ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ ος Ηµθιώτικος Μθητικός ιγωνισµός στ Μθηµτικά «Η ΥΠΑΤΙΑ» Θέµ 1ο Σάτο 1 Νοεµρίου 009 Α Γυµνσίου Ο ρίσκετι σε έν κινηµτογράφο όπου όλες οι σειρές έχουν κριώς τον ίδιο ριθµό κθισµάτων. Πρτήρησε ότι µπροστά του ρισκότν 1 σειρές κθισµάτων, πίσω του 8, ριστερά 6 κι δεξιά 8. Ν υπολογίσετε πόσ κθίσµτ είχε ο κινηµτογράφος. Η ίθουσ του κινηµτογράφου είχε συνολικά 1 σειρές κθισµάτων. (1 σειρές µπροστά πό τον Mr.Math + 8 σειρές πίσω του +1 η σειρά που κθότν ο ίδιος). Η κάθε σειρά είχε πό 15 κθίσµτ (6 κθίσµτ ριστερά + 8 δεξιά του + 1 υτό που κθότν ο ίδιος) Εποµένως η ίθουσ συνολικά είχε 1Χ15= 315 κθίσµτ.
Θέµ ο Η µεγάλη µθηµτικός της ρχιότητς ΥΠΑΤΙΑ γεννήθηκε στην Αλεξάνδρει της Αιγύπτου το 370 µ.χ. εν πρόλε ν γεράσει. ολοφονήθηκε κθώς επέστρεφε σπίτι της. Τ χρόνι που έζησε είνι ένς ριθµός που διιρείτι µε το 3 κι το 5, ενώ ν διιρεθεί µε το 7 φήνει υπόλοιπο 3. Ν ρείτε πόσ χρόνι έζησε η ΥΠΑΤΙΑ κι ποι χρονιά πέθνε; Τ χρόνι που έζησε η Υπτί, είνι ένς ριθµός που διιρείτι µε το 3 κι το 5. Εποµένως είνι κοινό πολλπλάσιο των ριθµών 3 κι 5. Άρ είνι πολλπλάσιο του 15. ηλδή είνι κάποιος πό τους ριθµούς 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105,.. Τ υπόλοιπά των διιρέσεων των ριθµών υτών µε το 7 είνι ντίστοιχ: 1,, 3, 4, 5, 6, 0,.. (Πρτήρηση: ο επόµενος ριθµός που είνι πολλπλάσιο του 15 κι ότν διιρείτι µε το 7 φήνει υπόλοιπο 3 είνι ο 150. Αυτός όµως πορρίπτετι πό τ δεδοµέν.. εν πρόλε ν γεράσει.) Άρ η Υπτί έζησε 45 χρόνι κι πέθνε το 514 µ.χ. (370+45=415).
Θέµ 3ο Στο πρκάτω σχήµ δίνοντι 3 ηµικύκλι. Τ άκρ των ηµικυκλίων πέχουν πό το σηµείο Α τις ποστάσεις που είνι σηµειωµένες στο σχήµ. Χωρίζουµε την περιοχή νάµεσ στο µεσίο κι το µεγλύτερο ηµικύκλιο σε 7 ίσ µέρη κι ονοµάζουµε κάθε εµδόν. Χωρίζουµε επίσης την περιοχή νάµεσ στο µικρό κι το µεσίο ηµικύκλιο σε 4 ίσ µέρ κι ονοµάζουµε κάθε εµδόν. Ν ρείτε ποιο πό τ δύο εµδά ή είνι µεγλύτερο κι ν ιτιολογήστε το συµπέρσµά σς. Α 1 3 5 6 7 Πρτηρούµε ότι τ 3 ηµικύκλι είνι οµόκεντρ (έχουν το ίδιο κέντρο). Οι ντίστοιχες κτίνες τους είνι: 3,, 1 (πό το µεγλύτερο προς το µικτότερο) Γνωρίζουµε ότι ν ένς κύκλος έχει κτίν, τότε το εµδόν του είνι : E = π ρ 3,14 ρ. Άρ το εμδόν του ημικύκλιου (μισός κύκλος) θ είνι : 3,14 ρ = 1,57 ρ. Γι ν ρούμε το εμδόν των 7 τμημάτων (), στον εξωτερικό ημιδκτύλιο, θ φιρέσουμε πό το εμδόν του εξωτερικού ημικυκλίου που έχει κτίν 3, το εμδόν του εσωτερικού ημικυκλίου, που έχει κτίν. Έχουμε : Εμδόν εξωτ. ημικ. = 1,57 ρ = 1,57 3 = 1,57 9 = 14,13 Εμδόν εσωτ. ημικ. = 1,57 ρ = 1,57 = 1,57 4 = 6, 8
Επομένως το συνολικό εμδών των 7 τμημάτων () είνι: 14,13 6,8 = 7,85. Άρ το εμδόν κάθε τμήμτος () θ είνι 7,85 7 (). 1,1 Με νάλογο τρόπο ρίσκουμε το εμδόν του κάθε τμήμτος Δηλδή θ φιρέσουμε πό το εμδόν του εξωτερικού ημικυκλίου που έχει κτίν, το εμδόν του εσωτερικού ημικυκλίου, που έχει κτίν 1. Έχουμε : Εμδόν εξωτ. ημικ. = 1,57 ρ = 1,57 = 1,57 4 = 6, 8 Εμδόν εσωτ. ημικ. = 1,57 ρ = 1,57 1 = 1,57 1 = 1,57 Επομένως το συνολικό εμδών των 4 τμημάτων () είνι: 6,8 1,57 = 4,71. Άρ το εμδόν κάθε τμήμτος () θ είνι 4,71 4 1,17 Άρ το εμδόν του τμήμτος () είνι μεγλύτερο πό το εμδόν του τμήμτος ().
Θέµ 4ο Η τηλεφωνική Ετιρεί YPATIAPHONE προσφέρει δύο προγράµµτ γι τη σχολική χρονιά 009-010 στους µθητές που συµµετέχουν στο διγωνισµό ΥΠΑΤΙΑ που διενεργεί το Πράρτηµ της Ελλην. Μθηµτικής Ετιρείς της Ηµθίς γι τους µθητές της Α Γυµνσίου. Τ προγράµµτ ονοµάζοντι «009» κι «010». Το πρόγρµµ «009» προσφέρει γι τη διάρκει της σχολικής χρονιάς, 009 δωρεάν µηνύµτ Τ επιπλέον µηνύµτ χρεώνοντι 7 λεπτά το κθέν. Κάθε κλήση χρεώνετι προς 8 λεπτά. Το πρόγρµµ «010» προσφέρει 010 δωρεάν κλήσεις, ενώ οι επιπλέον κλήσεις χρεώνοντι προς 13 λεπτά κάθε µι. Κάθε µήνυµ χρεώνετι προς 7 λεπτά. Ο Υπάτιος που συµµετέχει στο διγωνισµό υπολογίζει ότι θ κάνει 500 κλήσεις κι θ στείλει 500 µηνύµτ. Ποιο πρόγρµµ του συµφέρει περισσότερο σύµφων µε τους υπολογισµούς του; Ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς. Το πρόγρµµ «009» γι 500 κλήσεις κι 500 µηνύµτ θ έχει το εξής κόστος: Κόστος µηνυµάτων: ( 500 009) 0,07 = 491 0,07 = 34,37 Κόστος κλήσεων : 500 0,08 = 00. Άρ το συνολικό κόστος γι το πρόγρμμ «010» είνι : 34,37+ 00= 34,37 Το πρόγρµµ «010» γι 500 κλήσεις κι 500 µηνύµτ θ έχει το εξής κόστος: Κόστος µηνυµάτων: 500 0,07 = 175 Κόστος κλήσεων :. ( 500 010) 0,13 = 490 0,13 = 63,7 Άρ το συνολικό κόστος γι το πρόγρμμ «009» είνι : 175+ 63,7= 38,7 Συνεπώς ο Υπάτιος θ πρέπει ν επιλέξει το πρόγρµµ «009».