ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 13 Ιανουαρίου 18 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 114. Α. (α) Ψευδής (β) Για τις συναρτήσεις f( ) =, g( ) f g = + = = για κάθε όμως καμία από τις συναρτήσεις δεν είναι μηδενική. = + με Af = Ag = ισχύει Σημείωση: Το παραπάνω αποτελεί ένα αντιπαράδειγμα που τεκμηριώνει το ψευδές της πρότασης και προφανώς δεν είναι το μοναδικό. Α3. 1. (α) Εξήγηση: 1 Η f ( ) = e +, έχει αντίστροφη την f = ln +, > διότι: y> f = y e + = y e = y = ln y = ln y +. (γ) Εξήγηση: f = 3 = e = e ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 f = e = e ln 3 = 3 ln 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 1
3. (β) Εξήγηση Από τα δεδομένα της εκφώνησης η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών. Άρα για οποιονδήποτε αριθμό ανάμεσα στα f ( 1 ),f ( 1) στην προκειμένη περίπτωση τον αριθμό π υπάρχει ένα τουλάχιστον ( 1,1) ώστε f( ) = π Α4. 1.ΣΩΣΤΟ.ΛΑΘΟΣ 3.ΛΑΘΟΣ 4.ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ Β Β1. Εφόσον η f συνεχής στο θα είναι συνεχής και στο = 3 δηλαδή + 1 3 = lim f f 3 ( 3)( + 4) lim f = lim = lim = lim + 4 = 7 3 3 3 3 3 3 f ( 3) = k k + 8 Επομένως limf = f 3 k k + 8 = 7 k k + 1 = k 1 = k = 1 3 Άρα Για 3 Για 3 κάθε έχουμε + 1, 3 3 f( ) = 7, = 3 + 1 ( 3)( + 4) f = = = + 4 3 3 = ισχύει: f( 3) = 7 και εφόσον η f συνεχής θα έχουμε f = + 4 για ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 1
Β. Το πεδίο ορισμού της h f αποτελείται από εκείνα τα Af για τα οποία f A h Δηλαδή: και + 4 1 4 3 Οπότε Af h= [ 4, 3] και ( h f)( ) = h( f( ) ) = ( + 4) + ( + 4) 17 19 Άρα g( ) = ( h f)( ) = ( + 4) 17 + ( + 4) 19 με πεδίο ορισμού Α = [ 4, 3] Β3. (α) Για κάθε 1, A με 1 < έχουμε 17 17 < + 4< + 4 + 4 < + 4 1 1 1 1 19 19 1 < 1+ 4< + 4 ( 1+ 4) < ( + 4 ) Με πρόσθεση των ( 1 ) και ( ) προκύπτει: g( ) g( ) αύξουσα στο A < επομένως η g γνησίως 1 Η g συνεχής ως πολυωνυμική στο A = [ 4, 3] και γνησίως αύξουσα σε αυτό επομένως g( A) = g( 4 ),g( 3) = [,] διότι: και (β) Α-τρόπος 17 19 g 4 = 4+ 4 + 4+ 4 = 17 19 g 3 = 3+ 4 + 3+ 4 = 1+ 1= Η εξίσωση 18 g( ) 35 = είναι ισοδύναμη με g( ) Ο αριθμός 35 18 35 = 18 είναι θετικός και μικρότερος του άρα ανήκει στο σύνολο τιμών της g, επομένως θα υπάρχει διότι η g είναι γνησίως αύξουσα. 18 A ώστε g( ) =, το μοναδικό 35 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 1
Β4 Β-τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση φ( ) = 18 g( ) 35, [ 4, 3] η οποία είναι συνεχής στο [ 4, 3] Επίσης φ( 4) = 35 και φ( 3) = 18 g( 3) 35 = 18 35 = 36 35 = 1 δηλαδή φ( 4) φ( 3) < άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ( 4, 3) τέτοιο ώστε φ( ) = Για κάθε, [ 4, 3] g1 1 με 1 < < g < g 35 g < 35 g 1 1 1 18 g 35 < 18 g 35 φ < φ 1 1 Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα άρα το μοναδικό. = lim 4 4 ( + ) ( + ) + ( + ) ημf ημ 4 = lim g 4 4 ημ ( + 4) ( + ) ( + ) + ( + ) 17 19 lim 4 16 18 4 4 4 ( + ) ( + 4) ( + 4) + ( + 4) ημ 4 1 = lim = + 4 16 18 διότι: ( + ) ημ 4 ημu lim = lim = 1, + 4 u 4 u ( ) θέτοντας u = + 4 άρα u = lim u = lim + 4 = 4 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 1
Επίσης 4 και άρα ΘΕΜΑ Γ 16 18 + 4 + + 4 > 16 18 lim + 4 + + 4 = 4 Γ1. Από τη σχέση κοντά στο 4 1 lim 4 4 ( + ) + ( + ) 16 18 = + f f = e + e η οποία ισχύει για κάθε έχουμε: f f = e + e f f + 1 = e + e + 1 ( ) f 1 = e + 1 f 1 = e + 1 f 1 = e + 1 Θεωρούμε h( ) = f( ) 1 άρα η τελευταία ισότητα γίνεται h( ) h( ) e 1 e 1 h = e + 1 = = + = = αδύνατη επομένως h για κάθε και επειδή η h συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο h( ) = f( ) 1> άρα h > για κάθε οπότε h = e + 1 h = e + 1 f 1= e + 1 f = e + Γ. (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση φ( ) = e + 4, η οποία είναι γνησίως αύξουσα διότι για κάθε 1, με < έχουμε: 1 1 1 + < e < e φ < 1 < 41 < 4 φ( ) 1 Η φ συνεχής και γνησίως αύξουσα στο επομένως το σύνολο τιμών της είναι ( ) φ = lim φ, lim φ =, + + διότι: lim φ( ) lim ( e 4) = + = + = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 1
και lim φ( ) lim ( e 4) + = + = + + + = + + Ο αριθμός λ ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης φ οποιαδήποτε και αν είναι η τιμή του επομένως υπάρχει πάντα θα είναι μοναδικό διότι η φ είναι γνησίως αύξουσα. ώστε φ( ) = λ, το Επομένως η εξίσωση e + 4 = λ έχει μοναδική ρίζα στο για κάθε τιμή της παραμέτρου λ (β) Έστω A α,f ( α ) και αντίστοιχα. Η εξίσωση εφαπτομένης της f στο A είναι: Β β,g β σημεία των γραφικών παραστάσεων f,g ( ε ) :y f( α) = f ( α)( α) y= f ( α) αf ( α) + f( α) 1 Η εξίσωση εφαπτομένης της g στο B είναι: ( ε ) :y g( β) = g ( β)( β) y= g ( β) βg ( β) + g( β) Για να έχουν κοινή εφαπτομένη πρέπει οι ευθείες ( ε 1),ε να ταυτίζονται δηλαδή f ( α) = g ( β ) και αf ( α) + f( α) = βg ( β) + gβ. Από τη σχέση f ( α) g ( β ) = παίρνουμε α e f α g β e β β 1 α = = = + = + + + = + α α α f α f α β g β g β αe e β β β ( 1) α α α α α α α e α α e e αe + e = β αe + e = αe + e = α + 1 = 4 4 α α e 4α 4 e 4α 4 = + + = Η τελευταία εξίσωση έχει μοναδική ρίζα (Γ(α)) για κάθε α άρα α e υπάρχει και μοναδικό β ώστε β = επομένως οι συναρτήσεις f,g έχουν μόνο μια κοινή εφαπτομένη. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ 1
Γ3. + f f + > 4g 4 e + e + > 4 + 4 + e 4 e 4 φ φ + > + + > + > + ή 1 + > < > t t Γ4. y1 ( t) = e + άρα y 1 ( t) = e ( t) y ( t) = ( t) + άρα y ( t) = ( t) ( t) Ισχύει ( t) = 1cm / sec ΘΕΜΑ Δ t 1 y t = y t + 1 e t = t t + 1 t t ( ) ( ) Άρα στο σημείο A(,f ( )) για την fκαι στο σημείο ( ) e = 4 t + 1 e + 4 t = 1 φ t = φ t = φ t = = + δηλαδή στα σημεία A(,3 ) και B(, ) y t y t 1 1 Δ1. (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση f 1 h =, 1 ( 1) 1 f = h 1 + 1 άρα Από τη σχέση ( 1 ) έχουμε = ( ) + = B,g για την gισχύει lim h = με lim f lim h 1 1 lim f 1 1 1 και επειδή η συνάρτηση f 1 είναι πολυωνυμική συνάρτηση ορισμένη στο θα είναι συνεχής επομένως f( 1) = 1 (β) Η f παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική επομένως f1 = 1 f f 1 f 1 f ( 1) = lim = lim = 1 1 1 1 1 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 7 ΑΠΟ 1
f Δ. Ισχύει lim = 1 ( ) + + 1 v v 1 Έστω f( ) = α + α +... + α, α, v v v 1 v α + α +... + α α τότε lim + + 1 +,αv > Αν v> τότε v αv lim = ή +,αv < 1 Αν v< τότε αv lim v v v 1 v v v 1 v = lim + = άτοπο λόγω της ( ) + έχουμε τις εξής περιπτώσεις σε κάθε περίπτωση άτοπο λόγω της ( ) Άρα v= δηλαδή η f είναι πολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού οπότε f( ) = α + β + γ επομένως έχουμε α = 1 α f lim = lim = α + + 1 + + 1 Άρα f( ) = + β + γ από τις σχέσεις f( 1) = 1 και f ( 1) f( 1) = 1 1+ β+ γ = 1 β+ γ = Η f παραγωγίσιμη με f ( ) = + β οπότε: f ( 1) = + β= β= άρα και γ = οπότε f( ) = f = έχει ελάχιστο στη θέση συνάρτηση g έχει ελάχιστο στη θέση = α με α Δ3. Η συνάρτηση και λόγω της ( ) = έχουμε: = με τιμή > με τιμή g( α) = f = ενώ η Για να δείξουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f( ) = g( ) έχει,α μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) = f( ) g( ) h( ) = g( ) Η h συνεχής στο διάστημα[,α ] ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 8 ΑΠΟ 1
h( ) = g( ) < διότι εφόσον η g έχει ελάχιστο g( ) g( α) για κάθε δηλαδή και το ίσον ισχύει μόνο για = α άρα g( ) > g( ) < = = > εφόσον α h α α g α α g Δηλαδή h( ) h( α) < άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (,α) ώστε h( ) = f( ) = g( ) Δ4. Έχουμε ότι ( ( ) ) ( ) g g + h g g h lim h h ( ) ( ( )) = g ημg ( ) ( ) g g + h + g g g g g g h lim = g ημg h h ( ) ( ) ( ) ( ( )) g g + h g g g g h g g lim + = g ημ g h h h ( ) ( ) ( ) g g + h g g g g h g g + = h h ( ( ( ))) ( ( ( ))) 1 lim g ημ g A h Για το Για ( ( ) + ) ( ) g g h g g h το u = g + h άρα θέτουμε g( u) g g( ) lim u g ( ) u g( ) ( ( ) ) ( ( ) ) g g h g g h + ( ( )) = g g θέτουμε g u g g g u g g lim = lim = g g u g ( ) u g u g u g u = g h άρα ( ( )) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 9 ΑΠΟ 1
Άρα η σχέση ( A ) γίνεται ( ( ) ( )) 1 g g + g g = g ημg g g = g ημg ( ) ( ) Αν η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη τότε = = άτοπο διότι (,α) g = ημg g = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 1