ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 3//7 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ (7) Απαντήσεις Θέμα Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 99 Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 6 Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 33 Α. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ Θέμα Β Β. Από την C παρατηρούμε ότι για κάθε (,) και συνεπώς η είναι γνήσια αύξουσα στο [, ] και γνήσια φθίνουσα στο [,]. για κάθε (,) - + Τ.Μ Τ.Ε Η παρουσιάζει στο = τοπικό ελάχιστο ενώ στα και τοπικό μέγιστο. Τ.Μ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β. Από την C παρατηρούμε ότι: 3 Σ.Κ Σ.Κ Η είναι γνήσια αύξουσα στο [,] και στο [3,]άρα κυρτή στο [,] και στο [3,]. Η είναι γνήσια φθίνουσα στο [,3] άρα κοίλη στο [,3]. Η παρουσιάζει Σ.Κ. στο = και στο = 3. Β3. Ισχύει ότι ( ), ( ), ( ), ( ). Η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο A(, ()) είναι ( ) : y ( ) ( )( ) y Ενώ στο B(, ()) είναι: ( ) : y ( ) ( )( ) y ( ) y ()d E E ά ()d () ( ) ( ) ( ) ( ) Β. i. ος τρόπος: Η () είναι αρχική της (). Από την γραφική παράσταση της ξέρουμε ότι: () ά, () ά, και '()d '()d () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ί ii., ( ),( ) 8,. ύ, ( ),( ) 8, Άρα το Σύνολο Τιμών της είναι το (A) = [-8,]. Θέμα Γ Γ. Επειδή () () για κάθε > η ανίσωση () γράφεται () ( ). Συνεπώς η που είναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων παρουσιάζει ελάχιστο στο = που είναι εσωτερικό σημείο του,. Από το Θεώρημα Frmat ισχύει () = (). Η γράφεται ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ () ln ln έχει παράγωγο '() ln ln. Τότε η () ln. άρα είναι () = ln +, >.
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ. i) Η συνάρτηση (t), t > ικανοποιεί τις συνθήκες του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [, +] γιατί: συνεχής στο [, +] ως πράξεις συνεχών (πολ/κης λογαριθμικής) παραγωγίσιμη στο (, +) με (t) = lnt, t > ( ) () Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, : '( ) ln ( ) (). Ισχύει ότι < ξ < + ln ln ln( ) ln ( ) () ln( ), ii) Είναι () = ln με > και έστω Μ ((t), y(t)) σημείο της C τότε Μ ((t),) και (t) = μ/s. Το εμβαδόν ' (t) y(t) (t) ln((t)) E(t), με ρυθμό '(t) '(t) '(t) ln((t)) (t) '(t) ln((t) ln (t) s ln Γ3. i) Είναι g() ln, και τότε g () = + / > για > άρα g γνήσια αύξουσα στο άρα και «-». Έτσι ορίζεται η g - με πεδίο ορισμού το, Σύνολο Τιμών της g. Επειδή g συνεχής και γνήσια αύξουσα στο Σ.Τ. = lim g(), lim g(), γιατί lim g() lim ln lim g() lim ( ln ) Άρα το πεδίο ορισμού της g - είναι το,. είναι ii) Θέτουμε = g() τότε Άρα το t g() lim lim και g(), έχει. lim lim και από Κριτήριο Παρεμβολής το lim. g() lim. g() Θέτουμε τότε g() Το ζητούμενο g() lim g() lim lim g() g() g() lim g() g() g(). ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ. Θέτουμε g () g() ό d g'()d και το ολοκλήρωμα γράφεται g ( ) g ( ) g'()d d Έστω Έστω. g ( ) g ( ) g ( ) g( ) ln α =. g ( ) g( ) ln. Τότε d d d ' d + = ( ) + ( ) = ( ) ( + ) Θέμα Δ Δ. F παράγουσα της στο [,] F'() (), [,] G παράγουσα της g στο [,] G'() g(), [,] ( )ln ( () ( )ln ) d ()d ()( )ln ( ) ln d ()d ()d ()( )ln ( ) ln d () ()( )ln ( )ln d () ( )ln d Θέτουμε () () ( )ln, [,] ( ) ή [, ] ( ά ώ ) (), [, ] Και ()d Έστω ότι υπάρχει, Τότε έτσι ώστε φ() > ()d ψευδές επειδή Άρα φ() =, [,] Επομένως, () ( )ln, [,] () ( )ln, [,] g() ()d ( )g'() g() ( ), (,] g() g'() ( )'g() ( ), (,] ()d ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ g() ', (,] g() g() g() ', (,] g() ' ()', (,] g() c, (,] Για = έχουμε g() Επομένως,, (,] g() ln, (,] g() = ( ) ln, g( ) ln c c c c (,] g συνεχής στο [,] άρα g( ) lim g() lim ( )ln επομένως g() = (-)ln, Άρα () = g() = (-)ln,,., Δ. α) () = (-)ln,, '() ( )'ln ( )(ln)' ln,, Παρατηρούμε ότι () =, άρα η () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα την = ''() ln ', (,) ' γν. αύξουσα [,] κυρτή [,] Επειδή η 'γν.αύξουσα στο [,] η εξίσωση () = έχει μια το πολύ ρίζα επομένως η = είναι η μοναδική ρίζα της () =. β) lim 7 G() G() ( ) ( ) ( ) G() G( ) lim 7 ( ) lim θέτω =, lim lim ( ) lim G() G( ) lim G'( ) g( ) Δ3. Έστω (ε) η εφαπτομένη της C στο Μ(ξ, (ξ)). ( ) : ( ) '( )( ) '( ) '( ) ( ). Άρα το ζητούμενο όριο είναι ίσο με 7 ( ) () ( ) d ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
κυρτή στο [,] επομένως η C ( ) ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ εκτός ίσως του σημείου επαφής Μ άρα ( ) () '( ) '( ) ( ) d ()d '( )d '( ) d ( )d ()d '( ) '( ) ( ) '( ) ''( ) ''( ) ( ) '( )( ) '( )( ) ( )( ) ''( ) ''( ) ( ) ''( )( ) ( )( ) ()d '( ) '( ) ( ) ( )( ) '( ), E'( ) ξ E (ξ) - + Ε(ξ) > για το Ε(ξ) γίνεται ελάχιστο < Δ. α) είναι γνησίως αύξουσα για [,] άρα άρα γνησίως αύξουσα στο [, ]. Τώρα έχουμε γνησίως αύξουσα στο [, ] οπότε F άρα F γνησίως αύξουσα στο [, ]. β) () = g(), [,] => F () = G (), [,] => F() = G() + c Για = έχουμε: F() = G() + c c =. Επομένως F() = G(), [,] Οπότε η δοσμένη ανίσωση γίνεται:,,, F< F F F F Επειδή F( ) F() F( ) F() F< Επειδή F( ) F( ) F( ) F( ) ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
Άρα θα έχουμε: ΑΡΧΗ 7ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ F( ) F( ) F( ) F() F( ) F( ) F( ) F() Έστω Η() = (F(+) F()), [,] '() ' F( ) F() F( ) F() ' F( ) F() ( ) () γιατί F F( ) F() F( ) F() ( ) () ( ) () Επομένως Η'() >,, H()γν. αύξουσα στο [,] Από την () έχουμε: ( ) H(),, H< () Επομένως. ΤΕΛΟΣ 7ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ