem se dijgole (AC i BE) rspolvljju, tkv četverokut je prllogrm. 8 E Ndlje, z prlelogrm vrijedi d susjedi kutovi zjedo čie 80 stupjev, p stog kut BAE (crvei luk slici) izosi 80 β. U trokutu ABE zmo dvije strice: AB 8, AE i kut uz vrh A 80 0 98 0 ' 8 0 ' p možemo primijeiti kosiusov poučk: (.stric.stric.stric *.stric *.stric * cos(.stric,.stric) (t) AB AE * AB * AE *cos(8 0 ') (t) 8 * 8 * * cos(8 0 ') Dljje zdovoljstvo rčuj prepuštm vm učeicim. ) Osovk usprve pirmide je trokut kojemu su zdi kutovi α 0, β 0 0, polumjer osovki opise kružice je 9. Izrčuj volume pirmide ko jei pooči ridovi ztvrju s rviom osovke kut φ 0 0. α 0 β 0 0 r 9 φ 0 0 V? V / * B * v Njprije pogledjmo trokute AFG, BFG i CFG. Sv tri trokut su prvokut (FG visi pirmide okomit zu) Sv tri trokut imju jed kut isti (oj kojeg oči rid ztvr s zom crvei luk slici) Sv tri trokut imju jedu stricu sukldu (FG zjedičk stric) Stog su ov tri trokut sukld, p zključujemo d je AF BF CF. To zči d je točk F središte trokutu opise kružice i d je d e f 9. Uzmimo jed od tri sukld prvokut trokut te primjeom trigoometrije prvokutog trokut izrčujmo visiu pirmide: tg φ v/r v r* tg φ 9 * tg0 0.
Preostje m još izrčuti površiu ze. Možemo izrčuti kut γ, γ 80 (α β) 8 0, tko d zmo sv tri kut ze i polumjer opise kružice r. Do površie trokut možemo doći komiirjući formule z površiu: P / * * * si γ P / * * c * si β P / * * c * si α P ( * * c)/r Pomožimo prve tri formule: P /8 * * *c * si α * si β * si γ /8 * ( * * c) * si α * si β * si γ Budući iz. formule slijedi * * c * P * r, komicijom ov dv izrz doijemo formulu P /8 * ( * P * r) * si α * si β * si γ, odoso P * r * si α * si β * si γ V / * B * v (pogđte, prepuštm vm d smi dođete do rezultt ). c) Odredi oe tgete hiperole 0 * * y 70 kojih udljeost od ishodišt izosi 8. Nći jeddže tgeti zči, u stvri, ći jeddže prvc y k l odoso odrediti k i l tih prvc. Stog iz zdih podtk tre pisti dvije jeddže u kojim su epozice k i l te rješvjem sustv doći do jihovih vrijedosti. Prv jeddž se krije u uvjetu dodir prvc (tgete) i hiperole koji glsi: *k - l Drug jeddž se krije u primjei formule z udljeost točke od prvc: d(t,p) A * 0 B * y 0 C A B gdje je točk T ishodište, prvc p tget. Odredimo i iz jeddže hiperole i uvrstimo u uvjet dodir: 0, (jer je 0 * 70, iče i morli jeddžu hiperole prevesti u segmeti olik kko i očitli i ).
Stog prv jeddž glsi: k - 0 l Kreirjmo sd drugu jeddžu. Točk T je ishodište t.j. (0,0). No, mormo jeddžu tgete dovesti u impliciti olik: y k l (precimo k i l lijevu stru) -k y l 0 (dkle, A -k, B C -l). Uvrštvjem u formulu z udljeost točke od prvc doijemo drugu jeddžu: 8 koj ko kvdrirj i možej s zivikom prelzi u olik: 8(k ) l Budući su dese stre oiju jeddži jedke, možemo izjedčiti i lijeve stre: Što ko sređivj dje iz čeg je jso d postoje dv rješej z k: 8(k ) k 0-8k -8, odoso k, k k - Preostje m d svko od tih rješej uvrstimo u jedu od dvije jeddže te izrčumo i odsječke l: k -k * 0 * 0 - l k k - l 8* 8 l l l - l 8* 8 l l l - Dkle, postoje ukupo četiri tgete: t... y t... y - t... y - t... y - -. ) Zd je trokut s vrhovim A(-, -), B(-, ) i C(7, ). Služeći se sklrim produktom vektor odredite kutove trokut. D i vektorski odredili kut trokut, mormo strice trokut prikzti ko dv vektor s početkom u vrhu trokut čiji kut rčumo. Prisjetimo se: Td se vektor T T doije slijedeći či: T (, y ), T (, y ),dvije točke u koorditom sustvu. T T ( )i (y y )j Ndlje, ko su i dv vektor kut između jih se doije formulom: cos(, ) * * Pri tome je * * y* y (sklri umožk vektor), y (dulji vektor).
Primjeimo sve to zdi trokut. Njprije izrčujmo vektore uz vrh A trokut AB i AC, ztim jihove duljie i sklri umožk:. AB (- (-))i ( - -(-))j -i j AB (-) 0 AC (7 (-))i ( - -(-))j 8i j AC 8 08 AB * AC -*8 * Uvrstimo sve u formulu z cosius kut između t dv vektor: cos( AB, AC ) te izrčumo kut uz vrh A. Isti postupk poovimo i z rčuje kut uz vrh B (vektori BA i BC). Kut uz vrh C doijemo oduzimjem od 80 0 zroj kutov uz vrhove A i B. Oprez: Vžo je d počet točk oju vektor ude vrh čiji kut rčumo (iče ećemo doiti uutrji već vjski kut trokut!!!). c) Mtemtičkom idukcijom dokži ( )( )....kork idukcije: Tre dokzti tvrdju z, tj. kd se sum lijevoj stri sstoji od smo jedog (prvog) rzlomk, rzlomk desoj stri poprimi vrijedost : Što je, očigledo točo.. kork idukcije: Pretpostvimo d postoji prirodi roj z koji tvrdj ( )( )... vrijedi. (pretpostvk je toč jer smo u prvom korku pokzli d r jed prirodi roj, z koji je tvrdj toč, postoji). kork idukcije: Tre dokzti slijedeće: Kd god tvrdj vrijedi z eki prirodi roj o vrijedi i z!!! Dokz: Kreirjmo tvrdju z. Lijevu sumu mormo proširiti s slijedećim rzlomkom koji stvlj sumu, desoj stri vrijlu zmijeiti s. Kd to prvimo, tvrdj koju tre dokzti glsi: ( )( ) ( )( )... Svk tvrdj se dokzuje tko d se rspisuje lijev str i pokuš se doiti izrz desoj stri. Dkle, ( )( ) ( )( )... ( )( ) 0 * 08 Po pretpostvci (. kork) jedko ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
. ) Zroj ritmetičkog iz od člov je 8. Pomoži li se zdji čl s zrojem prethodih člov doije se. koji je prvi čl i diferecij iz? S 8 * S, d? Zdtk ćemo riješiti koristeći se formulom z sumu prvih člov ritmetičkog iz i i formulom z opći čl tog iz: S / * ( ) ( ) * d Primjeom prve vedee formule S i S stje slijedeći sustv jeddži: / * ( ) 8 * / * ( ) primjeom druge formule i sustv poprim olik: /*( d) 8 ( d)* /*( d) Nko sređivj sustv poprim olik: d ( d) *( d) Ako iz prve jeddže izrzimo ( /d ) i uvrstimo u drugu jeddžu, ko sređivj stje kvdrt jeddž: d -d 0, čij su rješej i /. Dkle, postoje dv iz koj zdovoljvju de uvjete: I) II) d d / /* -7 /*/. ) Izrčuj lim. 8 Njprije tre uvrstiti vrijedost - u izrz kko i vidjeli hoćemo li doiti eodređei izrz ( N žlost, u šem slučju je to 0 0. S ozirom d u rojiku immo korije vlj pristupiti rciolizciji. 0 ili 0 ). Prilikom rciolizcije vžo je voditi rču rdi li se o rciolizciji drugog ili trećeg korije. Drugi korije rciolizirmo formulom z rzliku kvdrt ( )( ) dok treći korije rciolizirmo rzlikom ili zrojem kuov: ( )( ) ili ( )( - ) Izrz čiji limes rčumo u rojiku im treći korije p rciolizciju provodimo štimvjući zroj kuov pri čemu izrz u rojiku shvćmo ko ( ) te g mormo pomožiti s ( - ) kko i ko rezultt doili p će ku pokrtiti korije prvog čl. Dkle: lim ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( lim ( ) ( 8) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) lim 8 lim što ko krćej i uvrštvj - dje: ( ) ( ) lim ( ) ( ) 8 8. c) Odredi derivciju fukcije f() ( ) 0, l rctg Derivirmo po prvilu z derivciju sume te svki čl po prvilu z derivciju složee fukcije. Primjetimo, tkođer, d su i kostte. f'() ' ' ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) '
. Zd je fukcij f(). Odredi: ) domeu fukcije ) ul-točke fukcije c) ekstreme fukcije d) simptote fukcije e) crtj grf fukcije S ozirom d se rdi o rcioloj fukciji, potreo je i rojik i zivik rstviti fktore te koristiti slijedeće teoretske čijeice: Područje defiicije rciole fukcije su svi e R osim ul-točki zivik. Nul-točke zivik su ujedo i točke u kojim fukcij im vertikle simptote Kos simptot postoji ko je stupj rojik z jed veći od stupj zivik Horizotl simptot postoji ko je stupj rojik mji ili jedk stupju zivik (stupj poliom je jveći ekspoet vrijle ) Nul-točke fukcije su ul-točke rojik Primjeimo ove teorijske čijeice zdu fukciju: f() ( ) ( ) ( )( ) ) Dome fukcije je e R \ {, } (zivik 0,... ( -)( ) 0,... 0, 0 ) ) Nul-točke fukcije su i - (rojik 0,... ( )( ) 0,... 0, 0 ) d) Vertikle simptote su prvci i (-evi z koje fukcij ije defiir ) Fukcij em kosih simptot jer je stupj rojik stupj zivik, p ije zdovolje uvjet d stupj rojik tre iti z jed veći od stupj zivik. (Stupj rojik je jer je jveć potecij od u rojiku ( ). Iz istog rzlog je i stupj zivik ). No, fukcij im horizotlu simptotu. Horizotlu simptotu rčumo tko d podijelimo vodeće koeficijete rojik i zivik (to su koeficijeti uz jveću poteciju ). Nš fukcij im i u rojiku i u ziviku vodeće koeficijete, p je horizotl simptot prvc y /. Npome: Ukoliko je stupj rojik mji od stupj zivik, horizotl simptot je prvc y 0 (os )!!! c) D i odredili ekstreme fukcije potreo je provesti slijedeći postupk: Izrčuti derivciju fukcije f'() Riješiti jeddžu f'() 0 Izrditi tlicu predzk derivcije i osovu je odrediti ekstreme fukcije Njprije izrčujmo derivciju fukcije (po prvilu z derivciju kvocijet): ( ) ( )( ) f'() ko sređivj ( ) - - ( ) Sd rješvmo jeddžu f'() 0. - - 0, te doijemo rješej, 7 ± Izrdimo tlicu predzk derivcije i tijek fukcije, pri čemu osim ul-točki prve derivcije ovezo u tlicu smještmo i točke prekid:
7- (simpt.) 7 (simpt.) f'() - - - f() 0 0 grf pd grf rste grf rste grf pd grf pd mi m Primjetimo d pošje prve derivcije ovisi isključivo o rojiku jer je zivik (zog kvdrt) uvijek pozitiv. Budući je u rojiku kvdrti poliom čiji je kvdrti koeficijet - < 0 zključujemo d prv derivcij prim egtive vrijedosti prije i poslije ul-točki, između ul-točki je prv derivcij pozitiv. S ozirom d prv derivcij mijej predzk zključujemo d z 7 z fukcij poprim miimum. 7- fukcij poprim miimum, e) Sd m preostje d osovu sveg crtmo grf fukcije. Z lkše crtje doro je imti umu čijeicu d su ul-točke zivik jedostruke p će grf u odosu simptote imti skok (ko je s jede stre simptote grf zvršio u, i oruto. od će se s druge stre pojviti u Kometr: 0 0 je jeddž čij je ul-točk 0. Kžemo d je to jedostruk ul-točk. ( 0 ) 0 je jeddž čij je ul-točk tkođer 0. Ali sd je to dvostruk ul-točk (krtosti ). Alogo tome, jeddž ( 0 ) 0 im -terostruku ul-točku 0. Općeito, kd je ul-točk epre krtosti grf fukcije im skok u odosu simptotu (ko s jede stre simptote zvršv u i oruto).., s druge stre počije iz mi M X Rješej izrdio: Mile Bužčić