Výrazy a ich úpravy Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: ( (5 1,76)+5):0,4. Počtové výrazy sa pomenovávajú podľa počtových operácií - výkonov, napr. počtový výraz 3 + je súčet, 6-4 je rozdiel,. 4 je súčin, 4 : alebo 4 je podiel. Matematický zápis, v ktorom po nahradení premenných konštantami dostaneme konštantu, nazývame algebraický výraz Racionálny algebraický výraz neobsahuje odmocniny, napr. x + 5 3 3 4 x Iracionálny algebraický výraz obsahuje odmocniny, napr. Jednočlen je výraz, ktorý sa dá zapísať ako: konštanta 5; -.36; -1/3; π; e premenná a; x; y súčin, podiel konštánt, premenných a ich mocnín 5.x; -7.a.b Snažíme sa vždy o čo najstručnejší zápis, preto - súčiny rovnakých premenných zapisujeme ako mocniny 3.a.a.a.b.b 3.a 3.b - konštanty v súčine vyjadrujeme jedným číslom 5.x.7.z 35.x.z - bodky označujúce násobenie obvykle vynechávame 5.a.c 5a c Pomenovanie zložiek jednočlena: -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x Číslo 6 zároveň vyjadruje aj stupeň jednočlena 3xy 3 z 5 3x 1 y 3 z 5 : 3 koeficient; x; y; z premenné; 1; 3; 5 exponenty premenných x; y; z Číslo 1+3+5 9 zároveň vyjadruje aj stupeň jednočlena 1
Mnohočlen je výraz, ktorý sa dá zapísať ako súčet jednočlenov : 5k + 3p 3 + 4 pq + 56 Názov mnohočlenu je odvodený od počtu jeho jednočlenov (sú oddelené znamienkami + alebo -) - jednočlen x 5 - dvojčlen m + n - trojčlen a - b 3 + 5 - štvorčlen pq + p q - 5p + Zátvorky u záporných koeficientov vynechávame : 8x + (-)xy 8x - xy Stupeň mnohočlena určuje najväčší stupeň jeho jednočlenov. Napr.: 3a 7 5b + 4a 3 b 5 je trojčlen 8. stupňa Výraz typu A(x) a n x n + a n-1 x n-1 +... + a x + a 1 x + a 0, pričom a 0, a 1, a,..., a n, x R, a n 0, n N nazývame polynómom mnohočlen n - tého stupňa s premennou x. Stupeň polynómu je najvyšší exponent premennej. Číselnú hodnotu mnohočlena dostaneme ak do mnohočlena dosadíme za premennú niektoré číslo z oboru premennej. Počítanie s mnohočlenmi - usporiadanie mnohočlenov vzostupne alebo zostupne - sčítanie a odčítanie mnohočlenov - násobenie a umocňovanie mnohočlenov - delenie mnohočlena jednočlenom alebo mnohočlenom - rozklad mnohočlena na súčin Mnohočleny môžeme usporiadať buď vzostupne, t.j. od člena s najmenším exponentom po najväčší, alebo naopak, čiže zostupne. Pre mnohočleny sú definované podobné operácie, ako pre reálne čísla. Opačný mnohočlen je mnohočlen, ktorý vznikne z daného mnohočlenu po vynásobení číslom -1. Pri sčítaní, resp. odčítaní dvoch mnohočlenov sčítavame, resp. odčítavame všetky členy s rovnakým exponentom tej istej premennej. Pri násobení mnohočlenov násobíme každý člen prvého mnohočlena s každým členom druhého mnohočlena. Pri umocňovaní mnohočlenov buď využívame vzorce pre mocniny reálnych čísel, alebo mocninu nahradíme zodpovedajúcim súčinom.
Najčastejšie používané vzorce pre úpravu výrazov: Definičný obor premenných algebraického výrazu je množina všetkých takých hodnôt premenných, pre ktoré je algebraický výraz definovaný má zmysel. Zvyčajne ho označujeme D ( D f ). Príklad 1: Určte definičný obor reálnych premenných pre dané algebraické výrazy: x + 5 3 a) V(x) x 3 x 4 b) W(x) Riešenie: a) 3 x 0 x 3 teda D x R {3} b) x 7 0 x 7 x 3,5, t.j. D x <3,5; ) Zjednodušenie výrazu je taká úprava výrazu, ktorej výsledkom je výraz s menším počtom operátorov, funkcií, čísel a premenných s nenulovými koeficientmi. Dva algebraické výrazy V 1, V sa rovnajú v množine M, ktorá je podmnožinou definičných oborov oboch výrazov práve vtedy, keď pre všetky rovnaké prípustné hodnoty premenných nadobúdajú oba výrazy rovnakú hodnotu. Potom píšeme V 1 (x) V (x). Príklad : x 16 Pre aké hodnoty premennej x sú si rovné výrazy V 1 (x) x + 4 a V (x) x 4? Riešenie: x 16 V 1 (x) x + 4 ( x 4 )(. x + 4 ) x + 4 x 4 D 1(x) R - {-4} D (x) R M D 1(x) D (x) R - {-4} 3
Úpravou algebraického výrazu rozumieme nahradenie daného výrazu iným výrazom, ktorý sa mu rovná v spoločnom definičnom obore premenných. Tento definičný obor určíme z podmienok, za ktorých má daný výraz i jeho riešenie zmysel. Pri úpravách sa často vyžaduje: úprava výrazu na súčin, zjednodušenie výrazu, odstránenie odmocniny z menovateľa usmernenie zlomku,... Operácie s polynómami (mnohočlenmi) A. Sčítanie (odčítanie): dva polynómy sa sčítavajú (odčítavajú) tak, že vzájomne sčítame (odčítame) tie členy polynómov s rovnakou premennou (premennými) a rovnakým stupňom polynómu. Napr.: K(x, y) 4x 3 + 3x + xy + 1 L(x, y) 9x 4 + 8x + 7xy + 5x K(x, y) + L(x, y) 4x 3 + 3x + xy + 1 + 9x 4 + 8x + 7xy + 5x K(x, y) + L(x, y) 9x 4 + 4x 3 + 11x + 9xy + 5x + 1 Poznámka: Výsledok je vhodné zapísať čo najjednoduchšie a usporiadane. B. Násobenie: dva polynómy sa násobia tak, že vzájomne prenásobíme všetky členy polynómov medzi sebou ( každý s každým ), pričom sčítame stupne členov. Napr.: K(x) x + x + 3 L(x) 5x + 6 V(x) K(x) L(x) (x + x + 3) (5x + 6) V(x) 5x x + 5x x + 5x 3 + 6 x + 6 x + 6 3 V(x) 5 x (+1) + 5 x (1+1) + 5 3 x + 6 x + 6 x + 6 3 V(x) 5x 3 + 10x + 15x + 6x + 1x + 18 V(x,y) 5x 3 + 16x + 7x + 18 4
C. Umocňovanie (odmocňovanie) polynómov: polynómy sa umocňujú tak, že vynásobíme stupeň daného člena, stupňom, na ktorý je umocnený a koeficient člena riadne umocníme. Napr.: Odmocňuje sa podobným spôsobom, pretože K(x) 5x 3 V(x) [K(x)] 3 V(x) (5x 3 ) 3 V(x) 5 3 x (3*3) V(x) 15x 9 Napr. : L(x) 4x L ( x) 4x 4x 1 V(x) ( ) V(x) x.(1/) x D. Rozklad mnohočlenov na súčin (1) Vynímaním pred zátvorku () Využitím vzorcov a +ab+b (a + b) ; napr.: 4+1x+9x (+3x).(+3x) (+3x) a -ab+b (a - b) ; napr.: y -14y+49 (y -7).(y -7) (y -7) a 3 +3a b+3ab +b 3 (a + b) 3 ; napr.: 8+60x+150x +15x 3 (+5x) 3 a 3-3a b+3ab -b 3 (a - b) 3 ; napr.: 1-6y+1y -8y 3 (1-y) 3 5
a - b (a - b).(a + b); napr.: 4 9x ( 3x).(+3x) a 3 + b 3 (a + b).(a ab + b ); napr.: 7+15x 3 (3+5x).(9 15x+5x ) a 3 - b 3 (a - b).(a + ab + b ); napr.: 8p 3 7q 3 (p 3q).(4p +6pq 9q ) E. Delenie mnohočlenov: mnohočleny môžeme deliť buď jednočlenom (1) alebo môžeme deliť mnohočleny vzájomne medzi sebou () (1) delenie jednočlenom K(x) 6x 4 + 4x 3 - x L(x) x V ( x) K( x) L( x) 6x 4 3 + 4x x x 4 6x x 3 4x + x x x V(x) 3.x (4-1) +.x (3-1) 1.x (-1) 3x 3 + x x 1 () delenie mnohočlenov navzájom bez zvyšku (postup) Poznámka: Pred delením mnohočlenov je výhodné delenca aj deliteľa usporiadať zostupne. 6
(3) delenie mnohočlenov navzájom so zvyškom (postup) Postupujeme presne podľa toho istého postupu ako v bode (), až na to, že na konci nebudeme mať 0 ale nejakú číselnú hodnotu. Úlohy: 1) Vydeľte : (x 4 3x 3 + x + x + 1):(x 3 x +1) ) Rozložte na súčin : 10a 4 b 3 0a 3 b + 15a b 3) Rozložte na súčin : 7x 3 8y 3 Riešenia: 1) x 1, zvyšok ) 5a b (a b 4a + 3) 3) (3x y)(9x + 6xy + 4y ) 7
Pri úpravách racionálnych lomených výrazov používame vzťahy pre počítanie so zlomkami a vzťahy na rozklad mnohočlenov. Sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov: Príklad 3: 3 x Vypočítajte: + x + 1 x 1 x 1 Riešenie: najskôr určíme podmienky, za ktorých majú dané výrazy zmysel (menovateľ sa nesmie rovnať 0, základ druhej odmocniny musí byť 0); potom rozložíme menovatele na súčin lineárnych jedno- alebo dvojčlenov pomocou vynímania pred zátvorku alebo pomocou vyššie uvedených vzťahov; potom určíme spoločný menovateľ tak, že najskôr odpíšeme prvý menovateľ a postupne z každého menovateľa pridávame tie činitele, ktoré sa v spoločnom menovateli ešte nenachádzajú, čiže odpíšeme (x-1) a potom pridáme (x+1); následne spoločný menovateľ (x+1)(x 1) delíme menovateľom (x+1) a násobíme príslušným čitateľom 3, teda píšeme 3 (x 1) ; podobne spoločný menovateľ (x+1)(x 1) delíme menovateľom (x-1)(x+1) a násobíme príslušným čitateľom x, teda píšeme 1 x čiže x ; a nakoniec spoločný menovateľ (x+1)(x 1) delíme menovateľom (x-1) a násobíme príslušným čitateľom, teda píšeme (x+1) ; zjednodušíme čitateľ a ak sa dá, pokúsim sa upraviť ho na súčin a vykrátiť s menovateľom; 3x 3 + x x + ( x + 1)( x 1) ( x 1 ).1 1 ( x + 1)( x 1) x + 1 Násobenie algebraických zlomkov: Pri násobení zlomkov násobíme čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a ak chceme daný výraz zjednodušiť, tak menovateľ i čitateľ rozložíme na súčin a vykrátime. Príklad 4: x x + Vypočítajte:. x 4 3x 8
Riešenie: Podmienky riešiteľnosti: x ± x 0 D (x) R - {-; 0; } Poznámka: Pri algebraických výrazoch obsahujúcich premenné v menovateli je potrebné uvádzať podmienky, pre ktoré je výraz definovaný má zmysel, t.j. definičný obor výrazu. Delenie algebraických zlomkov: pri delení dvoch zlomkov násobíme prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého zlomku; Príklad 5: x 5x Vypočítajte: : x 6x + 9 3 x Riešenie: Podmienky riešiteľnosti: x 3 x 0 D (x) R - {0; 3} Úprava zloženého algebraického zlomku: postupujeme buď tak, že zložený zlomok nahradíme delením dvoch zlomkov alebo podľa nasledovnej schémy (vonkajšie krát vonkajšie lomeno vnútorné krát vnútorné): Príklad 6: x Vypočítajte: x + 3 4 4x x + 3x Riešenie: Podmienky riešiteľnosti: x -3 x 0 x 1 D (x) R - {-3; 0; 1} 9
Úlohy súhrn: 1) Dané sú mnohočleny: P(x) x 3 + 4x 5x + 7, Q(x) 3 x, R(x) 3x + 5x +. a) Určte ich stupeň. b) Vymenujte ich členy. c) Určte: kvadratický člen mnohočlena P(x), lineárny člen mnohočlena Q(x), absolútny člen mnohočlena R(x). d) Určte koeficienty lineárnych členov jednotlivých mnohočlenov. e) Vypočítajte hodnoty: P(), Q(0), R(1). f) Určte mnohočlen W(x) Q(x). [P(x) R(x)]. ) Určte výraz, ktorý musíme pripočítať k výrazu (x + y) + z, aby sme dostali výraz (x + y z) 3) Upravte: (x x 1) : (x 1) 4) Zapíšte ako súčin: a) x 0,3x b) 1x 48 c) 3x 5x d) x 6 e) x 81 f) (x + 1) 4 g) (x + 3) (x 1) h) x 3 16x 5) Dané trojčleny rozložte na súčin lineárnych dvojčlenov a pritom určte ich najmenšiu hodnotu: a) x + 16x 17 b) x 8x +1 c) x x 3 d) x + 5x 50 e) x 5x 6 f) x x 110 g) x 6x 0 h) x 0,6x 0,16 i) 4x 6x + 6) Určte hodnotu výrazu V(a, b) pre: a) a, b 0 b) a 1, b 10 6 V(a, b) a + b a b b a b 1+ a + b b. a + b 1 1 + 1 a b b b 7) Určte výraz V(a), ak platí V ( a) a 1 3 a + 1 a 1 8) Upravte: a) [(3x + y) (x 3y) ]. xy b) (x 1) 3 8( x) 3 9) Upravte: x x + 4 x + x x + 4 x + 4. 3 : 4x 1 x + 8 x x x + x 3 6x 10
10) Upravte: x y x y x + y + + x y x y + y x 11) Upravte: (7x 3 8) : (3x ) 1) Upravte výraz: x + 9x + 14 x : x x 1 x + 6x 7 x 15 11