Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A, B F vrijedi (c) Ilustriraj (b) grafički i na primjeru. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Rješenje. Vidi predavanja.
Zadatak 2. Na konop duljine 16 metara izmedu dva usidrena broda, slučajno i nezavisno su sletjela dva galeba. Izračunajte vjerojatnost da je udaljenost galebova od brodova, kao i njihova medusobna udaljenost, barem 4 metra. Rješenje. Definiramo vjerojatnosni prostor Ω = {(x, y) : 0 x y 16}. pri čemu x i y predstavljaju mjesta na konopu na koja su sletjeli galebovi. 0 x y 16 Vrijedi 16 16 λ(ω) = 2 Duljine traženih udaljenosti su redom x, y x i 16 y pa je traženi dogadaj A = {sve tražene udaljenosti su veće od 4 m} = {(x, y) Ω : x 4, y x 4, 16 y 4} = = {(x, y) Ω : x 4, y x + 4, y 12}. y 16 x = 4 y = x + 4 12 8 A y = 12 4 4 8 16 x Sada slijedi da je P (A) = λ(a) λ(ω) = 4 4/2 16 16/2 = 1 16.
Zadatak 3. Igrač baca simetrični tetraedar sa stranama označenim brojevima 1,..., 4. Ako padne 2 bacimo još dva simetrična tetraedra. (a) Izračunajte vjerojatnost da se u svim bacanjima zajedno nije pojavila niti jedna jedinica. (b) Neka je X broj jedinica koje su se pojavile u svim bacanjima zajedno. (b1) Odredite razdiobu slučajne varijable X. (b2) Odredite E [X] i E [(X + 2) 2 ]. Rješenje. (a) Definirajmo potpuni sistem dogadaja H i ={na tetraedru je pao broj i}, za i {1,... 4}. Za sve i {1,... 4} je P (H i ) = 1/4. Nadalje, definirajmo dogadaj A = {nije pala niti jedna jedinica u svim bacanjima}. Odgovarajuće uvjetne vjerojatnosti su P (A H 1 ) = 0, P (A H 2 ) = 32 4 2, P (A H 3 ) = 1 i P (A H 4 ) = 1. Po formuli potpune vjerojatnosti računamo 4 P (A) = P (A H i )P (H i ) = 1 ) (0 4 + 32 4 + 1 + 1 = 41 2 64 0.641. i=1 (b1) Vidimo da je X poprima vrijednosti 0, 1, 2, sada, kao u (a) dijelu zadatka računamo ( ) ( ) 0 1 2 0 1 2 X 1 + 1 + 1 32 1 + 1 1 3 2 1 12 41 22 1. 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 2 64 64 64 (b2) Računamo i E [X] = 0 41 64 + 1 22 64 + 2 1 64 = 3 8 = 0.375 E [(X + 2) 2 ] = (0 + 2) 2 41 64 + (1 + 2)2 22 64 + (2 + 1 2)2 64 = 18 32 5..
Zadatak 4. Slučajno i nezavisno biramo dva broja, prvi iz skupa {1, 2, 3}, a drugi iz skupa {2, 3, 4}. Neka je X najveći zajednički djelitelj ta dva broja, a Y ostatak pri dijeljenju s 3 maksimuma ta dva broja. (a) Odredite distribuciju slučajnog vektora (X, Y ). (b) Odredite koeficijent korelacije slučajnog vektora (X, Y ). (c) Jesu li slučajne varijable X i Y nezavisne? (d) Odredite P (X 2 > Y ). Rješenje. (a) Slučajni vektor (X, Y ) ima distribuciju X/Y 0 1 2 1 3/ 2/ 1/ 6/ 2 0 1/ 1/ 2/ 3 1/ 0 0 1/ 4/ 3/ 2/ 1 (b) Marginalne distribucije su i Sada računamo očekivanja i varijance ( ) 1 2 3 X 6 2 1 ( 0 1 2 Y 4 3 2 ). E [X] = 1 6 + 2 2 + 3 1 = 13, E [Y ] = 0 4 + 1 3 + 2 2 = 7 Var [X] = E [X 2 ] (E [X]) 2 = 1 2 6 + 22 2 + 32 1 ( ) 2 13 = 38 81,
Var [Y ] = E [Y 2 ] (E [Y ]) 2 = 0 2 4 + 12 3 + 22 2 Nadalje, kovarijanca je ( ) 2 7 = 50 81. Cov(X, Y ) = E [XY ] E [X]E [Y ] = 1 1 2 + 1 2 1 + 2 1 1 + 2 2 1 13 7 = 1 81. Konačno dobivamo da je koeficijent korelacije slučajnih varijabli X i Y ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) 1/81 = 0.023. Var [X] Var [Y ] 38 50/81 (c) Budući da su slučajne varijable X i Y korelirane, nisu nezavisne. Alternativno, isto možemo zaključiti direktnom provjerom uvjeta nezavisnosti, npr. (d) Primjetimo da je P (X = 3, Y = 2) = 0 2 81 = 1 2 = P (X = 3) P (Y = 2). P (X 2 Y ) = P (X = 1, Y = 1) + P (X = 1, Y = 2) = 2 + 1 = 1 3 pa je P (X 2 > Y ) = 1 P (X 2 Y ) = 2 3.
Zadatak 5. Rulet ima 18 crvenih polja, 18 crnih polja i jednu nulu (ona nije niti crvena niti crna). U svakoj igri baca se kuglica i ona s jednakom vjerojatnosti padne na bilo koje polje. (a) Neka je s X označen redni broj igre u kojoj je prvi puta kuglica pala na crveno. (b) (a1) Odredite distribuciju i očekivanje slučajne varijable X. (a2) Izračunajte vjerojatnost da će trebati barem tri pokušaja da kuglica prvi puta padne na crveno. Šime igra 80 igara ruleta i u svakoj se igri kladi na crveno. Ako kuglica padne na crveno, onda dobije 1 kn, a inače gubi 1 kn. Izračunajte vjerojatnost da će nakon 80 igara Šime imati zaradu veću od 10 kn. Rješenje. (a) Vjerojatnost da u jednom bacanju kuglica padne na crveno je p = 18 37. (a1) X je geometrijska slučajna varijabla s parametrom p = 18, tj. 37 ( ) k 1 1 P (X = k) = (1 p) k 1 p = 18, za sve k N. 37 37 Zbog toga je (a2) Iz prvog dijela slijedi da je E [X] = 1 p = 37 18 2.055. P (X 3) = 1 P (X 2) = 1 P (X = 1) P (X = 2) = 1 18 37 1 37 18 37 0.264. (b) Označimo s Y broj puta kada je u tih 80 bacanja kuglica pala na crveno. Tada je Y B(80, 18/37), a Šimina zarada je Z = 1 Y 1 (80 Y ) = 2Y 80. Koristeći centralni granični teorem računamo P (Z 10) = P (2Y 80 10) = P (Y 45) 1 φ( 18 45 80 37 80 18 1 37 37 = 1 0.131 = 0.086. ) = 1 φ(1.36) Dakle, vjerojatnost da će Šime nakon 80 bacanja biti u dobitku više od 10 kuna je približno 8.7%.