ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δημήτρης Ντρίζος Μαθηματικός στο 8 ο ΓΕΛ Τρικάλων, πρώην Σχολικός Σύμβουλος Μάρτιος 9

ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ (Μάρτιος 9) Α Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η Να αποδείξετε ότι, αν ( ) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Μονάδες 7 Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση : R R που είναι συνεχής σ ένα σημείο είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (μονάδες ) Μονάδες 4 Α Να διατυπώσετε το θεώρημα που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής Μονάδες 4 Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες β) Αν μια συνάρτηση έχει τοπικά ελάχιστα, τότε το μικρότερο από αυτά είναι πάντοτε ολικό ελάχιστο της συνάρτησης γ) Κάθε συνεχής συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ έχει υποχρεωτικά θετική παράγωγο παντού στο εσωτερικό του Δ δ) Υπάρχουν συναρτήσεις που η παράγωγός τους μηδενίζεται σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους χωρίς να είναι σταθερές στο πεδίο ορισμού τους ε) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα [ α,β ] με ( α) ( β) >, τότε αποκλείεται να υπάρχει ( α,β ) τέτοιο, ώστε ( )= Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑ Β Έστω συνάρτηση ημ ισχύει lim = : R R η οποία είναι συνεχής στο σημείο = ( ) ( ) Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση ( ) Β Να αποδείξετε ότι ( )= g α = + +, R = 6 στη συνέχεια ότι ( ) Μονάδες 8 Β Να υπολογίσετε το α R ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της με τετμημένη = να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g Μονάδες 7 Στο παρακάτω ερώτημα θεωρήστε ότι α= 4 g( ) Β Να μελετήσετε τη συνάρτηση h( ) = ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα την κυρτότητα Στη συνέχεια να βρείτε όλες τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Έστω μια συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: g = + 5 για κάθε R, ( )( ) όπου g συνάρτηση με ( ) Γ Να αποδείξετε ότι ( ) g =, R = +, R Μονάδες 4 Γ Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης θεωρούμε δύο σημεία Α(,( ) ) Β(,( ) ) διαφορετικά μεταξύ τους, με, έτσι ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο, Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της ( ) στα σημεία Α Β είναι παράλληλες Μονάδες 4 r = g g αντιστρέφεται Γ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( )( ) ( ) να βρείτε την αντίστροφή της Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

Γ4 Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α, β για τους οποίους ισχύουν: α α + 5α+ = β β + 5β 9= Να αποδείξετε ότι α< < β στη συνέχεια ότι η εξίσωση ( g)( ) = αβ έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα( α,β ) Μονάδες ΘΕΜΑ Δ Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R, για την οποία ισχύουν: + + = για κάθε R ( ) ( ) ( ) = ( ) = + =, R Δ Να αποδείξετε ότι ( ) Μονάδες 5 Δ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει ακριβώς δύο ρίζες, οι οποίες είναι ετερόσημες Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής, η εφαπτομένη της οποίας στο σημείο αυτό έχει εξίσωση την y= + Μονάδες 7 Δ Ένα κινητό Μ(,y ) κινείται στην παραπάνω εφαπτομένη έτσι, ώστε η τετμημένη του να ελαττώνεται με ρυθμό cm/sc Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης του κινητού Μ από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή t που αυτό περνάει από το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της Δ4 Έστω συνάρτηση g: R R, για την οποία ισχύουν: ( ) ( ) ( ) g = + για κάθε R g( ) = α) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g β) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του λ R για την οποία ισχύει ( λ) g( ) για κάθε R Μονάδες 5 Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

Ενδεικτικές Λύσεις Διαγωνίσματος (9--9) ΘΕΜΑ Α A Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 5 Α α ψ β Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ 99 Α Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ 6 Α4 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ Β B Θεωρούμε τη συνάρτηση : w ημ w ημ, Επομένως w ημ Όμως η, limw Τότε lim lim είναι συνεχής στο lim Επίσης, οπότε : w ημ ημ lim lim lim w 6 ημ u ημu διότι lim lim Έτσι : '() 6 u u B Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της τετμημένη είναι : Έστω, y ' ( ) y 6 Μ g ένα σημείο της γραφικής παράστασης της εφάπτεται η ευθεία ε: y 6 στην γραφική παράσταση της στο σημείο της με g g Για να θα πρέπει: M, g ε g 6 α 6 α 4 g' 6 6 β τρόπος Η εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο σημείο, εξίσωση y g g' ( ) y g' g g' Για να εφάπτεται η ευθεία οι ε Μ g είναι η ευθεία ζ με ε: y 6 στην γραφική παράσταση της g θα πρέπει ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει:

g' 6 6 g g' α α 4 Επομένως για g στο σημείο της α 4 η ευθεία Μ, g y 6 εφάπτεται στην γραφική παράσταση της Β Μονοτονία ακρότατα h παραγωγίσιμη στο Είναι g 4 4, 4 ως ρητή με h' 4 h' ή Η συνάρτηση h'' h είναι δυο φορές 8 επειδή η h είναι συνεχής στα,,, η h είναι γνησίως αύξουσα στα, Επειδή h' στα,, η h είναι συνεχής στα,, η h είναι γνησίως φθίνουσα στα,, Στο η h παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ίσο με h Στο η h παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ίσο με h 6 Κυρτότητα 8 Είναι h'' οπότε η 8 h'' οπότε η h είναι κοίλη στο, Ασύμπτωτες Επειδή η h είναι συνεχής στο Είναι h στο κατακόρυφη ασύμπτωτη της,,, h είναι κυρτή στο, θα αναζητήσουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη μόνο lim lim 4 C h Παρατηρούμε ότι h 4 4 καθώς lim h lim ασύμπτωτη της C στο στο h, οπότε η ευθεία είναι 4 lim lim, οπότε h Άρα η ευθεία y είναι πλάγια

β τρόπος h 4 Είναι lim lim lim λ 4 Επίσης lim h lim lim β Άρα η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C h στο Ομοίως η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της στο ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ Γ g 5 g 5 Γ) Έχουμε : 5 για κάθε το παίρνουμε : C h Αν θέσουμε στην 5 β τρόπος : θέτουμε ω οπότε ω η γίνεται : ω ω ω 5ω ω ω ω ή Γ) Έστω y λ η ευθεία που ορίζουν τα Α, Β, με λ λ αφού Είναι, όπου Τότε λ λ, οπότε, οπότε Άρα, δηλαδή οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της στα σημεία A B είναι παράλληλες,, O, είναι β τρόπος : Αφού τα σημεία A, B συνευθειακά, τότε ΟΑ ΟΒ, οπότε dt OA, OB ή ισοδύναμα επειδή, παίρνουμε ότι οπότε συνεχίζουμε όπως προηγουμένως r g g 5 Γ) Άρα r για κάθε Επίσης r' στα, r' Επειδή, η συνάρτηση r είναι συνεχής στο, τότε η r θα είναι γνησίως αύξουσα στο Έτσι η συνάρτηση r αντιστρέφεται Αφού είναι συνεχής γνησίως αύξουσα στο το σύνολο τιμών της θα είναι

lim, lim, r Α r r που είναι το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της Έστω r y, τότε r y Αν Αν Επομένως y y r, τότε y y, τότε y y y y, y y, y ή r y, οπότε έχουμε: Γ4) Είναι,, α α 5α α α α 5 επειδή α α 5 (αφού έχει διακρίνουσα αρνητική θετικό συντελεστή στον δευτεροβάθμιο όρο) προκύπτει ότι β β 5β 9 β β β 5 9 α Επίσης είναι επειδή β β 5 (αφού έχει διακρίνουσα αρνητική θετικό συντελεστή στον δευτεροβάθμιο όρο) προκύπτει ότι Άρα α β β τρόπος β Αφού α α α α α α ga Όμοια β β β β β β gβ 5 5 6 6 5 9 5 6 6 g ' 6 5 για κάθε Άρα η g είναι γνησίως Όμως αύξουσα στο Επειδή g είναι gα g gβ επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο θα έχουμε ότι α β H εξίσωση g αβ είναι ισοδύναμη με την εξίσωση g αβ Έστω συνάρτηση w με w g αβ Τότε w α g α α β 6 α β αφού αβ Επίσης wβ gβ αβ 6αβ αφού αβ Επειδή η w είναι συνεχής στο αβ, ως πολυωνυμική wαwβ, τότε από το θεώρημα του Bolzano, η εξίσωση w έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο αβ, Ακόμη επειδή w g αβ 5 αβ θα είναι w' 6 5 αβ που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα Δ αβ 4 (αφού αβ ) θετικό συντελεστή στον δευτεροβάθμιο όρο Οπότε w' για κάθε Έτσι η η w είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε η ρίζα που βρήκαμε προηγουμένως θα είναι μοναδική

ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ Δ Δ Για κάθε είναι ' '' c, οπότε ' ' Για παίρνουμε ότι : ' c c c Έτσι για κάθε έχουμε c Για Έτσι για κάθε παίρνουμε ότι : c c ' ' έχουμε η Δ Παρατηρούμε ότι Επειδή είναι συνεχής στo, από ΘΕΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε, 4 τέτοιο Επειδή επίσης, οπότε η,, από ΘΕΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Έτσι η εξίσωση έχει δυο τουλάχιστον ρίζες Αν η εξίσωση, οπότε ' είναι συνεχής στo είχε μια τρίτη ρίζα, δηλαδή υπήρχε με, τότε από Θ Roll η εξίσωση θα είχε δυο τουλάχιστον ρίζες, που είναι άτοπο αφού ' β τρόπος έχει μοναδική ρίζα) φ με εφαρμογή του Θ Bolzano στα Θεωρούμε συνάρτηση διαστήματα, της εξίσωσης φ άρα της εξίσωσης, αποδεικνύουμε την ύπαρξη δυο τουλάχιστον ριζών Στην συνέχεια δουλεύοντας όπως παραπάνω αποδεικνύουμε ότι οι ρίζες είναι ακριβώς δυο

γ τρόπος ' ', η Είναι Είναι για κάθε επειδή η είναι συνεχής στo είναι γνησίως αύξουσα στo, Αφού η είναι συνεχής γνησίως αύξουσα στο Δ,, θα είναι Δ lim,, διότι lim lim Είναι ' η είναι γνησίως φθίνουσα φθίνουσα στο επειδή η, Αφού η είναι συνεχής στo, είναι συνεχής γνησίως Δ,, θα είναι lim,, lim lim lim DLH Δ διότι Επειδή το Δ περιέχει το, η εξίσωση θα έχει ρίζα επειδή η Επίσης είναι γνησίως μονότονη στο αφού Επειδή το επειδή η Δ περιέχει το, η εξίσωση Δ είναι γνησίως μονότονη στο Μάλιστα επειδή είναι φθίνουσα στο Επομένως η εξίσωση δ τρόπος H εξίσωση στο Δ η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική στο θα έχει ρίζα στο Δ Δ η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική στο Δ αφού η Δ, θα είναι θα έχει ακριβώς δυο ρίζες είναι ισοδύναμη με την εξίσωση Δ είναι γνησίως Θεωρούμε συνάρτηση w με w, οπότε w Είναι w' επειδή η w είναι συνεχής στo γνησίως φθίνουσα στo, ' Άρα, η w είναι

Αφού η w είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα στο Δ, lim, Επειδή το περιέχει το, η εξίσωση, w Δ w w διότι lim lim επειδή η w Επίσης w Δ ρ είναι γνησίως μονότονη στο αφού Είναι w' επειδή η w γνησίως αύξουσα στo Αφού η w,, Δ, θα είναι w w θα έχει ρίζα ρ στο Δ η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική στο είναι συνεχής στo Δ, θα είναι, η w Δ είναι είναι συνεχής γνησίως αύξουσα στο w Δ w, lim w, διότι lim w lim, αφού lim lim DLH περιέχει το, η εξίσωση w θα έχει ρίζα στο w Δ Επειδή το επειδή η w Επίσης είναι γνησίως μονότονη στο ρ αφού Επομένως η εξίσωση Ακόμη Δ ρ η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική w έχει ακριβώς δυο ρίζες ρ ρ '' για κάθε '' επειδή η είναι συνεχής στo, η, '' επειδή η είναι συνεχής στo, η, αλλάζει πρόσημο η '' ορίζεται εφαπτομένη της, K,,συμπεραίνουμε πως το σημείο αυτό θα είναι σημείο Είναι είναι κυρτή στo Είναι είναι κοίλη στo Επειδή εκατέρωθεν του C στο καμπής της K ή C Η εξίσωση της εφαπτομένης της είναι : Δ C στο σημείο της με τετμημένη y ' ( ) y y

Μ, y Δ) Αφού το σημείο Μ,, θα είναι ανήκει στην ευθεία με εξίσωση y, θα είναι Έτσι η απόστασή του d d 4 4, Ο, από την αρχή των αξόνων Αφού η τετμημένη του σημείου αυτού ελαττώνεται με ρυθμό cm / sc, συμπεραίνουμε ότι ' t cm / sc καθώς ότι ' t t d' t t t μεταβολής της απόστασης αυτής είναι : Τη χρονική στιγμή δηλαδή όταν t, θα έχουμε : tt d t t 4t 4 t d t t 4 t 4 Ο ρυθμός 4 4 που το σημείο Μ διέρχεται από το σημείο καμπής της ' 6 ' 4 4 C C cm / sc Δ4) α) Είναι g' για κάθε Επειδή η είναι κυρτή στo, η ευθεία με εξίσωση εφαπτομένη της στο K,, θα έχουμε: για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο στο Άρα κάθε, Επειδή η είναι κοίλη στo, η ευθεία με εξίσωση εφαπτομένη της στο K,, θα έχουμε: για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο στο Άρα κάθε, Αφού η g C, y, είναι g' για y, είναι g' για είναι συνεχής στο, συμπεραίνουμε πως η έχει στο ολικό ελάχιστο ίσο με g β) Από το α ερώτημα έχουμε ότι Για να ισχύει λ g για κάθε αρκεί να ισχύει λ λ λ λ λ λ Επομένως η μεγαλύτερη τιμή του λ g g g για κάθε είναι η λ, δηλαδή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ Σεραφείμ Σαμορέλης Μαθηματικός στο 8 ο ΓΕΛ Tρικάλων g