ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΈΝΝΟΙ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΣ Γι ένν ν ν τετρωνικό πίνκ, έµε ορίζουσ του πίνκ κι ράφουµε deta A, τον πρµτικό ριθµό που προκύπτει πό µί συκεκριµένη διδικσί υποοισµού ν ο είνι πίνκς η ορίζουσά του υποοίζετι ως εξής : det A σµ ν ο είνι πίνκς, ο υποοισµός της ορίζουσς ίνετι µε νάπτυξη κτά ρµµή ή στήη κι έχουµε νωή σε άθροισµ οριζουσών πχ η νάπτυξη ως προς τη πρώτη ρµµή ή την η στήη ίνετι ως εξής : det A σµ Σχόιο : Τ στοιχεί κτά την νάπτυξη έχουν πρόσηµο ή νάο µε το ν το άθροισµ του δείκτη θέση του στοιχείου είνι άρτιο ή περιττό δηδή κ ι το στοιχείο κ πχ το πρόσηµο στο στοιχείο είνι, στο στοιχείο είνι, στο στοιχείο είνι, στο στοιχείο είνι, στο στοιχείο είνι Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Τονίζουµε ότι η ορίζουσ του πίνκ είνι πρµτικός ριθµός δηδή A R η Ότν άζουµε τη θέση ρµµών ή στηών τότε η ορίζουσ άζει πρόσηµο πχ Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ: 8 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚ ΜΘΗΜΤ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΕΙ ΤΕΙ ΕΠ - ΕΜΠ
Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ: 8 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚ ΜΘΗΜΤ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΕΙ ΤΕΙ ΕΠ - ΕΜΠ η Μπορούµε ν άουµε κοινό πράοντ πό µί ρµµή ή στήη µις ορίζουσς πχ η Μπορούµε ν προσθέσουµε όες τις ρµµές ή όες τις στήες σε µι ρµµή ή στήη µπορούµε κι ιότερες πχ Προσθέσµε τις τρεις ρµµές στην πρώτη η Μπορούµε ν ποπσιάσουµε µι ρµµή ή στήη µε ένν πρµτικό ριθµό κι ν την προσθέσουµε σε κάποι άη πχ σ σ σ 6 η Η ορίζουσ τριωνικού πίνκ πάνω ή κάτω είνι ίση µε το ινόµενο των διώνιων στοιχείων πχ µ µ 6 η Ότν ρµµές ή στήες µις ορίζουσς είνι ίσες ή νάοες τότε η ορίζουσ είνι ίση µε µηδέν Επίσης ότν µι ρµµή ή στήη έχει ό τ στοιχεί µηδέν τότε η ορίζουσ είνι µηδέν η Γι τους n n πίνκες, Β, Τ νάστροφο του ισχύουν : Β Β, Τ 8 η Ότν τότε έµε ότι ο πίνκς είνι ντιστρέψιµος ή οµός ηδή υπάρχει ο ντίστροφός του -, µε Ι κι ισχύει: ή
9 η Ότν στην ορίζουσ ενός n n πίνκ τ στοιχεί µις στήης ή ρµµής είνι άθροισµ κ προσθετέων τότε η ορίζουσ ράφετι σν άθροισµ κ οριζουσών πχ ΕΛΣΣΟΝ ΟΡΙΖΟΥΣ-ΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜ-ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ - Σ ένν n n πίνκ ν πάρουµε το στοιχείο ij κι κόψουµε την i ρµµή κι την j στήη τότε προκύπτει ένς n- n- πίνκς Μ ij του οποίου η ορίζουσ Μ ij έετι εάσσον ορίζουσ του στοιχείου ij ν πάρουµε την τιµή της εάσσονς ορίζουσς, µε πρόσηµο νάο µε τη θέση του στοιχείου ij, δηδή ij - ij Μ τότε έχουµε το ερικό συµπήρωµ ij ij του στοιχείου ij πχ Γι τον πίνκ ν ρεθεί η εάσσον ορίζουσ των στοιχείων, κι τ ερικά συµπηρώµτ, Γι το στοιχείο φιρούµε την η ρµµή κι τη η στήη οπότε προκύπτει ο πίνκς : Μ Άρ η εάσσον ορίζουσ του στοιχείου είνι: Μ 6 κι το ερικό συµπήρωµ - Μ - Όµοι ι το στοιχείο έχουµε τον πίνκ: Μ την εάσσον ορίζουσ : Μ κι το ερικό συµπήρωµ: - Μ Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ: 8 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚ ΜΘΗΜΤ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΕΙ ΤΕΙ ΕΠ - ΕΜΠ
6 Μεθοδοοί Υποοισµού Ορίζουσς Σε µι ορίζουσ ι τον υποοισµό της ή την πόδειξη κάποις σχέσης φροντίζουµε : Ν άουµε κοινό πράοντ σε ρµµή ή στήη Ν εµφνίσουµε όσο περισσότερ µπόικ µηδενικά ίνετι προκειµένου ν ρεθεί το νάπτυµ εύκο σε µορφή ινοµένου πρόντων Μ υτόν τον τρόπο ρίσκουµε εύκο τις τιµές που µηδενίζετι η ορίζουσ δη ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΤΟΥ ΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΙΝΚ - Ότν τότε υπάρχει ο ντίστροφος πίνκς κι δίνετι πό τη σχέση: adj όπου ο πίνκς adj έχει στήες τ ερικά συµπηρώµτ των ρµµών του πίνκ κι έετι συµπηρωµτικός ή προσρτηµένος πίνκς ηδή έχουµε: n n n n nn Πράδειµ ο Ν ρεθεί ο ντίστροφος του δ ν δ Η ορίζουσ είνι δ Τ ερικά συµπηρώµτ του πίνκ είνι: δ - - Άρ πό την πρπάνω σχέση ο - είνι: δ δ Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ: 8 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚ ΜΘΗΜΤ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΕΙ ΤΕΙ ΕΠ - ΕΜΠ
Πράδειµ ο Ν ρεθεί ο ντίστροφος του πίνκ 6 Γι ν είνι ο πίνκς ντιστρέψιµος πρέπει, που ισχύει διότι: 6 6 6 6 6 6 6 6 Γι τον υποοισµό του ντίστροφου θ ρούµε τ ερικά συµπηρώµτ του πίνκ δηδή το συµπηρωµτικό πίνκ 8 6 6 6 8 6 6 Άρ ο ντίστροφος του είνι: 8 6 8 6 Studies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ: 8 wwwarnοsgr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚ ΜΘΗΜΤ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΕΙ ΤΕΙ ΕΠ - ΕΜΠ