Ιουνίου 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Απαντήσεις Επαναληπτικών Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 63. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9. Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 33. Α4. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ Β B. Αφού z i z i z i z i w I w w z i z i z i z i z i z i z i z i 4zz zi zi 4zz zi zi z 8zz zz z z 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z είναι κύκλος με κέντρο το O, και ακτίνα. Επειδή κύκλο. i z z i το σημείο M, πρέπει να εξαιρεθεί από τον
B. z i w (), z yi z i () z i z i w z i z i y i y i z i z i y y 4 y 4 y y y ή y y απορρίπτεται ή y 4y τότε z i Και επειδή οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα,οπότε B.3 z έχω οπότε z i ή z i. Αν z i i w () i i 4 7 4 3 w iw w iw () 3 i i () 3 i i i i i i i i w i (3) i i i i i i () w ii w 4 4 Τότε
ΘΕΜΑ Γ Γ. e,, Θα βρω το lim lime () Θέτω Τότε (): u και θα βρω lim = lim u lim lim lim e u u άρα η είναι συνεχής στο Γ. Για η οπότε lim e παραγωγίζεται ως σύνθεση με e e e e e + - e στο,e,η είναι συνεχής στο,e άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,e στο e,,η είναι συνεχής στο e, άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο e, 3
. e,e, e,e (). () e e, lim, e, e (3) Θα βρω το lim Θέτω Οπότε DLH u άρα lim u lim lim lim lim u lim lim e lime u () Από (), () Σύνολο τιμών είναι το e e e,e,e,e Γ.3 i) ln ln4 e - ln - 4 4 ln 4 4 4 e e 4 ln 4 ln 4 4 4 4 ii) 4 4 () το επαληθεύει την 4 4 αφού εξίσωσης 4 Το,e είναι η μοναδική ρίζα Το 4 επαληθεύει την εξίσωσης Το 4e, 4 Τελικά η εξίσωση 4 4 άρα είναι λύση και της ισοδύναμης στο οποίο η είναι γνησίως αύξουσα άρα οπότε 4 4 αφού 4 4 4 4 άρα είναι λύση και της ισοδύναμης στο οποίο η είναι γνησίως φθίνουσα άρα - οπότε είναι η μοναδική ρίζα 4 4 έχει δυο ακριβώς ρίζες τις, 4 4
Γ4. Πρέπει να δείξω ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα ξ της εξίσωσης: t dt t dt () Η είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη με G Η εξίσωση () γίνεται G G, άρα έχει αρχική την tdt G που είναι G G G G G Θεωρώ συνάρτηση h G G G t dt ορισμένη στο,4 Η h είναι συνεχής στο παραγωγισίμων συναρτήσεων με,4 ως πράξη συνεχών και παραγωγίσιμη στο h G G G G G t dt (3) h t dt () 4 4 4 h 4 4 t dt 4 t dt 4 4 4 tdt tdt (),4 ως πράξη 5
Οπότε λόγω () και () h h4. Άρα ισχύει το Θεώρημα Rolle για την h οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον,4 τέτοιο ώστε h (3) h t dt t dt ΘΕΜΑ Δ Δ. ος τρόπος: Έστω,, με () () () () : 3 3 (3) e e (4) (3) (4) e 3 e 3 (5) Όμως από υπόθεση e 3 Άρα η (5) άρα η είναι ος τρόπος: Η είναι παραγωγίσιμη στο Ισχύει e 3,. Βρίσκω την 6
Η e παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση της με την στο, και έχει σύνολο τιμών το στο οποίο η Ομοίως 3 παραγωγίζεται στο e είναι παραγωγίσιμη. e (διότι η είναι παραγωγίσιμη, ως πράξη παραγωγίσιμων άρα e 3 e e 3 e e 3 e e 3 e για κάθε (,+ ) () e άρα η είναι γνησίως Βρίσκω την αντίστροφη: e 3 αύξουσα στο (,+ ), οπότε και y y e y y 3 άρα ή y y e y y 3, y e 3, Δ.. e 3, είναι παραγωγίσιμη στο με e 3 e 3 e e 3 e Η παραγωγίζεται με e e e e e για κάθε,όμως η συνάρτηση είναι συνεχής στο άρα η είναι κυρτή στο. 7
Ισχύει Επειδή η e 3 3 άρα η C τέμνει τον yy e M,3. στο παραγωγίζεται στο, η C στο Μ δέχεται εφαπτομένη με κλίση και εξίσωση : y 3 y 3 h Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης την ευθεία = και την εφαπτομένη της στο M,3 είναι: E h d Αφού η είναι κυρτή, η από το σημείο επαφής,οπότε C βρίσκεται πάνω από οποιαδήποτε εφαπτομένη της εκτός h τότε:, E e 3 3 d e 3d 3d e 3 e 3 d 3 e 3 e d 3 e 3 e 3 e e d 3 7 e 3 e e d 3 e 3 e e e 7 7 e 3 e 4e 7 4e.. Δ.3. i) Το σημείο Η A, C είναι παραγωγίσιμη στο με Άρα η e C στο Α δέχεται εφαπτομένη με κλίση =e () 8
Το σημείο B, C Η είναι παραγωγίσιμη στο (), με Άρα η C στο Β δέχεται εφαπτομένη με κλίση e e e () (3) (),(3) e ii) Έστω e dη απόσταση των σημείων Α, Β άρα d Όμως η είναι κυρτή στο και μάλιστα η C βρίσκεται πάνω από οποιαδήποτε εφαπτομένη της εκτός από το σημείο επαφής. Αυτό ισχύει και για την εφαπτομένη της στο M,3 που ήταν η ευθεία με εξίσωση y 3 (όπως βρέθηκε στο Δ) άρα ισχύει άρα έχω 3 3 d Δ d e Ονομάζω g e d g. και ψάχνω το πρόσημο της Παρατηρώ ότι g e και g e e e e Οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο Για,με: g γν.αύξ. g g g γν.αύξ. g g 9
Άρα d g για στο, d g για φθίνουσα στο, d g d - + d d συνεχής στο, άρα η d είναι γνησίως αύξουσα, d συνεχής στο, άρα η d είναι γνησίως, Ελάχιστο για το d e 3 3