Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία iii Να βρείτε το σύνολο των τιμών της f iv Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης v Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα Ι = d και Ι = d vi Να δείξετε ότι f d f f f ( ) 99 vii Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα, τον άξονα yy και την ευθεία Θέμα 5o Δίνεται η συνάρτηση f, f ( ) f ( ) για κάθε i Να δείξετε ότι η f ii Να δείξετε ότι η f η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει είναι γνησίως αύξουσα στο έχει σύνολο τιμών το iii Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της f iv Να δείξετε ότι η f έχει μοναδική ρίζα και να τη βρείτε v Αν lim f( ), να βρείτε τα όρια: f( ) α lim β lim f( ) ημ f( ) vi Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο {}, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (3, f (3))
Λύσεις Θεμάτων Αν lnα α, τότε σύμφωνα με το (στ) η εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα, άρα οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα κοινό σημείο Αν lnα α, τότε σύμφωνα με το (στ) η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες, άρα οι γραφικές παραστάσεις έχουν δύο κοινά σημεία Αν ln α α, τότε σύμφωνα με το (στ) η εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα, άρα οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα κοινό σημείο Αν ln α α, τότε σύμφωνα με το (στ) η εξίσωση δεν έχει καμία ρίζα, άρα οι γραφικές παραστάσεις δεν έχουν κοινά σημεία Θέμα 4o Α Η h συνεχής και στο [ αβ, ], άρα α h ( ) h ( α ), η ισότητα ισχύει μόνο για α, β β β α α α άρα hd ( ) h( α) d hd ( ) h( α)( βα), που ισχύει για κάθε Β i Πρέπει και () ii Για την () έχουμε, για κάθε R, διότι για κάθε R για κάθε Άρα το πεδίο ορισμού Α f ( ) ( ) για κάθε Άρα η f στο iii lim ( ) lim ln f 34
Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέτουμε u, οπότε lim u lim lim Άρα lim f( ) lim lnu u u lim lim ( ) Άρα lim f( ) lim lnu u Άρα το σύνολο τιμών f ( Α) ( lim f( ), lim f( )) (, ) iv Η f Θέτουμε είναι στο, άρα και -, οπότε αντιστρέφεται y y y y f y y y ( ), y y f( ) ln y y y y y ( ) ( ) f v Ι d f ( ) d [ f ( )] ln ln ln Ι ( ) d d d d d d d d d Ι Ι Άρα Ι Ι Ι Ι Ι ln ln vi Η f είναι στο, άρα σε κάθε διάστημα του, οπότε, σύμφωνα με το ερώτημα (Α), έχουμε: 35
Λύσεις Θεμάτων f( ) d f()( ) f( ) d f() f( ) d f()() f( ) d f() 99 99 f( ) d f(99)( 99) f( ) d f(99) Προσθέτουμε κατά μέλη: 99 f ( ) d f ( ) d f ( ) d f () f () f (99) f ( ) d f () f () f (99) vii Είναι f στο, f( ) f() f( ) Άρα Ε ( ) ( ) ln f d d ln d d τμ ln ln ln ln Θέμα 5o i f ( ) f ( ) () για κάθε Έστω ότι η f δεν είναι στο Τότε θα υπάρχουν α, β με α β και 3 3 f ( α) f ( β ) () έχουμε f ( α) f ( β) f ( α) f ( β) 5 5 f ( α) f ( β) () 3 5 f ( α) f ( α) f ( β) f ( β) α β α β, άτοπο, αφού α β, άρα η f είναι στο ii Θεωρούμε την h ( ) D h Η h είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική lim h ( ) lim 5 5 και h lim ( ) lim, άρα h( ) Εύκολα αποδεικνύεται ότι h στο, οπότε είναι -, άρα αντιστρέφεται 36
Μαθηματικά Γ Λυκείου Έχουμε f ( ) f ( ) h( f( )) f( ) h ( ), οπότε f h iii Η f Άρα f ( ) h ( ) D h είναι στο, άρα και, οπότε αντιστρέφεται Θέτουμε y f( ), τότε f ( ) f ( ) y y f ( y) y y f ( ) 3 iv Για, f () f () f ()[ f () ] v α f 3 (), αφού f () f() Άρα το είναι ρίζα της f β και, επειδή η f είναι στο, η ρίζα αυτή είναι μοναδική 4 f ( )[ f ( ) f ( )] f( ) ( ) f ( ) 4 f ( ) f ( ) f( ) 4 f ( ) f ( ) f( ) lim lim lim ( ) ( ) 4 f f ημ f( ) ημu L lim lim lim, u u f( ) u, όταν ( ) u f vi Για 3 : f 5 (3) f 3 (3), άρα θέτοντας f(3) k προκύπτει k k και με θεώρημα Hornr k f(3) 4 Παραγωγίζοντας την αρχική παίρνουμε: [5 f ( ) 3 f ( )] f( ) f (3) 4 5 f (3) 3 f (3) 8 5 Τελικά y f(3) f(3)( 3) y ( 3) y 8 8 8 vii f () 4 f(4), f( ) από το ερώτημα (iv) Άρα f( ) f() f( ), 4 4 Ε f( ) d f( ) d Θέτουμε: αφού η f είναι στο, οπότε: u f( ) f ( u) d ( f ( u)) du, για u, για 4u 37