Θέμα Α ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα Αν f στο Δ 7 μονάδες Α Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία 4 μονάδες Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μία κατακόρυφη ευθεία τέμνει μία καμπύλη f σε δύο σημεία, τότε η f δεν είναι συνάρτηση» α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής μονάδα β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α με τη βοήθεια αντιπαραδείγματος μονάδες 4 μονάδες Α4 Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λάθος u u u f a a u α) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, τότε έχουμε β) Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g,τότε dy dy du,όπου y f u και u g d du d γ) Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού είναι ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης S του κινητού ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t δ) Το σύνολο τιμών της f,(αν υπάρχει) μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της f ε) H τιμή της f στο Af είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας Θέμα Β και της γραφικής παράστασης της f * Δίνεται η συνάρτηση f,, μονάδες Βα) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το πρόσημο της f 4+ μονάδες Βα)Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες στο, 4+ μονάδες Β α) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της f a f a f a f a για κάθε a β) Να δείξετε ότι B4Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f + μονάδες
Θέμα Γ Δίνεται συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι : f f d e e για κάθε Γ Να δείξετε ότι Γ Να δείξετε ότι e e d f e Γ Να υπολογίστε τα όρια: f α) lim Γ4 Να δείξετε ότι Θέμα Δ β) lim γ) lim f f e f d e f 4 Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα κανάλι του οποίου η κάθετη διατομή ΑΒΓΔ (τραπέζιο) φαίνεται στο διπλανό σχήμα Αν και ˆ ˆ όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα : 7 μονάδες Δ Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου ΕΖΗ (ΕΖ=ΖΗ) εγγεγραμμένου σε κύκλο με ακτίνα είναι ίσο με,όπου θ η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του Μονάδες 6 Δ Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του τραπεζίου είναι ίσο με το Μονάδες 6 Δα) Να αποδείξετε ότι από τα τρίγωνα ΕΖΗ το ισόπλευρο έχει το μεγαλύτερο εμβαδό β) Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ για την οποία μεγιστοποιείται το εμβαδόν της κάθετης διατομής ΑΒΓΔ Μονάδες 6+ Δ4 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: d Μονάδες 6
Λύση Θέμα Α Α Θεωρία Α Θεωρία Α α) Σωστό β) Ο κύκλος Α4 ΛΣΣΛΣ Θέμα Β Βα) Η f είναι παραγωγίσιμη με τύπο f Όμως f H συνάρτηση f είναι συνεχής στο, άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο,, γνησίως αύξουσα στο, και παρουσιάζει ελάχιστο στο,το f β) Το f είναι ελάχιστο της f άρα f f Επομένως για η f παίρνει θετικές τιμές Β α) Έστω,,, Έχουμε : f > f f, f, ή lim, lim, f < f f f ή lim f lim lim Άρα f A f Α f Α,, αφού ( f f lim και β) Έχουμε : f + f ( ) f( ) ] OΕ [ Το f A, f A άρα υπάρχουν A, A τέτοια ώστε f f Τα, μοναδικά λόγω της μονοτονίας στα αντίστοιχα διαστήματα,
Άρα η εξίσωση f Β α) έχει δύο ακριβώς ρίζες στο, f Όμως f για,η f είναι συνεχής στο στο, β) Η f είναι κυρτή άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα η f είναι κυρτή, Για την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο, οπότε υπάρχει, τέτοιο ώστε f < f Όμως f f f f f f f f f f f B4 Η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική με βαθμό μεγαλύτερο ίσο του δευτέρου άρα δεν έχει ασύμπτωτες Τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (,ν),οπότε έχει την ακόλουθη γραφική παράσταση Θέμα Γ Γ I e d e d e e d I e d e e d e I e I I e I Γ Θέτουμε f d () οπότε από τη σχέση f f d e e e έχουμε : f e e f e () e e Επομένως e d e d e e e d e d k e e 4 e k 4 e e e k 4
f e Γ α) f e e e lim lim lim lim DLH DLH β) Γνωρίζουμε ότι η αντίστροφη της f είναι η ln lim f lim ln lim lim DLH 5 f ln,οπότε lim e lim f f lime ln lim ln γ) 4 4 Γ4 e f d e e e d e 4 Έχουμε : 4 e e e Η ισότητα ισχύει μόνο για τις τιμές, οπότε : Θέμα Δ 4 4 ed e d e d e e d e Δ Tο εμβαδόν του ισοσκελούς τρίγωνου ΕΖΗ είναι ίσο με Όμως και (, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΖΟΛ) Άρα το εμβαδόν ισοσκελούς τρίγωνου ΕΖΗ είναι ίσο E Δ Φέρνουμε τα ύψη ΓΡ,ΔΤ του ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΡΓ και ΒΤΔ έχουν ˆ ˆ και όπου υ το ύψος τραπεζίου άρα είναι ίσα,οπότε Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΡΓ έχουμε () και Το τετράπλευρο ΓΡΤΔ είναι ορθογώνιο άρα Το εμβαδόν του τραπεζίου Ε είναι ίσο με
Δα) Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο E Η συνάρτηση Ε είναι παραγωγίσιμη με E E Έχουμε E, Όμως, άρα άρα στο, 6 οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα στο, οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο, Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖΗ μεγιστοποιείται όταν Για το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο β) Το εμβαδόν Ε της κάθετης διατομής μεγιστοποιείται για έχει τον ίδιο τύπο με το Ε αφού Δ4 d d d u, du d u, u u u d d du du Έχουμε: A B A A B B A B A B Για να ισχύει η ισότητα για κάθε πρέπει:, άρα A B, οπότε: d ln ln ln 6