Βασικά Μαθηµατικά ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 04 Μαρτίου 009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα- ϑηµατικών γνώσεων που χρειάζεται κάποιος για να προχωρήσει στην µελέτη του Απειροστικού Λογισµού. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1
Κ. Κυρίτσης Βασικά Μαθηµατικά Περιεχόµενα 1 Βασική Άλγεβρα 3 1.1 Αριθµοί και Σύνολα....................... 3 1. Πράξεις µε Αριθµούς....................... 3 1.3 Το Παραγοντικό......................... 4 1.4 Αλγεβρικές Ταυτότητες...................... 5 1.5 Εξισώσεις............................. 5 1.6 Ανισότητες............................ 6 1.7 Απόλυτη Τιµή........................... 6 1.8 Υποσύνολα Αριθµών ιαστήµατα................ 7 1.9 υνάµεις και Ρίζες........................ 7 1.9.1 υνάµεις.......................... 7 1.9. Ρίζες............................ 8 1.9.3 Λύση της Εξίσωσης x n = α................ 8 1.9.4 Εκθετική και Λογαριθµική Συνάρτηση.......... 9 1.10Ευθεία.............................. 10 1.11 ιώνυµο.............................. 10 1.1Ανάπτυγµα σε Μερικά ή Απλά Κλάσµατα............ 11 Τριγωνοµετρία 1.1 Γεωµετρικοί Ορισµοί....................... 1. Το Ηµίτονο και το Συνηµίτονο.................. 1.3 Εφαπτοµένη και Συνεφαπτοµένη................ 13.4 Τέµνουσα και Συντέµνουσα................... 14.5 Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις........... 14.6 Τριγωνοµετρικές Ταυτότητες................... 15 3 Υπερβολικές Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις 17
Κ. Κυρίτσης 3 Βασικά Μαθηµατικά 1 Βασική Άλγεβρα 1.1 Αριθµοί και Σύνολα Σύνολο είναι απλοϊκά µια καλώς ορισµένη συλλογή αντικειµένων. Γράφουµε ότι x S και διαβάζουµε το x ανήκει στο S όταν το x είναι µέλος του συνόλου S. Αν το x δεν ανήκει στο S, γράφουµε ότι x / S. Θα µας απασχολήσουν τα ακόλουθα σύνολα αριθµών. 1. Οι ϕυσικοί αριθµοί N = {0, 1,,...}.. Οι ακέραιοι αριθµοί Z = {...,, 1, 0, 1,,...}. 3. Οι ϱητοί αριθµοί Q = {x = n/m : n Z, m Z }. 4. Οι άρρητοι αριθµοί, δηλαδή όσοι δεν µπορούνε να γραφτούν σαν ϱητοί. 5. Οι πραγµατικοί αριθµοί R. 6. Οι µιγαδικοί αριθµοί C = {z = x + iy : x, y R και i = 1}. Με αστερίσκο συµβολίζουµε τα αντίστοιχα σύνολα όταν δεν περιλαµβάνεται το µηδέν, π.χ. R = R {0}, N = N {0}, κ.λ.π. Ενας ακέραιος ϑα λέγεται άρτιος αν µπορεί να γραφτεί σαν πολλαπλάσιο του, n = k, k Z. (1) Θα λέγεται περιττός αν δεν είναι άρτιος, στην οποία περίπτωση ϑα είναι 1. Πράξεις µε Αριθµούς Για τις πράξεις µε αριθµούς έχουµε ότι 1. n = k + 1, k Z. () x + y = y + x. (3) x y = y x. (4). 3. x (y + z) = x y + x z. (5)
Κ. Κυρίτσης 4 Βασικά Μαθηµατικά Ποιο γενικά (και παραλείποντας την τελεία-σύµβολο του πολλαπλασιασµού από εδώ και στο εξής) (x + y)(z + w) = xz + xw + yz + yw. (6) Με αυτό τον κανόνα ϐγάζουµε κοινούς παράγοντες ή αναπτύσσουµε παρενθέσεις. Η πρόσθεση (ή η αφαίρεση) κλασµάτων γίνεται ως εξής. x y + z w = xw yw + zy xw + zy = wy yw. (7) Αντίστοιχα για την απλοποίηση κλάσµατος είναι Για τα σύνθετα κλάσµατα είναι Τέλος για τα πρόσηµα σε ένα κλάσµα είναι 1.3 Το Παραγοντικό ax ay = /ax /ay = x y. (8) x y z w = x w y z. (9) α β = α β = α β. (10) Το παραγοντικό ενός ϑετικού ακεραίου n γράφεται n! και ορίζεται να είναι Με άλλα λόγια είναι { n (n 1)!, n > 1 n! = 1, n = 1. (11) n! = n (n 1) (n )... 3 1. (1) Για την µονάδα έχουµε ότι 1! = 1 και κατά σύµβαση ορίζουµε 0! = 1. (13)
Κ. Κυρίτσης 5 Βασικά Μαθηµατικά 1.4 Αλγεβρικές Ταυτότητες Σηµαντικές ταυτότητες είναι οι εξής. 1. Τετράγωνο αθροίσµατος και διαφοράς. ιαφορά τετραγώνων 3. Ανάπτυγµα κύβου 4. Ποιο γενικά είναι (α ± β) = α ± αβ + β. (14) (α β) (α + β) = α β. (15) (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3, (16) (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3. (17) α n β n = (α β)(α n 1 +α n β +α n 3 β + +αβ n +β n 1 ). (18) 5. Το διωνυµικό ανάπτυγµα είναι όπου 1.5 Εξισώσεις (α + β) n = n C(n, k)α n k β k, (19) k=0 n! C(n, k) = k!(n k)!. (0) εδοµένης µιας εξίσωσης A = B µπορούµε να γράψουµε 1.. A B = 0, (1) 0 = A + B, () Ax = Bx (3) 3. αρκεί x 0.
Κ. Κυρίτσης 6 Βασικά Μαθηµατικά 1.6 Ανισότητες Για τρεις πραγµατικούς x, y, z είναι 1. x < y, ή x = y, ή x > y (κανόνας της τριχοτόµησης).. Αν x > y και y > z, τότε x > z. 3. Αν x > y τότε x + z > y + z. 4. Αν x > y και z > 0 τότε xz > yz. Αν αντιθέτως z < 0, τότε xz < yz. 5. Αν x > y τότε 1.7 Απόλυτη Τιµή Ορίζεται να είναι Εχει τις εξής ιδιότητες 1.. 3. 1 x < 1 y. { x, x 0, x = x, x < 0. (4) xy = x y, (5) x y x + y x + y, (6) x y x y x + y. (7) Επίσης ισχύει ότι x α α x α (8) και x α x α ή x α. (9) Αντίστοιχες σχέσεις ισχύουν και γι αυστηρές ανισότητες.
Κ. Κυρίτσης 7 Βασικά Μαθηµατικά 1.8 Υποσύνολα Αριθµών ιαστήµατα Πολλές ϕορές χρειάζεται να δώσουµε ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθ- µών σαν κάποιο διάστηµα. Ετσι έχουµε τις εξής ισοδύναµες σχέσεις. x [α, β] α x β. (30) x (α, β) α < x < β. (31) Αν τα άκρα του διαστήµατος ανήκουν στο διάστηµα, εξίσωση (30), το διάστηµα λέγεται κλειστό. Αν δεν ανήκουν, εξίσωση (31), ϑα λέγεται ανοιχτό. Υπάρχουν και οι ενδιάµεσες περιπτώσεις, και x [α, β) α x < β (3) x (α, β] α < x β. (33) Τα άκρα µπορεί να είναι και άπειρα, στην οποία περίπτωση το διάστηµα είναι ανοιχτό στο συγκεκριµένο άκρο. 1.9 υνάµεις και Ρίζες 1.9.1 υνάµεις Εστω α πραγµατικός αριθµός και n ϑετικός ακέραιος. Ορίζουµε να είναι α = α α, α 3 = α α και γενικά α n = α α n 1. Ο α λέγεται ϐάση και ο n εκθέτης. Επίσης ϑεωρούµε ότι α 1 = α και α 0 = 1. Για το πρόσηµο ισχύει ότι { ( 1) n 1 > 0, n = k = (34) 1 < 0, n = k + 1. Επειδή α 1 α = 1, γράφουµε α 1 = 1 α (35) και κατ επέκταση είναι α n = 1/α n. Ετσι ορίζονται δυνάµεις µε ακέραιους εκθέτες. Για τις δυνάµεις και τους εκθέτες ισχύει ότι 1. α n α m = α n+m, (36). α n α m = αn α m = α n m, (37)
Κ. Κυρίτσης 8 Βασικά Μαθηµατικά 3. (α n ) m = α nm = (α m ) n, (38) 4. ( ) n α = αn β βn. (39) 1.9. Ρίζες Ορίζουµε την n-ϱίζα του β να είναι εκείνος ο ϑετικός αριθµός, ο οποίος όταν υψωθεί στην n ϑα δώσει τον β. Εστω ότι είναι α n = β. Σ αυτή την περίπτωση η n- ϱίζα του β είναι ο α και γράφουµε α = n β. (40) Ορίζουµε λοιπόν δυνάµεις σε κλασµατικούς (ϱητούς) εκθέτες να είναι και ποιο γενικά Ισχύει ότι α n 1 1.9.3 Λύση της Εξίσωσης x n = α 1 n α = α n (41) α n m = m α n = ( m α ) n. (4) n = n α n = ( n α ) n = α. (43) Εδώ ϑα ϑεωρήσουµε ότι το n είναι ϑετικός ακέραιος, n N. Ας υποθέσουµε επίσης ότι α > 0. Τότε είναι { ± n α, n = k x = n (44) α, n = k + 1. Ισοδύναµα είναι και x = n α, n = k (45) x = n α, n = k + 1. (46) Στην περίπτωση που το α είναι αρνητικό, τότε η εξίσωση δεν έχει λύση για άρτια n και έχει λύση την x = n α (47) για περιττά n.
Κ. Κυρίτσης 9 Βασικά Μαθηµατικά 1.9.4 Εκθετική και Λογαριθµική Συνάρτηση Γενικεύουµε τα παραπάνω για δυνάµεις ϑετικών πραγµατικών υψωµένων σε οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό, α x. Αυτή είναι η εκθετική συνάρτηση. Συνήθως δουλεύουµε µε την e x. Ισχύουν όλες οι ιδιότητες των εκθετών. Αν τώρα α x = y, ορίζουµε τον λογάριθµο του y µε ϐάση το α να είναι εκείνος ο πραγµατικός αριθµός x στον οποίο όταν υψώσουµε τον α ϑα πάρουµε x. Γράφουµε λοιπόν log α y = x. Η σύνδεση λογαρίθµου και εκθετικού είναι Επιπλέον είναι Οι λογάριθµοι έχουν τις εξής ιδιότητες. 1.. 3. 4. α x = y log α y = x. (48) log α α = 1, (49) log α 1 = 0, (50) x = α log α x. (51) log α (x y) = log α x + log α y. (5) ( ) x log α = log y α x log α y. (53) log α x p = p log α x. (54) log α x = log β x log β α. (55) Στην πράξη χρησιµοποιούνται περισσότερο οι λογάριθµοι µε ϐάση το e και λέγονται ϕυσικοί λογάριθµοι, συµβολίζονται δε log e x = ln x και οι δεκαδικοί λογάριθµοι µε ϐάση το 10, στην οποία περίπτωση γράφουµε log 10 x = log x.
Κ. Κυρίτσης 10 Βασικά Μαθηµατικά 1.10 Ευθεία Η ευθεία έχει εξίσωση y = αx + β. Το α λέγεται κλίση και είναι α = tan θ, η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία µε τον άξονα Ox. Το β λέγεται µετατόπιση και µας δίνει το σηµείο τοµής της ευθείας µε τον άξονα Oy (δηλαδή όταν x = 0). Μια οριζόντια ευθεία έχει κλίση µηδέν και είναι απλά y = β. Μια κατακόρυφη ευθεία δεν περιγράφεται από την παραπάνω εξίσωση, αλλά δίνεται σαν x = γ, εννοόντας την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το x = γ σηµείο. Αν α > 0 η ευθεία είναι αύξουσα (ανεβαίνει), αν α < 0 η ευθεία είναι ϕθίνουσα (κατεβαίνει). ύο ευθείες y = α 1 x + β 1 και y = α x + β είναι παράλληλες αν α 1 = α. Θα είναι κάθετες αν α 1 α = 1. Η κάθετη µιας οριζόντιας ευθείας είναι µια κατακόρυφη και αντίστροφα. 1.11 ιώνυµο ιώνυµο είναι η παράσταση αx + βx + γ µε α 0. Για να ϐρούµε τις ϱίζες του υπολογίζουµε την διακρίνουσα = β 4αγ. Αν 0 τότε έχει πραγµατικές ϱίζες και είναι x 1, = β ±. (56) α Αν < 0 τότε δεν έχει πραγµατικές ϱίζες, αλλά έχει µιγαδικές, x 1, = β ± i. (57) α Το διώνυµο µπορούµε να το γράψουµε α(x x 1 )(x x ). Αυτή η γραφή λέγεται παραγοντοποίηση. Το συµπλήρωµα του τετραγώνου γίνεται ως εξής αx + βx + γ = α (x + βα ) x + γ (58) ) = α (x βα β + x + 4α β + γ 4α (59) ) ) = α (x βα β + x + + α ( β + γ 4α 4α (60) ( = α x + β ) ) + (γ β. (61) α 4α
Κ. Κυρίτσης 11 Βασικά Μαθηµατικά Τέλος σηµειώνουµε ότι το διώνυµο έχει το ίδιο πρόσηµο µε το α όταν το x είναι εκτός του διαστήµατος των ϱιζών και αντίθετο του α για x εντός του διαστήµατος των ϱιζών. 1.1 Ανάπτυγµα σε Μερικά ή Απλά Κλάσµατα Εστω η ϱητή συνάρτηση f(x) = P(x)/Q(x) µε τον ϐαθµό του πολυωνύµου P(x) µικρότερο από τον ϐαθµό του πολυωνύµου Q(x). Μπορούµε να την αναπτύξουµε σε απλά κλάσµατα Ax + B A (αx + βx + γ) r, (αx + β) r. (6) Εάν το (x r) είναι παράγοντας του Q(x) και m η µέγιστη δύναµη στην οποία εµφανίζεται, δηλαδή το (x r) m είναι η µέγιστη δύναµη που διαιρεί το Q(x), τότε στην ανάλυση σε απλά κλάσµατα του αντιστοιχούµε m µερικά κλάσµατα, A 1 x r + A (x r) + + A m (x r) m. (63) Εάν το x +px+q µε < 0 είναι παράγοντας του Q(x) µε µέγιστη δύναµη n, τότε του αντιστοιχούµε n µερικά κλάσµατα, B 1 x + C 1 x + px + q + B x + C (x + px + q) + B nx + C n (x + px + q) n. (64) Εφαρµόζουµε αυτή τη διαδικασία για κάθε παράγοντα του Q(x). Θέτοντας το αρχικό κλάσµα ίσο µε το άθροισµα όλων των απλών κλασµάτων που προκύπτουν µ αυτόν τον τρόπο και πολλαπλασιάζοντας µε τον παρονοµαστή Q(x), µετά τις απλοποιήσεις µας µένει ένα πολυώνυµο του x στο δεξί µέλος, το πολυώνυµο P(x) στο αριστερό. Εξισώνοντας οµοιοβάθµιους όρους και λύνοντας ένα αλγεβρικό σύστηµα εξισώσεων, ϐρίσκουµε του συντελεστές A i, B i, C i.
Κ. Κυρίτσης 1 Βασικά Μαθηµατικά Τριγωνοµετρία.1 Γεωµετρικοί Ορισµοί Γεωµετρικά το ηµίτονο και το συνηµίτονο ορίζονται σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Εστω λοιπόν το τρίγωνο OAB. και Εξ ορισµού είναι θ O sin θ = AB OB Επίσης ορίζουµε την εφαπτοµένη να είναι Είναι προφανές ότι Επιπλέον από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα, A B (65) cosθ = OA OB. (66) tanθ = AB OA. (67) tan θ = sin θ cosθ. (68) (OA) + (AB) = (OB), (69) είναι cos θ + sin θ = 1. (70). Το Ηµίτονο και το Συνηµίτονο Και οι δύο είνα περιοδικές µε ελάχιστη περίοδο π. Μερικές χαρακτηριστικές τιµές είναι
Κ. Κυρίτσης 13 Βασικά Μαθηµατικά και Επιπλέον επισηµένουµε ότι x sin x cosx 0 0 1 π 1 3 6 π 4 π 3 1 π 3 1 0 sin x = sin( x), (71) cosx = cos( x). (7) Το ηµίτονο και το συνηµίτονο σχετίζονται µεταξύ τους ως εξής Τέλος αναφέρουµε ότι.3 Εφαπτοµένη και Συνεφαπτοµένη Ορίζουµε την εφαπτοµένη να είναι sin(x π ) = cos x, (73) sin(x + π ) = cosx, (74) cos(x π ) = sin x, (75) cos(x + π ) = sin x. (76) sin(x + π) = sin(x), (77) cos(x + π) = cos(x). (78) sin(x) 1, (79) cos(x) 1. (80) και την συνεφαπτοµένη να είναι tanx = sin x cosx (81) cot x = cosx sin x. (8)
Κ. Κυρίτσης 14 Βασικά Μαθηµατικά Παρατηρούµε ότι η συνεφαπτοµένη είναι το αντίστροφο της εφαπτοµένης, και Μερικές χαρακτηριστικές τιµές είναι Επιπλέον επισηµένουµε ότι tan x = 1 cot x. (83) x tanx cot x 0 0 ± π 1 3 6 3 π 1 1 4 π 1 3 3 3 π ± 0.4 Τέµνουσα και Συντέµνουσα Τέλος ορίζουµε την τέµνουσα και την συντέµνουσα tan x = tan( x), (84) cot x = cot( x). (85) sec x = 1 cosx, (86) csc x = 1 sin x. (87).5 Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Οι αντίστροφρες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως εξής: y = sin 1 x = arcsin x, ( π/ x π/), (88) y = cos 1 x = arccos x, (0 x π), (89) y = tan 1 x = arctanx, ( π/ < x < π/), (90) y = cot 1 x = arccotx, (0 < x < π), (91)
Κ. Κυρίτσης 15 Βασικά Μαθηµατικά y = sec 1 x = arcsecx, (0 x π), (9) y = csc 1 x = arccscx, ( π/ x π/). (93) Ισχύουν οι ιδιότητες και arccscx = arcsin 1 x, (94) arcsecx = arccos 1 x (95) arccotx = π arctanx. (96) Στις παρενθέσεις αναφέρεται ο συνήθης πρωτεύον κλάδος για την κάθε µια τους..6 Τριγωνοµετρικές Ταυτότητες Οι σχέσεις που ακολουθούν αποτελούν ταυτότητες που χρησιµοποιούνται συχνά. sin x + cos x = 1, (97) 1 + tan x = sec x = 1 cos x, (98) 1 + cot x = csc x = 1 sin x, (99) sin(x ± y) = sin x cosy ± cosxsin y, (100) cos(x ± y) = cosxcosy sin x sin y, (101) tanx ± tany tan(x ± y) = 1 tanxtan y. (10) Από τις παραπάνω µπορούµε να δείξουµε ότι cosxcosy = 1 (cos(x y) + cos(x + y)), (103) sin x sin y = 1 (cos(x y) cos(x + y)), (104) sin x cosy = 1 (sin(x y) + sin(x + y)), (105) cos x sin y = 1 (sin(x + y) sin(x y)). (106)
Κ. Κυρίτσης 16 Βασικά Μαθηµατικά Θέτωντας x = (A + B)/, y = (A B)/, οπότε ϑα είναι A = x + y και B = x y οι παραπάνω ταυτότητες γίνονται και cosa + cosb = cos A + B cos A B, (107) cosa cosb = sin A + B sin A B, (108) sin A + sin B = sin A + B cos A B, (109) sin A sin B = cos A + B sin A B. (110) Ειδικά για x = y έχουµε Επίσης sin(x) = sin x cosx, (111) cos(x) = cos x sin x (11) tan(x) = = 1 sin x (113) = cos x 1. (114) tanx 1 tan x. (115)
Κ. Κυρίτσης 17 Βασικά Μαθηµατικά 3 Υπερβολικές Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Κατ αντιστοιχεία µε τις τριγωνοµετρικές ορίζουµε και τις υπερβολικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Είναι sinh x = ex e x, (116) cosh x = ex + e x, (117) tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x, (118) coth x = cosh x sinh x = ex + e x e x e x, (119) sechx = 1 cosh x = e x + e x, (10) cschx = 1 sinh x = e x e x. (11) Μερικές χαρακτηριστικές ιδιότητες και ταυτότητες των υπερβολικών τριγωνοµετρικών είναι οι εξής: cosh x sinh x = 1, (1) 1 tanh x = sechx, (13) coth x = 1 + csch x, (14) sinh( x) = sinh x, (15) cosh( x) = cosh x, (16) tanh( x) = tanh x, (17) sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, (18) cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y, (19) tanhx ± tanhy tanh(x ± y) = 1 ± tanhxtanh y. (130) Τέλος αναφέρουµε τις αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις: sinh 1 x = arcsinhx = ln(x + x + 1), x, (131) cosh 1 x = arccoshx = ln(x + x 1), x 1, (13)
Κ. Κυρίτσης 18 Βασικά Μαθηµατικά tanh 1 = arctanhx = 1 ( ) 1 + x ln, x < 1, (133) 1 x ( ) coth 1 1 x = arccothx = ln x + x + 1, x 0, (134) x ( ) 1 + 1 x sech 1 x = arcsechx = ln, 0 < x 1, (135) x coth 1 x = arccothx = 1 ( ) x + 1 ln, x > 1. (136) x 1
Κ. Κυρίτσης 19 Βασικά Μαθηµατικά ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.
Κ. Κυρίτσης 0 Βασικά Μαθηµατικά Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )
Κ. Κυρίτσης 1 Βασικά Μαθηµατικά Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ