9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija kompleksne varijable. Koeficijenti ravoja te kompleksne funkcije su upravo elementi nia {f[n]}. Sama vrijednost reda Z [ f[n] ] može biti konačna ili beskonačna. Skup vrijednosti kompleksne varijable a koje je red Z [ f[n] ] konačan naiva se područje konvergencije, dok se skup vrijednosti od a koje je red Z [ f[n] ] beskonačan naiva područje divergencije. Primjer 9.. Odredi Z transformaciju δ nia. Računamo prema definiciji 9.): Z [ f[n] ] = δ[n] n = 0 =. Primjer 9.. Odredi Z transformaciju jedinične stepenice s[n]. Jednična stepenica s[n] je definirana kao { 0, a n < 0 s[n] =, a n 0. Računamo prema definiciji 9.): Z [ s[n] ] = s[n] n = n = ) n =. Pri tome adnja jednakost vrijedi samo na području konvergencije dobivenog reda. Kako se radi o geometrijskom redu, područje konvergencije je odredeno s <, odnosno s >. Područje konvergencije je dio ravnine ivan jedninične kružnice slika 9..). Primjer 9.3. Odredi Z transformaciju diskretne eksponencijale. Diskretna eksponencijala je definirana kao { 0, a n < 0 f[n] = a n, a n 0. 55
Računamo prema definiciji 9.): Z [ f[n] ] = f[n] n = a n n = a ) n = a. Pri tome adnja jednakost vrijedi samo na području konvergencije dobivenog reda. Kako se radi o geometrijskom redu, područje konvergencije je odredeno s a <, odnosno s > a. Područje konvergencije je dio ravnine ivan kružnice polumjera a. Primjer 9.4. Odredi Z transformaciju jedinične kosine. Jedinična kosina je definirana kao { 0, a n < 0 f[n] = n, a n 0. Red definiran prema 9.) može se proivoljno mnogo puta derivirati i njegove derivacije ostaju konvergentne. Deriviranjem dobivamo odnosno d d Z[ f[n] ] = + f[n] d d n d d Z[ f[n] ] = + f[n]n n d d Z[ f[n] ] = nf[n] n. 9.3) Ira 9.3) nam poveuje Z transformaciju nia {f[n]} s Z transformacijom istog nia pomnoženog s n. Da bi odredili transformaciju jedninčne kosine promatramo jediničnu kosinu kao jediničnu stepenicu s[n] pomnoženu s n. Sada je Z [ f[n] ] = Z [ ns[n] ] = d d = ) = ). Područje konvergencije je opet dio ravnine ivan jedinične kružnice. Primjer 9.5. Pomoću definicije Z transformacije odredi trasformaciju nia { 0, a n < 0 f[n] = sinan), a n 0. Vrijedi Primjetite da funkciju f[n] možemo apisati i kao f[n] = sinan)s[n]. Z [ f[n] ] = Z [ sinan)s[n] ] = = = j = j sinan) n = e jan n j e ja ) n j sinan)s[n] n e jan e jan) n j e jan n e ja ) n 56
Dobivene sume konvergiraju a e ja = e ja = < i e ja = e ja = <, pa obje sume konvergiraju a >. Područje kovergencije Z transformacije funkcije f[n] = sinan)s[n] je područje kompleksne ravnine ivan jedinične kružnice slika 9..). područje konvergencije 0 -kompleksna ravnina Slika 9..: Područje konvergencije Za > možemo svaku od suma promatrati kao konvergentni geometrijski red. Tada je Z [ f[n] ] = j pa je konačno rješenje e ja ) n j e ja ) n = j e ja j e ja = e ja + e ja j e ja e ja + sina) = cosa) + = sina) cosa) + Z [ f[n] ] = sina), >. cosa) + Primjer 9.6. Koristeći rješenje prethodnog adatka odredi Z transformaciju nia f[n] = pomoću svojstva deriviranja slike Z transformacije { 0, a n < 0 n sinan), a n 0. Z [ nf[n] ] = d d Z[ f[n] ]. 57
Polaimo od svojstva deriviranja slike: Z [ nf[n] ] = d d Z[ f[n] ] = d d sina) cosa) + = sina) cosa) + ) sina) cosa) ) cosa) + ) = sina) cosa) + + cosa) cosa) + ). Nakon sredivanja dobivamo konačno rješenje Z [ n sinan) ] = ) sina) cosa) + ), >. Zadatak 9.. odredite Z transformacije Primjer 9.7. Koristeći svojstvo deriviranja slike i ponavajući transformacije Z [ s[n] ] = Z[n], Z[n ], Z[n 3 ] i Z [ a n] = a Z[na n ], Z[n a n ], Z[n 3 a n ]. Odredite Z transformaciju Z [ a n f[n] ] ako je ponato da je Z [ f[n] ] = F ). Vrijedi Z [ a n f[n] ] = a n f[n] n = Z [ f[n] ] = F ) = i f[n]/a) n f[n] n Uvodenjem supstitucije = /a ili jednostavnom usporedbom iraa) dobivamo Z [ a n f[n] ] = F /a). Primjer 9.8. Odredite Z transformaciju nia pomaknutog lijevo a jedan, tj. odredite Z [ f[n + ] ] ako je ponato da je Z [ f[n] ] = F ). Vrijedi Znamo da je Z [ f[n + ] ] = Z [ f[n + ] ] = f[n + ] n i Z [ f[n] ] = F ) = f[n + ] n = f[n + ] n+) = f[n] n. f[n + ] n+). Uvodenjem supstitucije n = n + uočavamo da nedostaje jedan član i to prvi) da bi dobili F ): Z [ f[n + ] ] = f[n + ] n+) = 58 n = f[n ] n.
Uvodimo član f[0] na slijedeći način: f[n ] n = f[0] f[0] + n = n = f[n ] n. Sada je Z [ f[n + ] ] = f[0] + n =0 f[n ] n = F ) f[0]. Zadatak 9.. Ako je ponato da je Z [ f[n] ] = F ) pokažite da vrijedi Z [ f[n + m] ] m = m F [] f[n] n m. Primjer 9.9. Odredite Z transformaciju nia pomaknutog desno, tj. odredite Z [ f[n m] ] ako je ponato da je Z [ f[n] ] = F ). Vrijedi Znamo da je Z [ f[n m] ] = Z [ f[n m] ] = n =0 f[n m] n i Z [ f[n] ] = F ) = f[n] n. + f[n m] n = m f[n m] n m). Uvodenjem supstitucije n = n m vidmo da moramo odbaciti prvih m članova broja bi dobili F ): Z [ f[n m] ] + = m f[n m] n m) = m = m n = m + n = m + f[n ] n + m f[n ] n. n =0 f[n ] n Drugi član preponajemo kao F ) dok u prvom vraćamo stari indeks sumacije n. Dobivamo: Z [ f[n m] ] m = m F ) + f[n m] n. Primijetite da je a kaualne funkcije f[n] = 0 a n < 0 pa dobiveni ira a Z transformaciju nia pomaknutog desno postaje Z [ f[n m] ] = m F ). Primjer 9.0. Odredi Z transformaciju nia f[n] = n + )a n. Z transformacija je linearna pa je stoga Z [ n + )a n] = Z [ na n] + Z [ a n]. 59
Z transformacija drugog člana je ponata i tablica, Z [ a n] = a, dok Z transformaciju prvog člana odredimo u pomoć svojstva deriviranja slike, Z [ na n] = d d Konačno rješenje je tada a = a a) = a a). Z [ n + )a n] = a). Primjer 9.. Ako su f i g kaualne funkcije i ako je ponato da je Z [ f[n] ] = F ) i Z [ g[n] ] = G) odredi Z transformaciju konvolucije f g)[n] = i= f[i]g[n i]. Prema definiciji Z transformacija konvolucije je Z [ f g)[n] ] = n Zamjenom redoslijeda sumacija dobivamo Z [ f g)[n] ] = = n i=0 Z transformacija konvolucije je + i= + i= f[i]g[n i] = f[i] i G) = G) i=0 f[i]g[n i]. i= Z [ f g)[n] ] = F )G) f[i] n g[n i] f[i] i = F )G). 9.. Inverna Z transformacija Z transformacija definirana je kao Z [ f[n] ] = f[n] n = F ). 9.4) Invernu Z transformaciju koristimo pri odredivanju nia f[n] čiju Z transformaciju F ) ponajemo. Pišemo Z [ F ) ] = f[n]. 9.5) 60
9... Inverna Z transformacija racionalnih funkcija U primjeni su najvažnije racionalne funkcije oblika F ) = b k k + b k k + + b 0 a l l + a l l + + a 0. 9.6) Iravno preponavanje nia f[n] a bilo koju racionalnu funkciju oblika 9.6) nije praktično. Uobičajeno se racionalna funkcija F ) rastavlja na parcijalne ralomke. Jednom kada je ponat rastav funkcije F ) a odredivanje inverne Z transformacije koriste se tablice osnovnih funkcija. Prije rastava na parcijalne ralomke moramo odrediti polove racionalne funkcije F ). Tek kada su ponati polovi i njihova kratnost odreduje se rastav funkcije. Svaki parcijalni ralomak u rastavu će odgovarati Z transformaciji nekog elementarnog nia, dok traženi ni f[n] dobivamo kao broj tih elementarnih niova. Ako su stupanj brojnika i naivnika jednaki te ako su svi polovi medusobno raličiti i raličiti od nule rastav na parcijalne ralomke je oblika: F ) = b k k + b k k + + b 0 a k k + a k k = b k k + b k k + + b 0 + + a 0 a k ) )... k ) = α 0 + α + + α k k Koeficijente u ovom rastavu odredujemo na sljedeći način: α 0 = F ) = b 0 =0 a 0 α i = i F ) =i = i b k k + b k k + + b 0 a k )... i )... k ), i 0 =i Za slučaj višestrukih polova raličitih od nule funkcija F ) ima rastav nešto drugačijeg oblika. Radi jednostavnosti pretpostavimo da je samo jedan od ukupno k polova raličitih od nule pol višestrukosti m i neka to bude baš. U tom slučaju je rastav oblika F ) = b k k + b k k + + b 0 a k k + a k k + + a 0 = b k k + b k k + + b 0 a k ) )... k ) = α 0 + α + α ) + + α m m ) m + + α m+ + + α k k m+ Općenito svaki pol i kratnosti m > urokuje pojavljivanje članova oblika i s višim potencijama sve do potencije m. Koeficijente α i u ovom rastavu odredujemo na sljedeći način: α 0 = F ) = b 0 =0 α i = m i)! F ) α i = i a 0 d m i dw m i =i ) m F ) m = i = w ), i =,..., m w=0 b k k + b k k + + b 0 a k )... i )... k ), =i i = m +,..., k 6
Kako je ira a koeficijente veane u višestruki pol dosta kompliciran obično te koeficijente računamo na slijedeći način. Najprije odredimo koeficijent α m koji je vean u najveću potenciju, α m = F ). = Osim njega odredimo i sve ostale koeficijente veane u jednostruke polove. Sada je potrebno odrediti još preostalih m koeficijenata u višestruki pol. Kako rastav funkcije F ) vrijedi a svaki tako vrijedi i a neki odabrani j raličit od nule i raličit od polova funkcije F ). Ako odaberemo m raličitih brojeva j koji su usto raličiti od nule i polova funkcije F ) dobivamo sustav od m jednadžbi j F j ) = α 0 + α + α j j ) + + α m j ) m + j j + α m+ + + α k, j =,..., m j j k m+ Rješenja ovog sustava jednadžbi su upravo traženi koeficijenti α,...,α m. U slučaju jednostrukog ili višestrukog pola u nuli postupak je sličan opisanom a višestruki pol raličit od nule, samo što umjesto članova rastava oblika j i ) j imamo članove oblika j, gdje potencije j idu od do m. Pri tome valja primijetiti da sada više nije moguće jednostavno iračunati slobodni član rastava α 0. Svaki pol doprinosi rastavu kako je prikaano u tablici 9.. dok se koeficijenti rastava odreduju prema iraima danim u tablici 9... Osim koeficijenata u tablici 9.. u rastavu se nalai još jedan slobodan koeficijent. jednostruki pol raličit od nule α m-struki pol raličit od nule α + α ) + + α m m ) m j m j jednostruki pol jednak nuli α m-struki pol jednak nuli α + α + + α m Tablica 9..: Doprinos pola rastavu na parcijalne ralomke m Primjer 9.. Odredi ni f[n] čija je Z transformacija Z [ f[n] ] = a cosb) ) a cosb) + a. Funkcija F ) ima dva pola. Ako su polovi medusobno raličiti očekujemo rastav oblika F ) = α 0 + α + α. 6
jednostruki pol raličit od nule α = F ) m-struki pol raličit od nule α = m i)! = d m i dw m i ) m F ) jednostruki pol jednak nuli α = F ) =0 d m i m-struki pol jednak nuli α i = m m i)! d m i F ) ) m w=0 Tablica 9..: Koeficijenti u rastavu na parcijalne ralomke = w ) w=0 Najprije odredujemo polove:, = a cosb) ± 4a cos b) 4a = a cosb) ± ja sinb) = ae ±jb Kako smo dobili dva raličita korijena rastav je oblika kojeg smo pretpostavili. Odredujemo koeficijente rastava α 0, α i α : α 0 = F ) = 0 0 a cosb) ) =0 0 a0 cosb) + a = 0 α = aejb F ) = aejb a cosb) ) ae jb ) ae jb ) =ae jb =ae jb = aejb a cosb) ae jb ae jb = ejb ejb + e jb ) e jb e jb = α = ae jb F ) = ae jb a cosb) ) ae jb ) ae jb ) =ae jb = ae jb a cosb) ae jb ae jb = e jb ejb + e jb ) e jb e jb = Uvrštavamo dobivene α 0, α i α u rastav i dobivamo F ) = a cosb) ) a cosb) + a = 0 + ae jb + ae jb. Sada odredimo traženi ni f[n] = aejb ) n + ae jb ) n = a n cosbn), n 0 =ae jb Primjer 9.3. Odredi invernu Z transformaciju [ Z m a) m ] a m = i m = 3 koristeći ponatu relaciju a transformaciju konvolucije Z [ f g)[n] ] = F )G) ako je ponato da je [ ] Z = a n. a 63
Računajmo prvo invernu transformaciju a m = : [ Z ] [ ] a) = Z = a n a n a a n n = a i a n i = a n = n + )a n i=0 Kod računanja inverne transformacije a m = koristimo prethodno dobiveni reultat a m = : [ Z 3 ] [ a) 3 = Z ] a a) = a n n + )a n n n = a i n + i)a n i = a n n + i) i=0 = a n n + ) i=0 nn + ) ) = i=0 n + )n + ) a n.! Zadatak 9.3. Primjer 9.4. Pokaži da vrijedi [ Z m ] a) m = n + )n + )... n + m ) a n. m )! Odredi invernu Z transformaciju [ Z 3 + ] + + 3. 8 + polove: Potrebno je odrediti rastav na parcijalne ralomke. Prvo tražimo 3 8 + = 0 ) + 3) = 0 Zadana racionalna funkcija ima jedan dvostruki pol, = i jedan jednostruki pol 3 = 3. Rastav na parcijalne ralomke je oblika F ) = α 0 + α + α ) + α 3 + 3. Odredujemo koeficijente α 0, α i α 3 prema iraima i tablice 9..: α 0 = F ) =0 = 03 + 0 + 0 + 0 3 0 8 0 + = ) 3 + + + α = ) + 3) = 3 + + + = = 9 + 3) 0 α 3 = + 3 3 + + + 7 + 8 3 + ) + 3) = = 3 3 3 ) = 75 Odredili smo α 0 i α i α 3 te je još potrebno odrediti koeficijent α. Umjesto iraa i tablice 9.. odabrati ćemo neki raličit od nule i raličit od polova, = i 3 = 3. Odaberimo npr. = : F ) = 3 + + + 3 8 + = + α + 9 0 ) + 75 + 3 64
5 4 = α + 3 300 α = 9 50 Konačni rastav na parcijalne ralomke je F ) = 9 50 + 9 0 ) + 75 + 3, pa je tražena inverna Z transformacija f[n] = δ[n] 9 50 n + 9 0 n + )n + 75 3)n, n 0 što nakon grupiranja postaje f[n] = 9 δ[n] + 0 n + 77 ) n + 00 75 3)n, n 0. Primjer 9.5. Odredi invernu Z transformaciju [ ] + Z. ) Opet je potrebno odrediti rastav na parcijalne ralomke. Zadana racionalna funkcija ima jedan dvostruki pol, = 0 i jedan jednostruki pol 3 = te je rastav oblika F ) = + ) = α 0 + α + α + α 3. Zbog dvostrukog pola u nuli ne možemo jednostavno odrediti slobodni koeficijent α 0 u ravoju funkcije na parcijalne ralomke. Na jednostavan način je mguće odrediti samo koeficijente α i α 3 : α = F ) =0 = + ) = 0 + =0 0 = α 3 = F ) = + = ) = + = = Da bi odredili preostale koeficijente ravoja α 0 i α odabiremo dvije raličite vrijednost koje su u to raličite od polova adane racionalne funkcije. Neka to budu vrijednosti i. Sada rješavamo sustav jednadžbi: + F ) = ) ) = α 0 + α ) + F ) = + ) = α 0 + α + 0 = α 0 α 3 = α 0 + α α 0 = α = Odredili smo sve koeficijente te je konačni rastav F ) = + ) = +. 65
f[n] 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Slika 9..: Periodički ni n Invernu Z transformaciju sada jednostavno očitamo i tablica f[n] = δ[n] δ[n ] δ[n ] + n, n 0. Primjer 9.6. Odredi analitički ira a periodički ni adan slikom 9... Ni f[n] možemo prikaati kao ni impulsa f[n] = δ[n] + δ[n ] + δ[n 4] +... Zbog periodičnosti možemo odrediti ira a ovaj ni u Z domeni: F ) = + + 4 + = n =. Odredivanje analitičkog iraa a ni f[n] sada se svodi na odredivanje inverne Z transformacije. Rastav racionalne funkcije F ) na parcijalne ralomke je oblika F ) = = α 0 + α + α +. Odredujemo koeficijente rastava: α 0 = ) + ) = 0 =0 α = ) + ) = = α = + ) + ) = = Konačan rastav je F ) = pa je traženi analitički ira a ni f[n] + +, f[n] = n + ) n, n 0. 9... Inverna Z transformacija dijeljenjem Z transformacija je definirana kao Z [ f[n] ] = f[n] n = F ) 9.7) 66
što možemo raspisati na način F ) = f[0] + f[] + f[] +... 9.8) Ukoliko je potrebno pronaći invernu Z transformaciju neke racionalne funkcije oblika 9.6) možemo se koristiti djeljenjem polinoma. Naime, djeljenjem brojnika racionalne funkcije s naivnikom dobivamo polinom oblika 9.8) koji predstavlja upravo naš traženi ni. Najveći nedostatak ove metode jest u tome što ne dobivamo opći ira a diskretni ni, već računamo taj ni član po član počevši od prvoga. Primjer 9.7. Dijeljenjem odredi prvih pet članova nia f[n] a adanu racionalnu funkciju F ) = 3 + + + 3 8 +. Da bi odredili prvih pet članova nia potrebno je podijeliti brojinik s naivnikom te iračunati prvih pet članova reultata: 3 + + + ) : 3 8 + ) = + 3 + + 5 3 + 3 + + 8 + + 85 4 +... + 3 + 9 + 3 + 3 4 + 36 + + + 3 36 + 96 + 44 + + + 5 + 60 44 + 5 5 00 + 300 3 + + + 85 + 56 + 300 3 Kao reultat dobivamo F ) = + 3 + + 5 3 + 85 4 +... te su prvih pet članova nia f[n] f[0] =, f[] = 3, f[] =, f[3] = 5 i f[4] = 85. Ovaj reultat obično apisujemo kao f[n] = δ[n] + 3δ[n ] + δ[n ] + 5δ[n 3] + 85δ[n 4] +... 67