Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 9//6 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται σε ένα σύνολο Α;; Απάντηση: Μια συνάρτηση f : A R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Î A ισχύει η συνεπαγωγή: «Aν ¹, τότε f ¹ f» b A. Αν c >, τότε ποιο εμβαδόν εκφράζει το ò cd ; a Απάντηση: Τοò b cd εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με βάση β α και ύψος c. a Α. Αν οι συναρτήσεις f, συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και η g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( f g = f g Απόδειξη: Για, ισχύει : Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε :
Δηλαδή: f g = f ( g ( Α4. Σωστό/Λάθος α Η εικόνα f ( D ενός διαστήματος D μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Σωστό β Αν η f είναι συνεχής στο [ a, b ] με f ( a < και υπάρχει ( a, b f ( =, τότε κατ ανάγκη f ( b >. Λάθος Î ώστε γ Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR. και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β], στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll. Σωστό δ Αν μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο A είναι συνεχής στο A και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του A, τότε η f είναι πάντα σταθερή σε όλο το σύνολο A. Λάθος ε Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ a, b ], τότε ισχύει: Σωστό b a òa ò b f( d f( d= ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με: f = ln Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισμού της. Β4. Να βρείτε τα όρια: lim f και lim f ΛΥΣΗ Β. Για το πεδίο ορισμού D f της f έχουμε: Επομένως D f = (, ì ü ï > ï ìï( ( > üï í ýûí ýû < < ï ï ïî ¹ ï î ¹ þ þ Β. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο f (, συναρτήσεων αφού οι επόμενες συναρτήσεις: D = ως πράξεις και σύνθεση συνεχών g = h = ln g F = ln g είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού της. Β. Έστω, Î D f = (, με f f f f =. Θα αποδείξουμε ότι =. Έχουμε: = Û ln = ln Û ln = ln Û Û = Û = Û = Û = Άρα η f αντιστέφεται. Για την αντίστροφή της έχουμε: Πρέπει: y y = f Û y = ln Û ln = Û ln = Û = Û ö Û = Û = Û = Û = Û Û =
ö < ö ö < ÎDf Û < < Û Û ö < < ö Οι τελευταίες σχέσεις είναι αληθείς για κάθε Î R. Επομένως: Η f f, = ÎR είναι συνεχής στο R ως πηλίκο και σύνθεση των επόμενων συνεχών συναρήσεων f = f = Β4. Έχουμε: ö ö lim f = lim ln lim(u u, lim = = = = u Επίσης: ö ö lim f = lim ln lim ( ln u u, lim = = = = u ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με: f ì (, αν ¹, ¹ kai ¹ ln ï = ík, an = ï î, αν = Γ. Να βρείτε το όριο f να είναι συνεχής στο {} g = f ln, > lim f ( καθώς και την τιμή του k ÎR, ώστε η συνάρτηση R. ö Γ. i Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς την μονοτονία της. 4
ii Να αποδείξετε ότι: και ³ ö ( ö, αν >, αν < < Γ. i Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς τα κοίλα της στο διάστημα (, και να βρείτε τα σημεία καμπής της. ii Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στα σημεία A(, g ( και (, ( B g αντίστοιχα και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: 4 ö 7 ö, για κάθε ö, Î και ³, για κάθε, ö Î ΛΥΣΗ Γ. Η συνάρτηση f γίνεται: Για το lim f έχουμε: f ( ì, αν > kai ¹ ln ï ( = í, an < ln ( k, an = ï î, αν = 5
lim f = lim =, ln é ù ê ú= = = ë û αφού lim lim lim ( ( f ln lim = lim =, é ù ê ú= = = ë û αφού lim lim lim ( Επομένως είναι lim f = lim f = και άρα lim f =. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο {, } f είναι συνεχής στο και lim ( ln και lim ln ( =. = R ώς πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Επίσης η =, αφού lim f f όλο το R πρέπει να είναι συνεχής και στο =. Έχουμε, σύμφωνα με τον κανόνα του d L Hospital: = =. Τέλος για να είναι η f συνεχής σε ( ( é ù lim f = lim = lim = lim ln êë ( ú= û lim f = f = kû k =. Επομένως ö = f ln, > Γ. i Η συνάρτηση g γίνεται διαδοχικά: Για g g = ln= = έχουμε f = ( = ö ( ( ln ln ln ( ln ln = = = ln ln Επομένως θα μελετήσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης g =, >. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: Επειδή é ù ê ú ( g = =, > ë û <, για >, το πρόσημο της g εξαρτάται από το πρόσημο του τριωνύμου 6
Ο πίνακας προσήμου της g ( είναι ο επόμενος: g ( g( Επομένως η συνάρτηση g είναι: Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Γνησίως αύξουσα στο διάστημα ù και ú û é ö, ê ë ii Σύμφωνα με τον πίνακα προσήμου της g ( του ερωτήματος (i η συνάρτηση g έχει ελάχιστο (ολικό στο σημείο Επομένως για κάθε > έχουμε: Άρα: =, το g = ( ö ( ³ Û ³ Û g g Για > Û > έχουμε: Για < kai > Û < < έχουμε: ³ ö ( ( ( ( Γ. i Η g ( είναι παραγωγίσιμη για κάθε > (ή αλλιώς η g( είναι δύο φορές παραγωγίσιμη για κάθε > ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: ( ( ( g =4 =4 = 4 4, >. 7
Επειδή 4 < gia >, το πρόσημο της ( ( 4. Ο πίνακας του προσήμου της g ( είναι ο επόμενος: g εξαρτάται από το πρόσημο του g ( g( Επομένως η συνάρτηση g : Είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα, Είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω στο διάστημα ù ú û é ù, ê ú ë û é ö Είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα, ê ë öö Τα σημεία καμπής της είναι το και το A, g ή το öö και το B, g ή το ö, B ö, A ii Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο A(, g ( είναι: y g = g Û y = 6 Û y = 6 4 é ö Επειδή η g είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα, ê θα είναι: ë, για κάθε 6 4 7 ( 7 y³ g Û ³ Û Û 4 ö Î,. 8
Επίσης, η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο B(, g ( είναι: y g = g Û y = Επειδή η g είναι κυρτή (στέφει τα κοίλα άνω στο διάστημα ö ö,, Ì θα είναι: y g Û Û ³ Û Û ³, για κάθε <, αφού <. ΘΕΜΑ 4 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : A R, A = (, με σύνολο τιμών f τέτοια, ώστε: f( f ( f( = Δ. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f της f. A = R Για τα ερωτήματα Δ και Δ δίνεται ότι: f ( =, Î R Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα. Στη συνέχεια, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα y y, και την ευθεία =. Δ. Για κάθε Î R θεωρούμε τα σημεία A(,f (, Bf ( (, των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f αντίστοιχα. α Να αποδείξετε ότι, για κάθε Î R το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f στα σημεία A και B αντίστοιχα, είναι ίσο με. β Να βρείτε για ποια τιμή του Î R η απόσταση των σημείων Α, Β γίνεται ελάχιστη, και να βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους. 9
ΛΥΣΗ Δ. Αφού η f( είναι παραγωγίσιμη στο (,, το ο μέλος της δοθείσας σχέσης είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, όπως προφανώς παραγωγίσιμη είναι η συνάρτηση του ου μέλους. Παραγωγίζοντας λοιπόν τα μέλη της δοθείσας σχέσης έχουμε διαδοχικά (όχι ισοδύναμα: f ( f f = f f f f f f f f [ ] [ ] = f f f f f f f f f [ ] = f f f f f f f [ ] = Û ( = f f = >, Î(, Þ HfnaignhswV ί ί aousasto ύ (, άrakai" " kaiάraantistryimh έ f Για την εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης θέτουμε: f = yû = f ( y με Î A= (, και yî f( A =R. Άρα, θα έχουμε από την δοθείσα σχέση: f (, = ÎR. y ( y y f ( y, y = ÎR ή Δ. Η συνάρτηση f (, παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( = ÎR είναι παραγωγίσιμη στο R (ως πράξεις f ( (, = = ÎR Η συνάρτηση f είναι επίσης παραγωγίσιμη R (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: δηλαδή ( κοίλα άνω στο R. f ( (, f >, ÎR που σημαίνει ότι η = = ÎR, f είνα κυρτή στο R (στρέφει τα Η συνάρτηση f τέμνει τον άξονα όταν f = Þ ( = δηλαδή στο σημείο A (,. Αν θέσουμε g f, = ÎR τότε η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Α είναι : y = g ( Û y =.( g ( = ( f ( = Μπορεί να αποδειχθεί και χωρίς την παραγωγισιμότητα της f με ιδιότητες της ισότητας.
Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: E = ò f ( d= [ ( ] [ ] ò d= d d ò ò ò [ ] = 4 tm.. (χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η f είναι κυρτή δηλαδή ότι f ³, ÎR. Δ. i Έχουμε: Άρα : f = f f, (, Î και f (, = ÎR f f ( f ( f = = [ f( f ] f ( f [ f ] = ( = ii Η απόσταση των σημείων Α και Β είναι : (, AB = f Î R, AB = f Î R (, AB = f Î R (Χρησιμοποιήσαμε f f ³ >, ÎR Þ >. Αν θέσουμε : = = ÎR θα έχουμε ότι η h είναι h ( f [ ( ], παραγωγίσμη (ως πράξεις παραγωγίσμων με h [ ( ], = ÎR. Έχουμε: h = Û = μοναδικό, διότι η συνάρτηση j = (, Î R είναι συνάρτηση αφού η j = ( > για κάθε Î R και άρα γνησίως αύξουσα στο R. Τώρα έχουμε: < Þ j < j( Þ j < Þ ( < Þ [ ( ] < Þ h h ίnai gnhsίwv φθίνουσα sto (,] > Þ j > j( Þ j > Þ ( > Þ [ ( ] > Þ h h ίnai gnhsίwv αύξουσα sto [, Αυτό το συμπέρασμα ισχύει και γενικότερα αφού : f( f =, Î D f και παραγωγίζοντας τα μέλη της έχουμε f ( f [ f ] =. Επίσης τα σημεία συμμετρικά ως προς την y =. A f (, και B f (, είναι
και άρα η συνάρτηση h (μπορεί να φανεί πιο καθαρά από τον πίνακα προσήμου της h έχει ελάχιστο στο =, το h( = ( f ( =, δηλαδή ( AB min =. Επιμέλεια λύσεων Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών