Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () στο, ) και () στο ( (, ), τότε το ( ) είναι τοπικό μέγιστο της (7 μονάδες) Α Να διατυπώσετε το θεώρημα Blzan (4 μονάδες) Α Τι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ; (4 μονάδες) Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β] και ισχύει () για κάθε [, ], τότε η διατηρεί πρόσημο στο [α,β] Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο, τότε και η συνάρτηση είναι συνεχής στο Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y () όπου συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς στο σημείο την παράγωγο () 4 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο 5 Ισχύει ()g()d ()d g() d ( μονάδες) ΘΕΜΑ Β 4 Έστω η συνάρτηση () 4 Β Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία (μονάδες 5) Β Να βρεθεί το σύνολο τιμών της (μονάδες 6) Β Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 4 4 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση () και στη συνέχεια να βρείτε το πλήθος και το πρόσημο των ριζών για τις διάφορες τιμές του R (μονάδες 7) Β4 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της C, του ', του yy και της ευθείας (μονάδες 7)

ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι συναρτήσεις : R R, g :(, ) R, για τις οποίες ισχύουν: ()(e ) e (), για κάθε R ( )g() e ln, για κάθε g() η g είναι συνεχής () e g(), για κάθε (,) (, ) Γ Να αποδείξετε ότι, () e (μονάδες 4), Γ Να αποδείξετε ότι g() ln (μονάδες 6) Γ Έστω σημείο,g(), (,) Από το Μ φέρνουμε κατακόρυφη ευθεία που τέμνει τον ' στο σημείο Α και οριζόντια ευθεία που τέμνει τον yy στο Β Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του ορθογωνίου ΟΑΜΒ Γ4 Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε το σημείο της καμπύλης της (μονάδες 5) οποίο βρίσκεται πιο κοντά στο σημείο (,) (μονάδες 5) Γ5 Να αποδείξετε ότι για κάθε t R υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε e g t το (μονάδες 5) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R, με σύνολο τιμών το (, ), η οποία έχει συνεχή πρώτη παράγωγο Έστω F μία παράγουσα της για την οποία ισχύουν: () () F(), για κάθε R F() () d F( ) Δ Να αποδείξετε ότι ln () (), R (μονάδες 7) () e e Δ Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να λύσετε την εξίσωση: Δ Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C που είναι κάθετη στην ευθεία Δ4 Ένα υλικό σημείο M(t), y(t) κινείται στην ρυθμό, να βρεθεί σε ποιο σημείο της y (μονάδες 4) (μονάδες 4) C Αν η τεταγμένη y του Μ αυξάνεται με σταθερό C ρυθμός μεταβολής της τετμημένης είναι τριπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης y του M (μονάδες 4) Δ5 Να αποδείξετε ότι F() F(), για κάθε και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι 4 F()d F()d 4 (μονάδες 6)

Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ Α A Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα Α4 Σωστό, Σωστό Σωστό, 4 Λάθος, 5 Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Η ορίζεται όταν 4 () 4 ( 4) ( 4) ( 4) 4 ( 4)( 4) ( 4) 8 4 6 8 4 8 6 () 4 8 6, αδύνατη, αφού 9 Είναι (), για κάθε Οπότε (, ), (,), (, ) B (, ) => ( ) lim (), lim () Είναι 4 lim () lim lim 4 4 4 lim () lim lim ( ) 4 4 Άρα ( ), Ομοίως (, ) => => και (, ) ( ) lim (), lim () (, ) ( ) lim (), lim () (,) Τελικά (A) ( ) ( ) ( ) (, ) Β Η εξίσωση ( ) 4 4 δεν έχει ρίζες τους αριθμούς, και είναι 4 4 () 4 4 4 4 ( ) 4 4 Άρα οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες Αν, τότε ( ) και ( ) Επίσης και, άρα η εξίσωση () έχει μία ρίζα στο, άρα, και μία στο, για την οποία είναι, αφού ( ), () και για κάθε ( ) () Αν, τότε ( ) Επίσης, άρα η εξίσωση () έχει μία ρίζα στο

Αν, τότε ( ) και ( ) Επίσης και, άρα η εξίσωση (), έχει μία ρίζα στο και μία στο Είναι () και (), οπότε, αν, αν ( ) () και αν () ( ) () Β4 Είναι () και [,], άρα για κάθε [,], είναι () () () Άρα το εμβαδόν του χωρίου είναι: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ()d d d d d 4 4 4 4 ( )( ) Έστω, R τέτοια, ώστε για κάθε, να ισχύει: 4 4 A B 4 4 A A B B 4 4 (A B) A B ( )( ) A B 4 A A B 4 B Οπότε 4 4 d d ln ln ( )( ) ln ln ln ln ln 4ln τμ ΘΕΜΑ Γ Γ Για κάθε R ()(e ) e () ()(e ) e () ()(e ) () είναι Άρα υπάρχει c R τέτοια ώστε Για, Οπότε είναι ()(e ) c, R ()(e ) c (e ) c c c e ()(e ) (), e H παραγωγίσιμη στο R, άρα και συνεχής στο R Επομένως Τελικά () () lim lim lim e (e ) e, () e, Γ Για κάθε ( )g() e ln g(), είναι Επίσης για κάθε, είναι και g() g() e, οπότε: g() ln ( )g() e ln g() ln g() g() e 4 ()

Για κάθε, Έστω h() h() e e e e () e (e ), R h () e e e e h (), h (), h () Άρα η h παρουσιάζει μέγιστο για, το h() Οπότε για κάθε R ισχύει ενώ για κάθε ισχύει Άρα e e () (e ) h() h() e e e e, () g() ln, (,) (, ) H g συνεχής, άρα Τελικά g(), για κάθε και αφού η συνεχής στο R, είναι R => - g() limg() limln ln, Γ Για κάθε (,) είναι g() ln T ΟΑΜΒ έχει μήκος και πλάτος g() ln Άρα το ΟΑΜΒ έχει εμβαδόν ( ln ) ln Έστω () ln, (,) E () ln, (,) E () ln ln e E () ln ln e E () ln ln e Άρα το εμβαδόν έχει μέγιστη τιμή ln τμ e e e e Γ4 g (),για κάθε Άρα g (, ) => g - => η g αντιστρέφεται Έστω y g() y ln y e y Άρα g (y) e, y R Οπότε g () e, R Έστω σημείο, g () της C Είναι (K ) ( ) (e ) ( ) e g (,e ) H απόσταση του Λ από το (,) είναι: 5

Έστω d() ( ) e, R e d () ( ) e d () Έστω () ( ) e ( ) e () e, R () e, για κάθε R, R Για κάθε () () e d () Για κάθε () () e d () Άρα η απόσταση d() γίνεται ελάχιστη για Oπότε (,) Γ5 Έχω την εξίσωση Έστω F() e t t e e t, R H συνεχής στο R, άρα και η F συνεχής στο R, οπότε και στο [,] t F( ) e Για κάθε t R είναι t t e e e t () e t e t F( ) t F() e Για κάθε t R είναι t e e t () e t e t F() Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα Blzan, υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε F( ) e t ΘΕΜΑ Δ Δ Είναι () () F(), για κάθε R Η παραγωγίσιμη στο R και η F παραγωγίσιμη στο R ως παράγουσα της στο R () () F() () () () () () ln() () () () : () '() Άρα Οπότε υπάρχει c R, τέτοια ώστε ln() () c, R () Είναι F() () d F( ) F() d () d F( ) F()( ) d () d F( ) 6

F()( ) F ()( )d () ()( ) d F( ) F()( ) () F( ) F()( ) () d () () d F( ) F( )( ) F()( ) ( ) () F( ) F( ) F() F( ) F() Ισχύει Για, () () F(), R () () F() () () 9, Είναι () για κάθε R, άρα () Για, () = > ln() () c ln c c Οπότε ln () (), R () Δ Είναι Άρα Έστω () () () () () () () () '() R => - => η αντιστρέφεται y Είναι ln () () ln y y ln y y Οπότε Άρα (y) ln y y, y (A) (, ), () ln H () ορίζεται για κάθε R, ενώ η () ορίζεται για (, ) Άρα η εξίσωση () e e ορίζεται όταν που ισχύει για κάθε R, αφού () και e () e e () e (e) Οπότε () e e () () () (), για κάθε R () e (, ) () e, Δ Έστω σημείο, ( ) της C στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία y H εφαπτομένη έχει συντελεστή διεύθυνσης ( ) 7

H y έχει συντελεστή διεύθυνσης Είναι κάθετες όταν ( )( ) ( ) ( ) ( ), από Δ ( ) ( ) Άρα, και η εφαπτομένη έχει εξίσωση: Δ4 Ισχύει () y ln () () ln y y T M κινείται στη C, άρα ln y(t) y(t) (t) () y () ()( ) y y ln y(t) y(t) (t) y (t) y'(t) (t) y (t) (t) y(t) y(t) Η τεταγμένη y του Μ αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, άρα y (t) Πρέπει () :y (t) (t) y (t) y (t) y (t) y(t) y(t) y(t) y(t) Για y(t), () ln (t) (t) (t) Άρα (,) () Δ5 Είναι F () (), R Οπότε F () (), για κάθε R Άρα F R αν, F() F() F() F(), ισχύει αν, τότε είναι και η F πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στα διαστήματα [, ] και [,], αφού η F είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R F() F() F() Οπότε υπάρχουν (, ) και (,) τέτοια ώστε F ( ) F() F() F() F() F ( ) Είναι F F() F() F() F ( ) F ( ) F() F() F() F() F() Άρα F() F( ), για κάθε και Είναι F() F( ) F() F(), για κάθε, ενώ η ισότητα ισχύει μόνο για Άρα F() F() d F()d d F()d Είναι d () F()d F()d d 8

Έστω u du d d du Για, u και για, u Oπότε Άρα () => F()d F(u) du F(u)du F()d F()d F()d 4 F()d F()d 4 9