KINEMATIKA.3 Ubznje Ubznj je ekosk fizičk eličin kojom se efiniše nčin pomene eko bzine okom emen. Ko i bzinu, ubznje ko pojm pi je ueo Glilej..3. Ubznje pi ekoskom opisinju kenj Peposimo se meijln čk keće s le n esno. U enuku = nlzi se u položju, oznčenim s čkom M n jekoiji, koji je efinisn ekoom položj = ( ) i im bzinu = ( ). U enuku = + nlzi se u čki M, eko položj im enos = ( + ) i im bzinu = ( + ) (ii sl..). Pomen eko bzine z emenski inel = iznosi: = = ( + ) ( ). (.3) M M. Slik. Senje ubznje pi ekoskom opisinju kenj Definišimo eko senje ubznj (u ljem eksu senje ubznje) ko onos pomene bzine i emensko inel u kome je pomen nsl: = s. (.3) Kko eko senje ubznj ne je čnu infomciju o pomeni eko bzine u emenu žimo njenu ničnu enos k i n j nčin efinišemo eko enuno ubznj (ili smo ubznj): = lim s = lim =. (.33) Veko ubznj peslj pi izo eko bzine po emenu i iz o zlo pc eko ubznj u oj čki jekoije je nen n hoof eko bzine u oj čki. N sl..3 pikzn je nčin oeđinj ubznj u čki M. Ispekin ki linij peslj jekoiju, pun hoof eko bzine. s M M (). O Slik.3 Oeđinje pc ubznj u oj čki punje
.3 Ubznje Veko ubznj može se izzii i peko eko položj uzimjući u obzi (.8) i (.33): =. (.34) Dimenzij ubznj je (=) l, jeinic u SI je m s..3. Ubznje pi pionom opisinju kenj Uzimjući u obzi (.33) i (.3) obijmo izz z eko ubznj: ( τ ) τ = = τ +. (.35) N osnou po čln s esne sne (.35) zključujemo eko ubznj im komponenu už pc nene n jekoiju koj se nzi eko nencijlno ubznj: čiju ćemo pojekciju n pc nene obeleži s: τ = τ, (.36) τ =. (.36) τ D bi oeili uu komponenu eko ubznj eb oeii noi eko. To ćemo uii posmjući kenje meijln čke n nčin ko šo je pikzno n sl..4. S pomenom enosi lučne kooine s menj se i jeinični eko nene ko je τ = τ (s). Uoeći smenu pomenljiih obijmo τ τ s τ = =. (.37) s s Po efiniciji Nš zk je oeimo količnik pišj jeinično eko nene i lučne kooine u ničnom slučju k. S sl..4 uočmo pišj lučne kooine z eme iznosi s = M M, pišj jeinično eko nene je τ = τ τ. τ τ = lim. (.39) s s τ b τ θ τ τ M n b M n + O ρ _ θ Slik.4 Oeđinje ubznj pi pionom opisinju kenj C
KINEMATIKA Inenzie K čk M M ko možemo smi obe čke leže n kužnici polupečnik ρ s cenom u čki C, e su ρ i C polupečnici kiine jekoije i cen kiine z čku M, ko je : s = M M = ρ θ. (.4) S ue sne, uo koji zklpju τ i τ je kođe θ, je su njihoi pci nomlni n pce polupečnik kiin jekoije u čkm M i M, e je: τ = τ θ = τ θ = θ. (.4) τ Inezie eko, n osnou (.39)-(.4), je: s τ θ = = s ρ θ ρ. (.4) Pc Uočimo n sl..4 ouo koji čine ekoi τ, τ i τ. Kko je τ = τ = u pinju je jenkokki ouo. Uloi n snicom užine τ su isi i eže enosi π k θ šo znči je pc eko τ, smim im i eko τ s, u ničnom slučju k θ, onosno k s, nomln n pc jeinično eko nene u posmnoj čki punje M. Sme Sme eko τ s u oj čki punje je uek n konknu snu kie. N osnou se oe neeno zključujemo je noi eko: τ = n, (.43) s ρ i ubznje poe nencijlne komponene im i nomlnu komponenu koju obijmo iz (.38) i (.43): n = n. (.44) ρ Dkle, pi pionom opisinju kenj ubznje uek leži u skulonoj ni i nik nem komponenu už pc binomle (ii sl..4). = τ + n = τ τ + n n, (.45) ρ e su τ i n lebske enosi inezie eko nencijlno i nomlno ubznj, espekino. Inezie ubznj je elcijom: = τ + n = τ + n, b (.46) uloi koje zklp s jeiničnim ekoim nene τ τ i nomle su elcijm: n n τ cos(, τ ) = n ; cos(, n) =. (.47) Sik.5 Ubznje pi pionom opisinju kenj
.3.3 Osobine nomlno i nencijlno ubznj.3 Ubznje 3 Tnencijlno ubznje je ooono z pomenu inezie bzine. Njeo lebsk enos može bii τ = < ili τ = > ili τ = =. Ukoliko je jenko nuli okom celo kenj u pinju je kenje s bzinom konsnno inezie, ukoliko je jenko nuli u oeđenom enuku kenj u om slučju bzin osiže eksemnu enos (mimimlnu ili mksimlnu). Znjući nencijlno ubznje možemo oeii enos lučne kooine osukom inecijom jenčine: s τ = =. (.48) Nomlno ubznje oeđuje pomenu pc bzine. Njeo lebsk enos je uek n, šo slei iz njeoe efinicije je je i ρ u skoj čki jekoije. Ukoliko je n = zlikujemo mouć slučj: I) > i ρ i II) = i ρ >. Ako su usloi po slučj ispunjeni okom celo kenj u pinju je polinijsko kenje, ko su ispunjeni u oeđenoj čki jekoije on on peslj peojnu čku jekoije. Ako su usloi uo slučj ispunjeni okom celo kenj u pinju je mionje n kiolinijskoj jekoiji, ko su ispunjeni u oeđenoj čki jekoije on u oj čki olzi o pomene sme bzine..3.4 Diskusij kenj u zisnosi o lebskih enosi nomlno i nencijlno ubznj Rzlikoćemo čeii slučj kenj u zisnosi o enosi koje imju n i τ okom celo kenj. Ako su: ) n = i τ = u pinju je polinijsko kenje bez pomene inezie bzine; ) n > i τ = u pinju je kiolinijsko kenje bez pomene inezie bzine; 3) n = i τ u pinju je polinijsko kenje s pomenom inezie bzine; 4) n i τ u pinju je kiolinijsko kenje s pomenom inezie bzine; Slučjei po ) i ) spju u upu unifomnih kenj..3.5 Oeđinje lebske enosi inezie eko bzine, lučne kooine peđeno pu ko poizoljno kenj ukoliko je pozno τ Inecijom (.36) obijmo inelnu jenčinu: ( ) = τ, (.36x) ( = ) = čijim ešnjem obijmo izz z lebsku enos inezie eko bzine u obliku ( ) = ( = ) + τ. (.36y) Ušnjem (.36y) u (.8) obijmo izz z enos lučne kooine u obliku: = s( ) = s( = ) + ( = ) + τ. (.8) = = Ušjući (.36y) u (.) obijmo izz z peđeni pu u obliku: S, = ) = = Anlizićemo kkeisičn opše pozn slučj: ( = + τ. (.)
4 KINEMATIKA ) τ = ( ) = ( = ), s ( ) = s( = ) + ( = ), = ( = ) ) τ = cons. ( ) = ( = ) + τ,.3.6 Ubznje u Dekoom kooinnnom sisemu S, ; τ s( ) = s( = ) + ( = ) +, S, = ( = ) + τ. = Polzeći o efinicije eko ubznj (.33) i izžjući eko položj peko kooin u Dekoom kooinnnom sisemu (.) obijmo izz: = ( x i + y j + z k ). (.49) Kko su ooi i, j, k konsnni ubznje možemo npisi u sleećem obliku: x y z i + j + k, (.49) = ili peko njeoih sklnih komponeni (pikznih n sl..6): = x i + y j + z k, (.49b) e su : x = x = x, y = y = y, z = z = z. (.49c) x x y z i j k Slik.6 Ubznje u Dekoom kooinnnom sisemu z y Ukoliko su nm pozne pmeske jenčine kenj x = x( ), y = y( ), z = z( ) eko bzine oeđujemo n sleeći nčin: ) Inenzie = ( x / ) + ( y / ) + ( z / ) ; (.5) ) Pc Uloe koje eko bzine zklp s poziinim smeoim x, y, z -os su: x y z cos(, i ) =, cos(, j) =, cos(, k ) = ; (.5) 3) Sme Infomcij o smeu je sžn u (.5) iz zlo šo su u bojiocim ih količnik pojekcije eko ubznj koje mou bii i poyiine i neine..
.3 Ubznje 5.3.7 Oeđinje τ i n peko pmeskih jenčin u Dekoom kooinnnom sisemu Smćemo su nm pozne pmeske jenčine kenj x = x( ), y = y( ) i z = z(). Množeći sklno (.45) s = τ obijmo elciju: = τ, (.5) onosno τ ( x = = ) ( x ) + ( y ) ( ± ( x ) + ( x y ) + ( z ) ( ) + ( z ) z ), (.5) e se znk + uzim ko je sme u smeu τ, znk ko je sme supon smeu τ. Množeći ekoski s lee sne (.45) s = τ obijmo elciju: = n τ n. (.53) Iz (.53) slei je: okle se obij: n = = + + = (( y ) ( z ) ( z ) ( y )) ( x n (( z ) ( x ) ( x ) ( z )) ( x, (.53) (( x ) ( y ) ( y ) ( x )) ( x ) ) ) + ( y + ( y + ( y ) ) ) + ( z + ( z + ( z ) ) ). (.53b) U slučju kenj u fiksnoj ni izzi z oojuće komponene ubznj obijju se iz (.5) i (.53b) sljjući je z = z =..3.8 Uono ubznje α s α Uono ubznje je ekosk fizičk eličin koj efiniše pomenu eko uone bzine u beskončno mlom inelu emen. Posmmo složeno kenje meijlne čke koj se su enuku nlzi u položju M i im uonu bzinu ω. Z eme, kećući se n leo, ospe u položj M u kome im uonu bzinu ω. Veko senje uono ubznj efinišemo ko onos pomene eko uone bzine i inel emen u kojem je pomen nsl: α M s ω M ω Slik.7 Oeđinje senje uono ubznj i uono ubznj ω = ω. (.54)
6 KINEMATIKA U ničnom slučju k pc eko ω, ime i α s, biće u pcu nene n hoof eko ω (ki iscn s kkom com-čkom) u čki M i ime obijmo eko uono ubznj: ω ω α = lim α s = lim =. (.55) Ušnjem (.3) u (.55) obijmo sleeći izz: Dimenzij uono ubznj je α (=).4 Rociono kenje α = θ θ. (.56), jeinic u SI je s. Po ocionim kenjem pozumemo kenje ko ko : ) polupečnik kiine už jekoije se ne menj u oku emen; ) oskulon n se ne menj u emenu; 3) cen kiine jekoije u skoj čki je zjenički i nepomenlji u oku emen. Pe neo šo efinišemo kkeisične fizičke eličine z ociono kenje efinisćemo jeinični eko fiksne ose e. Pc eko e je nomln n n kenj (oskulonu n), sme mu je u smeu penecije esne zojnice k se zoi u smeu suponom kenju kzljke n čsoniku, inezie mu je e =. α ω θ fiksn os p.o. - O - + C s θ R e θ R M s M Slik.8 Vekoi fiksne ose, uone bzine i uono ubznj pi ocionom kenju Veko pebisno ul z emenski inel mozemo izzii peko e : θ = θ e. (.57) U slučju ociono kenj oko fiksne ose možemo efinisi eko končno ul iz zlo šo se oskulon n ne menj. Veko uone bzine je:
.4 Rociono kenje 7 θ θ θ ω = lim = lim e = e = ω e. (.58) Kko je e fiksni eko o znči pomenu uone kooine u emenu možemo opisi sklnom eličinom : θ ω =, (.58) koju ćemo nzi uon bzin. Veko uono ubznj je: ω ω ω α = lim = lim e = e = α e. (.59) Ko šo iimo i eko uono ubznj je po pcu ismeu fiksni eko e so pomenu uone bzine u emenu možemo opisi sklnom eličinom: ω θ α = =, (.59) koju ćemo nzi uono ubznje..4. Oeđinje uone bzine, pebisno ul i peđeno pu ko ociono kenj Inecijom (.58) uz počeni uslo ( = ) = ω obijmo izz z uonu bzinu: ω ω ( ) = ω + α. (.6) Ušnjem (.6) u (.58) i inecijom ko obijene elcije uz počeni uslo obijmo izz z pebisni uo: = ( = ) = θ θ θ ( ) = θ + ω + α. (.6) = = Polzeći o efinicije peđeno pu u ifeencijlnom obliku (.) i izz z lučnu kooinu (ii sl..7): s = lim s = lim R θ = R θ = Rω, (.6) i inecijom ko obijene elcije obijmo izz z peđeni pu u emenskom inelu [,] S, ) = = = : = R ω ( ) = R ω + α(. (.63) U slučju je uono ubznje jenko nuli α = obijju se sleeći izzi: ω ( ) = ω = cons. (.6) θ ( ) = θ + ω. (.6), = Rω. (.63) K uono ubznje im konsnnu enos α = cons. oojući izzi su: S ( ) = ω + α. (.6b) ω
8 KINEMATIKA α θ ( ) = θ + ω +. (.6b) S, α = = R ω +. (.63b).4. Peifen bzin i ubznje ko ociono kenj Cilj nm je usposimo ezu između kkeisičnih eličin z kenje meijlne čke, i eličin kkeisičnih z ociono kenje ω, α. Sl..9 će nm poslužii u u shu. Tčk A je poizoljno izbn čk n fiksnoj osi. Rijus eko položj čke A u onosu n cen kužne punje C obeležimo s A = A e. Veko položj meijlne čke u onosu n čku A s, u onosu n cen kužne punje C s R = R e R, e je e R jeinični eko pikzn n slici. Očileno je ži elcij : = R A. (.64) Veko peifene bzine je: s θ = τ = τ = R τ = Rω τ. (.65) Vekoi e τ, i e R su esne oijencije: τ = e e R. (.66) Uzimjući u obzi (.65) i (.66) obijmo ezu između eko peifene i uone bzine: = ω e R e R = ω R. (.67) p.o. - O - + C s θ A R e θ s e R τ A Slik.9 Peifen bzin i ubznje ko ociono kenj Ou ezu možemo izzii i peko ijus eko uzimjući u obzi (.64) ko i činjenicu su ekoi ω i A kolineni:
.4 Rociono kenje 9 = ω A + = ω. (.67) ( ) Kko su ekoi ω i R ooonlni iz (.67) slei je inezie eko peifene bzine: = R ω, (.67b) lebsk enos inezie eko peifene bzine: Ušjući (.67c) u (.45) obijmo izz z eko ubznj: = Rω. (.67c) ω = ( Rω) τ + ω n = R τ + ω n = Rα τ + ω n, (.68) e je n = e R jeinični eko nomle. Vekoi n, e i τ su ekoi esne oijencije: n = e τ. (.69) N osnou (.66), (.68) i (.69) obijmo izz z eko ubznj u obliku: α = Rα ( e e R ) + ω ( e τ ) = α R + ω. (.7) N nlon nčin ko ko izođenj z eko peifene bzine pokzuje se je: α = α + ω. (.7) Upoeđinjem izz iz (.68) i (.7) zključujemo je eko nencujlno ubznj: τ = α R = α. (.7) Kko su α i R ooonlni ekoi inezie eko nencijlno ubznj je: τ = Rα, (.7) njeo lebsk enos: τ = Rα. (.7b) Tkođe upoeđinjem izz (.68) i (.7) obijmo izz z eko nomlno ubznj: = ω n. (.7) Kko su ω i ooonlni ekoi inezie eko nomlno ubznj, ime i njeo lebsk enos (uek je n ): n = n = ω = ω R =. (.7) R Iz (.7b), (.7) i (.46) obijmo izz z inenzie eko ubznj pi ocionom kenju: 4 = R α + ω. (.73) Uloe koje pc eko ubznj zklp s jeiničnim ekoim nomle i nene obijmo iz (.47) i (.73): cos(, n ) =, + ( α ω ) cos(, τ ) =. (.74) + ( ω α )
KINEMATIKA Izzim (.73) i (.74) eko ubznj je popuno oeđen..5 Kosi hic Anliz jeno kiolinijsko nsko kenj Kosi hic je kenje el, u icionom polju Zemlje, koje je izbčeno počenom bzinom po nekim ulom u onosu n hoizonlnu n (n Zemlje) i s oeđene isine u onosu n u n (ii sl..). Anlizijući oj slučj kenj uzimmo u obzi i peposke: ) mksimln isin koju osiže elo je leko mnj o polupečnik Zemlje ymx << Rz šo im z posleicu inezie eko ubznj Zemljine eže možemo smi konsnnim ekoom = cons. ; ) užin jekoije je leko mnj o obim Zemlje ( p se ne menj pc eko ); 3) opo seine se znemuje. Telo bi izbčeno u enuku = iz čke A e su počeni usloi položj i bzine meijlne čke: i x = x = ) =, y = y( = ) = h, (.75) ( ( = ) = x ( = ) = cosα i y ( = ) = sinα. (.76) Komponene ubznj su nepomenljie okom kenj imju enosi: y x = i =. (.77) y y mx y B h A α j C i x Slik. Kosi hic u Dekoom kooinnnom sisemu C β x Venos pojekcije ubznj n y -osu im nein peznk iz zlo šo je ubznje zemljine eže u smeu suponom o usojeno sme jeinično eko j. Pojekcije bzine n pce x i y -ose obijmo inecijom ifeencijlnih j-n
i imjući u iu počene usloe iz (.76):.5 Kosi hic x x = i y y =, (.78) x = x ( = ) = cosα i y ( ) = sinα. (.79) Pojekcij bzine n pc x -ose se ne mnj s emenom šo je posleic o šo je ubznje už o pc jenko nuli. Pmeske jenčine kenj obijmo inecijom ifeencijlnih jenčin: i imjući u iu počene usloe iz (.75): x( x x = i y y =, (.8) ( cos ) i ( ) h + ( sin ) ) = α = α. (.8) y Jenčinu jekoije obijmo n j nčin šo pmee izzimo peko kooine x i zmenimo u izzu z kooinu y : ( x) = h + α x x, (.8) cos α y šo peslj jenčinu pbole u Dekoom kooinnnom sisemu xoy. Inezie bzine je: U čki C j inezie iznosi: = sin ( y ) h x + y = α =. (.83) = C + h Uo koji eko bzine zklp s poziinim smeom x -ose obijmo iz elcije: (, i ) =. y x = α, (.84) cosα ime je oeđen i uo koji zklp s poziinim smeom y -ose, je su u pinju komplemenni uloi čiji je zbi jenk π. N uzlznom elu jekoije β (, π ), n silznom β ( π, π ). Nlženje mksimlne isine i mksimlno ome Telo osiže mksimlnu isinu n jekoiji u čki B, e pojekcij bzine n pc y -ose im enos nul ( = B) = sinα B = B = sinα. (.85) y Ušnjem enosi pme B u izz z kooinu y u (.8) obijmo: y mx sin α = y( = B) = h +. (.86)
KINEMATIKA Dome (čk C n jekoiji) izčunmo ko šo u čki C kooin y im nulu enos: y( x = xc) = h + α xc = xc. (.87) cos α Rešnjem oe kne jenčine obijmo e mouće enosi z x C : sin α h = xc, ± +. (.88) sin α Kko je + h >, mo bii zooljen uslo je xc >, ešenje xc (s peznkom + u zi) je jeino fizički mouće e je ome (obeležićemo s D ): sin α h D = x = C + +. (.89) sin α Ako se hic izbci s pošine Zemlje (h=) mksimlni ome se obij z uo α = 45 i iznosi D mx =. (.89) Uo β po kojim hic p n zemlju obijmo iz elcije u (.84), sljjući je poeklo eme: N osnou (.84), (.89) i (.9) obijmo: C = cosα D. (.9) yc h β = = α +. (.9) sin α xc U slučju k je h > uo pi kome je ome mksimln obij se ko šo u (.87) pimenimo ienie = + α i obijenu knu j-nu ešmo po α. Koeni e j-ne mou se cos α pikzi u obliku: D h = + +,. (.9) 4 D ( ) D bi koeni imli fizički smiso iskiminn koen mo bii: D h A = +. (.93) 4 U (.93) uočmo k D se A op, šo znči pi D mx immo minimlnu enos z A, enos je nul. Iz (.93) obijmo je h D mx = +. (.94)
.5 Kosi hic 3 Uo pi kome se osuje j mksimlni ome obijmo k u (.9) simo je A=, umeso D enos D mx neenu u (.94): Kos hic pi pionom opisinju kenj-nlženje peđeno pu α = + h /. (.95) Iz (.5) i (.83) uz počeni uslo s = s( = ) = slei izz z lučnu kooinu: s( ) = sinα = cos α + ( sinα ). (.96) = = Uoeći sleeće smene: = cos α = cons. i p = p( ) = sinα = p obijmo izz: Inel u (.97) ešmo smenom sin α s( ) = p p. (.97) sin α p = sin q p = cos q q : q q s( ) = cos q q = + q q e su q csin( α ) = i q = csin α. cosα Jenosnim ionomeijskim mnipulcijm obij se: ( cos(q) ) q = q q + (sin( q ) sin(q ), (.98) izz s( ) = csin α α cos ( α ) csin α cosα α + α cosα cosα α. (.99) Kko je s ( = ) = i s > okom celo kenj peđeni pu oo enosi lučne kooine. Izz z bzinu slei iz (.3) i (.83): () = sinα τ. (.) Izz z nencijlno ubznje je: sinα y τ = = =, (.) sinα Kko je inezie ukupno ubznj jenk inezieu ubznj zemljine eže polzeći o (.46) obijmo izz z nomlno ubznje:
4 KINEMATIKA sin cos x n = = = α α τ. (.) Izz z polupečnik kiine jekoije obijmo iz j-n (.45), (.83) i (.) α α ρ cos sin ) ( 3 =. (.)