ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 06 ΘΕΜΑ Α Α. i. Σωστό ii. Λάθος iii. Λάθος iv. Λάθος v. Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f = 6 +,,. Η f είναι συ- Α. Θεωρούμε συνάρτηση ( ) [ ] νεχής στα διαστήματα [, 0] και [ ] f ( ) = 6 + = 4. f ( 0 ) =. f ( ) = 6 + =. Οπότε: f ( ) f ( 0 ) = < 0 και 0, ως πολυωνυμική και ισχύει: f 0 f = 6 < 0. Από Θ. Bolzano η εξίσωση f ( ) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, 0) και μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( 0, ). Συνεπώς η αρχική εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα,. ( ) Α. Είναι: f ( 0) f ( ) < 0, f ( ) f ( 4) < 0, f ( 4) f ( 6) < 0, f ( 6) f ( 8) < 0. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα [ 0, ], [,4 ], [ 4,6 ], [ 6,8 ], οπότε από το Θ. Bolzano θα υπάρχουν ( 0, ), (,4 ), ( 4,6 ), 4 ( 6,8 ), τέτοια, ώστε: f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( 4 ) = 0. Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης f θα τέμνει τον άξονα σε 0, 8. τέσσερα τουλάχιστον σημεία στο διάστημα ( )
ΘΕΜΑ Β Β.i. Είναι Df = ( 0, + ). Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( 0, + ) ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: + ln + + f ( ) = = = 4 ( ln ) 4 ( ln ) ( 4 ) ( 4 ) 4 ( + ln ) 8 8 8 6 ln ln = = =, > 0. 4 4 6 6 ii. Είναι D f = ΙR. Η f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f = ηµ e + = ηµ e + ηµ e + = ( ( ) ) ( e ) ( e ) ( e ) ( ) = ηµ + συν + + = ( ) = ηµ e + συν e + e = e ηµ e +, ΙR. f = e, > 0. Η f είναι πα- iii. Είναι Df = ( 0, + ). Ισχύει ότι ( ) ραγωγίσιμη στο ( ) ln ln 0, + ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: f = e = e ln ln = ln ln ln ln ( ) ( ) ln ln ln ln ln ln = + = + = ln ln ln ln ln = + =, > 0. iv. Είναι f ( ) +, = +, >, ως πολυωνυμική με Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ) f = + = 6, <. με f ( ) = και D f = ΙR.
Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως πολυωνυμική με f = + = 6 +, >. Στο 0 = εξετάζω την παραγωγισιμότητα της f με τον ορισμό. Είναι: f f + Για <, lim = lim = 0 ( ) ( + 5 ) = lim = lim =. f ( ) f ( ) + Για >, lim = lim = + + + 4 ( ) ( + 7 ) = lim = lim =. + + Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 =, οπότε 6, < f ( ) =. 6 +, > Β. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR ως πολυωνυμική με: f = + =, ΙR... ( 0 0 ) Έστω ( ) A,f το σημείο επαφής της εφαπτομένης με την γραφική παράσταση της συνάρτησης f. i. Είναι: f ( 0 ) = 0 = 0 = και f ( ) =. Άρα ε : y = y =. 0 ii. Είναι: f ( 0 ) = εϕ45 0 = 0 = και ( ) Άρα ( ε) : y = y =. iii. Είναι: ( ) f =. f 0 = 0 = 0 = και 7 f =. Άρα 4 7 ( ε) : y = 4y 7 8 8 4y 5 0. 4 = = ε :y f = f iv. Έστω 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 + = 0 0 0 0 0 0 0 + = + = = ή 0 =.
Οπότε υπάρχουν δύο σημεία επαφής τα (, ) και ( ),, επομένως και δύο εφαπτόμενες οι: ( ε ) : y = f ( ) ( ) y = y =. ( ε ) : y = f ( ) ( + ) y = ( + ) y =. ΘΕΜΑ Γ Γ.i. Η συνάρτηση f ορίζεται αν και μόνο αν 0 και 6 0. Άρα A =, 6. [ ] με < είναι: < < < > 6 > 6 6 > 6 < 6 < 6 6 < 6 ii. Για, [, 6] f < f. Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,6]. iii. Οι συναρτήσεις g( ) = και ( ) h = 6 είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους ως ρίζες πολυωνυμικών συναρτήσεων άρα και η συνάρτηση f ( ) = g( ) h( ) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. iv. Είναι f ( ) = και f ( 6 ). συνεχής στο A = [, 6] θα είναι ( ) = = [ ] = Επειδή f είναι γνησίως αύξουσα και f A f,f 6,. v. f ( A ), οπότε από Θ.Ε.Τ. για την f στο A [, 6] = υπάρχει 0 (, 6 ) τέτοιο ώστε f ( 0 ) =, το οποίο είναι μοναδικό γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,6]. Γ. Επειδή f συνεχής στο [ αβ, ] θα παίρνει μια ελάχιστη τιμή m και μια μέγιστη τιμή M. Οπότε για,, [ αβ, ] θα είναι: m f ( ) M κ m κ f ( ) κ M m f ( ) M λ m λ f ( ) λ M
m f M µ m µ f µ M Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε: κ+λ+µ m κ f +λ f +µ f κ+λ+µ M ( ) Και επειδή κ+λ+µ= > 0, ισχύει ότι: m κ f ( ) + λ f ( ) + µ f ( ) M. Είναι m M. Συνεπώς ισχύει το Θ.Ε.Τ., οπότε η f παίρνει κάθε τιμή με- ξ α, β, ώστε: ταξύ των m και M, άρα υπάρχει ( ) ( ξ ) = κ ( ) + λ ( ) + µ ( ) f f f f. ΘΕΜΑ Δ Δ.i. Είναι [ ] f ( ) 0 f ( ) 0 4 0 f 4 = f = 4,,. Οπότε: = = = = ή =. ii. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, ) [, ] και δεν μηδενίζεται σ αυτό. Άρα η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (, ). iii. Αν f ( ) > 0 στο ( ),, τότε: f ( ) = 4 f ( ) = 4 και επειδή θα είναι f ( ) = 4, [, ]. Αν f ( ) < 0 στο (, ), τότε: f = 4 f = 4 και επειδή f = f = 0 f ( ) = f ( ) = 0, θα είναι ( ) = [ ] f 4,,. Δ.i. Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο = (, ], άρα f ( ) = f ( ), lim f ( ) ) = [ 4, + ). Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο = [, ], άρα f( ) = f ( ),f( ) = [ 4,4 ]. Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο = [, + ), άρα f( ) = ( lim f( ),f( ) = ( 0,4]. + Άρα το σύνολο τιμών της f είναι: f (R ) = f (Δ) f (Δ) f (Δ) = [ 4, + ) [ 4,4] (0,4] = [ 4, + ).
ii. f ( ) [ 4, ) η εξίσωση f ( ), f ( ) [ 4, 4], η εξίσωση ( ) f ( ) ( 0, 4] η εξίσωση f ( ), = + και επειδή f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο = έχει ακριβώς μια ρίζα στο. = και επειδή f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο f =, έχει ακριβώς μια ρίζα στο. = και επειδή f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, = έχει ακριβώς μια ρίζα στο. Άρα η εξίσωση f() = έχει ακριβώς ρίζες στο ΙR. iii. Διακρίνουμε περιπτώσεις για το α ΙR. Αν α< 4, τότε α f(ιr ), άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν α= 4, τότε f ( ) = 4, οπότε το 0 =, είναι η μοναδική, + η εξίσωση ρίζα της εξίσωσης στο (,), f ( ) = 4 είναι αδύνατη αφού ( ] Αν 4 0, γιατί στο [ ) 4 0, 4. <α τότε α f ( ) και ( ) α f. Άρα η εξίσωση έ- χει ακριβώς δύο ρίζες επειδή f γνησίως μονότονη στα διαστήματα και. <α< τότε α ( ), α ( ) και ( ) Αν 0 4, f f α f. Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς τρείς ρίζες επειδή η f είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα,,. Αν 4 f f = 4, άρα η εξίσωση έχει ακρι- α=, τότε α ( ) και ( ) βώς δύο ρίζες την (, ) και την =. Αν α> 4, η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα την ρ (, ), γιατί α f και η f είναι γνησίως μονότονη στο. ( ) ΒΑΒΟΥΡΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΦΡΟΝΤΙΣΤΕΣ SCIENCE PRESS