Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia matematického modelu (zjednodušenia) 3. numerické riešenie 4. reprezentácia výsledkov - p. 1/19
Príklad 1 Vyrovnávanie teploty V nádobe je tekutina, ktorá v čase t 0 má teplotu y 0. Nech okolité prostredie má teplotu ȳ a nech c je konštanta ochladzovania (vyjadruje tepelné vlastnosti materiálu, z čoho je nádoba zostrojená). Táto konštanta závisí od súčinitel a tepelnej vodivosti, hustoty a špecifického tepla. Nech y(t) označuje teplotu tekutiny v nádobe v čase t. Ako sa vyvíja? - p. 2/19
Príklad 1 Vyrovnávanie teploty V nádobe je tekutina, ktorá v čase t 0 má teplotu y 0. Nech okolité prostredie má teplotu ȳ a nech c je konštanta ochladzovania (vyjadruje tepelné vlastnosti materiálu, z čoho je nádoba zostrojená). Táto konštanta závisí od súčinitel a tepelnej vodivosti, hustoty a špecifického tepla. Nech y(t) označuje teplotu tekutiny v nádobe v čase t. Ako sa vyvíja? Podl a Newtonovho zákona ochladzovania rýchlost ochladzovania (rýchlost zmeny teploty y(t), tj. derivácia dy(t) dt ) je úmerná rozdielu teplôt vonkajšieho prostredia a telesa. Môžeme to vyjadrit rovnicou (1) dy(t) dt = c(ȳ y(t)). Ide o obyčajnú diferenciálnu rovnicu s počiatočnou podmienkou (2) y(t 0 ) = y 0. Budeme sa snažit vypočítat vývoj teploty tekutiny bez toho, aby sme vedeli niečo o riešení diferenciálnych rovníc. - p. 3/19
Budeme sledovat vývoj teploty v časoch t 1,t 2,t 3,. Táto teplota bude y(t 1 ),y(t 2 ),y(t 3 ),. Pre jednoduchost nech t i = t 0 +iτ, τ > 0, t i budú časové rezy, τ je časový krok. Prepíšeme rovnicu (1) v čase t = t i : dy(t) dt = c(ȳ y(t i )). t=ti Je známe, že derivácia dy(t) dt je smernica dotyčnice funkcie y(t) v bode t. Nahrad me túto dotyčnicu sečnicou (vid obrázok) a teda od presného riešenia prejdeme k aproximácii. Aproximáciu presného riešenia v bode t i budeme označovat y i. - p. 4/19
y spätná sečnica dotyčnica dopredná sečnica y(t) t i 1 t i t i+1 t Aproximácia derivácie - p. 5/19
Nahradenie derivácie: dy(t) dt t=ti y i+1 y i τ y i y i 1 τ dopredná diferencia spätná diferencia takže pre prípad doprednej diferencie dostaneme rovnicu y i+1 y i = cτ(ȳ y i ) y i+1 = (1 cτ)y i +cτȳ a pre prípad spätnej diferencie dostaneme rovnicu y i y i 1 = cτ(ȳ y i ) y i = 1 1+cτ (y i 1 +cτȳ) Tieto rovnice sú lineárne a vieme ich riešit ked že poznáme y 0. Pre takýto jednoduchý problém poznáme aj presné riešenie y(t) = ȳ +(y 0 ȳ)e c(t 0 t). (Numerické riešenie - aplikácia v MATLABe). - p. 6/19
Čo z numeriky (by) sme použili? numerickú deriváciu ak by bola pravá strana zložitejšia - riešenie nelineárnej rovnice ak by nás zaujímalo riešenie v inom bode ako časovom reze - aproximáciu funkcie - p. 7/19
Príklad 2 Balistický problém Vystrelíme raketu (projektyl) pod daným uhlom (vzhl adom na zem). Počas letu môže menit hmotnost, pričom spal ovanie pohonnej hmoty môžme riadit. Ako d aleko a vysoko poletí? y - výška v Zjednodušenia: nepreletí viac ako 100 km (kvôli zakriveniu Zeme) x-vzdialenost nevychyl uje sa z dráhy vplyvom vetra - postačí 2D úloha - p. 8/19
Označenia: x = x(t) - vzdialenost v čase t y = y(t) - výška v čase t θ = θ(t) - uhol, pod ktorým letí raketa v čase t (vzhl adom na os x) v=v(t) - rýchlost rakety v čase t m = m(t) - hmotnost a - zrýchlenie Predpokladáme v čase t 0 = 0 je x(t 0 ) = y(t 0 ) = 0. - p. 9/19
Čo potrebujeme vediet zo strednej školy? rýchlost je deriváciou dráhy v(t) = (ẋ(t),ẏ(t)) vel kost rýchlosti v(t) = v(t) = (ẋ(t)) 2 +(ẏ(t)) 2 zrýchlenie je deriváciou rýchlosti θ v ẋ ẏ Newtonov zákon pohybu a = dv dt F = ma všeobecnejšie F = d dt (m(t)v(t)) - p. 10/19
Na raketu pôsobia sily: - p. 11/19
Na raketu pôsobia sily: 1. tlak motora - v smere dráhy jej vel kost označme T(t) - daná funkcia - p. 12/19
Na raketu pôsobia sily: 1. tlak motora - v smere dráhy jej vel kost označme T(t) - daná funkcia 2. odpor prostredia (vzduchu) - proti smeru dráhy, jej vel kost 1 2 cρsv2, kde c je koeficient odporu, ρ hustota prostredia, s plocha priečneho rezu - p. 13/19
Na raketu pôsobia sily: 1. tlak motora - v smere dráhy jej vel kost označme T(t) - daná funkcia 2. odpor prostredia (vzduchu) - proti smeru dráhy, jej vel kost 1 2 cρsv2, kde c je koeficient odporu, ρ hustota prostredia, s plocha priečneho rezu 3. gravitačná sila - proti smeru y, jej vel kost je F g, kde g je gravitačné zrýchlenie v smere dráhy pôsobí na raketu sila v smere y pôsobí na raketu sila F 1 = T(t) 1 2 cρsv2 (t) F g = gm - p. 14/19
Z Newtonovho zákona F = d dt (m(t)v(t)) a v(t) = (ẋ(t),ẏ(t)) máme v smere x : ṁ(t)ẋ(t)+m(t)ẍ(t) = F 1 cosθ(t) = v smere y : ṁ(t)ẏ(t)+m(t)ÿ(t) = F 1 sinθ(t) F g ẍ(t) = 1 m(t) F 1cosθ(t) ṁ(t) m(t)ẋ(t) ÿ(t) = 1 m(t) (F 1sinθ(t) F g ) ṁ(t) m(t)ẏ(t) Platí ẋ(t) = v(t)cosθ(t) ẍ = vcosθ v θsinθ ẏ(t) = v(t)sinθ(t) ÿ = vsinθ +v θcosθ - p. 15/19
Dostaneme systém obyčajných diferenciálnych rovníc (ODR) ẋ(t) = v(t) cos θ(t) ẏ(t) = v(t) sin θ(t) 1 v(t) = m(t) (F 1 F g sinθ(t) ṁ(t)v(t)) θ(t) = F g m(t).v(t) cosθ(t) ṁ(t) = k T(t) s počiatočnými podmienkami x(0) = 0 y(0) = 0 v(0) = v 0 θ(0) = θ 0 m(0) = m 0. Rovnica pre zmenu hmotnosti vyjadruje fakt, že pri spal ovaní pohonnej zmesi hmotnost klesá, rýchlost spal ovania vyjadruje konštanta k. - p. 16/19
Nech τ > 0,τ R, označme t i = iτ,i = 1,2,,n. Označíme x i x(t i ) y i y(t i ) v i v(t i ) θ i θ(t i ) m i m(t i ) Systém ODR prepíšeme v bode t = t i ẋ(t) t=ti v i cosθ i ẏ(t) t=ti v i sinθ i v(t) t=ti 1 m i (F 1 (t i ) F g (t i )sinθ i )+k T(t i) θ(t) F g(t i ) m i.v i cosθ i t=ti ṁ(t) t=ti k T(t i ) m i v i - p. 17/19
Treba aproximovat deriváciu - pomocou numerickej derivácie ako v predchádzajúcom príklade. Spravíme všeobecne: f(t) f i+1 f i t=ti τ Dostaneme systém rovníc x i+1 x i τ y i+1 y i τ v i+1 v i = v i cosθ i = v i sinθ i τ = 1 m i (F 1 (t i ) F g (t i )sinθ i )+k T(t i) θ i+1 θ i τ = F g(t i ) m i.v i cosθ i m i+1 m i τ = k T(t i ) m i v i Použili sme doprednú diferenciu. V prípade použitia spätnej diferencie by sme dostali zložitejšiu úlohu - systém nelineárnych rovníc. (Numerické riešenie - aplikácia v MATLABe). - p. 18/19
Pri numerickom riešení musíme použit 1. numerickú deriváciu 2. metódy na riešenie systémov nelineárnych rovníc 3. metódy na riešenie systémov lineárnych rovníc 4. aproximáciu funkcie - p. 19/19