ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ Σώμ τλί θύγρμμη πιβρδνόμνη ίνηση μ πιβράδνση k, όπ k θτιή στθρά ι τ μέτρ της τχύτητς. Αν γι = ίνι = ι =,ν πλγιστύν: ) η τχύτητ ως σνάρτηση τ χρόν. β) η τχύτητ ως σνάρτηση τ διστήμτς π δινύι τ σώμ γ) τ διάστημ π δινύι τ σώμ ως σνάρτηση τ χρόν δ) λιός χρόνς λ π πιτίτι γι ν στμτήσι τ σώμ ι τ λιό διάστημ λ π θ έχι δινύσι. (Τμήμ Μηχνλόγων Μηχνιών, Τμήμ Πλιτιών Μηχνιών, Κτττήρις ξτάσις πό Α.Ε.Ι. γι τ ξάμην Πλιτιών Μηχνιών Ε.Μ.Π.) ) k k k k k k () d β) k k d d d / / / k k / / k () / k / d k d k γ) () d d k k k () k

δ) Ο λιός χρόνς ι τ λιό διάστημ μέχρι ν στμτήσι τ σώμ πλγίζντι ύλ μ μηδνισμό των σνρτήσων της τχύτητς () ι (): () k λ λ k () / k λ / λ / k

ΘΕΜΑ Η πιτάχνση νός ινητύ ίνι =. Αν γι ίνι m / sec ι ν πλγιστύν : ) η τχύτητ σνρτήσι τ χρόν β) τ διάστημ σνρτήσι τ χρόν γ) τ διάστημ σνρτήσι της τχύτητς. (Κτττήρις ξτάσις πό Α.Τ.Ε.Ι. γι Ηλτρλόγων Μηχνιών ι πό Α.Τ.Ε.Ι. γι Τπγράφων Μηχνιών). ) n n 6e n6 n e 6 6e 6 () 8 e β) d 8 e d d (8 e () 8 e ) 8 e d γ) d d d d n ( ) 8n 8 n 8n6 n 8 () n 6

ΘΕΜΑ Σώμ ινίτι σ ριζόντι θί μ πιτάχνση π δίντι πό τη σχέση 6 m / sec. Αν γι sec ισχύι 7m / sec ι 7m, ν πλγιστύν η τχύτητ, η πιτάχνση τ σώμτς ι τ διάστημ π διήνσ σνρτήσι τ χρόν. (Τμήμ Πλιτιών Μηχνιών Ε.Μ.Π.) d 6 6 d d 7 7 / d 7 6 / 9 7 / 7 / 7 7 9 / 9 9 / 9 / 6 9 / ( ) 7 9 / 7 9 / () / Αλλά: d / d d () / 7 7 / d / 7 / 7 / / / () ( ) Κι πμένως: () d ( ) ι ( ) 6( )

ΘΕΜΑ Σωμτίδι ινίτι θύγρμμ ι φίσττι πιβράδνση =-k n, όπ η τχύτητά τ. Δίξτ ότι ν n< τ σωμτίδι θ ηρμήσι σ πόστση n n πό τ σημί ίνησης σ χρόν, όπ η ρχιή τ τχύτητ. k( - n) k(- n) (Τμήμ Hλτρλόγων Μηχνιών Ε.Μ.Π., Τμήμ Φσιής Ε.Κ.Π.Α.) Είνι: d d n n k n n n d d n k n- n- k -n o k n k( - n) d Επίσης: k n n k n n n k(- n) n n k

ΘΕΜΑ 5 Σωμτίδι ρχίζι ν ινίτι θύγρμμ ι μλά. Ότν δινύσι πόστση L ρχίζι ν ινίτι μ στθρή πιβράδνση μέχρι ν στμτήσι. Πόση πρέπι ν ίνι η ρχιή τχύτητ τ σωμτιδί ώστ λιός χρόνς της ίνησής τ ν ίνι λάχιστς; (Τμήμ Φσιής Αθήνς) Ο χρόνς π τ σωμτίδι ινίτι μ στθρή τχύτητ γι πόστση L ίνι: L d L d L () Στη σνέχι πό τν ρισμό της πιβράδνσης θ πλγιστί χρόνς π πιτίτι μέχρι ν στμτήσι τ σωμτίδι, σνρτήσι της ρχιής τ τχύτητς. L L Τέλς γι τν πλγισμό της ρχιής τχύτητς u ώστ λιός χρόνς ίνησης ν ίνι λάχιστς βρίσμ τ σημί λχίστ της πρπάνω σνάρτησης. Δηλδή: L L () L L Κι πιδή σύμφων μ τ ριτήρι της δύτρης πργώγ: L d L ι d L L L / γι L χρόνς ίνι λάχιστς.

ΘΕΜΑ 6 Τ διάνσμ θέσης νός ινητύ δίντι πό τη σχέση: r ˆ b ŷ, όπ ι b στθρές. Ν πλγιστύν : ) η ξίσωση τρχιάς β) η τχύτητ ι η πιτάχνση σνρτήσι τ χρόν, θώς ι τ μέτρ τς γ) η χρνιή ξάρτηση της γωνίς φ μτξύ των δινσμάτων ι. (Κτττήρις ξτάσις πό Α.Ε.Ι. γι τ ι 5 ξάμην Πλιτιών Μηχνιών Ε.Μ.Π., Τμήμ Πλιτιών Μηχνιών Ε.Μ.Π.) ) Η ξίσωση τρχιάς πλγίζτι μ πλιφή τ χρόν πό τις σνιστώσς της θέσης. Δηλδή: ι b b (), η πί πριστάνι πρβλή. β) Η τχύτητ ίνι: dr ˆ b ŷ μ μέτρ 9b νώ η πιτάχνση ίνι: 6bŷ μ μέτρ 6b 6b γ) Η γωνί μτξύ των δινσμάτων ι πλγίζτι μέσω τ σωτριύ τς γινμέν. Από τ γωμτριό ρισμό τ σωτριύ τς γινμέν ισχύι: cosφ cosφ () 6b 9b Αλλά πό τν λγβριό ρισμό τ σωτριύ γινμέν ίνι: (ˆ b ŷ) ( 6bŷ) ( b ) ( 6b) 8b

Άρ η () δίνι : cos φ 6b 8b 9b b 9b φ() rc cos b 9b

ΘΕΜΑ 7 Έν σώμ ινίτι σ τρχιά μ στθρή τχύτητ m / sec γι άθ χρνιή στιγμή. Ν βρθί τ μέτρ ι η τύθνση της τχύτητς ι της πιτάχνσης γι = / m. (Κτττήρις ξτάσις πό Α.Τ.Ε.Ι. γι Ηλτρλόγων Μηχνιών ι πό Α.Τ.Ε.Ι. γι Χημιών Μηχνιών) Η τχύτητ δινσμτιά δίντι πό τη σχέση : ˆ ŷ όπ Άρ: d d d m / s ι ( ) 6 m / sec ˆ 6ŷ ι τ μέτρ της ίνι: 9 6 Επμένως γι = / m ίνι : 9 6 9 5 5 m / sec Κι η τύθνση της τχύτητς τη στιγμή τή σχημτίζι γωνί μ τν άξν : nθ 6 θ n ( / ) 5 Επίσης η πιτάχνση ίνι : ˆ ŷ όπ (φύ στθ.) ι d d 6 6 6 6 8 m / sec Άρ: 8ŷ μ μέτρ 8m / sec ι τύθνση πράλληλη πάντ πρς τν άξν.

ΘΕΜΑ 8 Οι σνιστώσς της τχύτητς σωμτιδί π ινίτι στ πίπδ ίνι cos ι sin. Αν η θέση τ σωμτιδί τη χρνιή στιγμή = ίνι r ŷ ν πλγιστί η πιτάχνση τ τη χρνιή στιγμή = π/ sec ι η ξίσωση τρχιάς. (Κτττήρις ξτάσις πό Α.Τ.Ε.Ι. γι Χημιό) Είνι: sin ι cos Άρ: sin ˆ cos ŷ Γι = π/ sec: sin π ˆ π cos ŷ ˆ ŷ Μ μέτρ : 9 8 5 5 m / sec Επίσης: d d d cos sin () d d d sin cos ( cos ) 7 cos () Η ξίσωση τρχιάς πλγίζτι μ πλιφή τ χρόν πό τις σχέσις () ι (): () sin sin 9

() cos 7 cos 7 6 Πρσθέτντς τις πρπάνω τά μέλη πρύπτι η ξίσωση τρχιάς: 7, η πί πριστάνι έλλιψη μ έντρ K(, 7). 9 6

ΘΕΜΑ 9 Σωμτίδι ινίτι στ πίπδ, έτσι ώστ ι σνττγμένς τ ν δίνντι πό τις σχέσις : k ι k n, όπ k ι n γνωστές στθρές. Ν πλγιστύν: ) Η ξίσωση τρχιάς. β) Η τχύτητ ι η πιτάχνση ως σνρτήσις τ χρόν. γ) Ο χρόνς τ π πιτίτι γι ν γίνι η γωνί μτξύ τχύτητς ι πιτάχνσης ίση μ π/. (Τμήμ Φσιής Αθήνς) ) k k n (πρβλή) k k k Κι πμένως : k n k n dr d d β) ˆ ŷ kˆ k nŷ μ μέτρ k k n k ( n) ˆ knŷ knŷ μ μέτρ kn γ) Από τ σωτριό γινόμν των δινσμάτων ι πρύπτι: cosφ Αλλά kˆ k nŷ knŷ k n n Άρ: k n n k n n cos φ n n cos φ Γι = τ ίνι φ = π/ ι η πρπάνω γίντι:

π nτ nτ cos nτ nτ nτ nτ n τ nτ n τ nτ nτ nτ nτ τ n

ΘΕΜΑ Οι ξισώσις ίνησης νός σωμτιδί δίνντι πό τις σχέσις: ι ) Ν γρφί η ξίσωση τρχιάς τ ι ν βρθί η τχύτητ ι η πιτάχνσή τ τη χρνιή στιγμή sec. β) Ν πλγιστύν η πιτρόχι ι η ντρμόλς πιτάχνση την ίδι χρνιή στιγμή. (Κτττήρις ξτάσις πό Α.Τ.Ε.Ι. γι Ηλτρλόγων Μηχνιών, Τμήμ Φσιής Ε.Κ.Π.Α.). ) Μ πλιφή τ χρόν πό τις δθίσς σνρτήσις () ι () πρύπτι η ξίσωση τρχιάς, η πί πριστάνι πρβλή. Η τχύτητ ίνι: dr d d ˆ ŷ ˆ ( )ŷ μ μέτρ : ( ) Γι = sec : ˆ ŷ ι 6 576 59, m / sec Η πιτάχνση ίνι : ˆ ( Γι sec : ˆ ŷ ι )ŷ μ μέτρ 96 ( ) 9, m / sec β) Η πιτρόχι πιτάχνση ίνι: d 8 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) Γι sec : 8 6 6 59,8 m / sec

Η ντρμόλς πιτάχνση τη χρνιή στιγμή σχέση: sec βρίστι πό τη 9 9 98, 9 98,,56,6 m / sec

ΘΕΜΑ Οι ξισώσις ίνησης νός σώμτς ίνι: ι. ) Ν βρθί η τχύτητ ι η πιτάχνσή τ σνρτήσι τ χρόν. β) Γι πις τιμές τ χρόν η τχύτητ μηδνίζτι; γ) Γι πις τιμές τ χρόν η πιτάχνση ίνι πράλληλη στν άξν ; δ) Ν βρθύν η πιτρόχι ι ντρμόλς πιτάχνση τη χρνιή στιγμή =. (Κτττήρις ξτάσις πό Α.Τ.Ε.Ι. γι Χημιών Μηχνιών) dr d d ) ˆ ŷ (6 6)ˆ ( ) ŷ ( 6)ˆ ŷ β) Η τχύτητ μηδνίζτι ότν ίνι ι. Δηλδή: 6 6 6 ή sec sec Άρ γι sec η τχύτητ ίνι μηδέν. γ) Η πιτάχνση ίνι πράλληλη στν άξν ότν: 6 6,5sec δ) Τ μέτρ της τχύτητς ίνι: 6 ( ) ( ) ( ) (6 ) ( ) 6 Άρ η πιτρόχι πιτάχνση ίνι: 6 ( ) 7 6 ( )(6 ) ( ) ( ) 6 6

Γι : m / sec Κι πιδή τ μέτρ της πιτάχνσης ίνι : 6 Γι : Επμένως : m / sec 6 6 m / sec

ΘΕΜΑ Τ διάνσμ θέσης ινύμν σωμτιδί δίντι πό τη σχέση: r cosωˆ sin ωŷ, όπ ι ω θτιές στθρές. ) Ν διχθί ότι τ διάνσμ της τχύτητς ίνι πάντ άθτ στ διάνσμ θέσης. β) Ν διχθί ότι τ διάνσμ της πιτάχνσης τθύντι πάνττ πρς την ρχή των σνττγμένων ι ίνι νάλγ τ δινύσμτς θέσης. (Κτττήρις ξτάσις πό Α.Τ.Ε.Ι. γι Χημιών Μηχνιών) ) Η τχύτητ τ σωμτιδί ίνι: dr ωsin ωˆ ωcosωŷ Από τν λγβριό ρισμό τ σωτριύ γινμέν των δινσμάτων r ι πρύπτι: r cosωˆ sin ωŷ ωsin ωˆ ωcosωŷ ωcosω sin ω ωsin ω cosω Σνπώς σύμφων μ τ ριτήρι θτότητς τ δινύσμτ r ι ίνι πάντ άθτ μτξύ τς. β) Η πιτάχνση τ σωμτιδί ίνι: ω cos ωˆ ω sin ωŷ ω ω r cosωˆ sin ωŷ Άρ η πιτάχνση ίνι νάλγη τ δινύσμτς θέσης ι ντίθτης φράς, δηλδή τθύντι πάντ πρς την ρχή των σνττγμένων.

ΘΕΜΑ Σωμτίδι ινίτι πιτχνόμν σ λιή τρχιά τίνς R μ στθρή πιτρόχι πιτάχνση. ) Ν βρθί χρόνς τ π πιτίτι ώστ η γωνί μτξύ των δινσμάτων της τχύτητς ι της πιτάχνσης ν γίνι φ. β) Ν βρθί τ διάστημ s π δινύι τ σωμτίδι στ χρόν τό. (Τμήμ Φσιής Αθήνς) ) Από τ σωτριό γινόμν των δινσμάτων ι πρύπτι : cosφ () Κι πιδή ισχύι : (φύ // ι ) Άρ πό τις () ι (): () cosφ cosφ () Τ μέτρ της πιτάχνσης ίνι: R Η τχύτητ τ σωμτιδί τη χρνιή στιγμή τ, π η γωνί μτξύ των δινσμάτων ι γίντι φ πλγίζτι μέσω της πιτρόχις πιτάχνσης: τ τ Άρ: τ ι η () δίνι: R τ R cosφ τ R cos φ

τ R cos φ τ cos φ sin φ τ an R cos φ cos φ cos φ R φ R an φ R an φ τ τ () β) Επιδή η πιτρόχις πιτάχνση ίνι στθρή, η τχύτητ σνρτήσι τ χρόν δίντι πό τη σχέση: () =. Κι έτσι πό τν ρισμό της τχύτητς πρύπτι: () ds ds () s ds τ R an φ s s () τ R an φ

ΘΕΜΑ Η τρχιά (διμμένη γρμμή στ σχήμ) π διγράφι έν σημί M(,) της πριφέρις νός τρχύ τίνς R, τά την ύλισή τ σ ριζόντι πιφάνι στην τύθνση ˆ μ στθρή γωνιή τχύτητ μέτρ ω, πριγράφτι πό τις πρμτριές ξισώσις της λιδύς μπύλης: R(ω sin ω), R( cosω), όπ χρόνς. ) Βρίτ την τχύτητ ι την πιτάχνση τ σημί Μ, ως σνρτήσις τ χρόν. β) Ν δίξτ ότι ν τ Μ πτλί σημί πφής τ τρχύ, δηλδή Μ(kπR,) όπ k έρις, τότ τό θ βρίστι στιγμιί σ ηρμί τά τη διύθνση τ άξν. γ) Βρίτ την πιτρόχι ι την ντρμόλ πιτάχνση τ σημί M(,) ως σνρτήσις τ χρόν. Σ πις χρόνς τ μέτρ των σνιστωσών τών γίνντι ίσ; (Τμήμ Αγρνόμων ι Τπγράφων Μηχνιών Ε.Μ.Π.) O M r ω C R c dr d d ) Είνι: ˆ ŷ ωr( cos ω)ˆ ωr sin ωŷ ω R sin ωˆ ω R cosωŷ ω R(sin ωˆ cos ωŷ) β) Ο τρχός τλί σγχρόνως δύ ινήσις: μι πριστρφιή μ γωνιή τχύτητ ω ι πμένως άθ σημί της πριφέρις τλί λιή ίνηση μ γρμμιή τχύτητ πρ ωr ι μι μτφριή ίνηση τά την πί τ έντρ μάζς τ μττπίζτι μ γρμμιή τχύτητ c (δηλδή τλί σύνθτη ίνηση ή ύλιση). Σνπώς η γρμμιή τχύτητ άθ σημί τ τρχύ θ δίντι πό τη σχέση: c πρ ()

ω ds M dθ πρ. C c Αν σ χρόν τ σημί έχι πριστρφί τά τόξ ds στ πί ντιστιχί γωνί dθ τότ τά την ίδι πόστση ds θ έχι μττπιστί τ έντρ μάζς C πρς τ δξιά (Σχήμ ). Άρ ίνι: ds ds Rdθ c c ωr Σχήμ Σνπώς ν τ Μ πτλί σημί πφής τ τρχύ μ τ ριζόντι πίπδ (Σχήμ ) τότ η () δίνι: ωr ωr c πρ c πρ C c Άρ άθ σημί πφής Μ(kπR,) βρίστι στιγμιί σ ηρμί τά τη διύθνση τ άξν. πρ. M Σχήμ γ) Τ μέτρ της τχύτητς ίνι: ω R ( cos ω) ω R sin ω ωr cos ω cosω sin ω ωr ( cos ω) Άρ η πιτρόχις πιτάχνση ίνι: ωsin ω ω R sin ω ωr () ( cos ω) ( cos ω) Η τίν μπλότητς ίνι: ( ) ρ / ω R ( cos ω) ω R sin ω / ωr( cos ω)ω R cosω ω R sin ω ωr sin ω ω R ω R ( cos ω) / cosω ω R (cos ω sin ω)

ω R ω ( cos ω) R (cos ω ) / ρ R ( cos ω) cosω / Επμένως η ντρμόλς πιτάχνση ίνι: ρ ω R R ( cos ω) ( cos ω) cosω / ω R(cos ω ) ( cos ω) / ω R(cos ω ) () ( cos ω) Τ μέτρ των σνιστωσών ι της πιτάχνσης γίνντι ίσ ότν: π sin ω cosω ω,,π sec, ()() π sec, ω π sec ω

ΘΕΜΑ 5 Βλήμ τξύτι μ ρχιή τχύτητ π σχημτίζι γωνί φ μ τ ριζόντι πίπδ. Ν πλγιστί η τίν μπλότητς στ ψηλότρ σημί της τρχιάς. (Κτττήρις ξτάσις πό Α.Τ.Ε.Ι γι Τπγράφων Μηχνιών). O Στ ψηλότρ σημί της τρχιάς της πλάγις rˆ βλής π τλί τ βλήμ ίνι ι πμένως η τχύτητ ίνι πράλληλη στν φˆ άξν. g Η διύθνση της τχύτητς σμπίπτι μ την φπτμνιή διύθνση, νώ η άθτη σ τήν μ φρά πρς τ πάνω μ την τινιή δι- φ ύθνση τ πλιύ σστήμτς σνττγμένων, όπως φίντι στ σχήμ. Τ βλήμ ινίτι μ τη βρτιή πιτάχνση g ι στ ψηλότρ σημί της τρχιάς τή ίτι πάνω στην τινιή διύθνση ι τά σνέπι ίνι η ντρμόλς πιτάχνση. Δηλδή στ σημί τό ισχύι: g ρ () ρ ρ g Στ ψηλότρ σημί της τρχιάς η τχύτητ έχι μόν τη σνιστώσ ι πιδή: στθ. cosφ Άρ η () δίνι: ρ cos g φ

ΘΕΜΑ 6 Βλήμ τξύτι μ ρχιή τχύτητ π σχημτίζι γωνί φ μ τ ριζόντι πίπδ. Ν βρθί η τίν μπλότητς της τρχιάς τ σνρτήσι τ χρόν. Πι η τιμή τής στ ψηλότρ σημί της τρχιάς; (Τμήμ Φσιής Ε.Κ.Π.Α.) gsinθ A θ g θ gcosθ B h ma O φ Σ μι τχύσ χρνιή στιγμή τ βλήμ στη θέση Α έχι τχύτητ, η πί σχημτίζι γωνί θ μ την ριζόντι. Η ίνηση πργμτπιίτι πό την πίδρση της βρτιής πιτάχνσης g. Ανλύντς τή στη άθτη ι φπτμνιή σνιστώσ, ύλ πρύπτι ότι τ ρόλ της ντρμόλ πιτάχνσης πίζι η σνιστώσ gcosθ. Δηλδή : ρ g cosθ ρ Αλλά : cosθ= / πότ : / ( ) ρ () g g Χρησιμπιώντς τις σχέσις (-7), (-9) γι τις, στην πλάγι βλή πρύπτι: ( g g sin φ) ρ g cosφ Στ ψηλότρ σημί της τρχιάς Β ισχύι = πότ η () γίντι: / ρ g g ρ cos g φ

ΘΕΜΑ 7 Βλήμ τξύτι μ ρχιή τχύτητ = m/sec π σχημτίζι γωνί φ=5 μ τ ριζόντι πίπδ. Ν πλγιστί η τίν μπλότητς της τρχιάς στ σημί όπ η ντρμόλς ι η πιτρόχις πιτάχνση ίνι ίσς. (Τμήμ Χημίς Ε.Κ.Π.Α.) Σύμφων μ τ σχήμ της Άσησης 6 σ άθ σημί της τρχιάς, η πιτάχνση τ βλήμτς g νλύτι σ δ σνιστώσς : την ντρμόλ =gcosθ ι την πιτρόχι =gsinθ, όπ θ η γωνί π σχημτίζι η τχύτητ τ βλήμτς στ σημί τό μ την ριζόντι. Γι ν ίνι ι δ τές σνιστώσς ίσς πρέπι : gcosθ gsinθ cosθ sinθ θ 5 (φύ <θ<9 ) Επμένως τ σημί στ πί ζητίτι ν πλγιστί η τίν μπλότητς ίνι τό στ πί η τχύτητ σχημτίζι γωνί 5 μ τν άξν, δηλδή ίνι τ σημί Ο της βλής, όπ =m/sec. Άρ στ σημί τό η ντρμόλς πιτάχνση ίνι =gcos5 o ι ισχύι : ρ ρ ρ m gcos5 o /

ΘΕΜΑ 8 Νγσώστης π βρίστι στ σημί (, ) ντιλμβάντι λμβητή, π βρίστι στ σημί (, ) ν λί σ βήθι. Ο νγσώστης γνωρίζι ότι η τχύτητά τ στην άμμ της πρλίς ίνι, νώ η τχύτητά τ στη θάλσσ ίνι. Βρίτ ότι γι ν φτάσι νγσώστης τ σντμότρ δντό στν λμβητή πρέπι ν ισχύι η σχέση : sinφ / sinφ / Υπόδιξη : Εφράστ τ χρόν π θ άνι ν φτάσι νγσώστης ως σνάρτηση τ. (Τμήμ Φσιής Ε.Κ.Π.Α., Τμήμ Ηλτρλόγων Μηχνιών Ε.Μ.Π.) Έστω ότι νγσώστης μπίνι στη θάλσσ στ σημί Β(,). Επιδή στην άμμ ινίτι μ στθρή τχύτητ, χρόνς γι ν φτάσι πό τ AB ( ) σημί Α στ Β ίνι : AB () Ενώ χρόνς γι ν φτάσι πό τ Β στ Γ, φύ η τχύτητά τ στη θάλσσ ίνι στθρή ι ίση μ ίνι : ( ) B BΓ ()

όπ ι πστάσις ΑΒ ι ΒΓ πλγίζντι ύλ μέσω τ πθγόρι θωρήμτς. Άρ λιός χρόνς ίνησης τ νγσώστη ίνι : (),() ( ) ( ) AB B () () Επμένως γι ν ίνι χρόνς τός λάχιστς δντός θ πρέπι ν πρσδιριστί τ λάχιστ της πρπάνω σνάρτησης (). Δηλδή : d () ( )( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) Αλλά πό τ σχήμ ύλ πρύπτι ότι : sinφ ι ( ) sinφ ( ) Σνπώς η () δίνι ότι γι ν ίνι χρόνς ίνησης τ νγσώστη λάχιστς θ πρέπι ν ισχύι η σχέση : sinφ / sinφ /