FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03.

UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije realne varijable jest pitanje domene, tj. podru ja u ravnini R na kojem je funkcija denirana - traºimo skup svih to aka (x, y) iz ravnine za koje moºemo izra unati vrijednost funkcije. Pritom skiciramo skup svih to aka domene u koordinatnoj ravnini jer nam esto sam zapis za domenu ne govori previ²e. Funkcije koje emo promatrati su kompozicije nekoliko elementarnih funkcija, i zato se trebamo ukratko prisjetiti koje su njihove domene. Pritom emo elementarne funkcije promatrati kao funkcije jedne varijable, jer je bitno uo iti uvjet koji mora vrijediti na argument funkcije koju promatramo, bila to funkcija jedne ili vi²e varijabli. Do domene zadane funkcije dolazimo rje²avanjem svih uvjeta. Elementarne funkcije jedne varijable Polinomi. Polinom stupnja n N 0 je funkcija P : R R denirana s P (x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0, gdje su a 0, a,..., a n realni brojevi takvi da je a n 0. Brojeve a 0, a,..., a n zovemo koecijentima polinoma. Koecijent a n zovemo vode i koecijent, a a 0 slobodni koecijent. Stupanj polinoma je najve a potencija nepoznanice x. Domena polinoma je itav R, tj. nema ograni enja na domeni. 3

Racionalna funkcija. Neka su P (x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 i Q(x) = b m x m + b m x m +... + b x + b 0 polinomi. Funkciju f(x) = P (x) Q(x) = a nx n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +... + b x + b 0 zovemo racionalna funkcija. Ona je denirana za sve x R takve da je Q(x) 0, tj. D(f) = {x R : Q(x) 0}. Uvjet koji pamtimo: Nazivnik razlomka mora biti razli it od nule. Korijen. f(x) = n x. Tu razlikujemo dva slu aja kod odreživanja domene: ako je n = k, k N, tj. ako je n neparan, onda je domena itav R; ako je n = k, k N, tj. ako je n paran, onda su domena svi nenegativni realni brojevi, tj. D(f) = [0, +. Uvjet koji pamtimo: Izraz ispod parnog korijena mora biti ve i ili jednak nuli. Eksponencijalna funkcija. Neka je a > 0, a realan broj. Funkcija f(x) = a x denirana za svaki x R zove se eksponencijalna funkcija baze a. Domena eksponencijalne funkcije je itav R (nema ograni enja na domeni). Svojstva eksponencijalne funkcije: Injektivnost: a x = a x x = x. Monotonost: ako je a >, onda za x < x vrijedi a x < a x ; ako je a <, onda za x < x vrijedi a x > a x. Logaritamska funkcija. Neka je a > 0, a realan broj. Eksponencijalna funkcija baze a je bijekcija. Njen inverz je logaritamska funkcija s bazom a, f(x) = log a x koja je denirana samo za strogo pozitivne brojeve. Domena logaritamske funkcije je D(f) = 0, +. Svojstva logaritamske funkcije: Injektivnost: log a x = log a x x = x.

Monotonost: ako je a >, onda za x < x vrijedi log a x < log a x ; ako je a <, onda za x < x vrijedi log a x > log a x. Uvjeti koji pamtimo: Izraz pod logaritmom mora biti strogo ve i od nule. Baza logaritma mora biti strogo ve a od nule i razli ita od jedinice. Trigonometrijske funkcije. Funkcije sinus i kosinus, sin: R [, ], cos: R [, ], denirane su za sve realne brojeve, tj. njihova domena je itav R (nemaju ograni enja na domenama). Funkcija tangens denirana je kao tgx = sin x. Po²to je tu rije o razlomku, cos x nazivnik mu mora biti rali it od nule, tj. cos x 0, pa je domena funkcije f(x) = tgx upravo D(f) = R \ {x : cos x 0} = R \ { π + kπ, k Z}. Dakle, vrijedi tg : R \ { π + kπ, k Z} R Uvjet koji pamtimo: Izraz pod tangensom mora biti razli it od π svaki k Z. + kπ za Funkcija kotangens denirana je kao ctgx = cos x sin x. Po²to je i tu rije o razlomku, nazivnik mu mora biti rali it od nule, tj. sin x 0, pa je domena funkcije f(x) = ctgx upravo D(f) = R \ {x : sin x 0} = R \ {kπ, k Z}. Dakle, vrijedi ctg : R \ {kπ, k Z} R Uvjet koji pamtimo: Izraz pod kotangensom mora biti razli it od kπ za svaki k Z. Ciklometrijske (arkus) funkcije su inverzne funkcije odgovaraju ih restrikcija trigonometrijskih funkcija. Funkcija arkus sinus, f(x) = arcsin x, je inverzna funkcija restrikcije sinusa na interval [ π, π ] pa vrijedi arcsin: [, ] [ π, π ], tj. domena joj je D(f) = {x R : x } = [, ].

Funkcija arkus kosinus, f(x) = arccos x, je inverzna funkcija restrikcije kosinusa na interval [0, π] pa vrijedi arccos: [, ] [0, π], tj. domena joj je D(f) = {x R : x } = [, ]. Uvjet koji pamtimo: Izraz koji se nalazi pod funkcijom arkus sinus ili arkus kosinus mora biti po apsolutnoj vrijednosti manji ili jednak jedan. Funkcija arkus tangens, f(x) = arctgx, je inverzna funkcija restrikcije tangensa na interval π, π pa vrijedi arctg: R π, π, tj. domena joj je itav R (nema ograni enja na domeni). Funkcija arkus kotangens, f(x) = arcctgx, je inverzna funkcija restrikcije kotangensa na interval 0, π pa vrijedi arcctg: R 0, π, tj. domena joj je itav R (nema ograni enja na domeni). Zadaci Primjer.. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = 4 x y, te gra ki predo ite rje²enje. Rje²enje. Postavljamo uvjete: () 4 x y 0 (zbog korijena) () 4 x y 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) Ako kvadriramo drugi uvjet, dobijemo 4 x y 0, tj. x + y 4. Iz prvog uvjeta imamo x + y 4, pa nam ta dva uvjeta zajedno daju x +y < 4. Dakle, domena funkcije f je D(f) = {(x, y) R : x +y < 4}. Gra ki, domena funkcije f je krug radijusa sa sredi²tem u ishodi²tu bez granica:

Zadatak.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = x 4 + 4 4 y () f(x, y) = (4x + y 6)(9 x y ) Primjer.. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = ln(x y) x ki predo ite rje²enje. Rje²enje. Imamo sljede e uvjete: () x 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) () x y > 0 (zbog logaritma), te gra- Iz drugog uvjeta imamo y < x, pa je domena funkcije f upravo skup D(f) = {(x, y) R : x 0, y < x }. Gra ki, domena od f je dio ravnine ispod parabole y = x bez granica i bez pravca x = 0. Zadatak.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = log x ( y) 8x 6y + x + y () f(x, y) = log(xy) ( y 3x ) (3) f(x, y) = ln + 4 x x y y

(4) f(x, y) = ln(y + x ) ln(x y ) (5) f(x, y) = ln[x ln(y x)] Primjer.3. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = arcsin x, te rje²enje y gra ki prikaºite u ravnini. Rje²enje. Postavljamo sljede e uvjete: () y 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) () x y (zbog arkus sinusa) Ako je y > 0, drugi uvjet moºemo pomnoºiti s y i dobijemo y x y, tj. imamo dvije nejednakosti y x i y x. Za y < 0, kad drugi uvjet pomnoºimo s y dobijemo y x y, tj. y x i y x. Dakle, D(f) = {(x, y) R : (y > 0, y x y) ili (y < 0, y x y)}. Gra ki: Zadatak.3. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te gra ki predo ite rje²enje. () f(x, y) = arcsin x + xy () f(x, y) = arcsin x + arcsin( y) y (3) f(x, y) = ln x y + arccos x 3y x + y (4) f(x, y) = arcsin(ln(x + y)) (5) f(x, y) = ln 4x + 9y 36 x y + arcsin (x + y) (x + y) +

PARCIJALNE DERIVACIJE FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI.. Denicija parcijalnih derivacija Parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0 ) D(f) su redom f x(x 0, y 0 ) = lim x 0 f y(x 0, y 0 ) = lim y 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ), x f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). y Ako funkcija z = f(x, y) ima parcijalne derivacije u svakoj to ki (x, y) iz svoje domene, onda su parcijalne derivacije te funkcije po varijablama x i y nove funkcije koje ra unamo kao odnosno f x(x, y) = lim x 0 f y(x, y) = lim y 0 f(x + x, y) f(x, y), x f(x, y + y) f(x, y). y Parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) moºemo ra unati i na sljede i na in: ako ra unamo f x(x, y), tj. ako funkciju z = f(x, y) deriviramo po varijabli x, onda varijablu y trebamo gledati kao konstantu; ako ra unamo f y(x, y), tj. ako funkciju z = f(x, y) deriviramo po varijabli y, onda varijablu x trebamo gledati kao konstantu. 9

Diferencijalni ra un funkcija jedne varijable Neka je f : I R funkcija jedne varijable, te neka je x 0 I proizvoljna to ka iz domene funkcije y = f(x). Ako postoji grani na vrijednost f (x 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ), x onda ju zovemo derivacija funkcije y = f(x) u to ki x 0. Ako je sad x I bilo koja to ka iz podru ja denicije funkcije y = f(x), onda grani nu vrijednost f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x), x ako postoji, zovemo derivacija funkcije y = f(x). Pravila deriviranja Neka su f, g : I R takve da imaju derivaciju za intervalu I. Tada vrijedi [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) (derivacija zbroja) [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) (derivacija umno²ka) [ f(x) ] = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g (x) (derivacija kvocijenta) [f(g(x))] = f (g(x))g (x) (derivacija sloºene funkcije) [f (x)] = f (f (x)) (derivacija inverzne funkcije)

Tablica derivacija elementarnih funkcija Zadaci f(x) f (x) c 0 x x n x a x e x nx n x a x ln a e x log a x x ln a ln x x sin x cos x cos x sin x tgx cos x ctgx sin x arcsin x x arccos x x arctgx + x arcctgx + x Primjer.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije u to ki T (, ) za funkciju f(x, y) = x y xy. Rje²enje: Iz denicije parcijalnih derivacija imamo: f x(, f( + x, ) f(, ) ) = lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 + x + ( x) x + x ( + x) ( ) ( + x) x ( x) = lim x 0 x = lim x = 0 x 0

f y(, f(, + y) f(, ) ) = lim y 0 x = lim y 0 = lim y 0 = lim y 0 + y y + y ( y) 3 y ( + y) y + y ( + y) ( = lim y 0 y( y 3) = lim y 0 ( + y) y ) y y ( y) y + y y = lim y 0 y 3 + y = 3 = 3 Zadatak.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije funkcije () f(x, y) = (x y) u to ki T (, ); () f(x, y) = xy u to ki T (3, ); (3) f(x, y) = x + y x y u to ki T (, 3). Primjer.. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = x y xy. Rje²enje: Za odrediti f x(x, y) zadanu funkciju deriviramo po varijabli x, i pritom varijablu y gledamo kao konstantu. f x(x, y) = d ( x ) dx y xy = y (x ) y (x) = y (x) y = x y y Za odrediti f y(x, y) zadanu funkciju deriviramo po varijabli y, i pritom varijablu x gledamo kao konstantu. f y(x, y) = d ( x ) ( ) dy y xy = x x (y) y ( = x ) x = x y y x

Napomena: Parcijalne derivacije zadane funkcije f u to ki T (, ) moºemo jednostavno izra- unati uvr²tavanjem koordinata to ke T redom u funkcije f x(x, y) i f y(x, y): f x(, ) = = = 0, f y(, ) = = = 3. Zadatak.. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije sljede ih funkcija: () f(x, y) = x + y x y u to ki T (, 3); () f(x, y) = xy (x y) u to ki T (, ); (3) f(x, y) = ctg ln(x y) + xy + x y (4) f(x, y) = (x y 3x)e x+y + arcsin y.. Parcijalne derivacije vi²eg reda Parcijalnim deriviranjem funkcije dviju varijabli f : D R, D R dobivamo dvije nove funkcije dviju varijabli f x(x, y) = f (x, y), x f y(x, y) = f (x, y). y Parcijalno deriviraju i svaku od tih funkcija po obje varijable dobivamo etiri parcijalne derivacije drugog reda: f xx (x, y) = x (f x(x, y)) = f x (x, y), f xy(x, y) = y (f x(x, y)) = f (x, y), y x f yx (x, y) = x (f y(x, y)) = f x y (x, y), f yy(x, y) = y (f y(x, y)) = f y Schwarzov teorem. Ako su mje²ovite derivacije y na D R, onda su one jednake, tj. onda vrijedi y ( f ) (x, y) = x x ( f ) i x ( f ) (x, y). y x ( f y (x, y). ) neprekidne

Zadaci Primjer.3. Odredite sve parcijalne derivacije drugog reda za funkciju f(x, y) = 3x cos y xy, te pokaºite da za zadanu funkciju vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu. Rje²enje: Najprije trebamo odrediti parcijalne derivacije prvog reda: f x(x, y) = (3x cos y xy) = 3 cos y y, x f y(x, y) = (3x cos y xy) = 3x sin y x. y Parcijalne derivacije drugog reda dobivamo deriviranjem parcijalnih derivacija prvog reda po varijablama x i y: f xx (x, y) = x (f x(x, y)) = (3 cos y y) = 0; x f xy (x, y) = y (f x(x, y)) = (3 cos y y) = 3 sin y ; x f yx (x, y) = x (f y(x, y)) = ( 3x sin y x) = 3 sin y ; x f yy (x, y) = y (f y(x, y)) = ( 3x sin y x) = 3x cos y; y Vidimo da je f xy (x, y) = f yx (x, y), pa jednakost u Schwarzovom teoremu vrijedi. Zadatak.3. Odredite parcijalne derivacije drugog reda za sljede e funkcije. () f(x, y) = ln(x y); () f(x, y) = xy + x y ; (3) f(x, y) = x y + y x ; (4) f(x, y) = arctg x y. Provjerite da li za zadane funkcije vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu.

Primjer.4. Ako je z(x, y) = e x y, dokazati da vrijedi y z x y = z y z x. z Rje²enje: Prvo treba izra unati x y, z y i z. Zatim dobivene derivacije x treba uvrstiti u gornju jednakost i provjeriti da li je zadovoljena. ( y y e x y z x = x (e x y ) = y e x y, z x y = x x y 3 e x y ( z ) y ) Vidimo da jednakost vrijedi. Zadatak.4. Ako je z(x, y) = z y = y (e x x y ) = y e x y = ( x ) x y e x y = y e x x y y e x 3 y = x y e x y y e x y x y e x y y e x y xy, dokaºite da vrijedi x y z x + z x y + z y = x y. = x y e x y y e x y Zadatak.5. Ako je u(x, t) = arctg(x t), dokaºite da vrijedi u x + u x t = 0..3. Parcijalne derivacije implicitno zadanih funkcija Neka je funkcija z = z(x, y) zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0 i neka je zadana to ka T (x 0, y 0, z 0 ). Pretpostavimo da su parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z) neprekidne i da vrijedi F (x 0, y 0, z 0 ) = 0. Ako je F z(x 0, y 0, z 0 ) 0, onda vrijedi z(x 0, y 0 ) = z 0, i parcijalne derivacije funkcije z = z(x, y) ra unamo kao: z x(x, y) = F x(x, y, z) F z(x, y, z), z y(x, y) = F y(x, y, z) F z(x, y, z). Primjer.5. Funkcija z = z(x, y) zadana je implicitno jednadºbom x 3 z + yz =. Odredimo parcijalne derivacije te funkcije, te izra unajmo njihovu vrijednost u to ki T (,, z 0 > 0).

Rje²enje: Prvo trebamo denirati funkciju F (x, y, z) na na in da u jednadºbi kojom je implicitno zadana funkcija z = z(x, y) sve prebacimo na lijevu stranu i to proglasimo funkcijom F (x, y, z): F (x, y, z) = x 3 z + yz. Zatim ra unamo parcijalne derivacije funkcije F : F x(x, y, z) = 3x z; F y(x, y, z) = z ; F z(x, y, z) = x 3 + yz. Iz gornje formule lako dobivamo parcijalne derivacije funkcije z = z(x, y): z x(x, y) = F x(x, y, z) F z(x, y, z) = 3x z x 3 + yz, z y(x, y) = F y(x, y, z) F z(x, y, z) = z x 3 + yz. Da bi izra unali vrijednost tih parcijalnih derivacija u to ki T (,, z 0 > 0), prvo trebamo odrediti vrijednost od z 0. Vrijedi z 0 = z(, ) i F (,, z 0 ) = 0. Odatle imamo: 3 z 0 + z0 = 0 z0 + z 0 = 0 z 0 = ± + 8, tj. z 0 = ili z 0 =. Po²to je u zadatku zadano z 0 > 0, uzimamo z 0 =. Sada uvr²tavanjem koordinata to ke T (,, ) u parcijalne derivacije z x i z y dobivamo: z x = 3x 0z 0 = 3 T x 3 0 + y 0 z 0 3 + = 3 3 = ; z y z0 = = T x 3 0 + y 0 z 0 3 + = 3. Zadatak.6. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sljede im jednadºbama, te potom izra unajte njihovu vrijednost u danim to kama: () (x + y + z ) 3 =, T (0, 0, z 0 > 0); () ln(x + y z 3 ) = x, T (0, 9, z 0 ); (3) zx + sin(xyz) = 3, T (, 0, z 0 ).

3 PRIMJENA PARCIJALNIH DERIVACIJA FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI 3.. Diferencijal funkcija dviju varijabli Totalni prirast funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) je: z = f(x + x, y + y) f(x, y), gdje su x i y prirasti nezavisnih varijabli x i y funkcije f. Totalni diferencijal prvog reda funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) deniran je sa: dz = z x z (x, y)dx + (x, y)dy. y Ako su x i y dovoljno maleni, onda vrijedi dz = z, tj. vrijedi formula za pribliºno ra unanje (linearnu aproksimaciju) vrijednosti funkcije z = f(x, y) u to ki (x + x, y + y) uz pomo parcijalnih derivacija u to ki (x, y): f(x + x, y + y) f(x, y) + z z (x, y) x + (x, y) y. x y Totalni diferencijal drugog reda funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) deniran je sa: d z = d(dz) = z x (x, y)dx + z x y (x, y)dxdy + z y (x, y)dy. 7

Zadaci Primjer 3.. Odredimo prvi i drugi diferencijal funkcije z = x + xy 3 + u to ki (, ). Rje²enje: Prvo trebamo odrediti prve parcijalne derivacije funkcije z: z x (x, y) = x + y3, z y (x, y) = 3xy. Odatle slijedi da je prvi diferencijal funkcije z jednak dz = (x + y 3 )dx + 3xy dy. Prvi diferencijal funkcije z u to ki (, ) jednak je: dz(, ) = ( + 3 )dx + 3 dy = 5dx + 6dy. Za odrediti dugi diferencijal trebaju nam druge parcijalne derivacije: z (x, y) =, x z x y (x, y) = 3y, z (x, y) = 6xy. y Odatle slijedi da je drugi diferencijal funkcije z jednak d z = dx + 6y dxdy + 6xydy. Drugi diferencijal funkcije z u to ki (, ) jednak je: d z = dx + 6 dxdy + 6 dy = dx + 6dxdy + dy. Zadatak 3.. Odredite prvi i drugi diferencijal, dz i d z, za funkcije: () z = x y u to ki T (, 3); () z = 8 x + x y + y; (3) z = ln x y x + y ; (4) z = x 4 sin(xy 3 ) u to ki T (, 0); (5) z = sin e x y.

Primjer 3.. Pribliºno izra unajmo vrijednost 4.05 +.93. Rje²enje: Trebamo denirati funkciju z = x + y. Vidimo da je 4.05 +.93 = f(4.05,.93), pa moºemo koristiti formulu za pribliºno ra unanje vrijednosti funkcije z = x + y u to ki (4.05,.93) uz pomo parcijalnih derivacija u to ki (4, 3). Vrijedi: x = 4.05 4 = 0.5; y =.93 3 = 0.7; z x (x, y) = x + y x = x x + y z x (4, 3) = 4 4 + 3 = 4 5 ; z y (x, y) = x + y y = y x + y z y (4, 3) = 3 4 + 3 = 3 5 ; Uvr²tavanjem u formulu za pribliºno ra unanje dobivamo: 4.05 +.93 4 + 3 + 4 5 0.05 + 3 0. ( 0.07) = 5 + 5 5 0. 5 Stvarna vrijednost je 4.05 +.93 = 4.99873. = 4.998. Zadatak 3.. Pomo u diferencijala pribliºno izra unajte: ().0 4.05 ; () ln(0.09 3 + 0.99 3 ); (3) 3 5.7 + 5.8. 3.. Tangencijalna ravnina Neka je T (x 0, y 0, z 0 ) neka to ka koja pripada plohi zadanoj eksplicitno jednadºbom z = f(x, y). Jednadºba tangencijalne ravnine na zadanu plohu, tj. na graf funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0, z 0 ), gdje je z 0 = f(x 0, y 0 ), je z z 0 = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ). Jednadºba normale na graf funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0, z 0 ) je n... x x 0 f x(x 0, y 0 ) = y y 0 f y(x 0, y 0 ) = z z 0.

Ako je funkcija z = f(x, y) zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0, onda jednadºba tangencijalne ravnine na plohu F (x, y, z) = 0 u to ki T (x 0, y 0, z 0 ), gdje je z 0 = f(x 0, y 0 ), glasi F x(x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + F y(x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + F z(x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0, a jednadºba normale na tu plohu u to ki T (x 0, y 0, z 0 ) je n... x x 0 F x(x 0, y 0, z 0 ) = y y 0 F y(x 0, y 0, z 0 ) = z z 0 F z(x 0, y 0, z 0 ). Zadaci Primjer 3.3. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = x y u to ki T (,, 4) koja se nalazi na danoj plohi. Rje²enje: Najprije trebamo odrediti parcijalne derivacije funkcije z = x y u to ki (, ): z x(x, y) = xy z x(, ) = = 4; z y(x, y) = x z y(, ) = = 4. Uvr²tavanjem dobivenih vrijednosti u gornje jednadºbe za tangencijalnu ravninu i normalu dobijemo: Π t... z 4 = 4(x ) + 4(y ) Π t... 4x + 4y z 8 = 0 n... x 4 = y 4 = z 4. Zadatak 3.3. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = y x y x + 6y u to ki T (4,, z 0 ) sa te plohe. Primjer 3.4. Odredite tangencijalnu ravninu i normalu u to ki T (x 0 > 0,, ) na plohu zadanu jednadºbom xz + x y = 6. Rje²enje: Prvo treba odrediti x 0. To ka T (x 0 > 0,, ) pripada plohi, pa zadovoljava jednadºbu xz + x y = 6. Vrijedi: x 0 + x 0 = 6 x 0 + x 0 6 = 0 x 0 =, x 0 = 3

Zbog uvjeta x 0 > 0 zaklju ujemo da je x 0 = 3 T (3,, ). Trebaju nam prve parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z) = xz + x y 6 u to ki T ( 3,, ): F x(x, y, z) = z + xy F x( 3,, ) = + 3 = 7; F y(x, y, z) = x F y( 3,, ) = ( 3 ) = 9 4 ; F z(x, y, z) = xz F z( 3 3,, ) = = 3. Uvr²tavanjem dobivenih vrijednosti u gornje jednadºbe za tangencijalnu ravninu i normalu na plohu zadanu implicitno dobijemo: Π t... 7(x 3 ) + 9 4 (y ) + 3(z ) = 0 Π t... 8x + 9y + z 7 = 0, n... x 3 7 = y 9 4 = z 3. Zadatak 3.4. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu zadanu jednadºbom x + y + 3z = 5 u to ki T (, y 0 > 0, ) koja pripada toj plohi. Primjer 3.5. Odredite tangencijalnu ravninu na hiperboloid x y +z = koja je paralelna s ravninom Π... x y + z = ln. Rje²enje: Vidimo da je na²a ploha zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0, gdje je F (x, y, z) = x y + z. Dvije ravnine su paralelne ako i samo ako su im vektori smjera kolinearni. Vektor smjera ravnine Π je n = {,, }, a vektor smjera traºene tangencijalne ravnine je n t = {F x(x 0, y 0, z 0 ), F y(x 0, y 0, z 0 ), F z(x 0, y 0, z 0 )}, gdje je T (x 0, y 0, z 0 ) to ka sa hiperboloida u kojoj povla imo tangentu (koordinate te to ke nam trebaju za odrediti jednadºbu tangente). Njaprije trebamo izra unati parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z): F x(x, y, z) = x F x(x 0, y 0, z 0 ) = x 0 ;

F y(x, y, z) = y F y(x 0, y 0, z 0 ) = y 0 ; F z(x, y, z) = z F z(x 0, y 0, z 0 ) = z 0. Iz uvjeta paralelnosti dviju ravnina imamo: (F x(x 0, y 0, z 0 ), F y(x 0, y 0, z 0 ), F z(x 0, y 0, z 0 )) = λ(,, ), tj. (x 0, y 0, z 0 ) = λ(,, ). Dobili smo sustav jednadºbi: x 0 = λ x 0 = λ y 0 = λ y 0 = λ z 0 = λ z 0 = λ. Po²to se to ka T (x 0, y 0, z 0 ) = ( λ, λ, λ) nalazi na danom elipsoidu, njene koordinate moraju zadovoljavati jednadºbu tog elipsoida, pa imamo: x 0 y 0 + z 0 = 4 λ 4 λ + λ = λ = Dobili smo dvije vrijednosti λ =, λ =, pa emo imati dvije tangencijalne ravnine na hiperboloid koje su paralelne sa zadanom ravninom: ( za λ = imamo T =, ), i n = (,, ), pa je odgovaraju a tangencijalna ravnina jednaka Π t... (x ) (y ) + (z ) = 0, tj. Π t... x y + z = ; ( za λ = imamo T = ),, i n = (,, ), pa je odgovaraju a tangencijalna ravnina jednaka Π t (x + ) + (y + ) (z + ) = 0, tj. Π t... x y + z =. Zadatak 3.5. Odredite tangencijalnu ravninu na plohu zadanu jednadºbom x y + z = koja je paralelna s ravninom Π... x + y + 3z =.

3.3. Ekstremi Nuºan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema funkcije z = f(x, y): f x(x, y) = 0 f y(x, y) = 0 Neka to ka T (x 0, y 0 ) zadovoljava nuºni uvjet za postojanje lokalnog ekstrema. Tada ju zovemo stacionarna to ka funkcije z = f(x, y). Ne moraju sve stacionarne to ke biti ekstremi funkcije, potrebno je provjeriti dodatne uvjete. Ozna imo: A = fxx(x 0, y 0 ) B = f xy (x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) C = f yy (x 0, y 0 ) D = A B B C = A C B = f xx (x 0, y 0 )f yy (x 0, y 0 ) fxy(x 0, y 0 ) Dovoljan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema funkcije z = f(x, y): ako je D > 0, onda funkcija u toj to ki ima ekstrem, i to: maksimum ako je f xx (x 0, y 0 ) < 0; minimum, ako je f xx (x 0, y 0 ) > 0; ako je D < 0, onda funkcija u toj to ki nema ekstrem, nego sedlastu to ku (analogon to ke ineksije kod funkcija jedne varijable); ako je D = 0, onda u stacionarnoj to ki moºe, ali ne mora biti ekstrem. U tom slu aju treba ispitivati na sloºeniji na in. Zadaci Primjer 3.6. Odredimo lokalne ekstreme funkcije z = x 3 + 8y 3 6xy + 5.

Rje²enje: Prvo treba odrediti stacionarne to ke dane funkcije. Njih dobivamo kao rje²enja sustava f x(x, y) = 3x 6y = 0 f y(x, y) = 4y 6x = 0 x = 4y Uvr²tavanjem u prvu jednadºbu sustava dobijemo: 3(4y ) 6y = 0 48y 4 6y = 0 8y 4 y = 0 y(8y 3 ) = 0, tj. dobili smo y = 0 i 8y 3 = 0 y 3 = 8 y = (. Imamo dvije stacionarne to ke: T (0, 0) i T, ). Za provjeriti da li su dobivene stacionarne to ke ekstremi funkcije trebaju nam parcijalne derivacije drugog reda: f xx (x, y) = 6x f x,y (x, y) = 6 f y,y (x, y) = 48y Provjeravamo prvo za to ku T (0, 0): A = 0, B = 6, C = 0. D = A B B C = 0 6 6 0 = 36 < 0 U to ki T (0, 0) funkcija nema ekstrem, nego sedlastu to ku. ( Jo² trebamo provjeriti za to ku T, ) : A = 6, B = 6, C = 4. D = A B B C = 6 6 6 4 = 44 36 = 08 > 0 ( U to ki T, ) ( funkcija ima ekstrem, i to minimum jer je f xx, ) = 6 > 0. Zadatak 3.6. Odredite ekstreme sljede ih funkcija: () z = x 3 3xy y 3 ; () z = x 4 + y 4 x y. Zadatak 3.7. Ispitajte da li funkcija z = x ln(x + y) ima ekstrema u podru ju denicije (domeni).

4 ZADACI ZA SAMOSTALNU VJEšBU Zadatak 4.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = x + y x () f(x, y) = ln(x y 3) + 4 x y + x (3) f(x, y) = ln x x 3y + arccos y x + y (4) f(x, y) = log x (3 y) (5) f(x, y) = ln(36 9x 4y ) x + y + arccos x + y Zadatak 4.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije funkcije () f(x, y) = xy; () f(x, y) = (x y) 3 ; (3) f(x, y) = xy u to ki T (, ); (4) f(x, y) = (x y) 3 u to ki T (, ). 5

Zadatak 4.3. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije sljede ih funkcija: () f(x, y) = ln(x + y + ) u to ki T (, ); () f(x, y) = arctg x y cos (3x y); (3) f(x, y) = log 3 (y 4 x 5 ) + xex +y y Zadatak 4.4. Odredite parcijalne derivacije drugog reda za sljede e funkcije. () f(x, y) = 9 x 3 y + xy x + 3y; () f(x, y) = xy; (3) f(x, y) = 4 x x y + 4y3 ; (4) f(x, y) = sin x sin y + sin(x y). Provjerite da li za dane funkcije vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu. ( Zadatak 4.5. Ako je s(x, t) = ln x ), dokaºite da vrijedi s t x + s x t = x. Zadatak 4.6. Ako je f(x, y) = e x y, dokaºite da vrijedi f x + f y = 4f(x, y)(x + y ). Zadatak 4.7. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sa z = + y x + z y.. Zadatak 4.8. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sljede im jednadºbama, te potom izra unajte njihovu vrijednost u danim to kama: () xz + x + x + y + 5 = 0, T (, 0, z 0 < 0); () x cos y + y cos z + z cosx = π, T ( π 3, 0, z 0).

Zadatak 4.9. Odredite prvi i drugi diferencijal, dz i d z, za funkcije: () z = 9 x 3 y + xy x + 3y u to ki T (, ); () z = x, y u to ki T (, ); (3) z = e x y ; (4) z = x 3 ln + xy 3 5 u to ki T (, 0); (5) z = 3x 5 7x 3 y; (6) z = x cos(xy). Zadatak 4.0. Pomo u diferencijala pribliºno izra unajte: () arctg.0 0.95 ; () 5.8 + 3 3. ; (3).05 7.9 4..05 3 3 Zadatak 4.. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = x xy + y x + y u to ki T (,, ) sa zadane plohe. Zadatak 4.. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu zadanu jednadºbom x y + z = 3 u to ki T (,, z 0 < 0) koja se nalazi na danoj plohi. Zadatak 4.3. Odredite x jednadºbu tangencijalne ravnine na plohu z = xy koja je okomita na pravac = y π = z + 3. Zadatak 4.4. Odredite ekstreme sljede ih funkcija: () z = 3x xy + y 8y; () z = x + y + xy ; (3) z = x + y e ; (4) z = y x y x + 6y.