Διαγώνισμα στις παραγώγους μέχρι και ακρότατα Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f,η οποία είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ Αν στο Δ f x σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και 7 μονάδες f x για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της,τότε η f είναι σταθερή στο πεδίο ορισμού της» α) Είναι αληθής, ή ψευδής η πρόταση; β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α 4 μονάδες Α Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία 4 μονάδες Α4 Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λάθος f x g x για κάθε α) Αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο και πραγματικό αριθμό x,τότε η διαφορά των τύπων τους εκφράζει εξίσωση ευθείας παράλληλης στον άξονα χ χ f x β) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα αν και μόνο αν γ) Αν για μία συνάρτηση f ισχύει fx f x,για κάθε πραγματικό x, τότε το lim f x δ) Κάθε εφαπτομένη μίας συνάρτησης τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο ε) Το ΘΜΤ εφαρμόζεται σε κάθε πολυωνυμική συνάρτηση μονάδες Θέμα Β Στο διπλανό σχήμα δίνεται η παράγωγος της συνάρτησης f Αν f,f,f και lim f x lim f x B Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα B Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f B Να βρεθεί το πλήθος ριζών της εξίσωσης f x B4 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία y, σε δύο ακριβώς σημεία Μονάδες 7+6+6+6
Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση, x x f x e x Γ Να δείξετε ότι η f έχει ακριβώς ένα ακρότατο x,του οποίου να βρείτε το είδος του Μονάδες 7 Γ Αφού δείξετε ότι x,να λύσετε την εξίσωση x ln x e e x ln x,x Μονάδες 7 ΓΝα αποδείξετε ότι : e e f e e, Μονάδες 6 Γ4 Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) : y e x είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f Μονάδες 6 Θέμα Δ Αγρότης έχει ένα αγρόκτημα Θέλει να το χωρίσει σε τρία κυκλικά αγροκτήματα έτσι ώστε : να περιφράξει ένα κομμάτι του πρώτου αγροκτήματος σχήματος κυκλικού τομέα με σύρμα μήκους 5 μέτρων ώστε να δημιουργήσει ένα ανθόκηπο με τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια να περιφράξει ένα κομμάτι του δεύτερου αγροκτήματος σχήματος ισοσκελούς τριγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο, ώστε να δημιουργήσει ένα ελαιώνα x το δεύτερο αγρόκτημα να έχει ακτίνα ίση με τη λύση της εξίσωσης e x να περιφράξει ένα κομμάτι του τρίτου αγροκτήματος σχήματος ορθογωνίου εγγεγραμμένου στον κύκλο ακτίνας R 5,ώστε να δημιουργήσει ένα περιβόλι με διάφορα δέντρα Δ Να δείξετε ότι η ακτίνα R του πρώτου κυκλικού αγροκτήματος είναι ίση με 5m Δ Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ελαιώνα είναι : E, όπου φ η γωνία η περιεχόμενη στις ίσες πλευρές του τριγώνου Δ Nα βρείτε την τιμή της γωνίας φ, αν ο αγρότης θέλει ο ελαιώνας να έχει τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια Δ4 Να δείξετε ότι το εμβαδόν του περιβολιού είναι : Ex x 5 x, x 5, όπου x η μία διάσταση του περιβολιού Δ5 Nα δείξετε ότι το περιβόλι έχει τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια όταν έχει σχήμα τετράγωνο
Θέμα ο Λύσεις Α Θεωρία Α α) ψευδής β) Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένωση διαστημάτων δεν ισχύει πχ Α Θεωρία Α4 ΣΛΣΛΣ Έστω η συνάρτηση fx,x Παρατηρούμε ότι, αν και,x,, f x για κάθε x,,,εν τούτοις η f δεν είναι σταθερή στο Θέμα ο Β H f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα,,, αφού διαστήματα,,, και συνεχής στα,,, H f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα διαστήματα,,, και συνεχής στα Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο - το f τοπικό μέγιστο στο,το f,,, αφού,,,,στο το f f x στα f x στα και Β Έστω τα διαστήματα A,,,,,,, 4 f f ή f A lim f x, lim f x, ή lim f x f x x f A f,f, ή f f A lim f x, lim f x, ή x x f ή f ή lim f x f, lim f x f x x f A4 f, lim f x, ή Οπότε f A f A f A f Af A 4, ΒTo ανήκει μόνο στα f A,f A οπότε υπάρχουν τέτοια ώστε f x,f x x A,x A x,x μοναδικά λόγω της μονοτονίας στα αντίστοιχα διαστήματα Τα
Άρα η εξίσωση f x έχει ακριβώς ρίζες Β4 To ανήκει μόνο στα f A,f A οπότε υπάρχουν A, A τέτοια ώστε f,f 4 Τα, μοναδικά λόγω της μονοτονίας στα αντίστοιχα διαστήματα Άρα η γραφική παράσταση της f τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία y, σε δύο ακριβώς σημεία Θέμα ο f x e,x x Γ x x,οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο f x e 4x x f< f f A lim f x, lim f x, ή x αφού x lim fx lim e, x x x x lim f x lim e x Το ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα υπάρχει x οποίο είναι μοναδικό αφού η f είναι γνησίως αύξουσα Έχουμε : <, τέτοιο ώστε f x,το Για x xf x f x f x άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,x αφού είναι συνεχής στο, άρα και στο,x < Για x xf x f x f x άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο x, αφού είναι συνεχής στο, άρα και στοx, Επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x,το fx < f e f f x x e Για x x η f είναι γνησίως αύξουσα άρα και - Γ f άρα x x ln x x ln x e e x ln x, x e x ln x e f x ln x e x ln x e f x ln x f x ln x x ln x () Θεωρούμε τη συνάρτηση gx x ln x,x 4
x Έχουμε gx για x αφού x x x x x x άρα η g είναι γνησίως αύξουσα και - g x g x g x g e e f e e Γ e f f e f e f f e f f e e Για την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο, άρα υπάρχει f f, τέτοιος ώστε f f Όμως < f f f f f Γ4 Πρέπει f e e f x e f x f x Η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο είναι y f f x y e e x y e x e e y e x, η οποία είναι η εξίσωση της (ε) Θέμα 4 ο Δ H περίμετρος του μεικτόγραμμου τριγώνου ΟΓΔ (ανθόκηπου) είναι : 5 5 5 R R R 5 R 5 R, R 5(), rad R Ο ανθόκηπος έχει εμβαδόν E R R R E R5R R 5 R R E R5R R, R 5 5R R 5
Ισχύει : E R 5 4R E R 5 4R 4R 5 R 5 Η συνάρτηση Ε είναι συνεχής στο,5 άρα η Ε είναι γνησίως αύξουσα στο,5, γνησίως φθίνουσα στο 5, 5 και παρουσιάζει μέγιστο για R 5 x Δ e x () x Θεωρούμε την συνάρτηση f x e x,η οποία f x e x είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο, οπότε είναι γνησίως αύξουσα και - f x f x άρα η ακτίνα του δεύτερου αγροκτήματος είναι ίση με ρ=m Tο εμβαδόν του ελαιώνα (ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ) είναι ίσο με Όμως και (, ΟΔΓ) Άρα το εμβαδόν του ελαιώνα είναι ίσο E από το ορθογώνιο τρίγωνο Δ Η συνάρτηση Ε είναι παραγωγίσιμη με E E Έχουμε E, Όμως, άρα άρα στο, 6 οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα στο, οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο, Επομένως ο ελαιώνας να έχει τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια όταν 6
Δ4 Έστω x,y οι διαστάσεις του περιβολιού (ορθογώνιο ΑΒΓΔ) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε x y A x y 4R x y 5 y 5 x y 5 x, x 5 Tο εμβαδόν του περιβολιού είναι : Sx x y x 5 x, x 5 Δ5 H συνάρτηση S είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο S x 5 x x 5 x 5 x 5 x Sx 5 x x 5 x 5 x 5 Η συνάρτηση S είναι συνεχής στο,5 άρα η S είναι γνησίως αύξουσα στο,5, γνησίως φθίνουσα στο 5,5 και παρουσιάζει μέγιστο για x 5 Για x 5 έχουμε y 5 5 5 5 Άρα το περιβόλι έχει τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια όταν έχει σχήμα τετράγωνο 7