v V (G) G (v) = 2 E(G)

½ ÈÓÒÓÚØÚ Ö G = (V(G),E(G)) ØÚÐ ÑÒÓö ØÓ V(G) ÑÒÓÚÒ ÚÓÞÐ ØÖ ÑÒÓö ÔÓÚÞÚ Ñ ØÑ ÚÓÞÐ E(G)º Ñ ÚÓÞÐÑ u Ò v Ó Ø ÔÓÚÞÚ ÔÖÚÑÓ Ø ÚÓÞÐ u Ò v Ó Òº ÈÓÚÞÚ ÑØ ÙÔÒÓ ÒÓ Ö ÑÒÙÒÓ ÒÒÒ ÔÓÚÞÚ Ò ÔÖÑÖ ÔÓ¹ ÚÞÚ uv Ò uwµº ËØÓÔÒ ÚÓÞÐ u (u) ÔÖ ØÚÐ ØÚÐÓ ÚÓÞÐ Ó Þ u Ó Òº ÆÑÒÓ ØÓÔÒÓ Ñ Ú Ñ ÚÓÞÐ Ö ÑÒÙÑÓ ÑÒÑÐÒ ØÓÔÒ ÚÓÞÐ Ú ÖÙ Ò ÓÞÒÑÓ δ(g) ÒÚÓ Ô Ñ¹ ÑÐÒ ØÓÒ ÚÓÞÐ (G)º Ø Ú ÖÙ ÑÒÑÐÒ Ò Ñ ÑÐÒ ØÓÔÒ Ò ÖÑÓ Ö ÖÙÐÖÒº Ö ÚÐ Ò ÐÒ ÓÔÞ ÄÑ Ó ÖÓÓÚÒÙº v V (G) G (v) = 2 E(G) Ö H = (V(H),E(H)) ÔÓÖ Ö G = (V(G),E(G)) ÚÐ V(H) V(G) Ò E(H) E(G)º ÈÓÖ H ÑÒÙ ÚÔØ Ñ Ò ÚÓÞÐ ÓØ Ö Gº Ñ ÔÓÖ H Ò ÚÓ ÚÓÞÐ Ú Ø ÔÓÚÞÚ ÓØ ÖG ÑÒÙ ÒÙÖÒ ÔÓÖ ÖGº Ö ÑÒÙ ÔÓÚÞÒ Þ Ú ÔÖ ÚÓÞÐ Ó Ø ÔÓØ Ñ ÒÑ Ú ÖÙº Ö Ò ÔÓÚÞÒ ÒÔÓÚÞÒº Î ÔÓÚÞÒ ÒÓØ Ö Ú ØÑ ÔÖÑÖÙ ÑÒÙ ÔÓÚÞÒ ÓÑÔÓÒÒØ Öº ÎÓÞÐ v Ö G ÑÒÙ ÔÖ ÒÓ ÚÓÞÐ Ö ÔÓ Ó ØÖÒØÚ Ø ÚÓÞÐ ÔÓ ØÒ ÒÔÓÚÞÒº ÈÓÚÞÚ e Ö G ÑÒÙ ÑÓ Ø Ö ÔÓ Ó ØÖÒØÚ Ø ÔÓÚÞÚ ÔÓ ØÒ ÒÔÓÚÞÒº Ö G ÚÓÐÒ Ö ÐÓ ÑÒÓöÓ ÚÓÞÐ ÞÔÑÓ ÓØ V(G) = A B A B = ØÓ ÞÒÓØÖ ÑÒÓö A ØÖ ÞÒÓØÖ ÑÒÓö B Ò ÔÓÚÞÚº ÁÞö Ö ÚÓÐÒ ÒØÒÓ Ø Ó ÒÑ Ð ÐÓÚº ØÚÒ ÔÖ ÐÚ f : V(G) V(H) ÞÓÑÓÖÞÑ ÖÓÚ uv E(G) ÒØÒÓ Ø Ó f(u)f(v) E(H)º ½º ËÔÓÑÒÑÓ Ò ÞÒÒ ÖÓÚ Ò ÒÓÚ ÓÞÒº ¾º ÆÖ ÖG V(G) = {x,y,z,u,v} ÒE(G) = {zy,yv,vz,uz,uv,uy}º ÓÐÓ ØÓÔÒ ÚÓÞÐ Ö G δ(g), (G) Ò ÒÖ G. º ÆÖ ÔÖÑÖ Ö Ò µ ØÖ ÚÓÞÐ ØÓÔÒÑ ½ ¾ ¾ µ ÔØ ÚÓÞÐ ØÓÔÒÑ ½ ½

µ Ø ÚÓÞÐ Ñ Ú ÚÓÞÐ Ð ØÓÔÒ Ò Ú ÒÓ ÚÓÞÐ ØÓÔÒ º º Óö ÔÓÚÞÒ r¹öùðöò Ö Ö r ÓÓ ØÚÐÓ ÒÑ ÑÓ Øº º ÈÓÒ Ö G Ò Ð ½º µ ÆÖ ÔÖÑÖ ÔÓÖH ÖG Þ ØÖ V(H) = {x,z,u,v}º µ ÆÖ ÔÖÑÖ ÔÓÖ H Ö G ÒÙÖÒ Þ ÚÓÞÐ Þ ÑÒÓö {x,z,u,v,y}º µ ÆÖ ÔÖÑÖ ÚÔØ ÔÓÖ H Ö Gº x z y w u v ËÐ ½ Ö Gº º ÃÓÒ ØÖÙÖ Ö ÔØÑ ÚÓÞÐ Ò ØÑ ÔÓÚÞÚÑ Ò Ú Ù ¹ÐÓÚº º Óö Ñ Ö G Ò Ú Ú ÚÓÞÐ Ú Ú ÚÓÞÐ Ø ØÓÔÒº º ÖÒ ÙÔ ÚÓÓ öòó ÒÓ ÔÖÖÐ ÞÚÓº Æ ÞÚÓ Ó ÔÖÐ ØÖ ÖÙ ÔÖº ÆØÖ ÙÐöÒ Ó Ò ÞÚ Ð Ú ÖÓÓ Þ ÖÙÑ ÑØÑ Ó Ò Ò Ð Ú ÖÓÓ ÚÓÑ ÔÖØÒÖѺ Æ ÓÒÙ ÞÚ ÖÒ ÚÔÖÐ Ó ØÐ ÙÐöÒ ÓÐÓ Ó Ñ Ó ÖÓÓÚк ÓÐ ÖÞÐÒ ÓÓÚÓÖÓÚº Ë ÓÐÓ ÙÐöÒ ÖÓÓÚÐ Ò º ÃØÖ Ó ÖÓÚ Ò Ð ¾ Ó Ñ Ó ÞÓÑÓÖÒ ½¼º ÈÓ ÔÖÑÖ ÑØÖÒ ÖG ÒÓÚ Ò ÚØÓÑÓÖÞÑ Ò¹ ØØص Þ V(G) > 1. ½½º ÈÓö Ñ Ú Ö G ÞÓÑÓÖÒ ÚÓÑÙ ÓÑÔÐÑÒØÙ 4n Ð 4n+1 ÚÓÞк ¾

ËÐ ¾ Ö Ò ÒÐÓ º ½¾º Ú ÔÖ ÖÓÚ Ò Ð ÓÐÓ Ð Ø ÞÓÑÓÖÒº Ø ÔÓ ÞÓÑÓÖÞÑ Ñ ÒÑ Ö ÙØÑÐ Þ Ò Ø ÞÓÑÓÖÒº G H F ËÐ Ö G,H Ò F º ½ º Æ Ó U ÔÓÐÙÒ ÓÒÒ ÑÒÓö Ò D Ò ÒÔÖÞÒ ÖÙöÒ Ò¹ Ò ÔÓÑÒÓöº ÒÖÑÓ Ö G ØÓÐ V(G) = D Ò E(G) = {AB;A B, A B }. Ö G ÑÒÙÑÓ ÔÖ Ò Ö ÖÙöÒ Dº ÃØÖÑ ÞÒÒÑ ÖÓÑ Ø ÞÓÑÓÖÒ ÔÖ Ò Ö ÖÙöÒ D Ö µ D= {{i,i+1}; i = 1,2,...,n 1}; µ D ÖÙöÒ Ú (n 1)¹ÐÑÒØÒ ÔÓÑÒÓö n¹ðñòøò ÑÒÓ¹ öº µ ÆÖ ÔÖ Ò Ö Ñ ÑÐÒ ÔÓÐÒ ÔÓÖÓÚ Ö Ò Ð ½º ½º Æ Ó V(G) = {v 1,v 2,...,v n }. Óö ÚÐ E(G) = n i=1 E(G v i). n 2 ½º Ë ÔÓÑÓÓ ØÓÔÒ ÚÓÞÐg ÖGÒ ÚÓÞÐhÖH ÞÔ ØÓÔÒÓ ÚÓÞÐ (g,h) Ö G H. ÆÖ Ö P 3 K 3. ½º ÖØÞÒ ÖÔ Ò Ð ÓÖ ÔÖÓÙØ ÞÔ ÓÖÑÙÐ Þ ÖÞÐ Ú ÔÖÓÙØÙ Ð Ò ÖÞÐ Ú ØÓÖº

½º½ ÖÚ Ò ÚÓÐÒ Ö ÖÚÓ ÔÓÚÞÒ Ö ÖÞ ÐÓÚº ÓÞ Ö ÖÞ ÐÓÚº Ö G Ó Ò ÐÒ Ò ÐÒ ØÖØÚ µ G ÖÚÓ µ G ÔÓÚÞÒ Ò Ú ÔÓÚÞÚ ÑÓ Ø µ Î ÔÖ ÚÓÞÐ ÔÓÚÞÙ ÒØÒÓ Ò ÔÓØ µ G ÔÓÚÞÒ Ò ØÚÐÓ ÔÓÚÞÚ E(G) = V(G) 1. Ö G ÚÓÐÒ Ö ÒØÒÓ Ø Ó Ò Ú Ù Ð Ðº ½º¾ ÆÐÓ ½º Óö G ÖÚÓ ÒØÒÓ Ø Ó G ÔÓÚÞÒ Ò E(G) = V(G) 1. ¾º ÆÖ Ú ÔÖÓÑ ÒÞÓÑÓÖÒ ÖÚ Ò Ø ÚÓÞк º Æ Ó F = (V,E) ÓÞ c ÔÓÚÞÒÑ ÓÑÔÓÒÒØѺ Óö E = V c. º Óö ÞÔÓÖ ÒÖÚÒ ØÚÐ d 1 d 2... d n 1 (n 2) ÞÔÓÖ ØÓÔÒ ÚÓÞÐ Ò ÖÚ ÒØÒÓ Ø Ó n i=1 d i = 2n 2. º ÖÚÓ T Ñ ØÓÔÒ ÚÓÞÐ ½ Ò º ÎÑÓ Ñ ÒØÒÓ ½¼ ÚÓÞÐ ØÓÔÒ Ó ØÐ ÚÓÞÐ Ô Ó ØÓÔÒ ½º ÃÓÐÓ ÔÓÚÞÚ ÓÞÖÓÑ ÚÓÞÐ ÔÖÑÓÖ ÖÚÓº º ÖÚÓ T Ñ ØÖ ÚÓÞÐ ØÓÔÒ ¾ ÒÓ ÚÓÞÐ ØÓÔÒ Ú ÚÓÞÐ ØÓÔÒ Ò ÒÓ ÚÓÞÐ ØÓÔÒ º ÎÓÞÐ Ú ØÓÔÒ ÒѺ ÁÞÖ¹ ÙÒ ÓÐÓ ÚÓÞÐ ØÓÔÒ ½ Ñ ÃÓÐÓ ÚÓÞÐ Ò ÓÐÓ ÔÓÚÞÚ Ñ ÖÚÓ T º Æ Ó T ÖÙöÒ ÖÚ ÑÓ Ú ÒÓØÖÒ ÚÓÞÐ ØÓÔÒ º µ ÆÖ Ú ÒÞÓÑÓÖÒ ÖÚ ÖÙöÒT Ò ½¾ Ò ½ ÚÓÞк µ ÈÓö ÑÓ ÖÚ ÖÙöÒ T ØÚÐÓ Ð ØÓÚ Þ ¾ Ú Ó ØÚÐ ÒÓØÖÒ ÚÓÞк

º Æ Ó G k¹öùðöò ÚÓÐÒ Ö Þ k > 0 Ò ÚÓÐÒÑ ÖÞØÑ V(G) = X +Y. Óö ÚÐ X = Y. º ÁÞ ØÒÖÒ8 8 ÓÚÒ Ó ØÖÒÑÓ ÞÓÖÒ ÐÚ ÚÖØ Ò ÔÓÒ Ò ÚÖغ Óö ÓÐÒ Ò ÑÓÖÑÓ ÔÓÖØ Þ 1 2 ÓÑÒÑ ØÓ ÓÑÒ Ñ Ó Ò ÔÖÖÚÓº

¾ ÖÚÒ ÚÓÞÐ Ò ÔÓÚÞÚ¹ÔÓÒÓÚØÚ ½º ÓÐÓ ÖÓÑØÒÓ ØÚÐÓ ÖÓÚ Ò Ð º ËÐ Ö G Hº i a b h c g d f e ËÐ Ö Gº ¾º Æ Ó X = {1,2,...,n}º ÒÖÑÓ Ö G n,k ØÓÐ V(G n,k ) = {Y X; Y = k}, E(G n,k ) = {Y 1 Y 2 ; Y 1,Y 2 V(G n,k ) Ò Y 1 Y 2 = 1}. µ ÆÖ Ö G 4,2. µ ÓÐÓ ÖÓÑØÒ Ò Ò ÖÓÑØÒÓ ØÚÐÓ Ö G 4,2. µ Ö G n,k ÓØÒÓ ÖÙÐÖÒº ÓÐÓ ÒÓÚÓ ØÓÔÒÓº º Óö Þ ÔÓÐÙÒ ÖG ÒH ÚÐ χ(g H) = max{χ(g),χ(h)}. º ÓÐÓ ÖÓÑØÒÓ ØÚÐÓ Ö C 4 G, Ö G Ö Ò ËÐ º ÓÐÓ ÖÓÑØÒ Ò Ö Gº

º Óö Ð ÓÚÖÞ Ò ÐÒ ØÖØÚº µ Î k¹öóñøò Ö Ñ ÓÖÓ k¹öúò Ú ØÖÑ Ñ Ò ÖÚÒ ÖÞÖ α(g) ÚÓÞк µ Ú Ö G χ(g) V(G) α(g)+1. º Ö ËÖÔÒ S(n,k) ÒÖÒ ØÓÐ V(S(n,k)) = {1,2,...,k} n º Ú ÖÞÐÒ ÚÓÞÐ u = (u 1,...,u n ), v = (v 1,...,v n ) Ø Ó Ò Ò¹ ØÒÓ Ø Ó Ó Ø h {1,...,n} ØÓ µ u t = v t Þ Ú t {1,2,...,h 1} µ u h v h Ò µ u t = v h Ò v t = u h Þ Ú t {h+1,...,n}. ÆÖ Ö S(3,3) Ò S(2,4)º ÁÞÖÙÒ χ(s(n,3)) Ò χ (S(n,k)) Þ Ó kº º Óö Ó ¹ÖÙÐÖÒ ÑÐØÓÒÓÚ Ö ØÔ ½º

ÃÖØÒ Ö ½º Óö Þ Ú k¹öøò Ö H δ(h) k 1º ¾º ÈÓ ÖÓÑØÒÓ ØÚÐÓ Ö G Ò Ð º Ð G ÖØÒ Ö Ò ÔÓ χ(g)¹öøò ÔÓÖ Ó Gº º Æ ÓGÞÖÙöÒ ÖÓÚC 5 ÒK s. ÓÐÓ ÖÓÑØÒÓ Ò ÐÒÓ ØÚÐÓ Ö Gº Ð G ÖÚÒÓ ÖØÒ ËÐ Ö Gº º Óö Ú k¹öøò Ö ¾¹ÔÓÚÞÒº º Óö Ú k¹öøò Ö (k 1)¹ÔÓÚÞÒ ÔÓ ÔÓÚÞÚº º Æ Ó G k¹öøò Öº µ Óö G ÒÑ ÔÖ Ò ÑÒÓö ÔÖÓÑ Ó ÒÑ ÚÓÞк µ Óö S = {x,y} ÔÖ Ò ÑÒÓö ÔÓØÑ xy / E(G) Ò G Ñ S¹ÐÓ H ØÓ ÚÐ χ(h +xy) = k. º Ú n 4 Ò n 5 ÓÒ ØÖÙÖ ¹ÖØÒ Ö Ò n ÚÓÞк º Óö Þ Ú k¹öóñøò Ö G ÖÞ ØÖÓØÒÓÚ ÅÝÐ ¹ Ú ÓÒ ØÖÙ G (k +1)¹ÖÓÑØÒ Ö ÖÞ ØÖÓØÒÓÚº º Óö G k¹öøò ÔÓØÑ G ÅÝÐ Ú ÓÒ ØÖÙµ (k +1)¹ÖØÒº

ÈÓÚÞÒÓ Ø ½º Æ Ó k ÓÓ ØÚÐÓº H k,n Ö Ò n ÚÓÞÐ ÐöÓ Ò ÖÓÙ ØÓ ØÚÓÖÓ ÚÓÞÐ ÔÖÚÐÒn¹ÓØÒº Î Ó ÚÓÞÐ Ó Ò k 2 ÒÐöÑ ÚÓÞÐ Ú Ú Ó ÑÖº Óö κ(h k,n) = kº ¾º ÃÓÒ ØÖÙÖ Ö G Þ ØÖ ÚÐ κ(g) < λ(g) < δ(g). º Óö Þ ¹ÖÙÐÖÒ Ö ÚÐ κ(g) = λ(g). º ÖÞ ÙÔÓÖ ÅÒÖÚ ÞÖ Óö Ö G Þ Ú ØÖÑ ÚÓÞÐ ¾¹ÔÓÚÞÒ ÒØÒÓ Ø Ó Þ ÔÓÐÙÒ ÚÓÞÐ u,v Ö G Ó ØØ ÒÓØÖÒ ÙÒØÒ u,v¹ôóø Ú Gº º ÈÓ κ(x,y) ÚÐÓ Ø ÒÑÒ ÔÖ Þ x,yµ Ö G Ò ËÐ º º Óö Ö G Þ V(G) 3 Ò α(g) κ(g) ÑÐØÓÒÓÚº º Æ Ó G Ö Ò xy E(G). Óö κ(g) 1 κ(g xy) κ(g). º Æ Ó G Ö Ò 2n ÚÓÞÐ Ò Ò Ó ØÓÔÒ Ú ÚÓÞÐ Ú n. Óö G ÔÓÚÞÒº x d u w c z v a b ËÐ Ö Gº y

ÊÚÒÒ Ö ½º ÃØÖ ÞÑ ÖÓÚ Ò Ð Ó ÖÚÒÒ ËÐ Ö G 1,...,G 5 º d c i j h g k e f a b ËÐ Ö G Ò Hº ¾º ØÖ s,r Ö K s,r ÖÚÒÒ º ÈÓ ÔÖÑÖ ÖÚÒÒ Ö Ò Ó Ñ ÚÓÞÐ ØÖ ÓÑÔй ÑÒØ Ó ÔÖÚ ØÓ ÖÚÒÒ º º Ò Ø Ö ÒÖ Ò Ò Ð º Ð ØÖ ÞÑ ÖÓÚ ÖÚÒÒ º ÙÔÓÖÓ ÙÐÖÚ ÓÖÑÙÐ Óö ÈØÖ ÒÓÚ Ö Ò ÖÚÒÒ º º ÆÖ ÙÐÒ Ö ÖÓÚ ÒÖ Ò Ò Ð ½¼º º Æ Ó G ÔÓÚÞÒ ÖÚÒÒ Öº Óö G ÚÓÐÒ ÒØÒÓ Ø Ó ÒÓÚ ÙÐ G ÙÐÖÚº ½¼

ËÐ ½¼ Ö G H Ò Kº ÃÌÁÎÆÇËÌÁ α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 α 8 ÈÇÌÊÆ Ë ¾ ÇÈÊÎÄÂÆ ÃÌÁÎÆÇËÌÁ ¹ ¹ α 1 α 1 α 2 α 4,α 5 α 3,α 6 α 4,α 5 ÌÐ ½ ØÚÒÓ Ø Ò ÔÖÓØÙº ÇÑÖö Ò ÔÖØÓ ½º Óö Ú Ú Ñ ØÙÖÒÖÙ Ó Ø Ù ÑÖÒ ÔÓØ Ú Ù Ú ÚÓÞÐ Öº ¾º ÌÐ ½ ÓÞÒÙ ØÚÒÓ Ø α 1,...α 8 Ó ÚÔÐØÒ Ú ÞÚÓ Ò ÔÖÓغ ÈÓÒ Ó ØÙ ÔÓØÖÒ Þ ÞÚÓ ÓÐÓÒ ØÚÒÓ Øº ÎÑÓ ØÙ ØÖ ØÚÒÓ Ø ÑÓÖÓ Ø ÓÒÒ ÔÖÒ ÐÓ ÞÒÑÓ Þ ÞÖÒÓ ØÚÒÓ ØÓº ÃÓÐÒ ÒÑÒ ÔÓØÖÒ Þ ÞÚÓ Ø ÔÖÓØ º ÈÓ ÒÚ ÔÖØÓ ÓÑÖö G Ò Ð ½½º 5 6 3 4 2 5 3 7 4 ËÐ ½½ ÇÑÖö Gº º ÁÞÖ ÔÓÐÙÒ ÔÖØÓ f Þ ÚÖÒÓ ØÓ ÓÑÖö Þ Ð ½½º Ô ÔÓ ØÓÔ Þ ÔÓÚÒ ÔÖØÓº ½½

º ÖÑ Ò Ð ½¾ ÔÖ ØÚÐ ÓÑÖö ÔØØÑ Ò ÚÖÒÓ ØÑ ÔÖØÓ fº (5,5) (0,4) (5,10) (6,6) (0,8) (2,3) (3,11) (1,2) (1,6) (7,9) (4,4) ËÐ ½¾ ÇÑÖöº µ ÃÓÐÒ ÚÖÒÓ Ø f µ ÈÓ ÒÞ ÒÓ f¹ôóø Ò Ð Ò ÒÓ ÔÓÚ ÔÖØÓ fº µ ÈÓ ÔÖÖÞ ÔØØÓ ½¾º ½¾

ÆÓÚ ÒÓ ØÒÓ Ò ÓÑÒÒØÒÓ ØÚÐÓ ½º Óö µ α(g H) min{α(g) V(H),α(H) V(G) } µ α(g H) α(g)α(h)+min{ V(G) α(g), V(H) α(h)}º ¾º Óö χ(g) α(g) V(G) Ú Ó ÒÒÓ Ø ÔÓ V(G) α(g) (G)+1 º ÔÖÑÖ Ö Þ ØÖ Ó ÚÐÐ Òº º ÈÓö Þ ÒØÖÚÐÒ Ö G ÚÐ α(g) V(G) E(G) (G) º º Óö α(g) v V(G) 1 deg G (v)+1 º º Óö Ö G m¹ôóöðú ÒØÒÓ Ø Ó α(g K m ) V(G) º º Óö γ(g H) min{γ(g) H,γ(H) G }. º Óö γ(g H) max{ρ(g)γ(h),ρ(h)γ(g)}. º Ô Ò ÐÒ ÐÓ Þ ÙÔÓÖÓ ÓÑÒÒØÒ ØÚк ÆÑÒ ÓÐÓ ÖÐ ÔÓØÖÒÓ ÔÓ ØÚØ Ò ÓÚÒÓ Ó ÒÔÒ Ú ÔÓÐ ÓÚÒº º Óö γ(g) 2 Þ Ú Ö G Þ ÑØÖÓÑ Ú º ½¼º Óö Þ ÔÓÚÞÒ Ö G Þ ÑØÖÓÑ ¾ ÚÐ γ(g) δ(g). ½