Κφάλαι 5 ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Σύνψη Στ πέμπτ τύτ κφάλαι πριγράφται η έννις της χωρητικότητας και τυ διηλκτρικύ υλικύ. Επίσης, παρυσιάζνται τα ίδη των πυκνωτών και η συνδσμλγία τυς. Επιπλέν, ρίζται η νέργια τυ πυκνωτή και αναλύται ρόλς τυ διηλκτρικύ υλικύ, τόσ στην μταβλή της χωρητικότητάς όσ και της νέργιας τυ πυκνωτή. Πραπαιτύμνη γνώση Κανόνς παραγώγισης και λκληρώσως. 5. Χωρητικότητα και πυκνωτής Στ δάφι. μιλήσαμ για τις κατηγρίς των υλικών βάσι της ικανότητάς τυς να πιτρέπυν στ σωτρικό τυς την διέλυση ηλκτρικών φρτίων. Ονμάσαμ μνωτές τα υλικά τα πία δν πιτρέπυν την διέλυση φρτίυ, και αγωγύς αυτά πυ την πιτρέπυν. Όταν ένας μνωτής τπθτηθί ανάμσα από δυ αγωγύς, τα υλικά απαρτίζυν ένα σύστημα πυ νμάζται πυκνωτής. [] Τ μνωτικό υλικό τ πί υπάρχι μταξύ των αγωγών νμάζται διηλκτρικό. Εάν ι δυ αγωγί ίναι φρτισμένι μ αντίθτα φρτία και, μια διαφρά δυναμικύ αναπτύσσται μταξύ των δυ αγωγών τυ πυκνωτή, η πία ίναι ανάλγη πρς την απόλυτη τιμή τυ φρτίυ. H χωρητικότητα νός πυκνωτή ίναι η ικανότητα απθήκυσης ηλκτρικύ φρτίυ στυς αγωγύς τυ, και ρίζται μ τ πηλίκ της απόλυτης τιμής τυ φρτίυ πρς την διαφρά δυναμικύ V μταξύ των δύ αγωγών. [] Δηλαδή ισχύι = V (5.) (Ses, 95), (Lkwicz & Meissins, 975), (Yung & Feedmn, 00), (Ginci, 0). Οι μνάδς χωρητικότητας στ ΔΣΜ ίναι τ Fd (F), όπυ F= /V. T Fd ίναι σχτικά μγάλη χωρητικότητα και γι αυτό ι συνήθις μνάδς χωρητικότητας των πυκνωτών ίναι τ μf=0 6 F, τ nf=0 9 F και τ pf=0 F. Οι αγωγί τυ πυκνωτή, ι πίι μπρύν να έχυν πιδήπτ μέγθς και σχήμα, νμάζνται πλισμί τυ πυκνωτή, νώ η διαφρά δυναμικύ V νμάζται ηλκτρική τάση ή απλώς τάση τυ πυκνωτή. Οι πυκνωτές ίναι στιχία τα πία χρησιμπιύνται συχνά σ ηλκτρικά κυκλώματα, δηλ. σ κλιστές αγώγιμς διαδρμές, (θα αναφρθύμ λπτμρώς στα ηλκτρικά κυκλώματα σ πόμν κφάλαι), κυρίως για απθήκυση ηλκτρικύ φρτίυ και πμένως ηλκτρικής νέργιας. Πλλές φρές πυκνωτής νμάζται χωρητικότητα, λόγω της ικανότητάς τυ να απθηκύι ηλκτρικό φρτί. Υπάρχυν αρκτά διαφρτικά ίδη πυκνωτών, τόσ βάσι των γωμτρικών σχημάτων των πλισμών τυς, όσ και από τα υλικά των διηλκτρικών υλικών πυ πριέχυν. Έτσι έχυμ τυς πίπδυς, τυς σφαιρικύς και τυς κυλινδρικύς πυκνωτές. Ακόμα έχυμ τυς πυκνωτές μ υγρά διηλκτρικά (π.χ. ρυκτέλαι) και πυκνωτές μ στρά διηλκτρικά όπως μίκα, χαρτί, κ.ά. (Αλξόπυλς & Μαρίνς, 99). Τέλς, υπάρχυν και ι πυκνωτές μταβλητής χωρητικότητας, στυς πίυς τ μέγθς της πιφάνιας των πλισμών μταβάλλται. Τέτιυ ίδυς πυκνωτές χρησιμπιύνται στα ραδιόφωνα για την αλλαγή E Σχήμα 5. Επίπδς πυκνωτής μ φρτί μιόμρφα κατανμημέν στυς πλισμύς τυ, μταξύ των πίων υπάρχι απόσταση και αέρας ως μνωτικό υλικό. [] Τόσ τ κνό, όσ και αέρας έχυν μνωτικές ιδιότητς, πότ όταν υρθύν μταξύ δύ αγωγών μπρύν να σχηματίσυν πυκνωτή. [] Στην πραγματικότητα η διαφρά δυναμικύ μταξύ των αγωγών τυ πυκνωτή ρίζται ως ΔV=V V, όμως στη συνέχια πρς χάριν απλότητας, θα συμβλίζται ως V.
συχντήτων λήψης ραδιφωνικών κυμάτων. Στην συνέχια θα ξτάσυμ κάπια ίδη πυκνωτών, τα πία διαχωρίζνται σύμφωνα μ την γωμτρία των πλισμών τυς. 5.. Επίπδς πυκνωτής Ο πι κινός πυκνωτής ίναι πίπδς πυκνωτής πυ φαίνται στ σχ. 5. και απτλίται από δυ παράλληλς αγώγιμς πλάκς ίσυ μβαδύ Α, ι πίς απέχυν απόσταση και ίναι φρτισμένς μ αντίθτα φρτία και (Ses, 95), (Hidy, Resnick & Kne, 009), (Yung & Feedmn, 00). Ανάμσα στυς πλισμύς τυ πυκνωτή υπάρχι κνό τ πί παίζι τ ρόλ τυ μνωτή. Γνικά τ κνό, όπως πίσης και αέρας, έχυν μνωτικές ιδιότητς, όμως στην πραγματικότητα ι πυκνωτές τυ μπρίυ πριέχυν διαφρτικά μνωτικά υλικά. Η τιμή τυ ηλκτρικύ πδίυ Ε στ σωτρικό τυ πυκνωτή και μακριά από τα άκρα τυ ίναι σ E = E = (5.) όπυ σ ίναι η πιφανιακή πυκνότητα φρτίυ στυς πλισμύς, και ίναι η διηλκτρική σταθρά τυ κνύ. Η σχέση αυτή λαμβάνται από τν νόμ τυ Guss. (βλ. κφ. 3). Οι δυναμικές γραμμές τυ πδίυ Ε τυ πυκνωτή ίναι παράλληλς μταξύ τυς και τ πδί δίνται ως dv E x ˆ (5.3) dx όπυ dv/dx ίναι η βαθμίδα (μταβλή) τυ ηλκτρικύ δυναμικύ κατά μήκς των ηλκτρικών δυναμικών γραμμών. Για να υπλγίσυμ την διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών τυ πυκνωτή, λκληρώνυμ την ξ. 5.3 και παίρνυμ V Edx V E (5.4) 0 T αρνητικό πρόσημ δηλώνι ότι η διαφρά δυναμικύ κατά μήκς των δυναμικών γραμμών ίναι αρνητική, διότι καθώς απμακρυνόμαστ από τν θτικά φρτισμέν πλισμό () και πλησιάζυμ τν αρνητικά φρτισμέν πλισμό (), τ δυναμικό λαττώνται. Τλικά η απόλυτη τιμή της διαφράς δυναμικύ στα άκρα τυ πυκνωτή ή αλλιώς η τάση τυ πυκνωτή V, ρίζται ως (5.) V = E V = (5.5) Από την ξ. 5. τυ ρισμύ της χωρητικότητας και την ξ. 5.5 καταλήγυμ στην σχέση = (5.6) η πία μας δίνι την χωρητικότητα τυ πίπδυ πυκνωτή συναρτήσι της διηλκτρικής σταθράς τυ κνύ, τυ μβαδύ των πλισμών τυ και της απόστασης μταξύ αυτών. Συμπραίνυμ δηλ. ότι η χωρητικότητα νός πυκνωτή ξαρτάται απκλιστικά από την γωμτρία των πλισμών τυ και τ διηλκτρικό υλικό ανάμσά τυς. Αυτή ίναι μια γνικότρη ιδιότητα των πυκνωτών, όπυ η χωρητικότητά τυς ξαρτάται μόν από τα κατασκυαστικά χαρακτηριστικά τυς και όχι από τ φρτί και την τάση τυς. Βάσι της γωμτρίας των πλισμών νός πυκνωτή, υπάρχυν και άλλα ίδη πυκνωτών όπως ίναι κυλινδρικός και σφαιρικός πυκνωτής. Θα αναφρθύμ διξδικά στα δύ αυτά ίδη πυκνωτών παρακάτω. Παράδιγμα 5. Επίπδς πυκνωτής Σ έναν τύπ πληκτρλγίυ υπλγιστή, τ κάθ πλήκτρ συνδέται μ ένα μικρό μταλλικό πλακίδι, τ πί παίζι τ ρόλ τυ πλισμύ νός πίπδυ πυκνωτή μ μνωτικό υλικό τν αέρα. Αν πιστί τ πλήκτρ, η απόσταση των πλισμών μιώνται και η χωρητικότητα τυ πυκνωτή αυξάνται. Κατάλληλ ηλκτρικό κύκλωμα ανιχνύι τη μταβλή της χωρητικότητας και έτσι γίνται αντιληπτό ότι τ πλήκτρ πατήθηκ. Έστω ότι η πιφάνια τυ κάθ πλακιδίυ ίναι 50 mm και η απόσταση μταξύ των
3 πλακιδίων ίναι 0.600 mm πριν πατηθί τ πλήκτρ. Εάν η λάχιστη χωρητικότητα πυ ανιχνύται από τ κύκλωμα ίναι 0.50 pf, πόσ πρέπι να μτακινηθί τ πλακίδι για να ανιχνύσι τ κύκλωμα ότι τ πλήκτρ πατήθηκ; Λύση Σύμφωνα μ την μλέτη τυ πίπδυ πυκνωτή πυ κάναμ πρηγυμένως η χωρητικότητα τυ πλήκτρυ μ τα δυ πλακίδια δίνται ως = () Κατά τ πάτημα τυ πλήκτρυ τα Α και δν μταβάλλνται. Μιώνται όμως η απόσταση και πμένως σύμφωνα μ την ξ. αυξάνται η χωρητικότητα. Εάν η μταβλή της απόστασης ίναι Δ, τότ ισχύι Δ Δ Δ = Δ = () Από την ξ. μπρύμ να υπλγίσυμ την, δηλαδή την χωρητικότητα όταν τ πλήκτρ δν ίναι πατημέν. Έτσι υπλγίζυμ 6 8.85 0 /Nm 50 0 m 3 0.6 0 m 0.738 0 F Η αρχική χωρητικότητα ίναι 0.738 pf και η απόσταση των πλισμών ίναι =0.600 mm. Από την ξ., όταν τ πλήκτρ πατιέται, πρκαλίται μταβλή της απόστασης Δ και κατά συνέπια μταβλή της χωρητικότητας Δ=0.50 pf. Τότ από την ξ. 5 μπρύμ να γράψυμ 8.85 0 /Nm 50 0 m Δ 0.988 0 F 6 3 3 Δ = Δ 0.6 0 m 0.5 0 m Επμένως όταν πατήσυμ τ πλήκτρ και μτακινηθί πρς τα κάτω κατά 0.5 mm, τ κύκλωμα τυ υπλγιστή ανιχνύι τ πάτημα τυ πλήκτρυ. Τότ για παράδιγμα στην θόνη τυ υπλγιστή μπρί να αναγραφθί ένα γράμμα, ή να κτλσθί μια άλλη λιτυργία. 5.. Σφαιρικός πυκνωτής Ένα άλλ ίδς πυκνωτή ίναι σφαιρικός πυκνωτής τυ πίυ ι αγωγί έχυν σφαιρικό σχήμα. Στην πραγματικότητα ένας πλισμός ίναι ένας αγώγιμς σφαιρικός φλιός, και άλλς πλισμός ίναι μια μόκντρη αγώγιμη σφαίρα ή ένας μόκντρς σφαιρικός φλιός μικρότρης ακτίνας από τυ έτρυ πλισμύ (Hidy, Resnick & Kne, 009), (Hidy, Resnick & Wke, 03). Οι δύ πλισμί ίναι φρτισμένι μ αντίθτα φρτία, και στν νδιάμσό τυς χώρ υπάρχι τ μνωτικό υλικό. Τ ηλκτρικό πδί πυ δημιυργίται στν σφαιρικό πυκνωτή ίναι ακτινικό, και ι δυναμικές γραμμές τυ ξκινύν καθέτως από την πιφάνια τυ νός πλισμύ, και καταλήγυν πίσης καθέτως στην πιφάνια τυ άλλυ πλισμύ, όπως δίχνι τ σχ. 5.. Στ παράδιγμα πυ ακλυθί, υπλγίζυμ την χωρητικότητα τυ σφαιρικύ πυκνωτή. Παράδιγμα 5. Χωρητικότητα σφαιρικύ πυκνωτή Ένας σφαιρικός πυκνωτής απτλίται από σφαιρικό αγωγό ακτίνας πυ πριβάλλται από σφαιρικό αγώγιμ κέλυφς ακτίνας, μ τν νδιάμσ χώρ να ίναι κνός, όπως φαίνται στ σχ. 5.. Εάν τ φρτί τυ σωτρικύ σφαιρικύ πλισμύ ίναι, να υπλγιστί η χωρητικότητα τυ πυκνωτή. Λύση Η χωρητικότητα τυ πυκνωτή δίδται από την γνική σχέση = V () όπυ τ φρτί και V η τάση τυ πυκνωτή. Για να υπλγίσυμ την Σχήμα 5. Σφαιρικός πυκνωτής μ φρτί και ακτίνς πλισμών και αντίστιχα (παράδιγμα 5.). Ε
4 χωρητικότητα τυ πυκνωτή, πρέπι πρώτα να ύρυμ την τάση, δηλαδή την διαφρά τυ δυναμικύ μταξύ των δυ πλισμών. Η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών θα δίνται από την σχέση dv E V V Ed d () Για να υπλγίσυμ τ ηλκτρικό πδί στν νδιάμσ χώρ μταξύ των πλισμών, φαρμόζυμ τν νόμ τυ Guss για κλιστή σφαιρική πιφάνια μ ακτίνα, η πία πρικλίι τ φρτί τυ σωτρικύ πλισμύ. Έτσι γράφυμ E ds = EdS = E ds = E4π = E = (3) 4π Η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών δίνται βάσι της ξ. και μέσω της ξ. 3 V V Ed d d ( ) ( ) 4π 4π 4π 4π 4π V V ( ) V V ( ) 4π 4π Η διαφρά δυναμικύ V=V V ίναι θτική, διότι V >V. Επμένως η χωρητικότητα τυ σφαιρικύ πυκνωτή λόγω των ξισώσων και 4 ίναι 4 π ( ) (4) 5..3 Κυλινδρικός πυκνωτής Ένα τρίτ ίδς πυκνωτή όσν αφρά την γωμτρία των πλισμών ίναι κυλινδρικός πυκνωτής, τυ πίυ ι πλισμί έχυν κυλινδρικό σχήμα. Πι συγκκριμένα ένας πλισμός ίναι αγώγιμς κυλινδρικός φλιός, πίς πριβάλι έναν μαξνικό αγώγιμ κύλινδρ ή κυλινδρικό φλιό μικρότρης ακτίνας (Hidy, Resnick & Kne, 009), (Hidy, Resnick & Wke, 03). Οι δύ κυλινδρικές πιφάνις των πλισμών έχυν αντίθτα φρτία, και νδιάμσς χώρς καταλαμβάνται από διηλκτρικό υλικό. Τ ηλκτρικό πδί πυ δημιυργίται μταξύ των δυ πλισμών, πριγράφται από δυναμικές γραμμές πυ ξκινύν καθέτως από την πιφάνια τυ σωτρικύ πλισμύ, και καταλήγυν πίσης καθέτως στην σωτρική πιφάνια τυ ξωτρικύ πλισμύ, όπως φαίνται στ σχ. 5.3. Στ παράδιγμα πυ ακλυθί, υπλγίζυμ την χωρητικότητα τυ κυλινδρικύ πυκνωτή. Παράδιγμα 5.3 Χωρητικότητα κυλινδρικύ πυκνωτή Ένας κυλινδρικός πυκνωτής απτλίται από δυ μαξνικύς κυλινδρικύς αγωγύς ακτίνων και αντιστίχως, μ τν νδιάμσ χώρ να ίναι κνός. Ο πυκνωτής ίναι μιόμρφα φρτισμένς μ γραμμική πυκνότητα φρτίυ λ στν σωτρικό κύλινδρ, και λ στν ξωτρικό όπως φαίνται στ σχ. 5.3. Υπλγίστ την χωρητικότητα τυ πυκνωτή άν ι κυλινδρικί πλισμί έχυν μήκς. Λύση Η χωρητικότητα τυ πυκνωτή ρίζται ως = V () Σχήμα 5.3 Κυλινδρικός πυκνωτής μ φρτί λ ανά μνάδα μήκυς και ακτίνς πλισμών και αντιστίχως (παράδιγμα 5.3). λ Ε λ Τ φρτί στυς πλισμύς τυ πυκνωτή δίνται από την σχέση
5 =λ () Όπως και πρηγυμένως η διαφρά δυναμικύ V μταξύ των πλισμών ίναι V V V Ed (3) Για να υπλγίσυμ τ V λιπόν, θα πρέπι να ξέρυμ πώς μταβάλλται τ Ε στ χώρ μταξύ των πλισμών τυ πυκνωτή. Χρησιμπιώντας τ νόμ τυ Guss για μια κυλινδρική πιφάνια ακτίνας, η πία πριβάλι τν πλισμό α μ πυκνότητα φρτίυ λ όπως φαίνται στ σχ. 5.3, έχυμ E ds EdS λ E ds λ Eπ λ E λ (4) π Πρέπι να σημιώσυμ ότι στν πι πάνω υπλγισμό της ηλκτρικής ρής μέσα από την κυλινδρική πιφάνια Guss, δν συνισφέρυν ι βάσις της κυλινδρικής πιφάνιας, διότι τ διάνυσμα Ε δν τις διαπρνά αφύ δν ίναι φρτισμένς. Έτσι, ρή υπάρχι μόν διαμέσυ της παράπλυρης πιφάνιας. Αντικαθιστώντας την ξ. 4 στην ξ. 3, παίρνυμ για την τάση τυ πυκνωτή λ λ d λ λ λ V d n (n n ) V n π π π π π (5) Η διαφρά δυναμικύ ίναι αρνητική, διότι από τ θτικό δυναμικό τυ πλισμύ α, καταλήγυμ στ αρνητικό δυναμικό τυ πλισμύ. Οι ξισώσις, 5 στην ξ. δίνυν λ π n π n λ n n π π 5. Συνδσμλγία πυκνωτών Όπως πραναφέραμ, συχνά ι πυκνωτές ίναι βασικά ξαρτήματα σ ηλκτρικά κυκλώματα για την απθήκυση ηλκτρικής νέργιας. Για την ύρυθμη λιτυργία νός ηλκτρικύ κυκλώματς, ίναι δυνατόν να συνδένται σ αυτό, πρισσότρι τυ νός πυκνωτή. Η συνλική χωρητικότητα των πυκνωτών τυ κυκλώματς νμάζται και ισδύναμη χωρητικότητα (Benumf, 96), (Yung & Feedmn, 00), (Knight, 00), (Ginci, 0), (Sewy & Jewett, 03). Η συνδσμλγία μταξύ των πυκνωτών γίνται, ίτ μ παράλληλη σύνδση ένας πρς τν άλλ, ίτ μ σύνδση σ σιρά. Γνικά πυκνωτής στα ηλκτρικά κυκλώματα συμβλίζται μ δυ παράλληλς κατακόρυφς γραμμές, ι πίς συμβλίζυν τυς δύ πλισμύς. Στ σχήμα 5.4 φαίννται σχηματικά ι δυ διαφρτικί τρόπι σύνδσης δύ πυκνωτών. Στην παράλληλη συνδσμλγία τυ κυκλώματς στ σχ.5.4α, ι δύ πυκνωτές συνδένται έτσι ώστ στα άκρα τυς να έχυν την ίδια διαφρά δυναμικύ V. Τότ η λική ή ισδύναμη χωρητικότητα λ τυ κυκλώματς ίναι όπυ λ Σχήμα 5.4 Σχδιάγραμμα σύνδσης δυ πυκνωτών σ (α) παράλληλη σύνδση, και (β) σύνδση ν σιρά. λ (5.7) V λ (5.8) (α) _ V V V _ V (β)
6 Η ξ.5.8 στην 5.7 δίνι λ λ (5.9α) V V V Δηλαδή η συνλική χωρητικότητα δυ πυκνωτών συνδδμένων παράλληλα, ίναι τ άθρισμα των πιμέρυς χωρητικτήτων. Γνικότρα, για Ν πυκνωτές συνδδμένυς παράλληλα, βάσι της ξ. 5.9α ισχύι παγωγικά λ... N (5.9β) Για συνδσμλγία δύ πυκνωτών σ σιρά, όπως φαίνται στ κύκλωμα τυ σχήματς 5.4β, ένας πυκνωτής έπται τυ άλλυ, έτσι ώστ αρνητικά φρτισμένς πλισμός τυ νός, να συνδέται μ τν θτικά φρτισμέν πλισμό τυ άλλυ, μ συνέπια ι δύ πλισμί να απκτύν κινό δυναμικό. Οι πιμέρυς τάσις στα άκρα των δύ πυκνωτών ίναι V και V αντιστίχως, και ισχύι V V V (5.0) Τα φρτία πυ αναπτύσσνται παγωγικά στυς πλισμύς των πυκνωτών πυ ίναι συνδμένι σ σιρά, θα πρέπι να ίναι ίσα και αντίθτα και. Έτσι λιπόν η ξ. 5.0 μπρί να γραφτί V (5.) Όμως για την λική χωρητικότητα ισχύι V V V V (5.0) λ λ V V V λ λ Γνικά για Ν πυκνωτές συνδδμένυς σ σιρά, βάσι της ξ. 5.α ισχύι παγωγικά... (5.β) λ N (5.α) Αξίζι να σημιώσυμ ότι παράλληλα συνδδμένι πυκνωτές έχυν πάντα την ίδια διαφρά δυναμικύ στα άκρα τυς, νώ πυκνωτές συνδδμένι σ σιρά έχυν πάντα ίδι φρτί στυς πλισμύς τυς. [3] Παράδιγμα 5.4 Ισδύναμη χωρητικότητα για σύνδση πυκνωτών Θωρίστ ότι έχυμ την σύνδση των πυκνωτών πυ δίχνι τ σχ. 5.5. α) Πια ίναι η ισδύναμη χωρητικότητα μταξύ των σημίων α και, αν =5 μf, =3 μf, 3 =0 μf και 4 =5 μf. β) Πρσδιρίστ τ φρτί κάθ πυκνωτή άν V ΑΒ =4.8 V. Λύση Α α) Η συνλική χωρητικότητα δίνται ως λ 34 () πιδή ι πυκνωτές, και 34 ίναι παράλληλα συνδδμένι μταξύ τυς. Η χωρητικότητα 34 ίναι η συνλική χωρητικότητα των πυκνωτών 3 και 4 ι πίι ίναι συνδδμένι σ σιρά. Έτσι ισχύι Η ξ. στην δίνι 3 4 34 () 34 3 4 3 4 Β 3 4 Σχήμα 5.5 Σύνδση πυκνωτών (παράδιγμα 5.4). [3] Πρσχή! Ν πυκνωτές συνδδμένι σ σιρά έχυν όλι τ ίδι φρτί. Εντύτις τ συνλικό φρτί της διάταξης ίναι και όχι N.
7 3 4 5μF 5μF λ 5μF 3μF 8μF 4μF λ μf 0μF 5μF 3 4 β) Τ φρτί τυ πυκνωτή ίναι V 5μF 4.8V 4μ B Ομίως τ φρτί τυ πυκνωτή ίναι V 3μF 4.8V 4.4μ B Οι πυκνωτές 3 και 4 ι πίι ίναι συνδδμένι σ σιρά, έχυν τ ίδι φρτί στυς πλισμύς τυς, άρα 3 4 34V B 4μF 4.8V 9.μ Παράδιγμα 5.5 Σύνδση πυκνωτών Να υρθί η συνλική χωρητικότητα τυ κυκλώματς των πυκνωτών στ σχ. 5.6. Αν η διαφρά δυναμικύ μταξύ των σημίων Α και Β ίναι 00 V, πια ίναι η διαφρά δυναμικύ μταξύ των σημίων Α και D; Δίννται =4.0 μf, =.0 μf, 3 =3.0 μf και 4 =.0 μf. Λύση Βλέπντας τ σχ. 5.6, παρατηρύμ ότι πυκνωτής και η συνλική χωρητικότητα 34 των πυκνωτών, και 3, ίναι παράλληλα συνδδμένα μταξύ τυς. Άρα ισχύι λ 34 () Για την 34 χωρητικότητα ισχύι ( ) 3 4 34 34 3 4 3 4 34 Η ξ. στην δίνι ( 3 4) 3 4 ( 3 4) ( 3 4 ) ( 3 4 ) (4μF 6μF) (μf 4μF) μf λ λ 7μF 6μF 6μF 3 4 3 4 Για την διαφρά δυναμικύ V B ισχύι Τ φρτί στν πυκνωτή ίναι VB VD VDB (3) V (4) B Τ φρτί στν πυκνωτή ίναι τ ίδι μ αυτό της συνλικής χωρητικότητας 34, διότι ίναι συνδμένι σ σιρά. Έτσι ισχύι και Οι ξισώσις 5 και 6 δίνυν V (5) D V (6) 34 DB () B D 3 4 Σχήμα 5.6 Σύνδση πυκνωτών (παράδιγμα 5.5).
8 V V V V ( )( V V ) V V V V ( ) (3) D D 34 DB D 3 4 B D B D B D 3 4 3 4 3μF μf 4μF V V V V V 00V 00V V 5V 3 4 3 4 D B D B D D 3 4 3 4 μf 3μF μf 6μF 5.3 Ενέργια πυκνωτή Ο ρόλς των πυκνωτών στα ηλκτρικά κυκλώματα ίναι να απθηκύυν ηλκτρική νέργια, την πία μπρύν ανά πάσα στιγμή να την παρέχυν ως ωφέλιμ έργ. Ας υπθέσυμ ότι κατά την διάρκια φόρτισης νός πυκνωτή χωρητικότητας, τ φρτί στυς πλισμύς τυ ίναι q, νώ η αντίστιχη τάση στα άκρα τυ ίναι V, όπως φαίνται στ σχ. 5.7. Η φόρτιση τυ πυκνωτή γίνται μ την σύνδσή τυ μ ένα στιχί ηλκτρικής νέργιας, π.χ. μια μπαταρία, τ πί παρέχι μια σταθρή διαφρά δυναμικύ, δηλαδή ίναι μια πηγή νέργιας (την φόρτιση και κφόρτιση νός πυκνωτή θα την μλτήσυμ διξδικά σ πόμν κφάλαι). Η μπαταρία λιπόν παρέχι τ έργ πυ απαιτίται για την φόρτιση τυ πυκνωτή. Για την μταφρά νός στιχιώδυς θτικύ φρτίυ dq από τν πλισμό φρτίυ q στν πλισμό φρτίυ q ( πίς έχι υψηλότρ δυναμικό) απαιτίται στιχιώδς έργ (5.4) dw df. dq. E dw Vdq (5.3) (Benumf, 96). Όμως τ φρτί στα άκρα τυ πυκνωτή ίναι q την δδμένη στιγμή της φόρτισης, και άρα ισχύι =q/v. Επμένως η ξ. 5.3 γίνται q dw dq (5.4) Αν τ μέγιστ φρτί πυ μπρί να δχθί πυκνωτής ίναι, τ συνλικό έργ πυ θα πρέπι να δαπανηθί από την πηγή ηλκτρικής νέργιας τυ κυκλώματς για την πλήρη φόρτιση τυ πυκνωτή ίναι 0 0 W q dq q W (5.5) (Lkwicz & Meissins, 975), (ns & Finn, 99), (Yung & Feedmn, 00), (Ginci, 0), (Sewy & Jewett, 03), (Hidy, Resnick & Wke, 03). Τ έργ της ξ. 5.5 απθηκύται ως ηλκτρστατική νέργια στν πυκνωτή, η πία μπρί να απβί χρήσιμη κατά την κφόρτισή τυ. Από την ξ. 5. και βάσι της ξίσωσης 5.5, η ηλκτρστατική νέργια U τυ πυκνωτή ίναι U V V (5.6) Μία άλλη έκφραση για την ηλκτρική νέργια U τυ πυκνωτή πρκύπτι από την ξ. 5.6, λόγω των ξισώσων 5.4 και 6. Έτσι μπρύμ να γράψυμ (5.7) U E U E Σχήμα 5.7 Φόρτιση πίπδυ πυκνωτή μ μτακίνηση φρτίυ dq από τν αρνητικό πλισμό στν θτικό, την στιγμή πυ στα άκρα τυ πυκνωτή υπάρχι φρτί q και τάση V. όπυ πριγράφυμ την νέργια τυ πυκνωτή συναρτήσι τυ ηλκτρικύ πδίυ Ε μταξύ των πλισμών τυ. Παράδιγμα 5.6 Μέγιστη νέργια πυκνωτή Υπθέστ ότι ένας πυκνωτής έχι χωρητικότητα, και η μέγιστη τάση πυ μπρύμ να φαρμόσυμ μταξύ των πλισμών τυ χωρίς να καταστραφί πυκνωτής, ίναι V (βλ. στ πόμν δάφι 5.4 για τ πώς καταστρέφται ένας πυκνωτής). Συγκρίντ τη μέγιστη νέργια πυ μπρί να απθηκυτί σ q F dq q E dq V
9 μια σύνδση σ σιρά δυ τέτιων πυκνωτών, μ την μέγιστη νέργια πυ μπρί να απθηκυτί σ μια παράλληλη σύνδση των ίδιων πυκνωτών. Λύση Η μέγιστη νέργια νός πυκνωτή δίνται από την ξίσωση U mx Vmx () όπυ V mx ίναι η μέγιστη διαφρά δυναμικύ πυ μπρί να φαρμστί στα άκρα τυ πυκνωτή. Όταν ι δυ πυκνωτές ίναι συνδδμένι σ σιρά, έχυν συνλική χωρητικότητα λ λ Η μέγιστη διαφρά δυναμικύ στν κάθ πυκνωτή ίναι V, και αφύ ίναι συνδδμένι σ σιρά, η συνλική διαφρά δυναμικύ θα ίναι τ άθρισμα των πιμέρυς δυναμικών, άρα Vλ V V V V Vλ V (3) Η ξ. βάσι των και 3 δίνι U mx ( σιρα) ( V ) U mx ( σιρα) V (4) Όταν ι δυ πυκνωτές ίναι συνδδμένι παράλληλα, έχυν συνλική χωρητικότητα λ λ (5) Στην παράλληλη σύνδση η διαφρά δυναμικύ στα άκρα των πυκνωτών ίναι κινή ίση μ V. Άρα για την μέγιστη νέργια τυ συστήματς των δυ πυκνωτών η ξ. δίνι Umx ( παραλληλα) V Umx ( παραλληλα) V (6) Από τις ξισώσις 4 και 6 συμπραίνυμ ότι η μέγιστη νέργια τυ συστήματς των δυ πυκνωτών ίναι ίδια, ανξαρτήτως άν αυτί ίναι συνδδμένι σ σιρά ή παράλληλα. () 5.4 Διηλκτρικά υλικά πυκνωτών Όπως πραναφέραμ, τ μνωτικό υλικό πυ υπάρχι μταξύ των πλισμών νός πυκνωτή νμάζται διηλκτρικό και η ύπαρξή τυ ξυπηρτί την ηλκτρική μόνωση των δυ πλισμών. Μ αυτόν τν τρόπ ίναι δυνατό να συγκρατύνται τα τρώνυμα φρτία στυς πλισμύς τυ πυκνωτή, δημιυργώντας διαφρά δυναμικύ μταξύ αυτών, μ απτέλσμα να δημιυργίται ηλκτρικό πδί στ χώρ τυ διηλκτρικύ, καθιστώντας τν πυκνωτή μια διάταξη απθήκυσης ηλκτρικής νέργιας. Ο χώρς μταξύ των πλισμών τυ πυκνωτή έχι μια συγκκριμένη διηλκτρική σταθρά, η πία ίναι διαφρτική από αυτήν τυ κνύ, και ξαρτάται από τ διηλκτρικό υλικό τυ πυκνωτή. Μάλιστα η σχέση πυ συνδέι τα και ίναι = κ κ = (5.8) Η σταθρά κ νμάζται σχτική διηλκτρική σταθρά (Ginci, 0), διότι συγκρίνι την διηλκτρική σταθρά τυ υλικύ μ αυτήν τυ κνύ. [4] Ας ιδύμ όμως πις αλλαγές πιφέρι τ διηλκτρικό υλικό σ έναν πίπδ πυκνωτή. Η χωρητικότητα τυ πίπδυ πυκνωτή δίνται από την ξ. 5.6. Εάν αντί για κνό μταξύ των πλισμών, τπθτήσυμ ένα μνωτικό υλικό μ διηλκτρική σταθρά ή αλλιώς μ σχτική διηλκτρική σταθρά κ, θα δημιυργήσυμ στν πυκνωτή μια νέα χωρητικότητα κ, όπυ [4] Συχνά τ κ νμάζται απλώς διηλκτρική σταθρά τυ υλικύ, όμως αυτό δν ίναι ακριβές.
0 (5.8) κ = κ = κ κ = κ (5.9) (Lkwicz & Meissins, 975). Τ κνό ίναι στην υσία και αυτό ένα διηλκτρικό, τ πί έχι σχτική διηλκτρική σταθρά κ=. Ο αέρας πίσης ίναι διηλκτρικό μ κ~. Άλλα μνωτικά υλικά έχυν τιμές τυ κ >. Τ χαρτί για παράδιγμα έχι 3.7, τ νρό 80, νώ τ τιτανιύχ βάρι 00! Στν πίνακα 5. φαίννται ι τιμές της σχτικής διηλκτρικής σταθράς διαφόρων μνωτικών υλικών. Από την ξ. 5.9, συμπραίνυμ ότι τ διηλκτρικό υλικό μπρί να αυξήσι την χωρητικότητα νός πυκνωτή πλλές φρές. Αυτή η ιδιότητά τυ διηλκτρικύ έχι ως συνέπια την αύξηση τυ φρτίυ στυς πλισμύς και πμένως της νέργιας τυ πυκνωτή (βλ. ξ. 5.5). Επίσης, τ διηλκτρικό ίναι απαραίτητ στιχί σ έναν πυκνωτή, διότι όπως πραναφέραμ, μνώνι τν έναν πλισμό από τν άλλ, ώστ να μην υπάρχι κίνηση των θτικών φρτίων τυ νός πλισμύ πρς τα αρνητικά τυ άλλυ και αντιστρόφως. Έτσι, η παρυσία τυ διηλκτρικύ πιτρέπι τη δημιυργία διαφράς δυναμικύ (τάση) στα άκρα τυ πυκνωτή, έτσι ώστ πυκνωτής να λιτυργί ως πηγή ηλκτρικής νέργιας, χρήσιμη σ ηλκτρικά κυκλώματα. Ββαίως η τάση στα άκρα νός πυκνωτή δν μπρί να αυξάνται απριόριστα, διότι ι μνωτικές ιδιότητς νός διηλκτρικύ έχυν κάπι όρι. Για παράδιγμα, άν η διαφρά δυναμικύ γίνι υπρβλικά μγάλη, τότ και τ ηλκτρικό πδί στ διηλκτρικό μγαλώνι, μ απτέλσμα τα φρτία από τν θτικό πλισμό τυ πυκνωτή να κινηθύν πρς τν αρνητικό πλισμό διαμέσυ τυ διηλκτρικύ. Τότ συμβαίνυν ηλκτρικές κκνώσις, τ διηλκτρικό καταρρέι, ι μνωτικές τυ ιδιότητς χάννται ανπιστρπτί, πότ συμβαίνι διηλκτρική κατάρρυση και τλικά πυκνωτής καταστρέφται. Γι αυτόν τν λόγ, κατασκυαστής κάθ πυκνωτή αναφέρι την μέγιστη τάση λιτυργίας τυ, ώστ να μην πλώνται πτέ πυκνωτής μ μγαλύτρη τάση. Πίνακας 5. Πρσγγιστικές τιμές της σχτικής διηλκτρικής σταθράς κ διαφόρων υλικών. Υλικό κ Υλικό κ Κνό (ακριβώς) Γυαλί 50 Γιατί όμως ένα διηλκτρικό υλικό αυξάνι την χωρητικότητα νός πυκνωτή; Για να απαντήσυμ σ αυτήν την ρώτηση, πρέπι να ξτάσυμ πι αναλυτικά τι συμβαίνι όταν ένα διηλκτρικό τπθτίται ανάμσα στυς πλισμύς νός πίπδυ πυκνωτή. Αρχικά, ας θωρήσυμ κνό τν χώρ ανάμσα στυς πλισμύς νός φρτισμένυ πυκνωτή, όπυ δημιυργίται τ μγνές ηλκτρικό πδί Ε, όπως φαίνται στ σχ. 5.8α. Λόγω τυ πδίυ Ε, τ ισρχόμν ανάμσα στυς πλισμύς υλικό τυ διηλκτρικύ, ως μνωτής πυ ίναι, πλώνται, μ απτέλσμα να δημιυργύνται ηλκτρικά δίπλα πρσανατλισμένα ως πρς τ Ε (βλ. φόρτιση μνωτή, κφάλαι, σχ..5). Η διαδικασία τυ πρσανατλισμύ των ηλκτρικών διπόλων τυ διηλκτρικύ υλικύ στ ηλκτρικό πδί τυ πυκνωτή, νμάζται πόλωση τυ διηλκτρικύ (Feynmn, Leightn & Snds, 009), (Yung & Feedmn, 00). Τα δίπλα αυτά δημιυργύν ένα νέ ηλκτρικό πδί Ε στ χώρ τυ διηλκτρικύ, τ πί ίναι αντίθτης φράς αυτής τυ Ε, έτσι όπως σχδιάζται στ σχ. 5.8β. Η γνσιυργός αιτία τυ πδίυ Ε ίναι τα παγωγικά φρτία q πυ αναπτύσσνται στις πριχές γιτνίασης τυ διηλκτρικύ μ τυς πλισμύς τυ πυκνωτή. Έτσι τλικά, τ συνλικό ηλκτρικό πδί πυ δημιυργίται στν πυκνωτή ντός τυ διηλκτρικύ υλικύ όταν πέρχται ηλκτρστατική ισρρπία, ίναι τ διανυσματικό άθρισμα των δυ αντιθέτων πδίων (Hidy, Resnick & Kne, 009), (Sewy & Jewett, 03), (Hidy, Resnick & Wke, 03), τ πί έχι μέτρ την διαφρά των μέτρων τυς, δηλ. ισχύι E = E E E = E E (5.0) κ Αέρας (ξηρός).00059 Πρσλάνη 6 Τφλόν. Σιλικόνη Πλυστυρένι.6 Γρμάνι 6 Μαρμαρυγία (Μίκα) 36 Γλυκρίνη 4.5 Πλξιγκλάς 3.4 Νρό 80 Χαρτί 3.7 Τιτανιύχ στρόντι 30 Βακλίτης 4.9 Τιτανιύχ βάρι 00 κ
(Sewy & Jewett, 03)Εφόσν η παρένθση τυ διηλκτρικύ υλικύ στν πυκνωτή, λαττώνι τ αρχικό τυ ηλκτρικό πδί, θα λαττώνι και την τάση στα άκρα τυ πυκνωτή, ( πυκνωτής ίναι απσυνδδμένς από την πηγή ηλκτρικής νέργιας πυ αρχικά τν φόρτισ), διότι από την ξ. 5.4 παίρνυμ Σχήμα 5.8 (α) Επίπδς πυκνωτής μ φρτί, χωρητικότητα και διηλκτρικό τ κνό. (β) Διηλκτρικό υλικό τπθτίται μταξύ των πλισμών μταβάλλντας την χωρητικότητα σ κ και μιώνντας την τάση στα άκρα τυ πυκνωτή σ V κ =V V. (γ) Στην ηλκτρστατική ισρρπία, τ ηλκτρικό πδί Ε κ τυ πυκνωτή ίναι μικρότρ τυ αρχικύ πδίυ Ε πυ ίχ πριν την παρένθση τυ διηλκτρικύ. V E ( E E) E E V V V (5.) όπυ V ίναι η αρχική τάση στα άκρα τυ πυκνωτή χωρίς τ διηλκτρικό (μ κνό ανάμσα στυς πλισμύς), και V ίναι η τάση λόγω της πόλωσης τυ διηλκτρικύ. Επιδή μ την ισαγωγή τυ διηλκτρικύ η αρχική τάση V λαττώνται σ V κ, αλλά τ φρτί στυς πλισμύς δν αλλάζι, καταλήγυμ στην αύξηση της χωρητικότητας τυ πυκνωτή, διότι ισχύι V V (5.) V V V μιας και V >V κ. Τ συμπέρασμα αυτό τ έχυμ ξάγι ήδη από την ξ. 5.9. Έτσι λιπόν η διηλκτρική σταθρά νός υλικύ, αυξάνι την χωρητικότητα νός πυκνωτή κνύ ή αέρα, μιώνντας ταυτόχρνα την τάση τυ. Μ αυτόν τν τρόπ, χρησιμπιώντας υλικά μγάλης διηλκτρικής σταθράς, μπρύμ να πιτυγχάνυμ μγάλς χωρητικότητς πυκνωτών, μ απτέλσμα να απθηκύυμ πρισσότρ φρτί στυς πλισμύς τυς, αυξάνντας την τάση τυς μέχρι τα πιτρπτά όρια τυ κατασκυαστή τυς. Εκτός από την χωρητικότητα, τ διηλκτρικό υλικό τυ πυκνωτή μταβάλλι και την νέργια πυ μπρί να απθηκύσι πυκνωτής. Έτσι από την ξ. 5.6 πυ δίνι την νέργια φρτισμένυ πίπδυ πυκνωτή μ διηλκτρικό τν αέρα, μπρύμ αντιστίχως να γράψυμ για την νέργια πίπδυ πυκνωτή U κ σχτικής διηλκτρικής σταθράς κ U (5.3) V όπυ κ ίναι η νέα χωρητικότητα τυ πυκνωτή, η πία δίνται από την 5.9, και V κ η νέα τάση στα άκρα τυ πυκνωτή μτά την παρένθση τυ διηλκτρικύ (βλ. σχ. 5.8). Ας συγκρίνυμ την νέργια U κ μ την νέργια U V πυ έχι πυκνωτής μ διηλκτρικό μέσ τν αέρα ( ). Από την ξ. 5. γράφυμ για την τάση V κ Τότ η ξ. 5.3 δίνι E V (α) V V q κ E E VV (β) q (5.4) q κ E κ V κ (γ) q
(5.9) V V U κ κ ( ) ( ) κ κ κ κ κ U V U (5.5) Συμπραίνυμ λιπόν, ότι μ την παρένθση νός διηλκτρικύ υλικύ στν χώρ μ αέρα νός φρτισμένυ πίπδυ πυκνωτή, η νέργιά τυ μιώνται από U σ U κ. Τύτ φίλται στην πόλωση τυ διηλκτρικύ και στην λάττωση της τάσης στα άκρα τυ. Παρ όλα αυτά, η μέγιστη νέργια πυ δύναται να απκτήσι πυκνωτής, ξαρτάται από την μέγιστη τάση στην πία μπρί αυτός να υπβληθί, και η πία ρίζται από τ διηλκτρικό υλικό ώστ να μην υπάρξι διηλκτρική κατάρρυση. Η μέγιστη δυνατή φαρμζόμνη τάση στα άκρα νός πυκνωτή, νμάζται τάση κατάρρυσης, και αντιστιχί σ ένα μέγιστ ηλκτρικό πδί μέσα στ διηλκτρικό υλικό, τ πί νμάζται διηλκτρική αντχή τυ υλικύ και μτράται σ V/m (Kus, 993). Η διηλκτρική αντχή νός υλικύ ξαρτάται από παράγντς όπως η θρμκρασία, η υγρασία, ι ατέλις κ.α. Στν πίνακα 5. φαίννται πρσγγιστικά μόν, ι τιμές της διηλκτρικής αντχής διαφόρων υλικών. Όσ μγαλύτρη τιμή διηλκτρικής αντχής έχι ένα υλικό, τόσ καλύτρς μνωτής ίναι. Τα διηλκτρικά υλικά πυ χρησιμπιύνται στυς πυκνωτές έχυν μγαλύτρη διηλκτρική αντχή από τν αέρα, και πμένως, μπρύν να φαρμστύν σ αυτά μγαλύτρς τάσις από την τάση κατάρρυσης τυ αέρα V (mx), μ απτέλσμα η μέγιστη απθηκυμένη νέργια U κ (mx) στν πυκνωτή μ διηλκτρικό σχτικής διηλκτρικής σταθρά κ, να ίναι μγαλύτρη από την αντίστιχη τυ πυκνωτή αέρς U (mx). Ισχύι δηλ. U κ (mx) > U (mx) και συνπώς τα διηλκτρικά, κτός της χωρητικότητας αυξάνυν και την μέγιστη απθηκυμένη νέργια στν πυκνωτή. Πίνακας 5. Πρσγγιστικές τιμές της διηλκτρικής αντχής διαφόρων υλικών. Υλικό Διηλκτρική αντχή (0 6 V/m) Κνό Αέρας (ξηρός) 3 Τφλόν 60 Πλυστυρένι 4 Μαρμαρυγία (Μίκα) 60 Χαρτί 6 Βακλίτης 4 Τιτανιύχ στρόντι 8 Γυαλί (πυρέξ) 4 Πρσλάνη Παράδιγμα 5.7 Πυκνωτής μ διηλκτρικό Ένας πίπδς πυκνωτής μ αέρα έχι χωρητικότητα.3 pf. Η απόσταση των πλακών διπλασιάζται και ανάμσά τυς τπθτίται κρί. Η νέα χωρητικότητα ίναι.57 pf. Εάν η σχτική διηλκτρική σταθρά τυ αέρα ίναι κ α =, να υρίτ την σχτική διηλκτρική σταθρά τυ κριύ. Λύση Η χωρητικότητα τυ πίπδυ πυκνωτή μ μνωτικό υλικό τν αέρα, δίνται από την σχέση = όπυ ίναι η διηλκτρική σταθρά τυ αέρα (ίση πρίπυ μ αυτή τυ κνύ), Α τ μβαδόν των πλακών τυ πυκνωτή και η απόσταση των πλακών. Αυξάνντας την απόσταση των πλακών σ και τπθτώντας κρί ανάμσα από τις πλάκς, η νέα χωρητικότητα κ ίναι κ = () όπυ ίναι η διηλκτρική σταθρά τυ κριύ. Διαιρώντας κατά μέλη τις ξισώσις και παίρνυμ ()
3 = = = (3) κ κ κ Η ξ. 3 συνδέι την διηλκτρική σταθρά τυ κριύ μ αυτήν τυ αέρα. Επιδή ζητάμ την σχτική διηλκτρική σταθρά τυ κριύ, άν διαιρέσυμ και τα δυ μέλη της ξ. 3 μ την διηλκτρική σταθρά τυ κνύ παίρνυμ κ κ.57pf = κ = κ = κ = 3.89.3pF Επιδή τ κρί έχι μγαλύτρη σχτική διηλκτρική σταθρά από τν αέρα, γι αυτόν τν λόγ αυξάνι την χωρητικότητα τυ πυκνωτή. Παράδιγμα 5.8 Σχτική διηλκτρική σταθρά διηλκτρικύ Επίπδς πυκνωτής μ μνωτικό υλικό τν αέρα (κ ) ίναι φρτισμένς μ ηλκτρικό φρτί. Στα άκρα τυ πυκνωτή συνδέται βλτόμτρ πυ μτρά τάση V =5.5 V. Ξαφνικά ισάγται διηλκτρικό μταξύ των πλακών τυ πυκνωτή και η ένδιξη τυ βλτμέτρυ αλλάζι σ V=4.9 V, όπως δίχνι τ σχ. 5.9α. α) Πια ίναι η σχτική διηλκτρική σταθρά τυ διηλκτρικύ; β) Πια θα ίναι η ένδιξη τυ βλτμέτρυ V, άν τ διηλκτρικό συρθί πρς τα έξω, ώστ να γμίζι μόν τ ένα τρίτ τυ χώρυ μταξύ των πλακών, όπως δίχνι τ σχ. 5.9β; Λύση α) Αρχικά, πριν την ισαγωγή τυ διηλκτρικύ στν πυκνωτή, η χωρητικότητα τυ πίπδυ πυκνωτή μ αέρα δίνται από την ξ. 5.6, ως = () όπυ ίναι η χωρητικότητα τυ πυκνωτή, έχντας ως διηλκτρικό τν αέρα, η διηλκτρική σταθρά τυ αέρα, Α τ μβαδόν τυ κάθ πλισμύ και η απόσταση μταξύ των πλισμών. Η τάση πυ μτρά τ βλτόμτρ στα άκρα τυ πυκνωτή μ αέρα ίναι V =5.5 V. Όταν ισάγται στν πυκνωτή τ νέ διηλκτρικό μ διηλκτρική σταθρά, ισχύι για την νέα χωρητικότητα () Τ ηλκτρικό φρτί τυ πυκνωτή δν αλλάζι μ την τπθέτηση τυ νέυ διηλκτρικύ, πότ ισχύι V V (3) όπυ V ίναι η τάση τυ πυκνωτή μ αέρα, και V ίναι η τάση πυ μτρά τ βλτόμτρ στα άκρα τυ πυκνωτή μτά την ισαγωγή τυ διηλκτρικύ, διηλκτρικής σταθράς (σχ. 5.9α). Από την ξ. 3 παίρνυμ (4) () V = V V = V V = V Η σχτική διηλκτρική σταθρά τυ διηλκτρικύ ρίζται ως κ= (5) V (α) Α/3 V (β) (γ) Σχήμα 5.9 (α) Επίπδς πυκνωτής μ διηλκτρικό, χωρητικότητας και τάση V. (β) Ο ίδις πυκνωτής μ μρικώς νδπαρνθμέν διηλκτρικό, χωρητικότητας και τάση V. (γ) Ισδυναμία δύ πυκνωτών σ παράλληλη σύνδση μ διηλκτρικά και αντιστίχως (παράδιγμα 5.8).
4 Η ξ. 4 λόγω της 5 γράφται V V 5.5 V V 4.9 Βλέπντας τν πίνακα 5., καταλαβαίνυμ ότι τ διηλκτρικό ίναι η σιλικόνη. β) Εάν τ διηλκτρικό τπθτηθί σ μια νέα θέση ώστ τα δύ τρίτα τυ πυκνωτή να έχυν ως διηλκτρικό τν αέρα, νώ τ υπόλιπ ένα τρίτ τυ πυκνωτή να έχι διηλκτρικό τη σιλικόνη, στην υσία έχυμ ένα νέ πυκνωτή, τυ πίυ η χωρητικότητά ίναι (βλ. σχ. 5.9β). Η τάση στα άκρα τυ νέυ πυκνωτή πυ μτρά τ βλτόμτρ, ίναι μια μικρότρη τάση V. H χωρητικότητα ίναι ισδύναμη της χωρητικότητας μιας παράλληλης σύνδσης δύ πυκνωτών μ διηλκτρικά σταθράς και αντιστίχως, και χωρητικτήτων και, όπως ακριβώς δίχνι τ σχ. 5.9γ. Η συνλική χωρητικότητα της διάταξης ίναι () / 3 / 3 ( ) ( ) (6) 3 3 3 Όμως η ξ. 5 στην 6 δίνι () ( κ ) ( κ) ( κ) (7) 3 3 3 Επιδή ισχύι / V, τλικά παίρνυμ από την ξ. 7 3V (8) ( κ) Εφόσν η τάση τυ πυκνωτή μ τα δυ διαφρτικά διηλκτρικά (βλ. σχ. 5.9γ) ίναι V, τότ ισχύι (9) V Διαιρώντας κατά μέλη τις ξισώσις 8 και 9 έχυμ V 3V 3 5.5V 54.5 3V κ 4 ( κ) V V V V V ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Ε5. Εάν διπλασιάστ τ φρτί πυ υπάρχι συσσωρυμέν στυς πλισμύς νός πυκνωτή, θα μταβληθί η χωρητικότητά τυ; Ναι ή όχι και γιατί. Ε5. Σ έναν φρτισμέν πυκνωτή, τ συνλικό φρτί πυ απθηκύται στυς δύ πλισμύς τυ ίναι μηδέν μιας και ισχύι =0. Τι πραγματικά απθηκύται σ έναν πυκνωτή; Ε5.3 Στ χώρ μταξύ των πλακών πιπέδυ πυκνωτή ισέρχται πίπδη λπτή μταλλική πλάκα ακριβώς στην νδιάμση απόσταση, χωρίς να τυς αγγίζι και παράλληλη πρς αυτύς. Η χωρητικότητα τυ πυκνωτή, αυξάνται, μιώνται ή μένι η ίδια; Εξηγίστ τν συλλγισμό σας. Ε5.4 Επίπδς πυκνωτής ίναι φρτισμένς μ φρτί και μ τάση V στα άκρα τυ. Εάν τριπλασιάσυμ την απόσταση των πλισμών, πως μταβάλλται η χωρητικότητά, η τάση, τ φρτί και η νέργιά τυ;
5 Ε5.5 Δυ πυκνωτές έχυν την ίδια χωρητικότητα, όμως η τάση λιτυργίας τυ νός ίναι μγαλύτρη από την τάση τυ άλλυ. Πις από τυς δύ πυκνωτές έχι πλισμύς μγαλυτέρων διαστάσων; Ε5.6 Διαθέττ δυ πυκνωτές μ χωρητικότητς >. Πως πρέπι να συνδθύν ι δυ πυκνωτές μταξύ τυς, ώστ χωρητικότητας πυκνωτής να έχι μγαλύτρ φρτί από τν ; Ε5.7 Έστω τρις πανμιότυπι πυκνωτές ι πίι συνδένται μ μια πηγή τάσης. Πότ τ σύστημα των πυκνωτών απκτά μγαλύτρη νέργια; Όταν συνδένται και ι τρις σ σιρά μ την πηγή, ή όταν συνδένται παράλληλα μ αυτήν; Ε5.7 Εξηγίστ γιατί ένα διηλκτρικό υλικό αυξάνι την μέγιστη τάση λιτυργίας στα άκρα νός πυκνωτή, παρότι ι διαστάσις τυ πυκνωτή δν αλλάζυν. Ε5.8 Τ νρό έχι μγάλη διηλκτρική σταθρά (βλ. πίνακα 5.). Γιατί δν χρησιμπιίται ως διηλκτρικό υλικό στυς πυκνωτές; ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Π5. Επίπδς πυκνωτής. Επίπδς πυκνωτής αέρς έχι χωρητικότητα 500 pf και φρτί μέτρυ 0.00μ στν κάθ πλισμό τυ. Οι πλισμί (πλάκς) βρίσκνται σ απόσταση 0.400 mm μταξύ τυς. α) Πόση ίναι η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών; β) Πόση ίναι η πιφάνια κάθ πλισμύ; γ) Πόσ ίναι τ μέτρ τυ ηλκτρικύ πδίυ μταξύ των πλακών; δ) Πόση ίναι η πιφανιακή πυκνότητα φρτίυ στν κάθ πλισμό; Απάντηση: α) 400 V, β) 0.06 m, γ) 0 6 V/m και δ) 8.85 0 6 /m. Π5. Ηλκτρικό πδί πίπδυ πυκνωτή. Επίπδς πυκνωτής μ φρτί μιόμρφα κατανμημέν στυς πλισμύς τυ μβαδύ Α, ι πίι απέχυν απόσταση, δημιυργύν μιγνές ηλκτρικό πδί Ε όπως Σχήμα 5.0 Πρόβλημα 5.. φαίνται στ σχ. 5.0. Χρησιμπιώντας τν νόμ τυ Guss απδίξτ τη σχέση E=σ/. Υπόδιξη: Θωρίστ κλιστή κυβική πιφάνια να πριβάλι μέρς τυ νός πλισμύ, όπως φαίνται στ σχ. 5.0, και ότι τ φρτί κατανέμται ξίσυ και στις δυ πλυρές τυ κάθ πλισμύ. Π5.3 Σύνδση πυκνωτών. Τρις πανμιότυπι πίπδι πυκνωτές ίναι συνδδμένι παράλληλα. Τ μβαδόν πλάκας κάθ πυκνωτή ίναι Α και η απόσταση μταξύ των πλακών ίναι d. α) Πόση πρέπι να ίναι η απόσταση μταξύ των πλακών νός μόν πυκνωτή μ μβαδόν πλισμύ Α, ώστ η χωρητικότητά τυ να ίναι ίδια μ κίνη τυ παράλληλυ συνδυασμύ; β) Πόση πρέπι να ίναι η απόσταση, άν ι τρις πυκνωτές ίναι συνδδμένι ν σιρά; Απάντηση: α) d/3 και β) 3d. Α Β 3 Σχήμα 5. Πρόβλημα 5.3. Π5.5 Κύκλωμα πυκνωτών. Οι πυκνωτές τυ σχήματς 5., =3.00 μf, =6.00 μf, 3 =6.00 μf και 4 =3.00 μf Π5.4 Σύνδση πυκνωτών Οι τρίς πυκνωτές στ κύκλωμα τυ σχήματς 5., έχυν χωρητικότητς =.00 μf, =4.00 μf και 3 =9.00 μf αντίστιχα. Η φαρμσμένη διαφρά δυναμικύ ίναι μταξύ των σημίων Α και Β ίναι V ΑΒ =48 V. Υπλγίστ α) τ φρτί τυ D καθνός πυκνωτή, β) την διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλακών κάθ πυκνωτή. Απάντηση: α) =57.6 μ, Α S Β =5. μ, 3 =7.8 μ, β) V = V =8.8 V, V 3 =9. V. 3 4 E Σχήμα 5. Πρόβλημα 5.5.
6 συνδένται όπως στ διάγραμμα μ τν διακόπτη S ανικτό. Η φαρμσμένη διαφρά δυναμικύ ίναι V ΑΒ =400 V. α) Πόση ίναι η διαφρά δυναμικύ V D ; β) Πόση ίναι η διαφρά δυναμικύ στα άκρα τυ καθνός πυκνωτή αφύ κλίσι διακόπτης S; Απάντηση: α) 34 V, και β) όλς ι τάσις ίναι ίσς μ 00 V. Α 3 4 Β Π5.6 Ισδύναμη χωρητικότητα Στ κύκλωμα των τσσάρων πυκνωτών τυ σχήματς 5.3 υπλγίστ: α) την ισδύναμη χωρητικότητα τυ κυκλώματς, β) την διαφρά δυναμικύ στα άκρα τυ κάθ πυκνωτή, και γ) τ φρτί τυ κάθ πυκνωτή. Δίννται, =3 μf, =6 μf, 3 = μf, και 4 =4 μf, νώ η τάση της πηγής ηλκτρικής νέργιας ίναι ίση μ =00 V. Σχήμα 5.3 Πρόβλημα 5.6. Π5.7 Διηλκτρικό σ πίπδ πυκνωτή. Δυ παράλληλς πλάκς μβαδύ 0 cm, φρτίζνται μ τ ίδι φρτί 890 n αλλά μ αντίθτ πρόσημ. Τ ηλκτρικό πδί μέσα στ διηλκτρικό, τ πί γμίζι τ χώρ ανάμσα στις πλάκς ίναι.4 ΜV/m. Υπλγίστ την σχτική διηλκτρική σταθρά τυ υλικύ κ. Απάντηση: 6.5. Π5.8 Πυκνωτής μ διαφρτικά διηλκτρικά. Ένας πίπδς πυκνωτής μ μβαδόν πλισμών Α, και απόσταση d μταξύ τυς, ίναι γμάτς μ δύ διηλκτρικά υλικά σχτικών διηλκτρικών σταθρών κ και κ αντιστίχως, έτσι όπως φαίνται στα σχήματα 5.4α και 5.4β. Να υρθί η χωρητικότητα τυ πυκνωτή σ κάθ πρίπτωση. Απάντηση: α). ( ), και β) ( ). d d Π5.9 Πυκνωτής μ διηλκτρικό. Ένα διηλκτρικό πάχυς ισάγται ανάμσα στις πλάκς νός πιπέδυ πυκνωτή, ι πίς απέχυν απόσταση d. Απδίξτ ότι η χωρητικότητά τυ δίνται από την σχέση d ( ). κ κ κ κ (α) (β) Σχήμα 5.4 Πρόβλημα 5.8. Βιβλιγραφία/Αναφρές ns, M., & Finn, E. J. (99). Physics. pyight 99 y ddisn Westey Lngmn Ltd. Pesn Eductin Limited, Edinugh Gte. ISBN: 0056588. Benumf, R. (96). ncepts in Eecticity nd Mgnetism. pyight 96 y Ht, Rineht nd Winstn, Inc., New Yk. Feynmn, R. P., Leightn, R. B., & Snds, M. (009). Οι διαλέξις Φυσικής τυ Feynmn Ηλκτρμαγνητισμός και Ύλη. pyight 009, Εκδόσις ΤΖΙΟΛΑ. ISBN: 9789604880 (τόμς B ). Ginci, D. (0). Φυσική για πιστήμνς και μηχανικύς. 4 η ΤΖΙΟΛΑ. ISBN: 978960483760 (τόμς B ). Έκδση pyight 0, Εκδόσις Hidy, D., Resnick, R., & Kne, K. (009). Φυσική. Ελληνική Έκδση, pyight 009, Εκδόσις Γ. & Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ. ISBN: 978960758755 (τόμς B ).
7 Hidy, D., Resnick, R., & Wke, J. (03). Φυσική Ηλκτρμαγνητισμός, Σύγχρνη Φυσική, Σχτικότητα. Ελληνική Έκδση, pyight 03, Εκδόσις Guteneg. ISBN: 97896005949 (τόμς B ). Knight, R. D. (00). Φυσική για πιστήμνς και μηχανικύς Κύματα, Οπτική, Ηλκτρικό και Μαγνητικό Πδί. η Ελληνική Έκδση, pyight 00, Εκδόσις ίων/μακεδονικεσ ΕΚΔΟΣΕΙΣ, Σ. Παρίκυ & ΣΙΑ Ε. Ε. ISBN: 978960393067 (τόμς ΙΙ). Kus, J. (993). Ηλκτρμαγνητισμός. 4 η Έκδση, pyight 993, Εκδόσις Α. ΤΖΙΟΛΑ. Ε. ISBN: 960 7934. Lkwicz, F., & Meissins,.. (975). Physics f scientists nd enginees. pyight 975 y W. B. Sundes mpny. ISBN: 0765793 (Vume II). Ses, F. W. (95). Eecticity nd mgnetism. pyight 95 y ddisnwesey Puishing mpny, Inc. Sewy, P.., & Jewett, J. W. (03). Φυσική για πιστήμνς και μηχανικύς Ηλκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρνη Φυσική. Ελληνική Έκδση, pyight 03, Εκδόσις Κλιδάριθμς. ISBN: 978960465094. Yung, H. D., & Feedmn, R.. (00). Πανπιστημιακή Φυσική Ηλκτρμαγνητισμός, Οπτική. η Ελληνική Έκδση, pyight 00, Εκδόσις ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΕΒΕ. ISBN: 97896004733 (τόμς Β ). Αλξόπυλς, Κ. Δ., & Μαρίνς, Δ. Ι. (99). Γνική Φυσική Τόμς Δύτρς Ηλκτρισμός. η Έκδση, pyight 99, Εκδόσις ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΕΒΕ. ISBN: 9600098.