ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε, µε < ισχύει f ( ) < f ( ).. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα, όταν είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της.. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε, µε < ισχύει f ( ) > f ( ) 4. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα, όταν είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισµού της. 5. Ορισµός Όταν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε διάστηµα, λέγεται γνησίως µονότονη στο. 6. Άµεση συνέπεια Η γραφική παράσταση γνησίως µονότονης συνάρτησης τέµνει οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη του άξονα το πολύ σ ένα σηµείο.
7. Ορισµός Συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι: Παρουσιάζει στο 8. Ορισµός Α µέγιστο το f ( ), όταν o Συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι: Παρουσιάζει στο o Α ελάχιστο το ( o) o f f o για κάθε Α. f, όταν f f o για κάθε Α. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Παρατήρηση f γνησίως αύξουσα σηµαίνει ότι, αυξανοµένου του αυξάνεται και το f ( ).. Στη γραφική παράσταση Η γνησίως αύξουσα συνάρτηση σχεδιάζεται χαράζοντας δεξιά και πάνω.. Παρατήρηση f γνησίως φθίνουσα σηµαίνει ότι, αυξανοµένου του ελαττώνεται το f ( ). 4. Στη γραφική παράσταση Η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σχεδιάζεται χαράζοντας δεξιά και κάτω. 5. Προσοχή Αν f γνησίως µονότονη σε δύο διαστήµατα, δε σηµαίνει ότι είναι και στην ένωσή τους. 6. Σηµαντική ιδιότητα Αν f γνησίως µονότονη συνάρτηση, τότε ισχύει η ισοδυναµία = f = f
7. Σηµαντική ιδιότητα Αν f γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε ισχύει η ισοδυναµία < f < f 8. Σηµαντική ιδιότητα Αν f γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, τότε ισχύει η ισοδυναµία < f > f. 9. Τοµή µε τον άξονα Η γραφική παράσταση γνησίως µονότονης συνάρτησης τέµνει τον άξονα το πολύ σε ένα σηµείο. 0. Ρίζα Αν f γνησίως µονότονη συνάρτηση, τότε η εξίσωση f = 0 έχει το πολύ µία ρίζα.. Οι δύο αριθµοί του ακρότατου Στο µέγιστο συνάρτησης f λειτουργούν δύο αριθµοί : α) η τιµή o του, που καθορίζει τη θέση του µέγιστου ως προς το αριστερά δεξιά β) η τιµή f ( o ), που καθορίζει τη θέση του µέγιστου ως προς το πάνω κάτω. Οµοίως για το ελάχιστο.
4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν f γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο R, να λυθεί η ανίσωση f (λ + ) < f (4λ) Γνωρίζουµε ότι : f (λ + ) < f (4λ). Αν f γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε ισχύει η ισοδυναµία < f < f λ + < 4λ λ 4λ + < 0 < λ < Αν f γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο R, να λυθεί η εξίσωση f µ f 5µ 9 f µ f 5µ + 9. ( ) = ( + ) και η ανίσωση ( ) > Αφού f γνησίως φθίνουσα, θα έχουµε f µ f 5µ + 9 µ = 5µ + 9 ( ) = 0 = µ µ = 5 Αφού f γνησίως φθίνουσα, θα έχουµε f µ f 5µ + 9 µ < 5µ + 9 ( ) > 0 < µ µ > 5 Σχόλιο 7 Σχόλιο 6 Σχόλιο 8
5. Έστω συνάρτηση f : R R γνησίως αύξουσα µε f =. Να λύσετε την εξίσωση f + = Nα λύσετε την ανίσωση f f + > i Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g( ) = f f + = f + = f () + = + = + = 0 ( ) = 0 = ( ( f f + )) > i Πρέπει f f + > f ( ) f ( f ( + ) > + ) > f ( ) + > > < ή > f 0 f ( ) f ( ) f
6 4. Έστω συνάρτηση f : R R γνησίως αύξουσα µε f ( ) = και µιγαδικός z. Αν f z + = z Αν να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z. f f z + > να αποδείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει στο εξωτερικό γνωστού κύκλου. f z + = z f z + = f() z z + z = z + = z z z + = 0 ( z ) = 0 z = 0 z = Εποµένως, ο γ.τόπος της εικόνας του z είναι ο κύκλος (Ο, ) ( ) f f z + > f z + > f() z z + z > κ. λ. π Σχόλιο 6 Σχόλιο 7
7 5. Έστω συνάρτηση f : R R γνησίως αύξουσα. Αποδείξτε ότι η fof είναι γνησίως αύξουσα = f = f. Αποδείξτε την ισοδυναµία: i Αν επί πλέον f ( ) = λύστε την εξίσωση fof + 5 =. Έστω τυχαία, R µε <. f γν. αύξουσα f ( ) < f ( ) f ( f ( )) < f ( f ( )) ( fof)( ) < (fof)( ) άρα fof γνησίως αύξουσα Ευθύ: Με υπόθεση =, θα αποδείξουµε ότι f( ) = f( ) Είναι προφανές από τον ορισµό της συνάρτησης. Αντίστροφο: Με υπόθεση f( ) = f( ) θα αποδείξουµε ότι =. Αν ήταν (έστω < ), επειδή f γν. αύξουσα θα ήταν f( ) < f( ) που είναι άτοπο. i ( fof )( + 5) = f ( f ( + 5)) = f () f ( + 5) = αλλά = f ( ) f ( + 5) = f () + 5 = = 4 = 6. Έστω συνάρτηση f : R R γνησίως φθίνουσα Αποδείξτε ότι η fof είναι γνησίως αύξουσα = f = f. Αποδείξτε την ισοδυναµία: i Αν επί πλέον f Υπόδειξη Ακολούθησε την άσκηση 5 = λύστε την εξίσωση fof 7 + =
8 7. Έστω συνάρτηση f : R R γνησίως αύξουσα. Αποδείξτε ότι η fof είναι γνησίως αύξουσα < f < f. Αποδείξτε την ισοδυναµία: i Αν επί πλέον f ( ) = να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g = f 5 +. Άσκηση 5 Ευθύ: Με υπόθεση < θα αποδείξουµε ότι f( ) < f( ) Είναι προφανές, αφού f γν. αύξουσα Αντίστροφο: Με υπόθεση f( ) < f( ) θα αποδείξουµε ότι <. Αν ήταν, επειδή f γν. αύξουσα θα ήταν f( ) f( ) που είναι άτοπο. i Πρέπει f ( 5) + 0 f ( 5) f ( f Άρα D g = (, ] [, + ) 5) 5 4 ή
9 8. Έστω γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : R R, ώστε να ισχύει f 6 + f 4+ = 0 για κάθε R. Να βρεθεί η τιµή f ( 5 ). Να λυθεί η ανίσωση f ( 7) i Να λυθεί η εξίσωση f ( ) = 0. + + > 0. Για =, η υπόθεση f ( 6 ) + f ( 4+ ) = 0 f ( 6 ) + f ( 4+ ) = 0 f (5) + f (5) = 0 f (5) = 0 f (5) = 0 ηµιουργούµε ίδιους προσθετέους f 7 ( + + ) > 0 f ( 7) + + > f (5) + + 7 > 5 + + > 0 < ή > i f = 0 f ( ) = f (5) = 5 Σχόλιο 7 Σχόλιο 6 9. Έστω γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : R R, ώστε να ισχύει f 8 + f 4+ = 0 για κάθε R. Να βρεθεί η τιµή f ( 6 ). Να λυθεί η ανίσωση f ( + 0) + 5 > 0. i Να λυθεί η εξίσωση f + 5 =0. Υπόδειξη Για =. και ακολουθούµε την άσκηση 8
0 0. Αν οι συναρτήσεις f, g : R R είναι γνησίως φθίνουσες, να αποδείξετε ότι και το άθροισµά τους είναι γνησίως φθίνουσα. f = + >. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση i Να λύσετε την ανίσωση Έστω τυχαία, µε <. f γνησίως φθίνουσα f ( ) > f ( g γνησίως φθίνουσα g( ) > g( ) () ) () είναι γν. φθίνουσα. () + () f ( ) + g( ) > f ( ) + g( ) ( f + g)( ) > ( f + g)( ) f + g γνησίως φθίνουσα. Είναι f ( ) = + ( ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σαν άθροισµα των συναρτήσεων g() = i Η ανίσωση Αλλά και h() =, που είναι γνησίως φθίνουσες. + > γράφεται + > f = + = + = + > > > f () () (συνήθως δοκιµάζουµε τις τιµές 0, ±, ± e, ± e ) Οπότε η () γράφεται f ( ) > f () < αφού f γνησίως φθίνουσα.
. + 5 ίνεται η συνάρτηση f ( ) =, R. + Nα µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία + f 4 > f 5 6. Να λύσετε την ανίσωση Η f γράφεται f Επειδή 5 5 = f () = 5 5 f () = 9 5 5 9 f () = 9 5 5 9 <, η συνάρτηση ω() = 9 είναι γνησίως φθίνουσα. Επειδή 5 5 5 >, η συνάρτηση φ() = είναι γνησίως αύξουσα, άρα η 9 φ() είναι γνησίως φθίνουσα. Εποµένως η f είναι γνησίως φθίνουσα σαν άθροισµα δύο συναρτήσεων, που είναι γνησίως φθίνουσες. f 4 + > f 5 6 Θέτουµε 4 < 5 + 6 ( ) 0 = λ > 0, οπότε η () γίνεται 5 + 6 < 0 + 6 < 0 () λ 0λ + 6 < 0 < λ < 8 < < 8 < < < <
. Οι συναρτήσεις f, g : R R είναι γνησίως φθίνουσες. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση f + g είναι γνησίως φθίνουσα. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα i Αν, επί πλέον ισχύει f ( 0) = g( 0) = 0, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ( fog)( ) = f ( ) + g( ) έχει µοναδική λύση. Βλέπε άσκηση 0. Έστω τυχαία, R µε < g γν. φθίνουσα g ( ) > g ( ) και επειδή f γν. φθίνουσα f ( g ( )) < f ( g ( )) άρα fog γνησίως αύξουσα. i Αρκεί να αποδείξουµε ότι η εξίσωση fog [f + g ] = 0 έχει µοναδική λύση. Θεωρούµε τη συνάρτηση ω() = ( fog)( ) [f ( ) + g( )]. Οπότε, αρκεί να αποδείξουµε ότι η εξίσωση ω() = 0 έχει µοναδική λύση. Είναι ω(0) = ( fog)( 0 ) [f ( 0 ) + g( 0 )] = f ( g ( 0 )) [0 + 0] = f (0) 0 = 0 0 = 0, άρα το 0 είναι λύση της εξίσωσης ω() = 0. Επειδή η συνάρτηση f + g είναι γνησίως φθίνουσα, η ( f + g ) είναι γνησίως αύξουσα. Οπότε η ω() είναι γνησίως αύξουσα σαν άθροισµα των fog, ( f + g ). Εποµένως, το 0 είναι µοναδική λύση της εξίσωσης ω() = 0.
. Έστω οι συναρτήσεις f, g : R R. Αν η συνάρτηση gof και η συνάρτηση g είναι γν. αύξουσες, να αποδείξετε ότι και η f είναι γν. αύξουσα. f Αν e = + για κάθε R, να αποδείξετε ότι f γν. αύξουσα Έστω ότι η f δεν είναι γν. αύξουσα. Τότε θα υπάρχουν κάποια, R µε < έτσι, ώστε f ( ) f ( ) και επειδή g γν. αύξουσα θα είναι g( f ( )) g( f ( )) () Αλλά < και gof γν. αύξουσα ( gof )( ) < ( gof )( ) Από τις (), () έχουµε άτοπο. Άρα f γν. αύξουσα. g( f ( )) < g( f (, λ() = Θεωρούµε τις συναρτήσεις g() = e, κ() = f Θα είναι ( gof )() = g( f ( )) = e. f Η υπόθεση e = + για κάθε R γίνεται ( gof )() = κ() + λ() για κάθε R. )) () που είναι γν. αύξουσες Επειδή οι συναρτήσεις κ, λ είναι γν. αύξουσες, είναι και το άθροισµά τους Άρα η gof γνησίως αύξουσα. Σύµφωνα µε το ερώτηµα ( i ) f γν. αύξουσα. 4. Έστω συνάρτηση f γν. αύξουσα στο R, ώστε να ισχύει R. Να αποδειχθεί ότι f ( ) = για κάθε R. Έστω ότι υπάρχει κάποιο έτσι ώστε f. Ας είναι, λοιπόν, f ( ) < () Επειδή f γν. αύξουσα, η () f ( f ( )) < f() < f () () Από τις (), () έχουµε άτοπο. Άρα f ( ) = για κάθε R. f f = για κάθε
4 5. + f Αν για τη γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : R R ισχύει f = f = για κάθε R. για κάθε R, να αποδείξετε ότι Υπόδειξη. Ακολούθησε την άσκηση 4, θέτοντας όπου το + f 6. Έστω οι συναρτήσεις f, g : R R. Αν f γν. φθίνουσα και f g( ) = + για κάθε R, να αποδείξετε ότι η g είναι γν. φθίνουσα. Έστω ότι η g δεν είναι γν. φθίνουσα. Τότε θα υπάρχουν κάποια, R µε < έτσι, ώστε g( ) g( ). Και επειδή f γν. φθίνουσα θα είναι f (g( )) f (g( )) + + που είναι άτοπο. 7. Για τη συνάρτηση f : R R δίνεται ότι f ( ) + f ( ) = για κάθε R. Να δειχθεί ότι f γν. αύξουσα στο R. Έστω τυχαία, R µε <. Θα αποδείξουµε ότι f ( ) < f ( ) ή ότι f ( ) f ( ) < 0 f + f = () f + f = () Η υπόθεση και () () f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) = < 0 [ f ( ) f ( ) ] [ f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) ] + [ f ( ) f ( ) ] = [ f ( ) f ( ) ] [ f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) + ] < 0 () Η παράσταση Π της δεύτερης αγκύλης είναι τριώνυµο ως προς f ( ), µε διακρίνουσα = f ( ) 4 [ = f ( ) 4 = f ( ) 4 < 0 f + ] f 4 Άρα το τριώνυµο είναι οµόσηµο του α =, δηλαδή Π > 0 Η () f ( ) f < 0 < 0
5 8. Για τη συνάρτηση f : R R δίνεται ότι f ( ) + f ( ) = e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι f ( 0) = και f γν. αύξουσα στο R. Υπόδειξη. Ακολούθησε την άσκηση 7. 9. Έστω οι συναρτήσεις f, g : R R. Αν f γν. φθίνουσα και ( ) f g + f f g + για κάθε R, να βρεθεί ο τύπος της g. Αφού f γν. φθίνουσα και ( ) f g + f f g + για κάθε R, θα είναι g( + ) g() + για κάθε R () Για + = u δηλαδή = u, η () g(u) u g(u ) + για κάθε u R g() g( ) + για κάθε R () Η δεξιά ανίσωση της () g() για κάθε R () Η αριστερή ανίσωση της () g() για κάθε R (4) Από τις (), (4) g() = για κάθε R.
6 0. f = ίνεται η συνάρτηση 6 4 + 9, R. Να αποδείξετε ότι η C f είναι συµµετρική ως προς τον άξονα y y η τιµή f ( 0 ) είναι µέγιστο. Η συνάρτηση γράφεται f () = = 4 + 9 4 + 9 6 6 6 6 = + = + () Αρκεί να αποδείξουµε ότι η f είναι άρτια. () f ( ) = () + (), () f ( ) = f (), άρα f άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Για = 0 η () f (0) = 0 0 + = + = Αρκεί να αποδείξουµε ότι f () f (0) για κάθε R + ( ) ( ) 0 + ( ) 0 + ( ) + που ισχύει