ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 8 Α. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ. Μονάδες 4 Α3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Α (ολικό ) μέγιστο, το f( ) =. Μονάδες 3 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν ηπρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για κάθε z C ισχύει z z = lm(z). β. Αν Λάθος lim f () = + ή τότε lim =. f() Σωστό Μονάδες Μονάδες γ. Αν μία συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα. Σωστό Μονάδες
δ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α, β γ Δ, τότε ισχύει: β γ β f ()d = f ()d + f ()d α α γ Σωστό Μονάδες ε. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ. Λάθος Μονάδες Μονάδες 5= Δίνεται η εξίσωση ΘΕΜΑ z + z + z i 4 i =, z C. Β. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. Β Μονάδες 9 Β. Αν z = + i και z = i είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός: είναι ίσος με 3i. w z = 3 z 39 Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει: u + w = 4z z i όπου w, z, z οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β. Μονάδες 8
3 Λύση B. Έστω z = + yi,,y R, οπότε : z + z + z i 4 i = ( + y ) + i 4 i = + y 4 + ( )i = Άρα οι ρίζες της εξίσωσης + y 4 = = = y = ± z + z + z i 4 i = είναι : z = + i και z = i. Β. Για z = + i και z = i, είναι : 39 39 39 39 39 z + i ( + i) + i + i i w 3 3 3 3 3 z i ( i)( i) + + = = = = = = = = = = 39 4 9+ 3 3 3 i 3 i 3i 3i Β3. Για w = 3i, z = + i και z = i είναι : u + w = 4z z i u 3i = 4(+ i) ( i) i u 3i = 4+ 4i + i i u 3i = 3 + 4i u 3i = 3 + 4 u 3i = 5 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του u είναι κύκλος με κέντρο Κ (,3) και ακτίνα ρ = 5.
4 Δίνεται η συνάρτηση ΘΕΜΑ Γ h() = ln( + ), R. Γ. Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα. Γ. Να λύσετε την ανίσωση: < R. + h(h ()), Μονάδες 5 Μονάδες 7 Γ3. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο +, καθώς και την πλάγια ασύμπτωτη της στο. Γ4. Δίνεται η συνάρτηση Μονάδες 6 ϕ = h() + ln, R. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της φ(), τον άξονα και την ευθεία =. Λύση Γ. Η Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο R, με : Μονάδες 7 Προφανώς + h () = = = + + + h () >, άρα η h( ) είναι γνησίως αύξουσα στο R () και h () = = <, άρα η h είναι κοίλη στο R. ( + ) ( + ) Αλλά
5 h () <, άρα η h () είναι γνησίως φθίνουσα (). Γ. Είναι < < + + h(h ()) h(h ()) ln ln () h(h ()) < ln h(h ()) < h() + () h() < h() < h() < h() >. = + = = Γ3. α. Είναι lim h() lim ln ln lim ln + + + + u = lim ln u = ln = όπου u = + και lim u = lim = lim =. + + + + + Άρα η ευθεία y =, δηλαδή ο άξονας είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο +. β. Είναι : h() ln + lim = lim = lim ln ( + ) = = ln( + ) =. lim h = lim ln + = lim ln y =,όπου y Άρα η ευθεία y = είναι η πλάγια ασύμπτωτη της C f στο. y= +
6 Γ4. Είναι ϕ = + = + + = h ln ln ln = + ln +, R. Σημείο τομής της C ϕ με τον άξονα : Είναι ϕ = h + ln= h = ln h = h =, h άρα η C ϕ τέμνει τον άξονα στο σημείο (, ). Πρόσημο της φ() στο [, ] : H ϕ είναι συνεχής στο [, ] και είναι : h γν. αύξουσα ϕ h ln h h. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι : + + + ( + ) E Ω = ln d = ln d + + + + = ln d = ln ln ln( + ) = ln ln ln( + ) + ln = ln ln( + ) + ln = + + = l n + ln = ( + ) ln + τ.μ + + +
Δίνεται η συνάρτηση f 7 ΘΕΜΑ Δ, =, = Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο = και στη συνέχεια, ότι είναι γνησίως αύξουσα. Δ. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Μονάδες 7 f () f (u)du = έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η =. Μονάδες 7 β. Ένα υλικό σημείο Μ ξεκινά τη χρονική στιγμή t = από ένα σημείο A(,f) με < και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(), με = (t), y = y(t), t. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης (t) του σημείου Μ είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y(t), αν υποτεθεί ότι (t) > για κάθε t. Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = (f() + ) ( ), (, + ) Μονάδες 4 Μονάδες 7+4= Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση τοπικού μεγίστου. Μονάδες 7
8 Λύση Δ. Είναι Άρα ( ) lim f = lim = lim = lim = = και f =. lim f = f, επομένως η συνάρτηση f είναι συνεχής στο =. Για είναι ( ) + h() f () = = =, όπου h(), R = +. Το πρόσημο της συνάρτησης h καθορίζει το πρόσημο της f. Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο R με h () = + =. Επίσης : h = = h > >, άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). h < <, άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) Επομένως για Άρα f () για > είναι h > h h > f > και < είναι h > h h > f >. > για κάθε (,) (, ). + και η f είναι συνεχής στο =, συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R.
Δ. α. H παράγωγος της f στο, με τη χρήση του ορισμού είναι : 9 lim = lim f() f() = lim = lim = R. D.L.H D.L.H Επομένως η f είναι παραγωγίσιμη στο f =. = με Η εξίσωση f () f (u)du =, για = γίνεται : f () f (u)du = f (u)du =, άρα έχει προφανή ρίζα την =. Αλλά η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), άρα το σύνολο τιμών της είναι () f, + = lim f, lim f =, +, διότι είναι : + = = ( ) = και lim f () lim ( ) + + lim f () = lim = lim = + + + D.L.H + Επομένως f() >, για κάθε R. Αλλά η f είναι συνεχής στο R, άρα έχει αρχική, έστω F( ). Τότε F = f >, άρα η F( ) είναι γνησίως αύξουσα στο R. Επομένως έχουμε διαδοχικά : f () f ( ) f (u)du = F u = F f () F() = F F f() = F f() = f() = f() = f()
Η f είναι γνησίως αύξουσα, αφού η f είναι κυρτή, οπότε η f είναι, οπότε f() = f() =, μοναδική λύση. β. ος τρόπος Αν t είναι η χρονική στιγμή κατά την οποία ισχύει ( t ) y ( t ) έχουμε διαδοχικά : y (t) = f ((t)) (t) y (t ) = f ((t )) (t ) =, y (t ) = f ((t )) y (t ) f ((t )) = f ((t )) = f () (t o) = Άρα A (, ). ος τρόπος y t = f t = f =, επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το Για εκείνα τα t για τα οποία ( t), είναι : f((t)) = (t) (t) (t) [(t) ] + f ((t)) = (t) [(t)] (t) [(t) ] + y (t) = (t) () [(t)] Για t y (t ) = (t ), οπότε η σχέση () γίνεται : = to είναι o o (t o ) [(t o) ] + y (t ) = y (t ) [ (t )] o (t o ) [(t o) ] + f [(t o)] [(t o)] f ((t )) = f () (t ) = o = = o o
Άρα y t = f t = f =, επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το A (, ). Δ3 Είναι g() = f() + =, >. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως γινόμενο παραγωγίσιμων με : g () = = h, όπου h(), = >. Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με h είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [, ] και h () = >, άρα η h() = < h() = > άρα hh < Επομένως από Θεώρημα Bolzano υπάρχει (, ) ώστε επειδή η h είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Επομένως έχουμε : g () = = ή = ή h = = ή = ή = g () < (,) (, ) h = και
Άρα g () > (, ) (, + ) η g είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,] και [, ], ενώ είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα [, ] και [, + ). Επομένως η g έχει δυο θέσεις τοπικών ελαχίστων στα = και = και μια θέση τοπικού μεγίστου στο =, όπου (, ).