Vjerojatnost - 1. dio Uvod u vjerojatnost 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a zbroj 8 b barem jedna četvorka? ( 5, 11 36 36. Ako se znade da je od 100 žarulja pet neispravnih, kolika je vjerojatnost da će od tri slučajno odabrane žarulje sve tri biti valjane? ( (95 3 ( 100 3 3. Iz snopa od 5 karte izvlače se dvije. Kolika je vjerojatnost da će medu njima biti: a dvije pik karte b jedan as i jedan kralj? ( 39, 16 663 136 4. U prostoriji se nalazi šest bračnih parova. Ako odaberemo na sreću dvoje ljudi kolika je vjerojatnost da su: a različitog spola b bračni par? ( 6, 1 11 11 5. Kolika je vjerojatnost da se u igri LOTO 6 od 45 u jednoj kombinaciji postigne dobitak od a 6, b 5, c 4, 3 pogotka? (a = ( 1 45 6, 6 39, 4( (6 39, 3( (6 39 3 a a a 6. Odredite vjerojatnost da su znamenke nasumce odabranog peteroznamenkastog broja: a sve različite b sve parne c parne i različite. ( 716, 500, 96 90000 90000 90000 7. Netko je zaboravio tri posljednje znamenke telefonskog broja, i sjeća se samo da su sve tri različite a posljednja je paran broj. Kolika je vjerojatnost da će slučajnim izborom pogoditi pravi broj? ( 360 900 1
8. Ako kocku bacimo tri puta zaredom, kolika je vjerojatnost da će se dobiti tri različita broja? ( 5 9 9. Dijete slaže na sreću jednu do druge kockice na kojima su ispisana slova A,A,A,N,N,S. Kolika je vjerojatnost da će dobiti riječ ANANAS? ( 1 60 10. U žari se nalazi šest žutih i četiri modre kuglice. Ako slučajno izvučemo dvije kuglice, kolika je vjerojatnost sljedećih dogadaja: a obje su kuglice žute b kuglice su različitih boja c obje su kuglice modre? ( 1, 8, 3 15 15 Unija dogadaja i suprotan dogadaj 1. Bacamo jednom igraću kocku. Kolika je vjerojatnost da broj bude paran ili djeljiv s tri? ( 3. Izvlačimo na sreću jednu kartu iz snopa od 5 igraće karte. Kolika je vjerojatnost da je ta karta dama? Kolika je vjerojatnost da je ta karta dama ili pik? ( 1 13, 4 13 3. Telefonski broj se sastoji od šest znamenki, a može počinjati s nulom. Kolika je vjerojatnost da su sve znamenke parne? Kolika je vjerojatnost da su sve znamenke parne ili različite? ( 46 +10 9 8 7 6 5 10 6 4. Bacamo kockicu dva puta. Kolika je vjerojatnost da je zbroj brojeva na kockici osam ili sedam? ( 11 36 5. U kutiji se nalazi deset kuglica, od toga su šest plave i 4 crvene boje. Izvlačimo tri kuglice odjednom. Kolika je vjerojatnost da su kuglice iste boje? ( (6 3+( 4 3 ( 10 3 6. Kolika je vjerojatnost da je četveroznamenkasti broj djeljiv s 5 ili mu je prva znamenka neparan broj? ( 9 40 7. Od dvanaest djevojaka u razredu njih pet ima plave oči. Nasumce smo odabrali njih tri. Kolika je vjerojatnost da barem jedna ima plave oči? (1 (7 3 ( 1 3 8. Novčić bacamo četiri puta. Odredimo vjerojatnost slijedećeg dogadaja A={glava se pojavila u prvom ili u drugom bacanju}. ( 3 4
9. Isplati li se kladiti da će se u četiri bacanja kocke pojaviti barem jednom šestica? (da 10. U prvi razred upisano je trideset i pet učenika. Odredi kolika je vjerojatnost da su barem dva učenika rodena istog datuma. (1 365 364 363... 331 365 35 Aksiomi vjerojatnosti 1. Novčić je bačen tri puta. U svakom bacanju bilježimo je li se pojavilo pismo (P ili glava (G. Odredite prostor elementarnih dogadaja Ω, nekoliko dogadaja vezanih uz ovaj pokus te pripadne vjerojatnosti.. U pet-shopu se prodaju mačke, psi, papige i zlatne ribice u omjeru 1 : : 4 : 7. Ako je kupac uzeo kućnog ljubimca, kolika je vjerojatnost da isti ima 4 noge? ( 3 14 3. U posudi se nalazi 7 kuglica jednakih dimenzija od čega su 3 bijele, ljubičaste, 1 crvene i 1 zelene boje. Ako izvlačimo jednu kuglicu, izračunajte vjerojatnost da ona bude ljubičasta. ( 7 4. Neka je prostor elementarnih dogadaja Ω = {ω 1,ω,ω 3,ω 4 }. Provjerite je li funkcija p : P(Ω R vjerojatnost ako je: a p(ω 1 =p(ω 3 = 4,p(ω 13 = 7,p(ω 6 4= 3. 13 b p(ω =p(ω 4 =,p(ω 9 1= 1,p(ω 3 4= 1. 9 5. Neka je prostor elementarnih dogadaja Ω = {ω 1,ω,ω 3,ω 4,ω 5,ω 6 } i p(ω 1 =p. Ako je poznato da je svaki sljedeći dogadaj za p vjerojatniji od prethodnoga, izračunajte vjerojatnost dogadaja A = {ω 1,ω 3,ω 5 } i B = {ω,ω 4,ω 6 }. (p(a =6 = 4, p(b 1 7 =15 = 5. 1 7 6. Netko je na igraćoj kocki dodao dvije točkice na strani na kojoj je bila jedinica tako da sada izgleda kao trojka. Kolika je vjerojatnost da ćemo u jednom bacanju dobiti broj veći od? ( 5 6 7. Iz snopa igraćih karata izbacili smo sve karte znaka herc. Izračunajte vjerojatnost da iz tako dobivenog snopa izvučemo kartu crne boje. U snopu ima 5 karte. ( 3 8. Ako je p : P(Ω R vjerojatnost na Ω je li p 1 P(Ω R dana sa p 1 (A =3p(A, za svaki A Ω takoder vjerojatnost? Svoj odgovor obrazložite. 3
9. Bacamo dvije lažne kocke od kojih jedna na dvije strane ima broj 3, a druga broj 6 (niti jedna nema broj. Kolika je vjerojatnost da je zbroj brojeva na kockama manji od 7. ( 5 18. 10. Na polici se nalazi 13 knjiga tvrdih korica i 7 mekih. Vjerojatnost posudivanja knjige tvrdih korica tri puta je manja od vjerojatnosti posudivanja mekih korica. Ukoliko student posudi dvije knjige, odredite vjerojatnost da su obje tvrdih korica. ( 13 1 34 33 Geometrijska vjerojatnost 1. Biramo na sreću točku unutar kvadrata sa stranicom duljine a. Kolika je vjerojatnost da ona padne unutar kruga upisanog u taj kvadrat? ( π 4. Unutar intervala [0, 1] biraju se na sreću dva broja x i y. Odredi vjerojatnost dogadaja: 1 A = {x >y}; B = {x + y< 3}; 3 C = {x = y}. ( 1, 7, 0 8 3. Na dužini PQ duljine 1 na sreću se biraju dvije točke L i M. Odredi vjerojatnost da je točka L bliža točki M nego točki P.( 3 4 4. Dva prijatelja izlaze uvečer jedan neovisno o drugome, u na sreću odabranom trenutku izmedu 0 i 1 sat. Po dolasku na gradski trg zadržavaju se na tom mjestu 0 minuta, ali najkasnije do 1 sat, kad odlaze u kino. Kolika je vjerojatnost da će se oni sresti na trgu? (0.56 5. Kolika je vjerojatnost da točka na sreću odabrana unutar jednakostraničnog trokuta stranice duljine a padne unutar kruga upisanog tome trokutu? ( 3π 9 6. Na kvadratično isprepletenu mrežu s velike visine padne metalna kuglica, okomito na tu mrežu. Ako je stranica kvadrata mreže duga 10 mm, a promjer kugle je 5 mm, kolika je vjerojatnost da će kugla proći kroz mrežu, a da pri tome ne dotakne njezine niti? ( 1 4 7. Na ravninu na kojoj su istaknute točke s cjelobrojnim koordinatama bačen je novčić promjera 0,5 jedinica. Kolika je vjerojatnost da novčić neće pokriti niti jednu točku? ( π 4 8. Broj se bira na sreću unutar intervala [0, 1]. Kolika je vjerojatnost da će druga znamenka u njegovu decimalnom prikazu biti veća od 6? ( 3 10 4
9. Dvije točke se biraju na sreću unutar dužine duljine a. Kolika je vjerojatnost da je njihova udaljenost manja od a 3?(5 9 5